(共14张PPT)
4.7 图形的位似
请同学们仔细观察下列两幅图有什么共同特点？
如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.
2、观察下列位似图形
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？
显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
练一练1：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；
（2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′.
（4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（6）曲边三角形ABC与曲边三角形A′B′C′
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（7）扇形ABC与扇形A′B′C′，
（B、A 、B′在一条直线上，C、A 、C′在一条直线上）
（8）△ABC与△ADE（①DE∥BC； ②∠AED＝∠B）
2．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.
位似图形的性质
一般地，位似图形有以下性质：
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
作位似图形
例： 如图，请以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大3倍.
分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心O和的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的3倍，就得到所求作图形的各个顶点
直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律
以坐标原点为位似中心的位似变换有一下性质：
若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（―kx，―ky）.
想一想：
1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？
2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为位似中心的位似图形？
练一练3
1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半.
练一练4
今天你学会了什么？
位似图形的定义，位似图形的性质.(共15张PPT)
问题1：这两个三角形是否为相似形？
观察左图中两幅图形的形状和大小有什么关系？
相似形定义：我们把形状相同的两个图形称为相似形。
表示为：
△ABC∽△ A'B'C'
C
A
B
A'
B'
C '
在写两个三角形相似时应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
注意
读作：
△ABC相似于△ A'B'C'
△ABC与△ A'B'C'相似
用符号语言表示：
∵
∠A= ∠A‘ 、∠B= ∠B’ 、∠C=C‘，
∴ △ABC∽△A'B'C'
（相似三角形的定义可以作为三角形相似的一种判定方法。）
A
B
C
D
E
F
2cm
3cm
那么△ABC与△DEF对应边的比=
已知△ABC∽△DEF，AC=2cm，DF=3cm
我们将相似三角形对应边的比称之为相似比。(用字母k表示）
2/3
？
问题2
C
A
B
A'
B'
C'
6cm
3cm
△ABC与△A'B'C'的
相似比k1
△A'B'C'与△ABC的相似比k2
△ABC∽△A'B'C'
问题
三角形的前后次序不同，所得相似比不同。
∠ADE=∠B,∠AED=∠C，
又∵ ∠A= ∠A
D
E
A
B
C
( 2 )
∴ △ABC∽△ADE
已知BC∥DE
A
B
C
( 1 )
D
E
△ABC与△ADE是否相似？
若D、E点分别在两边的延长线上呢？结论是否成立？
问题3
∵ BC∥DE
∴
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
A
B
C
( 1 )
A
B
C
( 2 )
D
E
D
E
用数学符号表示：
∵ DE∥BC
∴ ΔADE∽ΔABC
三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？
相似比是多少？
问题
已知：如图，AB∥EF ∥CD，则△AOB与
_______和_______都相似。
3
图中共有____对相似三角形。
△EOF∽△COD
△FOE
△DOC
AB∥EF
△AOB∽ △FOE
AB∥CD
EF∥CD
△AOB ∽△DOC
问题
A
B
C
D
E
F
图中有几个三角形相似
思考题
DF//BC
DE//AC
EF//AB
已知：
为什么？
相似三角形的传递性：如果△ABC∽△A1B1C1 ，
而△A1B1C1 ∽△A2B2C2
那么△ABC∽△A2B2C2 。
如果△ABC∽△A1B1C1
而△A1B1C1 ∽△A2B2C2
那么△ABC与△A2B2C2
是否相似？
问题
如果一个三角形的三边长分别为5、12和13，与其相似的三角形的最长边为39，你知道这个三角形的其它情况吗？
1．全等三角形是不是相似三角形？说明你的理由。
２．（１）所有的等腰三角形是不是相似三角形？
（２）所有的直角三角形是不是相似三角形？
（３）所有的正三角形是不是相似三角形？(共12张PPT)
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
如图:四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的像,
请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数,
然后与你的同伴议一议;这两个四边形的对应角之间有什么关系 对应边之间有什么关系
各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形
相似比
对应顶点的字母写在对应的位置上
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
E1
F1
它们形状相同吗？
这两个五边形是相似五边形
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
E1
F1
对应角
对应边 AB与A1B1，BC与B1C1……
例 下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系 对应边呢？
(1) 正三角形ABC与正三角形DEF;
(2) 正方形ABCD与正方形EFGH.
解:(1)由于正三角形每个角等于60°，所以∠A=∠D= 60°, ∠B=∠E=60°, ∠C=∠F= 60° .
由于正三角形三边相等，所以
AB:DE=BC:EF=CA:FD
解：(2)、由于正方形的每个角都是直角，所以
∠A=∠E= 90° ∠B=∠F=90°
∠C=∠G= 90° ∠D=∠H= 90°
由于正方形的四边相等，所以
AB:EF=BC:FG=CD:GH=DA:HE
A
B
E
G
D
C
F
H
议一议
正方形
10
10
菱形
12
12
它们相似吗？
正方形
10
10
矩形
12
8
它们呢？
如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似多边形的性质
相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.
例题
矩形纸张的长与宽的比为 ,对开后所得的矩形纸张是否与原来的矩形纸相似 请说明理由.
A
B
C
D
E
F
2
课堂作业
1、右面两个矩形相似，求它们对应边的比.
2、如图，两个正六边形的边长分别为a和b，它们相似吗？为什么？
及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！
如图，矩形的草坪长20m，宽10m，沿草坪四周外围有1m的环行小路，小路的内外边缘所成的矩形相似吗？
2
3
2∶3
相似.理由是：各对应角相等，各对应边成比例.
不相似.因为对应边不成比例.
今天我们了解了相似图形王国的一个伟大的家族……
相似多边形
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似多边形的性质
谈谈收获(共12张PPT)
复习
1、相似三角形的定义是什么？
A
C/
B/
A/
C
B
如果
那么
ΔABC∽ΔA/B/C/
2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？
全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形。
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
G
如上图，在方格图中△ABC，DE∥BC，问：△ADE∽△ABC吗？说明理由.
如右图，A、B、C、D、E、F、G都在小方格的的顶点上，问： FG ∥BC∥ DE 吗？△ AFG ∽△ABC∽△ ADE ？
定理:
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.
分析:要证两个三角形相似，
目前只有两个途径。一个是
三角形相似的定义，（显然条件不具备）；二个是上节课学习的利用平行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？
A
B
C
A/
C/
B/
1、求证命题：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
（把小的三角形移动到大的三角形上）。
怎样实现移动呢
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。
A
B
C
A/
C/
B/
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
D
E
∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/
∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/，
∴ ∠ADE=∠B/，
又∵ ∠B/=∠B，
∴ ∠ADE=∠B，
∴ DE//BC，
∴ ΔADE∽ΔABC。
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
2、例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60 °。求证：ΔABC∽ΔDEF
A
F
E
C
B
D
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=40°，∠B=80°，
∴ ∠C=180°－∠A －∠B =180°－40°－80° ＝60°
∵ 在ΔDEF中，∠E=80°，∠F=60°
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F
∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。
40°
80°
80°
60°
60°
3.课堂练习
（1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500，∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？
（2）已知等腰三角形ΔABC和ΔA/B/C/中，∠A、∠A/分别是顶角，求证：①如果∠A=∠A/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/。
②如果∠B=∠B/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/。
A
B
C
A/
B/
C/
750
750
500
550
550
A
B
C
A/
B/
C/
A
B
C
A/
B/
C/
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
A
D
B
C
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900，
此结论今后可以直接使用.
∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。
同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。
∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。
求证：
ΔABC
ΔACD
∽
ΔCBD 。
∽
例2、求证：
例3.在一次数学活动课上,为了测量河宽AB,张杰采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走４０Ｍ到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走１５Ｍ到达Ｄ处，再右转９０°走到Ｅ处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得ＤＥ＝２０Ｍ，这样就可以求出河宽ＡＢ．请你算出结果（要求给出解题过程）
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
延伸练习
已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是
BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。
A
B
C
D
E
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
F
答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.
课外思考：
如图，在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与 ΔABC相似？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
课堂小结
１．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.
２、相似三角形的判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。
３、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
４．相似三角形判定定理的应用．(共14张PPT)
下列四个数是否成比例，如果能，请写出比例式，并指出比例内项、外项。
1
(1) 5 ，3，6，10
(2) 2，0.5，3，12
(3) 7 ，3，4，8
(4) 2.4，0.8，3.2，0.6
2
(1)若3x＝4Y，求 、 、 的值。
X
Y
X
Y－X
X－2Y
Y+X
(2)若 ＝ ，求 的值。
a+b
a
5
3
a－2b
b
(3)x:y:z＝2:3:4 ，求 的值。
X－y＋z
2x＋3y－z
(4)已知线段AB＝15cm，CD＝20cm。求AB:CD的值。
3
在同一长度单位下，a,b,两线段长度的比叫做
这两线段的比。记为a：b或 。
a
b
注意：
(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；
(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关。
(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD.
一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d比，即 = ，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
a
b
c
d
4
5
已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm.问：这四条线段是否成比例？为什么
解：这四条线段成比例
∵a=10mm=1cm
a
c
1
2
∴ ＝ ， ＝ ＝
d
b
1
2
3
6
a
c
d
b
∴ ＝
想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段.
6
判断四条线段是否成比例的方法有两种：
(1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等。
(2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积 。
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高。请找出一组比例线段，并说明理由。
7
分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否成比例，只要采取什么方法(看其中两条线段的乘积是否等于另两条线段的乘积)
(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知识联系起来？
(3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式？根据所得的等式可以写出怎样的比例式。
如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少km？(比例尺1：9000000)
8
注意：求角度时要注意方位。
解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm,设实际距离为s，则
35
s
＝
1
9000000
∴S＝35×9000000=315000000(mm)
即s＝315(km)
如果量得图中,我们还能确定基隆市在高雄市的北偏东28的315km处。
答：略
1.已知线段a＝30mm，b＝2cm，c＝ cm，d＝12mm，试判断a、b、c、d是否成比例线段。
4
5
2.已知a、b、c、d是比例线段，其中a＝6cm，
b＝8cm，c＝24cm,则线段d的长度是多上？
3.已知三角形三条边之比为a：b：c=2：3：4，三角形的周长为18cm，求各边的长。
4.已知AB两地的实际距离是60km，画在图上的距离A1B1是6cm，求这幅图的比例尺。
5.现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？
拓展：相同时刻的物高与影长成比例。如果一电视塔在地面上影长为180m，同一时刻高为2m的竹竿的影长为3m，那么电视塔的高是多少？
6.如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB上的高线，求证：AD：CE=AB：BC
7.如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC,请找出一组比例线段，并说明理由。
8.如图，已知
,求
9.育美中学请张工程师设计学校的矩形花坛的平面图，这个花坛长为20m，宽为12m。
(1)在比例尺为1:100的平面图上，这个矩形花坛的长和宽各是多少？
(2)在平面图上，这个花坛的长和宽的比是多少？
(3)花坛长和宽实际比是多少？
(4)你发现这两个比有什么关系？(共14张PPT)
4.2由平行线截得的比例线段
思考题
如图,已知h1∥l2∥l3
求证:a、ABDE上上
BC EF
11
AB DE
(2
AC DE
BC EF
DFN全全
我们有以下的基本事实
两条直线被一组平行线(不少于3条)所截,所得的对应线段成比例
AB E
60E
l1
BC EF
AB DE
(2)
AC DE
F
www.ocin.com
BC EF
(3)
AC DE
AB DDE
DF
BC EF
B
AB DE
AC DE
F l3
(3)
BC⊥EF/wddin.com
AC DE
得到的比例式中,
四条线段与两直线的交点位置无关!
AB DE
BC EF
F
两条直线被三条平行线所截,如果在一直线上所
截得的线段相等,那么在另一直线上所截得的线
段也相等。
b
基本图形:“A”字形
(D)
AB AE
A
B
E
BC EF
AB AE
Ac AF
F
www.acin.com
BC EF
(3)
Ac AF
b
基本图形:“8”字形
D
AB B
l1
(E)
BC BF
B
AB DB
(2
AC DE
F l3
ww acin. com
BC BF
AC DE
例题1
(1)∵DE∥AB
CD CE
AC BC
BE
AD
AD BE
CD CE
BC AC
(2)若AD∥EF∥BC
AG AEDE
则
docin.cbm°
GC EB FC
(3)已知平行四边形ABCD
AB DF
CF DF
AE DE
FB FE
登录
题2
已知:如图41∥2∥/2,AB=3,DE-2
EF=4。求:AC
www.docin.com
题3
b
(1)若h1∥12
说出比例线段
E\/
(2)若l2∥/3
说出比例线段
(3)若h1∥l3,
说出比例线段 docin.Com
(4)若h1∥l∥l3,DE=3,EO=2,OF=4,OB=1,
求:AB、OC的长
题4
10
EC-( 6WW AE=((8). COAD=(14
GC=(6
例题5
已知:EGBC,GF∥CD,
求证:AEAF
E
D
AB AD
G
B
www.docin.com
题6
已知:BE平分∠ABC,DE∥BC
AD=3,DE=2,AC=12
k
求:AE的长度
www.docin.com
两条直线被一组平行线(不少于3条)所截,所得的对应线段成比例
二、要熟悉该定理的几种基本图形(共18张PPT)
全等三角形的判定
ASA AAS SAS SSS
两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似吗
相似三角形的判定1:
有两个角对应相等的两个三角形相似。
∠B=∠B/
请同学们在如图的方格纸上画两个三角形，使△ABC与 △A/B/C/满足
合作探究
再量一量∠C与∠C’的大小，看看你有什么发现。
△ABC与△A/B/C/相似吗？
A
B
C
B/
A/
C/
命题:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
全等三角形的判定
ASA AAS SAS SSS
两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定1:
有两个角对应相等的两个三角形相似。
相似三角形的判定2:
三边对应成比例的两个三角形相似.
A
B
C
把方格纸中的△ABC的各边放大到原来的2倍，得到△A/B/C/
合作探究
A’
C’
B’
相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
△ABC与△A/B/C/相似吗？
△ABC与△A/B/C/的三边有什么数量关系？
几何语言表示：
∴△ABC∽△A B C
全等三角形的判定
ASA AAS SAS SSS
两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定1:
有两个角对应相等的两个三角形相似。
相似三角形的判定2:
三边对应成比例的两个三角形相似.
相似三角形的判定3:
Ｄ
Ｅ
F
36
30
48
C
A
B
45
72
54
⑴ 判断下图中的各对三角形是否相似？
辨一辨
35
20
7
4
Ｄ
Ｅ
C
A
B
54
（2） 判断下图中的各对三角形是否相似？
辨一辨
（4）判断图中的各对三角形是否相似。
辨一辨
求证:DE∥BC
A
B
C
D
E
例1、如图,已知点D,E分别在AB,AC上,且
证明：∵∠A=∠A
∴△ABC∽△ADE
∴ ∠ADE=∠B
∴ DE∥BC
方法一：设小正方形的边长为1，则比较容易计算三边的长度，然后寻找三边的对应关系；
方法二：仔细观察不难发现图中的∠BAC和∠DEF都是直角，那么能否从两边一夹角的角度考虑并证明。
例2、如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
E
D
F
B
A
C
E
D
F
B
A
C
例2、如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
解：根据勾股定理，得：
∴△ABC∽△EFD
(相似三角形的判定定理3)
D是△ABC边AB上一点，
⑴若AC2=AD·AB ，△ABC与△CAD相似吗 为什么
⑵若△BCD∽△BAC,需补充什么条件
A
B
C
D
1、如图：在△ABC中，D，E分别为AB、AC上的点，若AD=4，BD=3.5，AE=5，EC=1，则下列结论错误的是（ ）
A、1.5DE=BC
B、△ABC∽△AED
C、∠ADE=∠B
D、∠AED=∠B
C
B
Ｄ
Ｅ
A
C
2、如图,D为△ABC的边AB上一点.若使△ACD与△ABC相似,可添加一个什么条件 你有几种添加条件的不同方法
C
B
Ｅ
Ｄ
A
方法一:添加一个角相等
方法二:添加两边对应成比例
如 ∠ADC=∠ACB 或 ∠ACD=∠B
或 AC2=AD·AB
3、在直角梯形BACD中,AC⊥CD,AC=CD=4AB, E是AC中点.求证:△ABE∽△CED
E
D
C
B
A
变式练习:若AB=2,E是线段AC上的一个动点, △ABE与△CED相似,求AE的长.
在有平行横线的练习本上画一条线段AB,使线段的两端点A,B恰好在两条平行线上,线段AB就被平行线分成了相等的三小段.你能说出这一事实的数学原理吗 如果只给你圆规和直尺,你会把任意一条线段AB五等分吗 请试一试,并说明你的画法的依据.
B
A
思考题：
如图所示，在平面直角坐标系中，已知AO=12cm，OB=6cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动.如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；
（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；
（3）当t为何值是，△POQ与△AOB相似？
O
Q
A
B
P(共21张PPT)
ΔABC与ΔA’B’C’的相似比
是多少？
ΔABC与ΔA’B’C’的周长比
是多少
面积比是多少？
ΔABC与ΔA’B’C’有什么关系？ 为什么？
你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比
有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？
（相似）
√2
2
√2
√10
2
√2
1
√5
√2
A
B
C
A’
C’
B’
周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方
A
B
C
A’
B’
C’
已知:Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比为k.
=k2
K，
两个相似三角形的对应高之比等于相似比。
求证:
Δ ABC的周长
Δ A’B’C’的周长
=
s ABC
s A’B’C’
已知：如图，△ABC∽ △A’B’C’, △ABC与 △A’B’C’的相似比是k,AD、A’D’是对应高。
求证：
A
B
C
B’
A’
C’
D
D’
证明：
∵△ABC∽△A’B’C’
∴∠B= ∠B’
∴∠ABD=∠A‘B’D‘=90O
∴ △ABD∽△A’B’D’
两个相似三角形的对应高之比等于相似比。
A
B
C
A’
B’
C’
∵Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比为k.
=k2
s ABC
s A’B’C’
周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的对应高之比等于相似比。
Δ ABC的周长
Δ A’B’C’的周长
=
k
∴
又∵AD、A’D’是对应高。
D
D’
已知两个三角形相似，请完成下列表格
相似比
周长比
面积比
注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，
求面积比要平方，而已知面积比，求相似比或
周长比则要开方。
2
4
100
100
10000
1
9
1
3
1
3
2
．．．
．．．
．．．
1.在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,
三角形的边长,周长,面积,角,哪些放大为10倍
答:三角形的边长,周长放大为10倍.
三角形的面积放大为100倍.
三角形的角大小不变.
例1；如图是某市部分街道图，比例尺是1:10000，请你估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积
解：地图上的比例尺为1：10000，就是地图上的△ABC与实际三角形地块的相似比为1：10000，量得地图上AB=3.4cm,BC=3.8cm,AC=2.5cm。则地图上△ABC的周长为3.4+3.8+2.5=9.7(cm)
∵
∴三角形地块的实际周长为9.7×104cm，
即970m。量得BC这上的高为2.2cm
∴地图上△ABC的面积为
×3.8×2.2=4.18cm2
∴三角形地块的实际面积为4.18×108cm2,即41800m2
答：估计三角形地块的实际周长为970米，实际面积为41800平方米。
∵
2、在△ABC中，DE BC，E、D分别在AC、AB上，EC=2AE，则S △ ADE：S四边形DBCE的比为______
练习
3、如图， △ＡＢＣ中，ＤＥ ＦＧ ＢＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=_________
练习
4.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰BD,CD交于点O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,则OF=_______.
A
B
C
D
E
F
O
5、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.则ΔACD∽ Δ______.它们的相似比K =_______,
A
B
C
E
D
G
如图，在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现在有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动.过点P做PE∥BC交AD于点E，连接EQ。设动点运动的时间为x.
(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度；
(2)当点Q在BD(不包括点B和D)上移动时,设△EDQ的面积为y,求y与t的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当x为何值时,△EDQ为直角三角形
D
E
Q
B
C
P
A
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？
D
E
30m
18m
B
C
A
B
A
C
D
E
解:如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m,
ΔABC的周长为80m，面积为100m2,
求ΔADE的周长和面积
30m
18m
A
D
E
1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则
ΔEFC的面积等于多少？BDEF面积为多少？
2.若设sΔABC=S, SΔADE=S1, SΔEFC=S2.
请猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？
你能加以验证吗？
√ S = √S1+ √S2
B
C
F
48m2
36m2
证明：DE//BC
＞
ΔADE∽ΔABC
＞
S1
S
=(
A C
A E
)
2
EF//AB
＞
ΔEFC∽ΔABC
＞
S2
S
=
A C
C E
(
)
2
√S
＞
√S1
=
A C
A E
√S
＞
√S2
A C
C E
=
｝
＞
√S
√S
√S2
√S1
+
=1
√S1
＞
√S2
+
√S
=
16
36
30m
18m
ΔABC的面积为100m2,
A
C
B
P
F
M
N
G
E
D
S3
S1
S2
如图，DE//BC,FG//AB,MN//AC,
且DE、FG、MN交于点P。
若记SΔDPM= S1, SΔPEF= S2, SΔGNP= S3
SΔABC= S、S与S1、 S2、S3之间是否也有
类似结论？猜想并加以验证。
探究
１.这节课我们学到了哪些知识？
２.我们是用哪些方法获得这些知识的？
３.通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？
你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？
你能类比证明吗
相似三角形对应中线的比与对应
角平分线的比等于相似比。
A
B
C
A’
B’
C’
D
D’
3、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.则ΔACD∽ Δ______.它们的相似比K =_______,
A
B
C
E
D
G
1.作业本
2. 探究的推理过程课外整理完成，
各组自行组织讨论交流(共12张PPT)
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比接近0.618;
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618.
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比接近0.618;
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618.
其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做外项，
b、c 叫做内项，
一.定义 :四个实数 a、b、c、d 中，如果 （或a：b=c：d），那么这四个实数a、b、 c 、 d 成比例.
a c
b d
=
分别计算下列比例式的两个内项的积与两个外项的积:
(1) =
0.3 0.6
2 4
(2)
比例的基本性质
外项之积=两内项之积.
ad=bc.
a c
b d
=
∵ad=bc，
a c
b d
=
（2）如果ad=bc，那么 吗？ (b≠0,d≠0)
a c
b d
=
∴两边同除以bd,得：
由此可得结论：
ad=bc
a c
b d
=
比例的基本性质:
ad=bc
a c
b d
=
综上所述,
(a，b，c，d都是不为零的实数)
例1:
根据下列条件,求 的值.
例2:已知 判断下例比例是否成立，并说明理由．
a c
b d
= ，
通过这节课的学习，你有什么收获？
主要内容：
温馨提示：
小 结
2.比例的基本性质
(a:b=c:d ad=bc)
及其应用.
1.成比例的定义.
1.比例式是等式，因而具有等式的各个性质.
2.比例式变形的常用方法:
(1)利用等式的性质;
(2)参数法.
已知 ,求 的值
与例2相比较,你发现了什么规律
在平面直角坐标系中，过点（a,b)和坐标原点的直线是一个怎样的正比例函数？如果a,b,c,d四个数成比例，你认为点(a,b)，点(c,d)和坐标原点在一条直线上吗？请说明理由．(共20张PPT)
我们已经学习相似三角形的性质有哪些？
1、相似三角形对应角相等。
2、相似三角形对应边成比例。
3、相似三角形的周长之比等于相似比；
∵⊿A′B′C′∽⊿ABC ∴ ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C= ∠C′
∵⊿ABC∽⊿ABC ∴AB：A′B′=BC ：B′C′=CA ：C′A′
4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
5、相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比等于相似比。
例1、如图，屋架跨度的一半OP=5M，高度OQ=2.25M，现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度AC=1.20M，AB在水平位置。求AB的长度（结果保留3个有效数字）。
P
O
Q
A
B
C
解：由题意得，AB∥PO
∴∠ABC=∠OPQ
∵∠CAB=∠POQ=Rt∠
∴△ABC∽△OPQ
答：AB的长约为2.67m。
做一做
1、步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上准星宽度AB为2mm，目标的正面宽度CD为50cm，求眼睛到目标的距离OF。
E
A
B
O
C
D
F
准星
A
B
2、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
3、如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高多少m？。
O
B
D
C
A
┏
┛
1m
16m
0.5m
？
做一做
4、如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网５米的位置上，则拍击球的高度应为多少米？
５m
10m
0.9m
h
怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度
合作探究
把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出旗的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m。这时旗高多少？你能解决这个问题吗？
A
B
E
C
D
F
方法一
把一小镜子放在离红旗（AB）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到红旗顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m。这时旗高多少？你能解决这个问题吗？
A
B
E
C
D
方法二
如图，在地面上直立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶端E、树梢顶点A在同一直线上，已知BF=3.6，DF=1.2，身高CD=1.5，标杆EF=2.5，求旗高。
C
D
G
E
F
A
B
H
方法三
如图，用手举一根标尺EF长0.4，使标尺与地面垂直，当标尺刚好挡住旗的高度时，量出眼睛到标尺的距离CG为0.7，人到旗的距离CH长8，求旗的高度
C
D
E
F
B
A
G
H
方法四
B
O
C
A
A’
B’
O’
古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O’B’，比较棒子的影长A’B’与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB. 如果O’B’＝1, A’B’＝2, AB＝274,求金字塔的高度OB
试一试
你还有什么方法吗？
A
C
B
D
E
┐
┐
A
C
B
D
E
┐
┐
提高拓展
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
N
M
Q
P
E
D
C
B
A
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以
AE
AD
=
PN
BC
因此 ，得 x=48（毫米）。答：-------。
80–x
80
=
x
120
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
2 测距(不能直接测量的两点间的距离)
、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决
、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解
解决实际问题时（如测高、测距），
一般有以下步骤：①审题 ②构建图形
③利用相似解决问题
做一做
1、如图，正方形城邑DEFG的四面正中各有城门，出北门20步的A处（HA=20步）有一树木，出南门14步到C处（KC=14步），再向西行1775步到B处（CB=1775步），正好看到A处的树木（点D在直线AB上），求城邑的边长。
A
B
C
D
G
E
F
H
K
如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x。
O
（分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB。而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB的长度。）
做一做
O
解：
∴△AOB∽△COD
∴AB=CD · n = nb
又∵CD=b
且∠AOB=∠COD
∵ OA:OC=OB:OD=n
∵ OA:OC=AB:CD=n
∴x = ( a － AB )÷2
= ( a － nb )÷2
例2.数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：
方法一：如图，把镜子放在离树（AB）8M点E处，然后沿着直线BE后退到D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8M，观察者目高CD=1.6M；
D
E
A
B
C
例2.数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：
方法二：如图，把长为2.40M的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80M，标杆影长为1.47M。
分别根据上述两种不同方法求出树高（精确到0.1M）
请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？
D
C
E
B
A
F
