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一元二次方程初步
素养目标 数学抽象（MA）；数学运算（AO）
知识目标 掌握一元二次方程的基本概念、一元二次方程的基本解法
4个知识点 一元二次方程的概念，直接开平方法，配方法，公式法
10个类型 类型 能力要求 对应题 例题难度 核心素养等级
一元二次方程的判定 理解 例1 ★ MA-1
方程根的应用 掌握 例2，3 ★★ AO-1
直接开平方法解方程 掌握 例4 ★★ AO-1
配方法解一元二次方程 运用 例5 ★★ AO-1
配方法解含参方程 运用 例6 ★★★ AO-1
因式分解法解方程 掌握 例7 ★ AO-2
因式分解法解含参方程 运用 例8 ★★ AO-2
公式法解一元二次方程 掌握 例9 ★★ AO-1
公式法解含参方程 运用 例10 ★★★ AO-1
判别式与根的关系 掌握 例11，12 ★★★ MA-1
一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．
要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
①整式方程．
②方程中只含有一个未知数．
③方程中未知数的最高次数是．
一元二次方程的一般式：．
其中，为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项．
一元二次方程的根：如果满足，则就是方程的一个根．
类型：一元二次方程的判定（数学抽象1级）
1．判断下列方程是不是一元二次方程．
⑴ （为常数） ⑵ ⑶ ；
⑷ ⑸ ⑹ ；
⑺ （为常数） ⑻ （为常数）．
【解析】⑵是分式方程；⑸是二元方程；⑹整理后是一元一次方程；⑺当时，是一元一次方程；⑻因为永远成立，所以无论 为何值，方程⑻都是一元二次方程．
⑴，⑶，⑷，⑻是一元二次方程．
2．将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
⑴； ⑵ ；
⑶； ⑷
⑴ ；；⑵ ；；⑶ ；
⑷ ；
类型：方程根的应用（数学运算1级）
1．如果一元二次方程有两个根和，那么________，___________．
2．已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为_______．
3．已知是方程的一个根，求代数式的值．
1．0，0；2．；3．∵是方程的一个根，∴，
∴．
类型：方程根的应用（数学运算1级）
1．已知是一元二次方程的根，求：① ；②；③．
2．对于任意的实数，关于的方程总有一根为，求，．
1．∵是一元二次方程的根，∴，
∵，∴①，．
∴②，③．
2．将代入得，整理得
因为无论取何值上式都成立，所以
解得，
直接开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解
例如：解一元二次方程：，则，或，
解得，
类型：直接开平方法解方程（数学运算1级）
用直接开平方法解关于的方程：
1．
2．
3．
4．
1．或，解得，；
2．；
3．或，解得，；
4．当时，，∴，；
当时，无实数根．
配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化成形如的方程，再运用直接开平方的方法求解，即用配方法解方程
例如，解一元二次方程：，，，，或，解得，
类型：配方法解一元二次方程（数学运算1级）
用配方法解方程：
1．；
2．；
3．；
4．
【解析】1．，，
或，即，．
2．，，即，所以，．
3．，，，∴．
4．时；时；时，无解
类型：配方法解含参方程（数学运算1级）
用配方法解关于的方程：
1．（为已知常数）；
2．
3．（、、为常数且）
1．；∴当时，
即；当时，原方程无实数根．
2．当，即时，原方程化为，则方程的解为；
当，即时，原方程化为，，
当时，，∴，
当时，原方程无实数根．
综上所述，时，方程无实数根；且时，；时，．
3．因为，方程两边同除以，得
移项，得，配方
因为，所以，当时，直接开平方得：，
又因为式子前面已有符号“”，所以无论还是，最终结果总是
即；当时，原方程无解．
因式分解法：
因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于，那么这两个因式至少有一个为，即：若，则或；
例如：若，则，
因式分解法的一般步骤：
将方程化为一元二次方程的一般形式；
把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于；
令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；
解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解．
类型：因式分解法解方程（数学运算2级）
用因式分解法解方程：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
⑺
⑴ ，∴．
⑵ ，∴．
⑶，，∴．
⑷，∴
⑸ ，∴
⑹ ，∴
⑺，，∴．
类型：因式分解法解含参方程（数学运算2级）
1．用因式分解法解方程
⑴ （、为常数）
⑵
2．已知关于的一元二次方程的两个实数根一个小于，另一个大于，求的取值范围．
【解析】1．⑴，，，；⑵时，；时，，；
2．，，，∴，．
由题意，或
∴或．
公式法的一般步骤：
①把一元二次方程化为一般式；
②确定的值；
③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；
④若代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．
（因为这样可以减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）
类型：公式法解一元二次方程（数学运算1级）
用公式法解方程：
1．；
2．；
3．；
4．
1．，，
∴．
2．，．
3．，，
∴，．
4．，，
∴
类型：公式法解含参方程（数学运算1级）
公式法解关于x的方程
1．
2．
3．
【解析】1．，；
2．，
3．若，，
若，
若，无解
设一元二次方程为，其根的判别式为：则
①方程有两个不相等的实数根．
②方程有两个相等的实数根．
③方程没有实数根．
例如，，，所以原方程无实数根．
类型：判别式与根的关系（数学抽象1级）
不解方程，直接判断下列方程的解的情况：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸ ⑹（为常数）
⑴ ，有两个不等实根 ⑵ ，有两个相等实根
⑶ ，无实根 ⑷ ，有两个不等实根
⑸ ，有两个相等实根 ⑹ ，方程有两个不等实根．
类型：判别式与根的关系（数学抽象1级）
1．关于的方程有实数根，则整数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
4．若关于的方程有实数根，求的值．
5．已知关于的方程
⑴ 求证：无论为何值，方程总有实根；
⑵ 若等腰，一边，另两边恰好是此方程的两根，求的周长．
【解析】1．B; 2．A; 3．且 4．原方程的判别式为
．
∵原方程有实根，∴，，
根据平方的非负性得
，∴，∴，且，
∴，．
5．⑴
∴无论为何值，方程总有实根.
⑵ 当为底，为腰时，
∴方程有两个相等的实根
∴，即，
此时方程为，解
∴的周长为
当为腰，则方程有一根为3
将代入方程，得，方程为
解得，
∴的周长为，
综上所述，的周长为7或8．
设是方程的两根，求的值．
由题意，，，
∴原式．
若三个方程：，，中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是什么？
设三个方程的判别式分别为，，．如果三个方程均无实根，则，
即，此时三个方程均无实根．故至少一个方程有实数根时，的取值范围是
或．
类型：方程根的应用（数学运算1级）
已知是关于的方程的一个根，则的值是_____________．
【解析】15
类型：方程根的应用（数学运算1级）
已知方程有一个根是，则的值是_________________．
【解析】将带入方程中得，∵ ，∴ ∴
类型：直接开平方法解方程（数学运算1级）
关于的一元二次方程，当时的解为（ ）．
A． B． C． D．无实数根
D
类型：因式分解法解方程（数学运算2级）
方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】D
类型：因式分解法解方程（数学运算2级）
用因式分解法解方程：
⑴
⑵
⑶
⑴，，，．
⑵，，．
⑶令，则，解得，；当时，即无实数根；当时，即，解得．
类型：公式法解方程（数学运算1级）
用公式法解方程：⑴ ⑵
⑴ ，． ⑵ ，．
类型：判别式与根的关系（数学抽象1级）
设是方程的两个实数根（），求的值.
将代入方程，
得 ①
②
由①-②，得，∴
类型：判别式在几何中的应用（数学抽象1级）
设为一个的三条边长，方程有两个相等的实数根，且 满足．
⑴求证：是等腰三角形；
⑵求的值．
⑴ 根据题意，有
∴
∵ 都是正数，∴
∴ ∴是等腰三角形
⑵ ∵
∴
∴
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素养目标 数学抽象（MA）；数学运算（AO）
知识目标 掌握一元二次方程的基本概念、一元二次方程的基本解法
4个知识点 一元二次方程的概念，直接开平方法，配方法，公式法
10个类型 类型 能力要求 对应题 例题难度 核心素养等级
一元二次方程的判定 理解 例1 ★ MA-1
方程根的应用 掌握 例2，3 ★★ AO-1
直接开平方法解方程 掌握 例4 ★★ AO-1
配方法解一元二次方程 运用 例5 ★★ AO-1
配方法解含参方程 运用 例6 ★★★ AO-1
因式分解法解方程 掌握 例7 ★ AO-2
因式分解法解含参方程 运用 例8 ★★ AO-2
公式法解一元二次方程 掌握 例9 ★★ AO-1
公式法解含参方程 运用 例10 ★★★ AO-1
判别式与根的关系 掌握 例11，12 ★★★ MA-1
一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．
要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
①整式方程．
②方程中只含有一个未知数．
③方程中未知数的最高次数是．
一元二次方程的一般式：．
其中，为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项．
一元二次方程的根：如果满足，则就是方程的一个根．
类型：一元二次方程的判定（数学抽象1级）
1．判断下列方程是不是一元二次方程．
⑴ （为常数） ⑵ ⑶ ；
⑷ ⑸ ⑹ ；
⑺ （为常数） ⑻ （为常数）．
【解析】⑵是分式方程；⑸是二元方程；⑹整理后是一元一次方程；⑺当时，是一元一次方程；⑻因为永远成立，所以无论 为何值，方程⑻都是一元二次方程．
⑴，⑶，⑷，⑻是一元二次方程．
2．将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
⑴； ⑵ ；
⑶； ⑷
⑴ ；；⑵ ；；⑶ ；
⑷ ；
类型：方程根的应用（数学运算1级）
1．如果一元二次方程有两个根和，那么________，___________．
2．已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为_______．
3．已知是方程的一个根，求代数式的值．
1．0，0；2．；3．∵是方程的一个根，∴，
∴．
类型：方程根的应用（数学运算1级）
1．已知是一元二次方程的根，求：① ；②；③．
2．对于任意的实数，关于的方程总有一根为，求，．
1．∵是一元二次方程的根，∴，
∵，∴①，．
∴②，③．
2．将代入得，整理得
因为无论取何值上式都成立，所以
解得，
直接开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解
例如：解一元二次方程：，则，或，
解得，
类型：直接开平方法解方程（数学运算1级）
用直接开平方法解关于的方程：
1．
2．
3．
4．
1．或，解得，；
2．；
3．或，解得，；
4．当时，，∴，；
当时，无实数根．
配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化成形如的方程，再运用直接开平方的方法求解，即用配方法解方程
例如，解一元二次方程：，，，，或，解得，
类型：配方法解一元二次方程（数学运算1级）
用配方法解方程：
1．；
2．；
3．；
4．
【解析】1．，，
或，即，．
2．，，即，所以，．
3．，，，∴．
4．时；时；时，无解
类型：配方法解含参方程（数学运算1级）
用配方法解关于的方程：
1．（为已知常数）；
2．
3．（、、为常数且）
1．；∴当时，
即；当时，原方程无实数根．
2．当，即时，原方程化为，则方程的解为；
当，即时，原方程化为，，
当时，，∴，
当时，原方程无实数根．
综上所述，时，方程无实数根；且时，；时，．
3．因为，方程两边同除以，得
移项，得，配方
因为，所以，当时，直接开平方得：，
又因为式子前面已有符号“”，所以无论还是，最终结果总是
即；当时，原方程无解．
因式分解法：
因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于，那么这两个因式至少有一个为，即：若，则或；
例如：若，则，
因式分解法的一般步骤：
将方程化为一元二次方程的一般形式；
把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于；
令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；
解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解．
类型：因式分解法解方程（数学运算2级）
用因式分解法解方程：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
⑺
⑴ ，∴．
⑵ ，∴．
⑶，，∴．
⑷，∴
⑸ ，∴
⑹ ，∴
⑺，，∴．
类型：因式分解法解含参方程（数学运算2级）
1．用因式分解法解方程
⑴ （、为常数）
⑵
2．已知关于的一元二次方程的两个实数根一个小于，另一个大于，求的取值范围．
【解析】1．⑴，，，；⑵时，；时，，；
2．，，，∴，．
由题意，或
∴或．
公式法的一般步骤：
①把一元二次方程化为一般式；
②确定的值；
③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；
④若代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．
（因为这样可以减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）
类型：公式法解一元二次方程（数学运算1级）
用公式法解方程：
1．；
2．；
3．；
4．
1．，，
∴．
2．，．
3．，，
∴，．
4．，，
∴
类型：公式法解含参方程（数学运算1级）
公式法解关于x的方程
1．
2．
3．
【解析】1．，；
2．，
3．若，，
若，
若，无解
设一元二次方程为，其根的判别式为：则
①方程有两个不相等的实数根．
②方程有两个相等的实数根．
③方程没有实数根．
例如，，，所以原方程无实数根．
类型：判别式与根的关系（数学抽象1级）
不解方程，直接判断下列方程的解的情况：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸ ⑹（为常数）
⑴ ，有两个不等实根 ⑵ ，有两个相等实根
⑶ ，无实根 ⑷ ，有两个不等实根
⑸ ，有两个相等实根 ⑹ ，方程有两个不等实根．
类型：判别式与根的关系（数学抽象1级）
1．关于的方程有实数根，则整数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
4．若关于的方程有实数根，求的值．
5．已知关于的方程
⑴ 求证：无论为何值，方程总有实根；
⑵ 若等腰，一边，另两边恰好是此方程的两根，求的周长．
【解析】1．B; 2．A; 3．且 4．原方程的判别式为
．
∵原方程有实根，∴，，
根据平方的非负性得
，∴，∴，且，
∴，．
5．⑴
∴无论为何值，方程总有实根.
⑵ 当为底，为腰时，
∴方程有两个相等的实根
∴，即，
此时方程为，解
∴的周长为
当为腰，则方程有一根为3
将代入方程，得，方程为
解得，
∴的周长为，
综上所述，的周长为7或8．
设是方程的两根，求的值．
若三个方程：，，中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是什么？
类型：方程根的应用（数学运算1级）
已知是关于的方程的一个根，则的值是_____________．
类型：方程根的应用（数学运算1级）
已知方程有一个根是，则的值是_________________．
类型：直接开平方法解方程（数学运算1级）
关于的一元二次方程，当时的解为（ ）．
A． B． C． D．无实数根
类型：因式分解法解方程（数学运算2级）
方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
类型：因式分解法解方程（数学运算2级）
用因式分解法解方程：
⑴
⑵
⑶
类型：公式法解方程（数学运算1级）
用公式法解方程：⑴ ⑵
类型：判别式与根的关系（数学抽象1级）
设是方程的两个实数根（），求的值.
类型：判别式在几何中的应用（数学抽象1级）
设为一个的三条边长，方程有两个相等的实数根，且 满足．
⑴求证：是等腰三角形；
⑵求的值．
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