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第一章 二次函数专题复习 (1) 求函数解析式（巩固练习）
姓名 班级
1、用配方法将y=﹣2x2+4x+6化成y=a（x+h）2+k的形式，求a+h+k之值为何？（ ）
A、5 B、7 C、﹣1 D、﹣2
2、若 y =( m2+ m )xm2 – 2m －1是二次函数，则m = ．
3、抛物母y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（ ）
A．向上平移5个单位 B.向下平移5个单位
C．向左平移5个单位 D.向右平移5个单位
4、已知二次函数y=ax2+bx+c同时满足下列条件：对称轴是x=1；最值是15；二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15﹣a，则b的值是（ ）
A、4或﹣30 B、﹣30 C、4 D、6或﹣20
5、经过点A（0，3）的抛物线的解析式是 ．
6、二次函数 的图像是由的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．21世纪教育网版权所有
7、根据下面的条件，求二次函数的解析式：
1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）
2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）
3．图像与x轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－）
8、已知二次函数，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于轴对称；（2）图象关于轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称．
9、如图，已知抛物线和x轴正半轴交与A、B两点，AB=4，P为抛物线上的一点，他的横坐标为－1，∠PAO=45，．求P点的坐标；求抛物线的解析式．21教育网
y
M A B
O x
P
参考答案
点评：本题考查了二次函数的一般式与顶点式方程．二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
2、若 y =( m2+ m )xm2 – 2m －1是二次函数，则m = ．
解：由m2+ m≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1
由m2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3
∴ m = 3 ．
3、抛物母y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（ ）
A．向上平移5个单位 B.向下平移5个单位
C．向左平移5个单位 D.向右平移5个单位
考点：二次函数图象与几何变换．
分析：先得到两个抛物线的顶点坐标，然后根据顶点坐标判断平移的方向和单位长度．
解答：解：∵y=-6x2+5的顶点坐标为（0，5），
而抛物线y=-6x2的顶点坐标为（0，0），
∴把抛物线y=-6x2+5向下平移5个单位可得到抛物线y=-6x2．
故选B．
点评：本题考查了抛物线的几何变换：抛物线的平移问题可转化为其顶点的平移问题，抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）．
点评：本题考查了二次函数的最值及待定系数法求解析式，难度一般，关键算出a的值．
5、经过点A（0，3）的抛物线的解析式是 ．
分析：根据给出的条件，点A在y轴上，所以这道题只需满足中的C=3，且a≠0即可∴（注：答案不唯一）21cnjy.com
6、二次函数 的图像是由的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．21·cn·jy·com
解： = ，
二次函数 的图像是由的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．
7、根据下面的条件，求二次函数的解析式：
1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）
2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）
3．图像与x轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－）
解：1、设二次函数的解析式为：，依题意得：
解得：
2、设二次函数解析式为：y = a( x – h)2 + k， 图象顶点是（－2，3）h=－2，k=3， 依题意得：5=a( －1 + 2)2+3，解得：a=2www.21-cn-jy.com
y = 2( x +2)2 + 3=
3、设二次函数解析式为：y = a( x – ) ( x – )．
图像与x轴交于（－2，0），（4，0）两点，
=－2，=4
依题意得：－= a( 1 +2) ( 1– 4)
a=
y = ( x +1) ( x – 4)=．
8、已知二次函数，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于轴对称；（2）图象关于轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称．
解：可转化为，据对称式可知
①图象关于轴对称的图象的解析式为，
即：．
②图象关于轴对称的图象的解析式为：
，即：；
③图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的图象的解析式为
，即．
9、如图，已知抛物线和x轴正半轴交与A、B两点，AB=4，P为抛物线上的一点，他的横坐标为－1，∠PAO=45，．求P点的坐标；求抛物线的解析式．2·1·c·n·j·y
y
M A B
O x
P
解: 设P的坐标为(－1，y)， ∵P点在第三象限∴y＜0，
过点P作PM⊥X轴于点M． 点M的坐标为(－1，0)
|BM| = |BA|+ |AM|
∵∠PAO=45
∴ |PM | = |AM| = |y | =－y
∵
∴y = －3
∴P的坐标为(－1，－3)
∴A的坐标为(2，0)
将点A、点P的坐标代如函数解析式
解得： ；
∴抛物线的解析式为：．
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新浙教版数学九年级（上）
第一章 二次函数专题复习 (1) 求函数解析式
下列函数中,哪些是二次函数？
怎么判断？
(1）y=3(x-1) +1;
(3) s=3-2t .
(5)y=(x+3) -x .
（是）
（是）
（不是）
（不是）
（不是）
用函数表达式表示：
已知矩形周长为20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
x
y
Y=x(10-x)=-x2+10x
本课知识小结
二次函数
定义
图象
相关概念
抛物线
对称轴
顶点
性质和图象
开口方向、对称轴、顶点坐标
增减性
解析式的确定
三点式
顶点式
交点式
y＝ ax2＋bx＋c(a、b、c常数，a≠0)
y＝a(x－m)2＋n(a≠0)
(m，n)
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
1、二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
2.若a+b+c=0,a 0,把抛物线y=ax2+bx+c向下
平移4个单位,再向左平移5个单位所得到的新
抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位,
再向上平移4个单位即得原抛物线
答案:y=-x2+6x-5
3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
解： ∵点A在正半轴，OA=4，
∴点A（4，0）
∵点B在负半轴， OB=1，
∴点B（-1，0）
又 ∵ ∠ACB=90°
∴OC2=OA·OB=4
∴OC=2，点C（0，-2）
抛物线的解析式为
A
B
x
y
O
C
1、求满足下列条件的二次函数的关系式：
(1)图象经过点 A(0,3)，B(1,3)，C(－1,1)；
(2)图象经过点 A(－1,0)，B(3,0)，函数有最小值为－8；
(3)图象顶点坐标为(1，－6)，且经过点(2，－8)．
思路点拨：
(1)已知三点，选用一般式．
(2)可用顶点式，也可用交点式.
(3)选用顶点式．
解：(1)设所求函数关系式为 y＝ax2＋bx＋c，
∵图象经过点 A(0,3)，B(1,3)，C(－1,1)，
∴函数关系式为 y＝－x2＋x＋3.
(2)方法一：∵图象经过点 A(－1,0)，B(3,0)，
则对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为(1，－8)．
∴可设关系式为 y＝a(x－1)2－8.
4a·(－3a)－(－2a)2
将点 A(－1,0)代入，得 a＝2.
∴函数关系式为 y＝2(x－1)2－8＝2x2－4x－6.
方法二：由点 A(－1,0)，B(3,0)，
可设函数关系式为 y＝a(x－3)(x＋1)．
整理函数，得 y＝ax2－2ax－3a.
∴此函数图象的最小值为－8.
∴
4a
＝－8.
∴a＝2.∴函数关系式为 y＝2(x－3)(x＋1)．
即 y＝2x2－4x－6.
(3)∵图象顶点为(1，－6)，
∴设其关系式为 y＝a(x－1)2－6.
∵图象经过点(2，－8)，
∴－8＝a(2－1)2－6.∴a＝－2.
∴函数关系式为 y＝－2(x－1)2－6.
即 y＝－2x2＋4x－8.
若 x1，x2 分别是抛物线与 x 轴的两个交点的横
坐标，则直线 x＝
x1＋x2
2
就是对称轴．
2、 把抛物线y＝x2＋2向右平移2个单位，然后向上平移1个单位，则平移后抛物线的关系式为( )
A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x＋2)2＋3
C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
A
[解析] 要求二次函数的解析式，只需求出b和c的值即可，可将A、B的坐标代入，利用方程组求解．
A
1．过(－1,0)，(3,0)，(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是（ ）
2．抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图 22-1-7 所示，则此
y＝－x2＋2x＋3
抛物线的解析式为______________．
图 22-1-7
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 4 0 －2 －2 0 …
求这个二次函数关系式．
解：把点(0，－2)代入 y＝ax2＋bx＋c，得 c＝－2.
再把点(－1,0)，(2,0)分别代入 y＝ax2＋bx－2，
∴这个二次函数的关系式为 y＝x2－x－2.
3．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中的 x，y 满足下表：
4、 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点P(m，－1)(m＞0)．连结OP，将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM，且点M是抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点．
(1)若m＝1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(2,2)，当0≤x≤1时，求y的取值范围；
(2)已知点A(1,0)，若抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点B，直线AB与抛物线y＝ax2＋bx＋c有且只有一个交点，请判断△BOM的形状，并说明理由．
2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
二次函数解析式的三种表示方式
