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第一章 三角形的初步知识的复习 （巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、下列各组长度的线段能构成三角形的是( )
A、1.5cm 3.9cm 2.3cm B、3.5cm 7.1cm 3.6cm
C、6cm 1cm 6cm D、4cm 10cm 4cm
2.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PA平分∠BAC，则△APD与△APE全等的理由不是( ) 21教育网
A、SAS B、AAS C、SSS D、ASA21cnjy.com
3.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中互余的角有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
4如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，那么
∠ACB为（ ）
A. 80° B. 72° C. 48° D. 36°21·cn·jy·com
5. 如图，∠1=∠2，∠C=∠B，下列结论中不正确的是（ ）
A. △DAB≌△DAC; B. △DEA≌△DFA;
C. CD=DE D. ∠AED=∠AFD
6.一个三角形的两边长分别是2cm和9cm，第三边的长是一个奇数，则第三边长为（ ）
A、5cm B、7cm C、9cm D、11cm
7、一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是( )
A、115° B、120° C、125° D、130°
8.在△ABC和△DEF中，条件：①AB ( http: / / www.21cnjy.com )=DE;②BC=EF;③AC=DF;④∠A=∠D;⑤∠B=∠E;⑥∠C=∠F;则下列各组给出的条件不能保证△ABC≌△DEF的是（ ）www.21-cn-jy.com
A. ①②③ B. ①②⑤ C.①③⑤ D.②⑤⑥
9.在⊿ABC中，三边长分别为、、，且＞＞，若=8，=3，则的取值范围是（ ）2·1·c·n·j·y
A.3＜＜8 B.5＜＜11 C.6＜＜10 D.8＜＜11
10.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的 点，若△ABC的面积为24，则图中阴影部分的面积为（ ）
A、4cm B、8cm C、12cm D、16cm
第二部分
11、如图，CD是线段AB的垂直平分线，则∠CAD=∠CBD.请说明理由：
解：∵ CD是线段AB的垂直平分线（ ），
∴AC= ， =BD（ ）.
在 和 中，
=BC，
AD= ，
CD= （ ），
∴ ≌ （ ）.
∴ ∠CAD=∠CBD（ ）.
12、如图，在△ABC中，∠B=42o，∠C=72 o，AD是△ABC的角平分线，
①∠BAC等于多少度？简要说明理由.
②∠ADC等于多少度？简要说明理由.
13、如图，在△ABC中，D是边BC上一点 ( http: / / www.21cnjy.com )，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连结DE，已知DE=2 cm，BD=3 cm，求线段BC的长.21世纪教育网版权所有
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14、如图，△ABC的两条高AD、BE相交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由。（1）∠DBH=∠DAC；（2）△BDH≌△ADC.【来源：21·世纪·教育·网】
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15、如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P.
（1）当∠A=70°时，求∠BPC的度数；
（2）当∠A=112°时，求∠BPC的度数；
（3）当∠A=时，求∠BPC的度数.
参考答案
第一部分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C B C C D C D C
第二部分
( http: / / www.21cnjy.com )
14、解：∵ AD是角平分线，∴∠EAD=∠CAD（角平分线定义）.
∵ AE=AC（已知），AD=AD（公共边相等），
∴ △AED≌△ACD（SAS）.
∴ ED=DC（全等三角形对应边相等）.
∵ BD=3，ED=2，∴ BC=5.
15、解：（1）∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC=∠ADB=90°.
∵ BE⊥AC，∴ ∠BEA=∠BEC=90°.
∴ ∠DBH+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴ ∠DBH=∠DAC.
(2)∵ ∠DBH=∠DAC（已证），
∠BDH=∠CDA=90°（已证），
AD=BD（已知），
∴△BDH≌△ADC（ASA）.
第4题
A
E
B
C
D
P
第2题
第3题
第5题
第10题
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新浙教版数学八年级（上）
第一章 三角形的初步知识的复习
1.在三角形ABC中，AB=8，AC=7，则BC边长的取值范围为______________.
2.在一个三角形中，在边长分别为：5， 2m-1, 7则m的取值范围为_____________.
3.在三角形ABC中，AB=6，AC=12，AD是BC边上的中线，则AD的长的取范围是_______________.
4.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm
C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm
C
5.用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
C
1
3在三角形中，任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边。
1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A、SSS B、ASA C、AAS
D、角平分线上的点到角两边距离相等
A
2.如图所示，D是⊿ABC的角平分线BD和CD的交点，若∠A=50°，则∠D=（ ）
A.120° B.130° C.115° D110°
C
3.如图，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=4，则点D到AB的距离是_____
4
4.如图，已知⊿ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15，则⊿DEB的周长为_______
5.如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB=5cm，则P到AC边的距离是______cm。
15
5
A
B
C
P
性质 角平分线上的点到角两边的______相等
判定 角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的______上
距离
平分线
1. .如图，已知DE⊥BC于E，BE=CE，
AB+AC=15，则⊿ABD的周长（ ）
A.15 B.20 C.25 D.30
A
2.如图，△ABC中，∠C=90°，AB的
中垂线DE交AB于E，交BC于D，
若AB=10，AC=6，
则△ACD的周长为（ ）
A、16 B、14 C、20 D、18
B
D
B
A
C
E
性质 线段垂直平分线上的点到线段两端点的______相等
判定 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的______________上
距离
垂直平分线
1.如图，已知D是AC上一点，
AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE.
求证：BC＝AE.
全等三角形的性质和判定
性质 全等三角形的对应边________
性质 全等三角形的对应角________
性质 全等三角形的对应边上的高________
性质 全等三角形的对应边上的中线________
性质 全等三角形的对应角平分线________
相等
相等
相等
相等
相等
对应相等的元素 三角形是否全等
一般
三角形 两边
一角 两边及其夹角 一定(SAS)
两边及其中一边的对角 不一定
两角
一边 两角及其夹边 一定(ASA)
两角及其中一角的对边 一定(AAS)
三角 不一定
三边 一定(SSS)
全等三角形的判定
总结 判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等
常见
结论 (1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；
(2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；
(3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；
(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；
(5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等；
(6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等
１、三角形的两边长分别是 2 和 5，第三边 a 的长可能是（ ）
D
A、1 B、2 C、3 D、4
3＜a＜7
三角形的三边关系：
两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边.
2、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4，则△ABC是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、无法确定
A
变式：在△ABC中，若∠A=∠B+∠C，则△ABC是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、等腰三角形
C
三角形的三个内角之和等于180°.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
110
∠BCD＝ ∠A +∠B
3、如图,在△ABC中,∠A = 40°, ∠B = 70°,则∠BCD＝ 度．
4、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形的（ ）
A
A、中线 B、高线
C、角平分线
D、过一边的中点且和这条边垂 直的直线
5、如图，△ABC中，DE垂直平分AC，AE = 5cm， 若△ABD的周长是20 cm,则△ABC的周长是______.
A
B
C
D
E
30cm
线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
A
C
O
B
l
几何表述：
∵ 是线段AB的中垂线，点C在 上
∴ CA = CB
线段垂直平分线的性质：
6．在△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，交AC于点D，若DC=3，BC=6,则点D到AB的距离是（ ）
A、2 B、 3 C、4 D、6
B
E
角平分线的性质:
角平分线上点到角两边距离相等.
几何表述：
∵点P是∠BAC的平分线上的一点且PB⊥AB,PC ⊥AC,
∴ PB = PC.
例2、如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？
H
D
C
B
A
解：有三组。
在△ABH和△ACH中 ∵AB=AC，BH=CH，AH=AH ∴△ABH≌△ACH（SSS）；
∵BD=CD，BH=CH，DH=DH
∴△DBH≌△DCH（SSS）
在△ABH和△ACH中
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD ∴△ABD≌△ACD（SSS）；
在△ABH和△ACH中
全等三角形识别思路探索
如图，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，请补充一个条件-----------------------，使△ABC≌ △DCB。
思路1：
找夹角
找第三边
已知两边：
∠ ABC=∠DCB （SAS）
AC=DB （SSS）
A
B
C
D
如图，已知∠C= ∠D，要识别△ABC≌ △ABD，需要添加的一个条件是------------------。
思路2：
找任一角
已知一边一角
（边与角相对）
（AAS）
∠CAB=∠DAB
或者
∠CBA=∠DBA
A
C
B
D
如图，已知∠1= ∠2，要识别△ABC≌ △CDA，需要添加的一个条件是-----------------
思路3：
已知一边一角（边与角相邻）：
A
B
C
D
2
1
找夹这个角的另一边
找夹这条边的另一角
找边的对角
AD=CB
∠ACD=∠CAB
∠D=∠B
（SAS）
（ASA）
（AAS）
如图，已知∠B= ∠E，要识别△ABC≌ △AED，需要添加的一个条件是--------------
思路4：
已知两角：
找夹边
找一角的对边
A
B
C
D
E
AB=AE
AC=AD
或 DE=BC
(ASA)
(AAS)
1.已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．求证：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；
分析：①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，
证明：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，
②∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，
1.如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．
（1）求证：△ADE≌△ABF．
（2）求△AEF的面积．
分析：（1）由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由E、F分别为DC、BC中点，得出DE=BF，进而证明出两三角形全等
（2）首先求出DE和CE的长度，再根据S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF得出结果．
证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，
∵E、F为DC、BC中点，
∴DE=BF，
∵在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS）
（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，
且AB=AD=4，DE=BF=0.5×4=2，CE=CF=0.5×4=2，
∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF
=4×4﹣0.5×4×2﹣0.5×4×2﹣0.5×2×2=6．
小结：
找夹角（SAS）
找第三边（SSS）
已知两边
找任一角（AAS）
已知一边一角
（边与角相邻）
找夹这个角的另一边（SAS）
找夹这条边的另一角（ASA）
找边的对角（AAS）
已知两角
找夹边（ASA）
找一角的对边（AAS）
1、全等三角形识别思路：
3、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。
（边与角相对）
2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。
注意：１、“分别对应相等”是关键；
２、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。