中小学教育资源及组卷应用平台
期末专项真题精选训练：二次根式
一、单选题
1．（2022春·浙江丽水·八年级统考期末）化简结果正确的是（ ）
A．4 B．－2 C．2 D．
2．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）计算（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·浙江温州·八年级统考期末）当时，二次根式的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
4．（2022春·浙江·八年级统考期末）若是二次根式，则x的值可以是（ ）
A．1 B．－1 C．－2 D．－3
5．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）下列二次根式中，能与合并的是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）下列二次根式，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）若点在一次函数的图象上，则n的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．不能确定
9．（2022春·八年级统考期末）下列二次根式中字母a的取值范围是全体实数的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）下列算式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，一个长为2cm、宽为1cm的长方形，按照下面的四种情况沿直线从左侧平移至右侧（下图中的虚线都是水平线）．其中所需平移的距离最短的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022春·八年级统考期末）设实数的整数部分为m，小数部分为n，则（2m+n）（2m﹣n）的值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
14．（2021秋·浙江杭州·八年级统考期末）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4 D．6
15．（2023春·浙江·八年级期末）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第行从左至右第个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）式子有意义，则x的取值范围是_____．
17．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）化简_____；______．
18．（2022春·浙江舟山·八年级校联考期末）若的小数部分是a，则的值是______．
19．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期末）若x、y分别是的整数部分和小数部分，求代数式=_________．
20．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知，均为实数，，则的值为_________．
21．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）已知，，则的值是________．
22．（2023春·浙江·八年级期末）两个最简二次根式与可以合并，则_____．
23．（2020秋·浙江·八年级期末）已知，则的值是_____________．
24．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B是x轴上一点．以为腰，作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为_________________．
三、解答题
25．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
26．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
27．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）计算：
(1)×÷；
(2)（﹣）×；
(3)．
28．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
29．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）已知：y＝＋5，化简并求的值．
30．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）解答下列各题：
(1)计算：．
(2)设实数的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
31．（2020秋·浙江·八年级期末）求值：
（1）若，，求的值；
（2）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
32．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：，
；
【类比归纳】
(1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
【变式探究】
(2)若且a，m，n均为正整数，求a值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
期末专项真题精选训练：二次根式
一、单选题
1．（2022春·浙江丽水·八年级统考期末）化简结果正确的是（ ）
A．4 B．－2 C．2 D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：2，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的乘法法则：（a≥0且b≥0）计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘法法则．
3．（2022春·浙江温州·八年级统考期末）当时，二次根式的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】将代入计算即可得．
【详解】解：当时，，
故选：A
【点睛】本题考查了求二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．
4．（2022春·浙江·八年级统考期末）若是二次根式，则x的值可以是（ ）
A．1 B．－1 C．－2 D．－3
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质性：被开方数不能为负数，即可选出答案。
【详解】A选项为非负数，符合题意。
B、C、D都是负数，不符合题意。
故选：A
【点睛】本题主要考查的是二次根式的性质，被开方数不能为负数。
5．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）下列二次根式中，能与合并的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】能与合并，则该数与之是同类二次根式，即化简后被开方数相同，由此即可求解．
【详解】A：与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意
B：与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意
C： ，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意
D：， 与是同类二次根式，能合并，符合题意
故选D
【点睛】本题考查同类二次根式的定义，熟记同类二次根式的定义是解题关键．
6．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式概念，合并同类二次根式的法则，二次根式的乘方，乘法法则逐项判断即可．
【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；
B. ，选项错误，不符合题意；
C. ，选项正确，符合题意；
D. ，选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
7．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）下列二次根式，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故该选项符合题意；
C、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
8．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）若点在一次函数的图象上，则n的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．不能确定
【答案】B
【分析】先求出m的值，代入一次函数即可得出n的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解答此题的关键．
9．（2022春·八年级统考期末）下列二次根式中字母a的取值范围是全体实数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件可进行求解．
【详解】解：A、要有意义，则需满足，不符合题意；
B、要有意义，则需满足，不符合题意；
C、要有意义，则需满足，不符合题意；
D、∵，∴中字母a的取值范围为全体实数，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式与分式有意义的条件是解题的关键．
10．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）下列算式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减、乘除运算法则逐项解答判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式2，故B不符合题意．
C、原式3，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减、乘除运算法则等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
11．（2022秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，一个长为2cm、宽为1cm的长方形，按照下面的四种情况沿直线从左侧平移至右侧（下图中的虚线都是水平线）．其中所需平移的距离最短的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据平移的性质，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算出各个图形中平移的距离，然后比较它们的大小即可．
【详解】解：A. 平移的距离=，
B. 平移的距离=，
C. 平移的距离=，
D. 平移的距离=，
，
所需平移的距离最短的是D选项．
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理，实数的大小比较，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算出各个图形中平移的距离．
12．（2022春·八年级统考期末）设实数的整数部分为m，小数部分为n，则（2m+n）（2m﹣n）的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】估算无理数的大小，确定m、n的值，再用平方差公式计算（2m+n）（2m﹣n），最后再再代入求值即可．
【详解】解：∵1＜＜2，
∴的整数部分为m=1，小数部分为n=-1，
∴（2m+n）（2m﹣n）
=
=
=
=，
故选：A．
【点睛】本题考查估算无理数的大小、二次根式的计算及平方差公式，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．
13．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2＝BC2，得∠BAC＝90°，再根据S△ABC，代入计算即可．
【详解】解：由勾股定理得：AB，AC，BC，
∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴S△ABC，
∴，
∴AD＝2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC＝90°是解题的关键．
14．（2021秋·浙江杭州·八年级统考期末）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大矩形面积正方形面积，本题得以解决．
【详解】由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴题图中阴影部分的面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
15．（2023春·浙江·八年级期末）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第行从左至右第个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，如果n是奇数，则符号为负，如果n是偶数则符号为正（第1个数除外），根据此规律可求得结果．
【详解】解：由题意得，行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，如果n是奇数，则符号为负，如果n是偶数则符号为正（第1个数除外），
第1行到第9行共有：个数，即第9行最后一个数为，因此第11行从开始，则此行第5个数为；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，化简二次根式，找出规律是本题的关键．
二、填空题
16．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）式子有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
17．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）化简_____；______．
【答案】 / /
【分析】根据算术平方根可以计算出的值，根据分母有理化可以计算的值．
【详解】解：＝π﹣3，
＝＝﹣1，
故答案为：π﹣3，﹣1．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（2022春·浙江舟山·八年级校联考期末）若的小数部分是a，则的值是______．
【答案】/
【分析】先估算的大小，得出a的值，然后计算代数式的值即可．
【详解】解：3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分是 3，
∴＝＝=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
19．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期末）若x、y分别是的整数部分和小数部分，求代数式=_________．
【答案】33-8．
【分析】首先判断出 的整数部分在3和4之间，即6-的整数部分x=2，则y=4-，然后把x和y的值代入代数式求值即可．
【详解】解：∵
∴的整数部分在3和4之间，
∴6-的整数部分x=2，y=4-，
则=8×2×
=64-16-
=33-8．
故答案为33-8．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到比较有理数和无理数的大小，解题的关键在于用正确的形式表示出6-的整数部分和小数部分，然后代入求值即可．
20．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知，均为实数，，则的值为_________．
【答案】7
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴x=2，y=5，
∴x+y=7．
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
21．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）已知，，则的值是________．
【答案】
【分析】先求出a+b和a-b的值，把所求的式子进行分解，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵，，
∴
∴
故答案为
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22．（2023春·浙江·八年级期末）两个最简二次根式与可以合并，则_____．
【答案】5
【分析】根据最简二次根式的定义即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
∴，
∴，
但当时，，不是最简二次根式，应舍去，
∴；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键．
23．（2020秋·浙江·八年级期末）已知，则的值是_____________．
【答案】9
【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键．
24．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B是x轴上一点．以为腰，作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为_________________．
【答案】
【分析】如图所示，过点C作轴于D，设点B的坐标为，证明，得到，进而求出点C的坐标为，利用勾股定理得到，则的最小值即为点到点的距离的倍，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作轴于D，设点B的坐标为，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，，
∴
，
∴的最小值可以看做在x轴上的一点到点和到点的距离之和的最小值的倍，
∴的最小值，
由对称性可知，当，同理可证的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题
25．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）先化简二次根式，再合并即可；
（2）先化简二次根式，并分母有理化，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则”是解本题的关键．
26．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后进行有理数的加减运算；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
27．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）计算：
(1)×÷；
(2)（﹣）×；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的乘除法计算，然后化成最简式子即可；
（2）先化简括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可；
（3）先化简，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）×÷
=
=
=4；
（2）()
=(3）
=6﹣6；
（3）
．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
28．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先进行二次根式的化简，然后合并；
（2）先进行完全平方公式的运算，然后合并；
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的化简、完全平方公式等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
29．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）已知：y＝＋5，化简并求的值．
【答案】
，-4
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x=4，则y=5，再利用约分得到原式=，然后通分得到原式=，最后把x、y的值代入计算即可．
【详解】解：∵x-4≥0且4-x≥0，
∴x=4，
∴y=5，
=
=，
=，
=，
=-4．
【点睛】本题考查了考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，做题的关键是要先化简再代入求值．
30．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）解答下列各题：
(1)计算：．
(2)设实数的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算乘除，再化简二次根式，最后算加减；
（2）根据2＜＜3，确定a和b的值，再根据平方差公式化简（2a+b）（2a-b）=4a2-b2，代入计算可得结论．
(1)
解：
=；
(2)
解：∵，
∴的整数部分为a=2，小数部分为，
∴．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
31．（2020秋·浙江·八年级期末）求值：
（1）若，，求的值；
（2）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
【答案】（1）4；（2）
【分析】（1）先将原式变形为，再由、的值计算出、的值，进而代入计算即可；
（2）根据分母有理化，可得，根据，可得，可得，的值，进而代入求值即可求得答案．
【详解】解：（1）原式
，
，，
、，
∴原式
；
（2），
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的整数部分为a，小数部分为b，
∴的整数部分为a，小数部分为b，
∴，．
当，时，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值以及估算无理数的大小，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式，第（2）问中利用，得出、的值是解题关键．
32．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：，
；
【类比归纳】
(1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
【变式探究】
(2)若且a，m，n均为正整数，求a值．
【答案】(1)；
(2)或10．
【分析】（1）将7看成是，则，由此求解即可；
（2）根据，，可以得到，，再根据a，m，n均为正整数，则，由此求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，，
∴，，
∵a，m，n均为正整数，
∴，
∴或．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
