(共17张PPT)
回顾知识:
一、正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么.
二、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么.
正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是一条经过原点的直线.
一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象也是一条直线.
反比例函数 （k ≠ 0）其图象是双曲线.
三、反比例函数 （k ≠ 0）其图象又是什么.
二次函数y=ax + bx+c（a ≠ 0）
其图象又是什么呢？.
二次函数y=ax2的图像
x
y=x2
y= - x2
...
...
...
...
...
...
0
-2
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
0.5
2
函数图象画法
列表
描点
连线
0
0.25
1
2.25
4
0.25
1
2.25
4
描点法
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
0
-0.25
-1
-2.25
-4
-0.25
-1
-2.25
-4
注意：列表时自变量
取值要均匀和对称。
画出下列函数的图象。
x
y=2x2
...
...
...
...
0
-2
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
0.5
2
x
y=x2
...
...
...
...
0
-4
-3
-2
-1
2
3
1
4
0
0.5
2
4.5
8
0.5
2
4.5
8
列表参考
0
0.5
2
4.5
8
0.5
2
4.5
8
x
...
...
...
...
0
-3
-1.5
-1
1.5
1
-2
2
3
0
1.5
-6
1.5
-6
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时
所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
1、观察右图，
并完成填空。
抛物线
y=x2
y=-x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
极值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x=0时，最小值为0。
当x=0时，最大值为0。
二次函数y=ax2的性质
１、顶点坐标与对称轴
２、位置与开口方向
３、增减性与最值
2、练习2
3、想一想
在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线
y= -x2的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内
画函数y=ax2与y= -ax2的图象，怎样画才简便？
4、练习4
说明演示
在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线
y= -x2的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内
画函数y=ax2与y= -ax2的图象，怎样画才简便？
答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对称，又关于原点对称。只要画出y=ax2与y= -ax2中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称或关于原点 对称来画。
当a>0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
减小。
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
当x=-2时，y=-4
当x=-1时，y=-1
当x=1时，y=-1
当x=2时，y=-4
1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴。
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且
向上无限伸展；
当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且
向下无限伸展。
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小。
当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大。
二次函数y=ax2的性质
2、根据左边已画好的函数图象填空：
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，在 侧，
y随着x的增大而增大；在 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 时，
函数y的值最小，最小值是 ,抛物
线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。
（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的
，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，
当x 0时，y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(-2,-3). (1)求a的值，并写出这个二次函数的表达式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置.
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得
-8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数表达式为
y= -2x2.
（2）因为 ，所以点B（-1 ，-4）
不在此抛物线上。
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
y=-2x2
O
练习一、若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（－1，3）.
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 .
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的 .
抛物线在x轴的 方（除顶点外）.
1,已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1) 求这条抛物线的表达式. (2) 求出这个二次函数的最大值或最小值. (3) 在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线.
2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点.
3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.(共13张PPT)
知识回顾:
时，图象将发生怎样的变化？
二次函数y=ax
y = a(x+m)2
y = a(x+m)2 +k
1、顶点坐标？
（0，0）
（–m，0）
（ –m，k ）
2、对称轴？
y轴（直线x=0）
（直线x= –m ）
（直线x= –m ）
3、平移问题？
一般地，函数y=ax 的图象先向右（当m<0）或向左 （当m>0）平移|m|个单位可得y = a(x+m)2的图象；若再向上（当k>0 ）或向下 （当k<0 ）平移|k|个单位可得到y = a(x+m)2 +k的图象。
对于二次函数y=ax +bx+c （ a≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？
通过变形能否将y=ax +bx+c转化为
y = a(x+m)2 +k的形式 ？
二次函数y=ax
y = a(x+m)2
y = a(x+m)2 +k
y=ax +bx+c
=a（x2+ x）+c
=a〔x2+ x+ – 〕+c
= a(x+ )2 +
y=ax +bx+c
二次函数 ( a≠0)的图象是一条抛物线，
对称轴是直线x=
顶点坐标是为（ ， ）
y=ax +bx+c
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
例题学习:
解：
因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）。
例4 求抛物线
的对称轴和顶点坐标。
1.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴：
做一做:
开口方向:
顶点坐标：
对称轴:
1、求下列函数图象的对称轴和顶点坐标：
课内练习:
例5:已知二次函数y= x +4x–3,
请回答下列问题：
画函数图象
1、函数 的图象能否由函数
的图象通过平移变换得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图；
2、说出函数图象的开口方向、对称轴
和顶点坐标。
课内练习:
2. 说出下列函数的图象可由怎样的抛物线y=ax （a≠0），经过怎样的平移后得到？.
驶向胜利的彼岸
3、请写出如图所示的抛物线的表达式：
课 内 练 习
（0，1）
（2，4）
x
y
O
一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部
离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线
的函数表达式，你认为首先要做的工作是什么 如果以
水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：
1、点A 2、点B 3、抛物线的顶点C
所得的函数解析式相同吗？
请试一试。哪一种取法求
得的函数表达式最简单？
探究活动:
A
B
C
4m
12m
这节课你有什么收获和体会？(共8张PPT)
给你长6m的铝合金条，设问：
①你能用它制成一矩形窗框吗？
②怎样设计，窗框的透光面积最大？
步骤：
第一步设自变量；
第二步建立函数的表达式；
第三步确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）
用长为6m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
试一试
在用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面积最大？（结果精确到0.01米）
再来试一试
尝试成功
A
B
C
已知有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？
这节课学习了用什么知识解决哪类问题？
解决问题的一般步骤是什么？应注意哪
些问题？
学到了哪些思考问题的方法？
小结：
再见(共11张PPT)
二次函数的复习
二次函数 的图象是一条 ,它的对称轴是 ,顶点坐标是 ,当a＞0时,开口 ,顶点是抛物线上的最 点, 当a＜0时, 开口 ,顶点是抛物线上的最 点.
抛物线
向上
低
向下
高
1.二次函数 的图象开口方向是 ,
对称轴是 ,顶点坐标是 .
向上
直线x=-1
(-1,-5)
x
2.根据图中的抛物线,当x满足 时，y随x增大而增大；
当 x满足 时, y随x增大而减少；当x 时,y有最大值.
1
0
3
y
3
4.抛物线 经过A(-1,0),B(3,0)两点,
则这条抛物线的表达式为 .
5.写出一个二次函数的表达式,要求满足下列条件:
①开口向下;②顶点坐标为(-2,-3).
.
6、若将抛物线 向左平移 3个单位得抛物线 ，
所得的抛物线经怎样平移又得到 的图象
再向下平移 2 个单位得
抛物线 。
6.若抛物线 的顶点在x轴上,则c的值是( )
A.9 B.3 C.-9 D.0
A
7.已知二次函数 那么函数y的值( )
A.最小是1,最大是5 B.最小是1,无最大值
C.最小是3,最大是9 D.最小是1,最大是9
Ｄ
8.某旅行社有100张床位,每晚每床收费10元,客床可全部出租,若每床每晚提高2元,则减少10张床位出租,若每床每晚再提高2元,则再减少10张床位出租.已每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而利润大,每床每晚应提高( )
A.4元或6元 B.4元 C.6元 D.8元
A
9.直线y=x+2与抛物线 的交点坐标是 .
10.已知二次函数 的顶点坐标是
(-1,-3.2)及部分图象如图,由图象可知一元二次方程
的两个根分别是x1=1.3和x2= .
-3.3
(-2,0)和(1,3)
x
y
0
1
（1）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c，a－b＋c 这五个代数式中，值为正数的有（ ）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
y
x
-1
1
O
练习
y
x
0
2
-3
（3）小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象观察得出下面的五条信息：① a＜ 0；② c＝0；③ 函数的最小值为-3； ④当x＜0时，y>0； ⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1 > y2 你认为其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
(4)根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
（a≠0, a, b, c为常数）的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c -0.03 -0.01 0.02 0.04
A．6.17＜ x ＜6.18 B．6.18＜ x ＜6.19
C．-0.01＜ x ＜0.02 D．6.19＜ x ＜6.20(共24张PPT)
第1章 二次函数
1.1 二次函数
请用适当的函数表达式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)圆的面积 y ( )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为120m , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。
1
1
1
3
x
y = (60-x-4)(x-2)
1.y =πx2
2.y = 2(1+x)2
3.y= (60-x-4)(x-2)
=2x2+4x+2
=-x2+58x-112
上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征
经化简后都具有y=ax +bx+c 的形式.
(其中a,b,c是常数, )
a≠0
我们把形如y=ax +bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
称：a为二次项系数，
b为一次项系数，
c为常数项.
下列函数中,哪些是二次函数
是
不是
是
不是
先化简后判断
(5)y=3x-1
不是
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系
数、常数项.
（1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2
2、指出下列函数y=ax +bx+c中的a、b、c.
（1） y=-3x2-x-1
（2）y=x2+x
（3）y=5x2-6
请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子
（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍。
展示才智
例1、若函数 为二次函数，求m的值。
解：因为该函数为二次函数，
则
解（1）得：m=2或-1
解（2）得：
所以m=2
例2：已知二次函数y=x +px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的表达式.
｛
已知二次函数
当x=1时,函数y有最小值为4
x取任意实数
（1）你能说出此函数的最小值吗？
（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？
例如：圆的面积 y ( )与圆的半径 x（cm)的函数关系是
y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？
注意:当二次函 数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
例3: 如图，一张正方形纸板的边长为2cm,将它 剪去4个全等的直角三角形 (图中阴影部分 ) ，设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形 EFGH的面积为y(cm2)，求 :
(l)求y关于 x的函数表达式和自变量x的取值范围；
A
B
E
F
C
G
D
H
X
X
X
X
2–X
2–X
2–X
2–X
(2)当x分别为0.25，0.5，1，1.5，
1.75 时 ，求对应的四边形EFGH的
面积y，并列表表示.
x 0.25 0.5 1 1.5 1.75
y 2
请大家分析上表，分组讨论一下：
(1)随着x的取值的增大，y的值有怎样的变化？
x 0.25 0.5 1 1.5 1.75
y 2
(2)当x为多少时，四边形EFGH的面积最小？
填表
(2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
(1)它是二次函数
这堂课，你学到了哪些新知识？
驶向胜利的彼岸
2、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：
(1)写出y关于x的函数表达式和自变
量的取值范围.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少
1、已知二次函数y=ax +bx+3, 当x=2时,函数值为3, 当x= - 2时, 函数值为2, 求这个二次函数的表达试.
独立
作业
3.二次函数y=(2x-1)2+2的二次项系数
是________,常数项是______.
4.当k=_______时,函数y=(k-1)xk2+1+3x
是二次函数.
5.说出二次函数y=-x2+8x-1的一次
项系数，二次项系数和常数项.
6.对于任意实数k,下列函数一定是二次函数的是( )
A、y=(k-1)2x2 B、y= (k+1)2x2
C、 y=(k2+1)x2 D、 y=(k2-1)x2
7.正方形的边长是４，若边长增加x，则面积增加y，
则y关于x的函数关系式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它
是二次函数吗？
8.已知二次函数y= x2+bx+c，当x=０时，y=１；
当x=１时，y=3,你能求出该二次函数的表达式吗？
9.下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1
(5)y= (6)y=x2-x(1+x)
