(共23张PPT)
新浙教版数学八年级（上）
2.3 等腰三角形的性质定理(1)
A
C
B
腰
腰
底边
底角
底角
顶角
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
有两边相等的三角形叫等腰三角形！
探索问题1：
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查
一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
1、什么叫轴对称图形和轴对称？
答：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
2、轴对称与轴对称图形的联系和区别是什么？
对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成轴对称。这条直线就是对称轴。
探索问题2：
1、角是轴对称图形吗？对称轴是什么？性质有哪些？
答：是，对称轴是角平分线所在的直线
角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、线段是轴对称图形吗？对称轴是什么？性质有哪些呢？
答：是，对称轴是它的垂直平分线，线段的垂直平分线到线段的两个端点的距离相等。
探索问题3：
在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于D.
(1)若将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的像
是什么
D
A
B
C
(2)找出图中的全等三角形以及所有相等
的线段和相等的角.你的依据是什么
所得的像是△ACD
△ABD≌△ACD
相等的线段:
AB=AC,BD=CD,AD=AD
相等的角:
∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC.
依据:
轴对称变换的性质—轴对称变换不改变图形的形状和大小.
(3) 你有什么发现 能得出等腰三角形的哪些性质
等腰三角形的两个底角相等。
A
B
C
D
已知： △ABC 中，AB＝AC
证明：作底边BC边上的中线AD。
在△ABD与△ACD中：
AB＝AC（已知）
BD＝DC（作图）
AD＝AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
A
B
C
求证：∠B＝∠C 。
方法二：作顶角∠BAC的平分线AD。
∵AD平分∠BAC
∴∠1＝∠2
在△ABD与△ACD中
AB＝AC（已知）
∠1＝∠2（已证）
AD＝AD（公共边）
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）
∴ ∠B＝∠C
A
C
B
`D
方法三：作底边BC的高AD。
∵AD⊥BC
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°
在△ABD与△ACD中
∠ADB ＝∠ADC＝90°
AB＝AC（已知）
AD＝AD（公共边）
∴ △ABD ≌ △ACD（HL）
∴ ∠B＝∠C
1
1
2
A
B
C
D
性质一:等腰三角形两个底角相等(等边对等角)
运用格式: ∵ AB=AC ∴ ∠B＝∠C
用符号语言表示为：
在△ABC中，
∵ AC=AB（ 已知）
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形的性质1：
得出结论：
（等边对等角）
例1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°
求：∠B、∠C的度数。
A
B
C
解： 在△ABC中
∵ AB=AC
∴∠B=∠C （等腰三角形
的两个底角相等）
∵ ∠A+∠B+ ∠C= 180°， ∠A= 50°
∴∠B=∠C=
180°- ∠A
2
180°- 50°
2
=
= 65°
2、已知：在等腰△ABC中，∠B=800,
求：∠ C 和 ∠A的度数？
A
B
C
800
（图一）
B
A
C
800
（图二）
讨论：
∠B的位置有几种可能？
（可能是底角或顶角）
分析：
当∠B为底角时， ∠C为800，
∠A为200；
当∠B为顶角时， ∠C为500，
∠A为500。
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为:
75°, 30°
70°,40°或55°,55°
35°,35°
小试牛刀
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为:
3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为:
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180°
⑤0°＜底角＜90°
结论:在等腰三角形中,
1、填空题：
（1）等腰三角形一边长为3cm，另一边长为4cm，则它的周长是_________。
（2）有一个角是40°的等腰三角形，其它两个内角为______________________________。
2、选择题：
（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，则∠B的度数 是（ ）
A．62° B．58° C．72° D．84°
（2）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
3、如图，已知△ABC中，AB=AD=DC, ∠BAD=40°，求∠B和∠C的度数。
10或11
40°和100°或70 °和70 °
C
A
解：∵AB=AD=DC，
∴ ∠B =∠ADB，∠DAC=∠ACD,
∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°∠BAD=40°
∴∠B= ∠ADB=70°
∵∠ADB=∠DAC+∠C,
∴ ∠C= 35 °
⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
__________________.
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180°
⑤0°＜底角＜90°
结论:在等腰三角形中,
40 °
35 °，35 °
70°,40° 或 55°,55°
1.如图：在三角形ABC中，AB=AC ， D在 AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各内角的度数？
A
C
B
D
讨论：
2、∠A与哪些角相等？
1、∠C与哪些角相等？
（∠3、 ∠ABC ）
1
2
3
（ ∠1、 ∠2 ）
3、 ∠C与∠A是什么关系？
（ ∠C=2 ∠A ）
解：∵BD=AD, ∴ ∠1= ∠A
∵ ∠3= ∠1+ ∠A, ∴ ∠3=2 ∠A
∵ BD=BC, ∴ ∠3= ∠C, ∴ ∠C=2 ∠A
∵ AB=AC, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=1800, ∴ 5 ∠A=1800,
∴ ∠A=360, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A=720登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.3 等腰三角形的性质定理（1） （巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、如图1，在△ABC 中，AB=AC， ( http: / / www.21cnjy.com )D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE= DF，并说明理由．21教育网
2、如图2, 在△ABC 中，AB=AC，BE与CD分别是∠ABC与∠ACB的平分线,则BE与CD相等吗 请说明理由.www-2-1-cnjy-com
3、如图3，已知：△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且，求的度数.
4、如图4，已知：中，，D是AC上一点，且AD=BD=BC，求的度数.
第二部分
1.等腰三角形的一个底角是30°，则它的顶角是……………………（ ）
A. 30° B. 40° C. 75° D. 120°【来源：21cnj*y.co*m】
2.小明由A点出发向正东方向走10米到达B ( http: / / www.21cnjy.com )点，再由B点向东南方向走10米到达C点，则正确的是……………………………………………………………（ ）
A. ∠ACB=22.5° B. ∠ACB=45° C. ∠ACB=67.5° D. ∠ACB=135°
3.如图7，已知：AB∥EF，CE=CA，∠E=65°，则∠CAB的度数为…（ ）
A. 25° B. 50° C. 60° D. 65°【出处：21教育名师】
4. 如图8,在△中，已知 ，垂直平分，°，则的度数是……………………………………………………………………………………（ ）
A. 15° B.30° C. 50° D. 65°
5.夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图9，中塔 ( http: / / www.21cnjy.com )左右两边所挂的最长钢索AB=AC,塔柱底端D与点B间的距离是228米，则BC的长是 米．【版权所有：21教育】
6. 等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为 .
7.如图10，△ABC沿折叠后，点落在边上的处，若点为边的中点，=50°，则的度数为 .21教育名师原创作品
8. 若等腰三角形中有两个角之比为1∶4, 则此等腰三角形的顶角为 .
9.如图12，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB = AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点，请写出图中两组全等的三角形，并选出其中一组加以说明理由．
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )3、如图3，已知：△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且，求的度数.
【分析】题中所要求的在中，但仅靠是无法求出来的. 因此需要考虑和在题目中的作用. 此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系. 因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系来求. 21cnjy.com
解：∵，∴.
∵，∴；
∵，∴（一个三角形中,等边对等角）
而
∴
∴
又∵,
即, ∴, 即求得
4、如图4，已知：中，，D是AC上一点，且AD=BD=BC，求的度数.
【分析】图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系. 因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系来求.21世纪教育网版权所有
解：设=x. ∵AD=BD, ∴∠A=∠ABD=x.
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x.
∵BD=BC, ∴∠C=∠BDC=2x. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C=2x.
∵△ABC的内角和是180°, ∴x+2x+2x=180°, ∴x=36°.
第二部分
1.等腰三角形的一个底角是30°，则它的顶角是……………………（ ）
A. 30° B. 40° C. 75° D. 120°www.21-cn-jy.com
答案：D.
2.小明由A点出发向正东方向走10米到 ( http: / / www.21cnjy.com )达B点，再由B点向东南方向走10米到达C点，则正确的是……………………………………………………………（ ）
A. ∠ACB=22.5° B. ∠ACB=45° C. ∠ACB=67.5° D. ∠ACB=135°
解析：根据题意画图可知, 中,AB=BC, ∠ABC=135°,则∠ACB=∠BAC=22.5°.
答案：A
3.如图7，已知：AB∥EF，CE=CA，∠E=65°，则∠CAB的度数为…（ ）
A. 25° B. 50° C. 60° D. 65°21·cn·jy·com
答案：B
4. 如图8,在△中，已知 ，垂直平分，°，则的度数是……………………………………………………………………………………（ ）
A. 15° B.30° C. 50° D. 65°
解析：∵垂直平分，∴AD=CD, 则∠ACD=∠A=50°. ∵,∴∠ACB=∠B=65°.则可求.2·1·c·n·j·y
答案：A
5.夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图 ( http: / / www.21cnjy.com )9，中塔左右两边所挂的最长钢索AB=AC,塔柱底端D与点B间的距离是228米，则BC的长是 米．21·世纪*教育网
答案：556.
6. 等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为 .
解析：若与顶角相邻的外角是110°,则顶角为70°,两个底角各为55°;若与底角相邻的外角是110°,则底角为70°,顶角为40°.2-1-c-n-j-y
答案：70°, 70°, 40°.或55°, 55°, 70°.
7.如图10，△ABC沿折叠后，点落在边上的处，若点为边的中点，=50°，则的度数为 . 21*cnjy*com
解析：∵△ABC沿折叠, ∴BD=AD=A/D,则∠BA/D=∠B=50°,然后可求.
答案： 80°
8. 若等腰三角形中有两个角之比为1∶4, 则此等腰三角形的顶角为 .
解析：分两种情况讨论.
9.如图12，在△ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )= AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点，请写出图中两组全等的三角形，并选出其中一组加以说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
分析：根据题意可得三对全等三角形: △ABE≌△ACD, △CBD≌△BCE, △FBD≌△FCE
解：全等的三角形有: △ABE≌△ACD, △CBD≌△BCE.
选△ABE≌△ACD说明.
∵AB=AC，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=AE. ∵∠A=∠A, ∴△ABE≌△ACD(SAS)
图1
图2
图3
图4
图8
图10
图9
图7
图12
图4
图8
图10
图9
图7
图12
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 6 页 （共 7 页） 版权所有@21世纪教育网
