(共6张PPT)
3.7 正多边形（2）
实际生活中，经常会遇到画平面正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图，画一个五角形等，这些问题都与等分圆周有关，要制造如图中零件，也需要等分圆周．
例如，我们可以这样来画一个边长为2cm的正六边形．
第一种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这
条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得出正六边形．
·
60°
O
90
0
180
60
120
利用这种方法可以画出任意的正n边形.
第二种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取等于2cm的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各分点即可．
·
O
由此,你能画出正三角形,正十二边形吗
参照图，按照一定比例，画一个停车让行的交通标志的外缘．
探究
用等分圆周的方法画出下列图案：
练习(共12张PPT)
*
O
A
B
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的 角。
1、请说出圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
2、如图，已知∠AOB=80°，
①求AB弧的度数；
②延长AO交⊙O于点C，连结CB，求
∠C的度数。
C
80°
40°
判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由。
A
B
C
O
A
B
C
C
O
O
A
B
想一想
一个圆的圆心角与圆周角可能有几种关系？
.
.
.
在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？
D
D
探索研究：
如果圆周角和圆心角对着同一条弧，那么这两个角存在怎样的关系？
命题：(圆周角定理)
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
A
B
C
O
A
B
C
C
O
O
A
B
D
D
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
A
B
C
O
A
B
C
O
如图，已知在⊙ O 中，∠BOC =150°，求∠A
做一做，成功在向你招手！
O
A
C
B
已知：∠AOB=100°，求∠ACB的度数.
你能解决它吗？
O
A
B
C
已知：OA、OB、OC都是⊙O的半径，
∠AOB=2∠BOC
求证：∠ACB= 2 ∠BAC
证明：
做做看，收获知多少？
一、判断
1、顶点在圆上的角叫圆周角。（ ）
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。（ ）
二、计算
半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：2两部分，则弦所对的
圆周角的度数是 。
×
√
.
O
60°或120°
课堂总结：
这节课我们都有什么收获？(共6张PPT)
3.2 图形的旋转
（2）
o
a
o
a
1.旋转中心不变，改变旋转角（如图）
把一个图案（如图）进行旋转，选择不同的旋转中心， 不同的旋转角，会出现不同的效果.
图案的旋转
o
o
2.旋转角不变，改变旋转中心
3. 美丽的图案是这样形成的
把一个三角形进行旋转：
（1）选择不同的旋转中心，不同的旋转角，看看旋转的效果；
练 习
（2）改变三角形的形状，看看旋转的效果.
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9
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培养学子全球现野
活动(共22张PPT)
第3章 圆的基本性质
3.1 圆
人民币
美圆
英镑
硬
币
圆
圆
请在白纸上画一个半径为2cm的圆．
若要在平坦的操场上画一个半径为3m的圆,你有什么办法
线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆。
定点O叫做圆心。
线段OP叫做圆的半径。
表示：
以O为圆心的圆，记做“⊙O”，
读做“圆O”。
在同一平面内，
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).
连结圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
●O
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
AB
⌒
以A,B两点为端点的弧.记作 ,读作“弧AB”.
AB
⌒
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母).
⌒
ACB
大于半圆的弧叫做优弧,如记作
(用三个字母).
A
B
C
⌒
D
1、请写出图中所有的弦；
2、请任选一条弦，写出这条弦所对的弧；
A
B
C
O
D
O
A
B
C
⊙O的半径为r =3m。若A，B，C三位同学分别站在如图所示的位置。
O
如图，设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。
d＝r
若点A在圆上，则：
若点C在圆外，则：
d＞r
若点B在圆内，则：
d＜r
A
B
C
点与圆的位置关系
点与圆的位置关系
如图，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，
C点在圆外，那么
若点A在⊙O内
若点A在⊙O上
若点A在⊙O外
OA＜r， OB＝r， OC＞r．
反过来也成立，即
点的位置可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来，已知点到圆心的距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。
已知⊙O的面积为25π。
（1）若PO=5.5，则点P在 ；
（2）若PO=4，则点P在 ；
（3）若PO= ，则点P在圆上。
圆外
圆内
5
例1 如图所示，在A地正北80m的Ｂ处有一幢民房，正西100m的C处有一变电设施，在BC的中点D处是一古建筑。
因施工需要，必须在A处进行一次爆破。为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内？
在直角三角形ABC中，∠C=Rt∠，AC=3cm，AB=5cm。若以点C为圆心，画一个半径为3cm的圆，试判断点A，点B和⊙C的相互位置关系。
C
A
B
请将自己所画的圆与同伴所画的圆进行比较， 它们是否能够完全重合？并思考什么情况下两个圆能够完全重合？
O1
r
O2
r
半径相等的两个圆叫做等圆。
请再作一个圆与已知圆是等圆，并使其中一个圆通过另一个圆的圆心。
知识的升华
实际应用
如图，在A岛附近，半径约250km的范围内是一暗礁区，往北300km有一灯塔Ｂ，往西400km有一灯塔C。现有一渔船沿CB航行，问渔船会进入暗礁区吗？
D
典型例题
例1、如图，已知矩形ABCD
的边AB=3厘米，AD=4厘米。
（1）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
（2）若以A点为圆心作圆A，使B、C、D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是什么？
练 习
3、一个点到已知圆上的点的最大距离是8，最小距离是2，则圆的半径是____
2、如图，⊿ABC中，∠C=90°，
BC=3，AC=6，CD为中线，
以C为圆心,以 为半径作圆，
则点A、B、D与圆C的位置关系如何？
1、已知圆P的半径为3，点Q在圆P外，点R在圆P上，点H在圆P内，则PQ___3，PR____3,PH_____3.
如图,一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.
用一用
5
三、巩固新知 应用新知
5m
o
4m
5m
o
4m
正确答案
如图,一根6m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.
想一想
6
三、巩固新知 应用新知
想一想
一个8×10米的长方形草地，现要安装自动喷水装置,这种装置喷水的半径为5米,你准备安装几个 怎样安装 请说明理由.
三、巩固新知 应用新知
课堂练习：
上
内部
外部
上
点Ａ在⊙Ｏ内部
点Ａ在⊙Ｏ上
点Ａ在⊙Ｏ外部
２已知⊙Ｏ的半径是５cm，Ａ为线段ＯＰ的中点，
当ＯＰ满足下列条件时，分别指出点Ａ与⊙Ｏ的位置关系：
当ＯＰ＝ ６cm时， ;
当ＯＰ＝１０cm时， ;
当ＯＰ＝1４cm时， 。
1、正方形ABCD的边长为3cm，以Ａ为圆心，３cm长为半径作⊙Ａ，则点Ａ在⊙Ａ ，点Ｂ在⊙Ａ ，点Ｃ在⊙Ａ ，点Ｄ在⊙Ａ 。 (共21张PPT)
创设情境,引入新课
复习提问:
（２）正三角形是轴对称性图形吗？
（１）什么是轴对称图形
（３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能
完全重合，这个图形就是轴对称图形。
有几条对称轴？
是
３
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
强调：
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）
X
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴.
（2）圆的对称轴有无数条.
O
C
D
合作交流,探究新知
一自主探究
结论：
１.在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦 AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线互相重合 如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等？
A
B
E
O
C
D
二 合作学习
解：点A与点B重合，ＡＥ与ＢＥ重合，
AC＝BC，AD＝BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
２.请你用命题的形式表述你的结论.
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的弧．
A
B
E
O
C
D
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，
弧AD和弧BD重合．
３.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明．
解
已知：如图，ＣＤ是⊙O的直径，ＡＢ是⊙O的一
条弦，ＣＤ⊥AB，且交ＡＢ于点Ｅ．
求证：
EA=EB， AC= BC， AD=BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
证明：连结ＯＡ，ＯＢ.
如果把⊙O沿着直径ＣＤ对折，
那么被ＣＤ分成的两个半圆互
相重合.
∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
∴线段EA与线段EB重合.
⌒
⌒
⌒
⌒
∴ EA=EB， AC= BC， AD=BD．
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
思考：你能利用等腰
三角形的性质，说明
OC平分AB吗？
４.圆的性质（垂径定理）
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的弧．
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
垂径定理的几何语言叙述:
∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）
∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
结论2：
A
B
O
C
D
E
条件
CD为直径
CD⊥AB
CD平分弧ADB
CD平分弦AB
CD平分弧A B
结论
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
三 概括性质（垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．）
１.直径垂直于弦
∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
A
B
O
C
D
E
直径平分弦所对的弧
直径平分弦
2.分一条弧成相等的两条弧的点,
叫做这条弧的中点.
例如,点C是AB的中点,点D是ADB的中点.
⌒
⌒
∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）
垂径定理的几何语言叙述:
（条件）
（结论）
作法：
⒈ 连结AB.
⒉ 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
点E就是所求弧AB的中点．
C
D
A
B
E
例1 已知弧AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点的概念）
⌒
分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的垂直平分线就能把AB平分.
⌒
⌒
１.如图，过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦
的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点．
B
C
BC就是所要求的弦
点D,E就是所要求的弦
所对的两条弧的中点.
D
E
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
D
C
10
8
8
解:作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8.
由勾股定理得:
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
想一想:排水管中水最深多少
答:截面圆心O到水面的距离为6.
题后小结：
1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；
．
O
A
B
C
r
d
2 ．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
想一想：
在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的
弦心距之间有什么关系？
答:在同一个圆中，
弦心距越长,所对应的弦就越短;
弦心距越短,所对应的弦就越长.
C
A
B
O
D
.
２.在直径为２０厘米的球形油槽内装入一些油后，截面如
图所示，如果油面宽是１６厘米，求油槽中油的最大深度．
C
D
Ｆ
解：
因为ＯＥ⊥ＣＤ，
过Ｏ作ＯＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，延长ＯＥ交ＣＤ于点Ｆ，
⌒
O
Ｅ
所以油槽中油的最大深度ＥＦ＝１０－６＝４（厘米）
连结ＯＤ．
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
3
3
1
４.同心圆Ｏ中，大圆的弦ＡＢ与小圆交于Ｃ，Ｄ
两点，判断线段ＡＣ与ＢＤ的大小关系，并说明
理由．
ＡＣ与ＢＤ相等。理由如下：
解：
过点Ｏ作ＯＥ⊥AB于点Ｅ，
则ＡＥ＝ＢＥ，ＣＥ＝ＤＥ，
所以ＡＥ－ＣＥ＝ＢＥ－ＤＥ，
即ＡＣ＝ＢＤ．
O
C
D
Ａ
Ｂ
Ｅ
同心圆是指两个
圆的圆心相同
5、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。
求证：
AC=BD
⌒
⌒
１、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ ）
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
D
10
8
6
2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5
C．3．
A
B
O
M
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法：
（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；(共10张PPT)
开启 智慧
西气东输工程全长四千多米,其中有成千上万个圆弧形弯管.制作弯管时，需要按中心计算“展直长度”再下件，你知道怎么样计算这些弯管的长度吗？
o
p
圆的周长公式
圆的面积公式
C=2πr
S=πr2
问题探究
如图，已知⊙O的半径为 R，求：
·
1、半圆的弧长l；
2、90°圆心角所对的弧长l；
3、45°圆心角所对的弧长l；
4、36°圆心角所对的弧长l；
5、1°圆心角所对的弧长l；
6、n°圆心角所对的弧长l。
·
·
·
·
·
90°
45°
1°
36°
n°
从上述的练习我们得到怎么样的结论：
在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：
在应用弧长公式l 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位 的.
注意：
1、在公式中变量有哪些？常量是哪些？
2、那么在3个变量l、R、n中，只要已知其中两个量就可以求第三个量，那么请将公式变形求出R和n。
1.半径为1㎝的圆弧所对的圆心角的度数是60°求这条弧长。
练习：
2.直径为100㎝的圆弧的度数20°30′，
求这条弧长（结果保留３个有效数字）。
3.已知弧长为40 ㎝ ，弧的半径为20㎝ ，求弧的度数。
4.已知圆弧的度数为60°，弧长为6.28㎝ 。求圆的半径。（ 取3.14）
例1 一段圆弧的公路弯道,圆弧的半径是2km,一辆汽车以每小时60km的速度通过弯道,需20秒.求弯道所对的圆心角的度数。(精确到0.1度)
例2 如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，已知AC＝15，⊙O的半径为Ｒ＝30，
O
B
M
A
N
D
C
求BD的长.
⌒
E
2. 弧长公式：
l弧＝ C圆
360
n
1. 弧长与哪些因素有关？
（1）与圆心角的大小有关
（2）与半径的长短有关
3. 弧长单位：
弧长单位没有平方(共17张PPT)
3.5 圆周角 (2)
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
一、旧知回放:
2、圆心角与所对的弧的关系
3、圆周角与所对的弧的关系
4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
一、旧知回放:
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即 ∠ABC = ∠AOC.
1、100 的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32 ，则∠BOC=________。
4、如图，⊙O中，∠ACB = 130 ，则∠AOB=______。
5、下列命题中是真命题的是（ ）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B）60 的圆周角所对的弧的度数是30
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
（D）120 的弧所对的圆周角是60
课前测验
A
O
C
B
B
A
O
C
100
50
36 或144
64
100
D
问题讨论
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系 为什么
图1
问题2、如图2，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗
B
A
O
C
图2
问题3、如图3，圆周角∠BAC =90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？
∠B = ∠D= ∠E
∠BAC =90
●O
B
A
C
D
E
●O
B
C
A
图3
问题解答
1、圆周角定理的推论1：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
2、圆周角定理的推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
用于找相等的角
用于找相等的弧
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条线是否过圆心
例2
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
求证：⌒ ⌒
BD=DE
A
B
C
D
E
练习：
如图，P是△ABC的外接圆上的一点，
∠APC=∠CPB=60°。
求证：△ABC是等边三角形
·
·
A
P
B
C
O
例3: 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。
弓形所含的圆周角∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径.
A
B
C
1.说出命题’圆的两条平行弦所夹的弧相等”的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗 请说明理由.
2.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分∠ABC,且AB∥CD.求证:AD=CB.
A
B
C
D
如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是⌒上任意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点F,连结AD,GD,CG,找出图中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.
AC
A
B
D
G
F
C
E
O
1如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO的中点,DE // AB,求证:EC=2EA.
A
B
E
O
D
C
2，已知BC为半圆O的直径，AB=AF,AC交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？为什么？
小结与作业
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？(共14张PPT)
3.2 图形的旋转
（1）
钟表的指针在不停地转动，如图，从3时到5时，时针转动了多少度？
如图，风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置，以上这些现象有什么共同特点呢？
12
6
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
时针转了60°
12
6
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
指针、叶片等看作图形.
像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的
图形变换叫做旋转.
点O叫做旋转中心
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点
叫做这个旋转的对应点
o
p
p′
转动的角叫做旋转角
形成概念
时针的端点在3时的位置P与在5时的位置P′是对应点.
12
6
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
p
p′
请说出下面问题的旋转中心是什么？旋转角度是多少？对应点是什么？
表盘的中心是旋转中心
旋转角是60°
问题
1.举出一些现实生活中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角.
练习
2.时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角是多少度？从上午9时到上午10时呢？
12
6
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
12
6
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
旋转角度是90°
旋转角度是30°
3. 如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转
中心在哪里？旋转角是哪个角？
B
O
B/
A
A/
旋转中心在支点O
旋转角为∠AOA/
或∠BOB/
实践探究
在硬纸板上，挖一个三角形洞，再挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC）,然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′） ，移开硬纸板.
线段OA与OA′有什么关系？∠AOA′与∠BOB′有什么关系？ △ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？
A
B
C
O
A′
B′
C′
OA=OA′
∠AOA′=∠BOB′
△ABC≌△A′B′C′
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
旋转前、后的图形全等.
对应点到旋转中心的距离相等.
因此，在CB的延长线上取点E′，使BE′=DE， 则△ABE′为旋转后的图形.
A
B
C
D
E
E′
如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
分析：关键是确定△ADE三个顶点的对应点，即它们旋转后的位置.
解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身.
正方形ABCD中，AD=AB， ∠DAB=90°，所以旋转后点D与点B重合.
设点E的对应点为点E′，因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以
∠ABE′= ∠ADE=90°，BE′=DE
例题示范
还有其他方法吗？
1.如图，小明坐在秋千上，秋千旋转了80°，请在图中小明身上任意选一点P，利用旋转性质，标出点P的对应点.
练习
P
P′
2.如图，用左面的三角形经过怎样的旋转，可以得到右面的图形？
3.找出图中扳手拧螺母时的旋转中心和旋转角.
O
旋转中心为螺母的中心O
旋转角为∠POP′
P
P′
操作说明
操作需要注意的地方，在每张幻灯片左上角加入了批注.(共11张PPT)
问题1，什么样的图形是正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
问题2，日常生活中,我们经常能看到正多边形的物体,利用正多边形,我们也可以得到许多美丽的图案,你还能举出一些这样的例子吗
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
如图, 把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴ ∠A=∠B.
∵
·
A
B
C
D
E
O
同理∠B = ∠C = ∠D = ∠E.
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCDE的 外接圆.
我们以圆内接正五边形为例证明.
∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，
弧BCE=弧CDA，
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
O
·
中心角
半径R
边心距r
我们把一个正多边形的圆心叫做这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.
例 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
解: 如图，由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长
l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4, PC=
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
O
A
B
C
D
E
F
R
P
r
练习
1. 矩形是正多边形吗 菱形呢 正方形呢 为什么
矩形不一定是正多边形.因为四条边不一定都相等;
菱形不一定是正多边形.因为四个角不一定都相等;
正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗 各角都相等的圆内接多边形呢 如果是,说明为什么;如果不是,举出反例.
各边相等的圆内接多边形是正多边形.
多边形A1A2A3A4…An是⊙O的内接多边形,
且A1A2=A2A3=A3A4=…=An－1An,
∴ 多边形A1A2A3A4…An是正多边形.
A２
A７
An
·
A1
A３
A４
A５
A６
O
∴弧A1A2=弧A2A3=弧A3A4=…=弧An－1An
=弧AnA1,
∴弧A2A3An=弧A3A4A1=
弧A4A5A2=…=弧A1A2An-1，
3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的边BC上的高AD,垂足为D.
连接OB，则OB=R.
在Rt△OBD中 ， ∠OBD=30°,
边心距＝OD=
在Rt△ABD中 ， ∠BAD=30°,
·
A
B
C
D
O
由勾股定理，求得AB=
解：连接OB，OC，过点O 作OE⊥BC垂足为E.
则∠OEB=90°，∠OBE= ∠ BOE=45°.
Rt△OBE为等腰直角三角形.则有
·
A
B
C
D
O
E(共20张PPT)
3.8 弧长及扇形的面积（2）
在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.
问题（1）这只狗的最大活动区域是什么图形？
问题（2）如果这只狗只能绕柱子转过270°的角,那么它的最大活动区域是什么图形？
问题（3）如果这只狗只能绕柱子转180°的角呢，又如何呢？若只能转120°的角呢？36°的角呢？它们又是些什么图形？
想一想
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
半径
半径
圆心角
圆心角
弧
A
B
O
B
A
扇形
扇形的弧长、周长
扇形的面积
扇形的定义
1800
900
450
n0
圆心角占整个周角的
所对扇形面积是
算出扇形占圆面积的比例
理一理
扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？
圆半径
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为
n
圆心 角
扇形的面积计算
l 弧
＝ πR
180
n
S扇形
360
n
＝ πR2
在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n°、半径R有关系，因此l 和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗
在两个公式中，存在l、R、n、S四个量，我们只要知道其中两个就可以求得其他两个。
弧长计算与面积公式的联系
S扇形
公式2
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇= .
2、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，S扇=
试一试
理一理
要选择合适的公式
3、已知扇形面积为 ，圆心角为120°，则
这个扇形的半径R=____．
2
4、已知扇形面积为 ，这个扇形的半径
R=2，则圆心角为____
试一试
理一理
120°
如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120 °，问哪一把扇子扇面的面积大？
a
a
例题精选
等边三角形的边长为ａ，求阴影部分的面积.
分析
用割补法计算阴影部分面积
做一做
.如图，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB是⊙O的切线，BC//OA，连结AC，则阴影部分面积等于 。
例2 我国著名的引水工程的主干线输水管的直径为2.5m,设计流量为12.73m3 /s.如果水管截面中水面面积如图所示,其中∠AOB=45°,那么水的流速应达到多少m/s.
O
A
B
(精确到0.01m/s).
D
例题精选
1、如图，水平放置的一个油管的横截面半径为12cm,其中有油的部分油面高6cm,求截面上有油部分的面积(结果精确到1cm2).
O
A
B
C
D
做一做
C
变式：若求由优弧ACB和弦AB组成的阴影部分的面积，则
变式2：已知弓形的半径为12cm和弦AB的长为12 cm，求弓形的面积。
cm
2、AB、CD是半径为ｒ圆O的两条互相垂直的直径，以B为圆心作弧CED，求阴影部分的面积.
A
B
C
D
O
E
A
B
C
O
A
B
C
A
B
C
O
4.已知：下图中等腰直角三角形ABC的直角边长均为2，求三个图中的阴影部分的面积。
2．探索弧长及扇形的面积之间的关系，并能已知l、n、R、S中的两个量求另两个量．
1．探索扇形的面积公式 ，并运用公式进行计算．
S扇形
360
n
＝ πR2
课堂回顾
3. 扇形的面积大小与哪些因素有关？
（1）与圆心角的大小有关
（2）与半径的长短有关
4. 扇形面积公式与弧长公式的区别：
l弧＝ C圆
360
n
S扇形＝ S圆
360
n
5. 扇形面积单位与弧长单位的区别：
（1）扇形面积单位有平方
（2）弧长单位没有平方
扇形面积大小（ ）
(A)只与半径长短有关
(B)只与圆心角大小有关
(C)与圆心角的大小、半径的长短有关
C
如果半径为r，圆心角为n0的扇形的面积是S，那么n等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
360S
πr
360S
πr2
180S
πr
180S
πr2
B
3. 如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是（ ）
(A)300 (B)360 (C)450 (D)600
1
8
C
课堂小测试(共14张PPT)
36圆内接四边形
面1.什么叫做圆的内接三角形
什么叫做三角形的外接圆
评i
答:经过三角形各顶点的圆叫做
三角形的外接圆,这个三角形叫
做这个圆的内接三角形。
如果一个多边形的所有顶点都在
同一个圆上,这个多边形叫做圆内
接多边形。
这个圆叫做这个多边形的外接圆。
1.什么叫做圆的内接三角形
提
什么叫做三角形的外接圆
2.如图,⊙O中弧A的度数是
评10,则弦AB所对的圆周角是
多少度
答:弦AB所对的
圆周角分别是50°
和130°。
∵AD与BCD所对的
圆心角的和是360°
∠A+∠BCD=180°
同理,∠ABC+∠ADC=180°
延长BC到E,
那么,∠BCD+∠DCE=180°
∠A=∠DCE
定理圆的内接四边
形的对角互补,并且
任何一个外角都等于
它的内对角。
练习
如图,四边形ABCD内接
于⊙O,∠A=125°,那
么,∠BCD=(55°);
∠B+∠D=(180°
练
习如图,四边形ABDC为⊙0的内
接四边形,已知∠BOC为100
求∠BAC及∠BDC的度数。
解:∠BAC=50°
∠BDC=130°
练
习如图,BC是直径,则∠DBC+
三∠BAE等于:(B)
(A)60°(B)90°
(C120°(D)80°
例如图,⊙O与⊙O2都经过A
B两点,经过点A的直线CD与⊙O
交于点C,与O交于点D.经过
点B的直线EF与⊙O交于点E,与
⊙O交于点F
求证:CE∥DF
练
习求证:圆内接平行四边形
四是矩形。
想如果把上题中的圆内接平
氵行四边形改为圆内接梯形,
将会是什么样的梯形
小
1.如果一个多边形的所有顶点都
在同一个圆上,这个多边形叫做圆
内接多边形。这个圆叫做这个多
边形的外接圆。
2.圆内接四边形性质定理:圆的内
接四边形的对角互补,并且任何一个
外角都等于它的内对角。这一结论在
探求角相等或互补关系时尤为重要,
常常要用到。
1.图中,ABCD是圆内接四边形,
达标测评
则下列式子成立的是:(C)
(A)∠A+∠DCE=180°
(B)∠B+∠DCE=180°
(C)∠A=∠DCE
(D)∠B=∠DCE
2.图中,从⊙0外一点P作两条直
线与⊙0相交于A、B和C、D,则
△PAC∽△PDB;
△PAD∽△PCB
△AED∽△BEC
△CED∽△BEA(共16张PPT)
圆心角 所对
的弧为 AB，
过点O作弦AB的垂线, 垂足
为M,
O
A
B
M
顶点在圆心的角,叫圆心角，
如 ,
所对的弦为AB；
图1
OM是唯一的。
则垂线段OM的长度,即圆
心到弦的距离，叫弦心距 , 图1
中，OM为AB弦的弦心距。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
2、下列图中弦心距做对了的是（ ）
┐
┐
①
②
③
④
由上分析，任意给圆心角，对应出现
四个量：
圆心角
弧
弦 弦心距
猜 想：
图 2
也就是在 图2 中研究不同的圆
心角 、 ，以及它们
所对的弧 , 弦 ,
弦的弦心距 OM、 之间的关
系。
圆的旋转不变性：
圆绕圆心旋转任意角α，都能
够与原来的圆重合。
注： α=180O 旋转，
说明圆是以圆心为对称中
心的中心对称图形。
图 3
1 . 射线OB与射线OB'重合吗 为什么
2 . 点A与A' ，点B与B' 重合吗？
为什么？
4 . OM 与OM' 呢？为什么？
于是，若∠AOB = ∠A'OB' ，
则 AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM' .
3 . AB与A' B' ,弦AB与弦A' B'重合吗？为什么？
将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 , 则：
图 4
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆，
如果 ∠AOB= ∠ A'O'B'
那么 AB=A'B' 、AB= A'B' 、OM=O'M',
为什么？
圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
已知：如图5, ∠AOB = ∠A'OB' , OM、OM'
分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距.
求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 .
又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′
图 5
∵
∵
另外，对于等圆的情况 ，因为两个等圆可
叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题，
命题成立。
条件
结论
在同圆或等圆中
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中
如果弦相等
那么
弦所对的圆心角相等
弦所对的弧（指劣弧）相等
弦的弦心距相等
在同圆或等圆中
如果弦心距相等
那么
弦心距所对应的圆心角相等
弦心距所对应的弧相等
弦心距所对应的弦相等
在同圆或等圆中
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
弧所对的弦的弦心距相等
推论：(圆心角定理的逆定理)
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。
例1 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外，
以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。
求证：AB=CD.
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
证明: 作 , 垂足分别为M 、 N .
OM=ON
AB=CD.
.
P
A
B
E
C
M
N
D
F
要证AB=CD ，只需证OM=ON.
O
.
P
B
E
D
F
O
A
C
.
如图，P点在圆上，PB=PD吗？
P点在圆内，AB=CD吗？
思考：
P
B
E
M
N
D
F
O
M
N(共19张PPT)
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
条件
①CD为直径
②CD⊥AB
⑤CD平分弧ADB
③CD平分弦AB
④CD平分弧AB
结论
垂径定理的逆命题是什么？
想一想
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的
两 条弧.
条件
结论1
结论2
逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
②CD⊥AB,
探索规律
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
过点M作直径CD.
●O
上图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
C
D
由 ① CD是直径
③ AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●
M
A
B
┗
平分弦 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
（不是直径）
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:
规律
（3）
（1）
（2）
（4）
（5）
（2）
（3）
（1）
（4）
（5）
（1）
（4）
（3）
（2）
（5）
（1）
（5）
（3）
（4）
（2）
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
逆定理
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
垂径定理
.
O
A
E
B
D
C
已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC.
⌒
⌒
⌒
⌒
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
证明：连结OA，OB，则OA=OB
∴△AOB是等腰三角形
∵AE=BE,
∴CD⊥AB
（等腰三角形三线合一）
（垂径定理）
∴AD=BD，AC=BC
⌒
⌒
⌒
⌒
请同学们独立证明定理2
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.
×
√
×
×
√
辨一辨
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（7）平分弦的直线，必定过圆心。
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A
B
C
D
O
(1)
A
B
C
D
O
(2)
A
B
C
D
O
(3)
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
A
B
C
O
(4)
A
B
C
D
O
(5)
A
B
C
D
O
(6)
E
例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).
A
B
O
C
D
AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D.
R
解：
∴OC⊥AB.
∴OC就是拱高.
∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,
OD=OC-DC=（R-7.23）.
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2,
解得R≈27.31.
答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.
∵C是AB的中点,
⌒
练一练
1、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .
A
O
N
M
F
E
D
C
B
·
A
B
C
D
0
E
F
G
H
2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H, EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
M
3、在直径为130mm的圆铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦的长度。 （弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形）
.
A
O
B
E
C
D
F
4、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，求证：EC＝DF.
G
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
●O
A
B
C
D
（1）两条弦在圆心的同侧
●O
A
B
C
D
（2）两条弦在圆心的异侧
垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
5、求证:如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等
E
F
E
课堂小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
.
C
D
A
B
O
M
N
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
1、 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
