浙教版八上数学第一章：三角形的初步知识培优训练（一）
一．选择题：
1.下列命题：① 邻补角互补；② 对顶角相等；③ 同旁内角互补；④ 两点之间线段最短；
⑤直线都相等.其中真命题有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
已知两个直角三角形全等，其中一个直角三角形的面积为3，斜边为4，则另一个直角三
角形斜边上的高为（ ）
A. B. C. D.6
3.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=∠2=45° D．∠1=40°，∠2=40°
如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CE相交于O点，且BD交AC
于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△
BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE，上述结论一定正确的是（ ）
A.①②③ B.②③④ C.①③⑤ D.①③④
5.如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（ ）
A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE21教育网
6. △ABC中, AC=5, 中线AD=7, 则AB边的取值范围是（ ）
A. 1
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是的角平分线，,，垂足分别为E，F．则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到边AB，AC的距离相等；③BD＝CD ，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF．其中，正确的个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能的是（ ）21cnjy.com
A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D.
9.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）www.21-cn-jy.com
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
10.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④
二．填空题
已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：
________________________________________，该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2 cm,CD⊥AB，在AC上取一点E,使EC＝BC，
过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝ cm.
13.如图所示，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且
OD=3，则△ABC的面积是
14.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是
E，F．则下面结论中①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上的点到B、C两点的距离相
等；④图中共有3对全等三角形，正确的有：
15.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=
16.如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=
17.如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是_____
18.如图，为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结
论正确的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①AP平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④≌△QSP．
19.图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，则△ACD__________21世纪教育网版权所有
20.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE，BE，GD的等量关系为_____________
三．解答题
下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命
题，同时判断原命题和逆命题的真假． （一个角的补角比这个角的余角大多少度？ （2）垂线段最短，对吗？ （3）等角的补角相等． （4）两条直线相交只有一个交点． （5）同旁内角互补． （6）邻补角的角平分线互相垂直.21·cn·jy·com
22.如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
23..如图所示, 已知AB=DC, AE=DF, CE=BF, 试说明: AF=DE.
24.．请你找一张长方形的纸片，按以下步骤进行动手操作：
步骤一：在CD上取一点P，将角D和角C向上翻折，这样将形成折痕PM和PN，如图①所示；
步骤二：翻折后，使点D，C落在原长方形所在的平面内，即点D′和C′，细心调整折痕PN，PM的位置，使PD′，PC′重合，如图②，设折角∠MPD′＝∠α，∠NPC′＝∠β.
(1)猜想∠MPN的度数；
(2)若重复上面的操作过程，并改变∠α的大小，猜想：随着∠α的大小变化，∠MPN的度数怎样变化？
25.如图，AC＝AE，∠BAM＝∠BND＝∠EAC， 图中是否存在与△ABE全等的三角形?并证明．
浙教版八上数学第一章：三角形的初步知识培优训练（一）答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
D
D
D
D
A
A
B
解答题
21.分析：根据命题的定义先判断出哪些是命题，再把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面．再将题设与结论互换写出它的逆命题.21世纪教育网版权所有
解：对一件事情做出判断的句子是命题，因为（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题． （3）如果两个角相等，那么它们的补角相等，真命题；21教育网
逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，真命题. （4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，真命题；21cnjy.com
逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交，真命题. （5）如果两个角是同旁内角，那么它们互补，假命题；21·cn·jy·com
逆命题：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角，假命题. （6）如果两条射线是邻补角的角平分线，那么它们互相垂直，真命题；
逆命题：如果两条射线垂直，那么这两条射线是邻补角的角平分线，假命题.
22.解：（1）如图所示：
（2）DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC．
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24.解：(1)因为∠α＝∠MPD，∠β＝∠NPC，
又因为∠α＋∠β＋∠MPD＋∠NPC＝180°，
所以∠α＋∠β＝90°，即∠MPN＝90°.
(2)∠MPN的度数不变，仍为90°.
浙教版八上数学第一章：三角形的初步知识培优训练（二）
解答题
1.如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由．21世纪教育网版权所有
2.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：
（1）△ABE≌△AFE；
（2）∠FAD=∠CDE．
3.问题背景：
如图1：在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；21教育网
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．21cnjy.com
4．如图，已知△ABC中，BD、CE是高，F是BC中点，连接DE、EF和DF， (1)求证：△DEF是等腰三角形．(2)若∠A＝45°，试判断△DEF的形状，并说明理由． (3)若∠A：∠DFE＝5：2，BC=4，求△DEF的面积．www.21-cn-jy.com
5.我们提供如下定理：在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，如图(，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB.2·1·c·n·j·y
请利用以上定理及有关知识，解决下列问题：
如图(边长为6的等边三角形ABC中，点D从A出发，沿射线AB方向有A向B运动点F同时从C出发，以相同的速度沿着射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，DF交射线AC于点G.
当点D运动到AB的中点时，直接写出AE的长;
当DF⊥AB时，求AD的长及△BDF的面积；
（3）小明通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当点D运动到图3的情况时，EG的长始终等于AC的一半吗？若改变，说明理由，若不变，说明理由.【来源：21·世纪·教育·网】
6.已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图1摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H． （1）当α=30°时（如图2），求证：AG=DH； （2）当α=60°时（如图3），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； （3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中（如图4），你能作一个猜想吗？写出你的猜想（不必说明理由）21·世纪*教育网
7.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．21·cn·jy·com
（1）如图（1），当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，求出∠BCE的度数．
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图（2），当点D在线段BC上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由.
②当点D在直线BC上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
浙教版八上数学第一章：三角形的初步知识培优训练（二）答案
1.解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠3＋∠4＝∠4＋∠5，
∴∠3＝∠5，
在△ACD中，∠ACD＝90°，
∴∠2＋∠D＝90°，
∵∠BAE＝∠1＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠D，
2..证明：（1）∵EA是∠BEF的角平分线，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS）；
（2）∵△ABE≌△AFE，
∴AB=AF，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB=CD，AD∥CB，AB∥CD，
∴AF=CD，∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠AFE，∠AFE+∠AFD=180°，
∴∠AFD=∠C，
在△AFD和△DCE中，
，
∴△AFD≌△DCE（AAS），
∴∠FAD=∠CDE．
3.解：问题背景：EF=BE+DF；
探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．
证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
， ∴△AEF≌△GAF（SAS）， ∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF；
实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°， ∠EOF=70°， ∴∠EAF=∠AOB，
又∵OA=OB， ∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF=AE+BF成立， 即EF=1.5×（60+80）=210海里．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
4.(1)证明：∵BD、CE是高，F是BC中点，∴，∴△DEF是等腰三角形．
解：(2) △DEF是等腰直角三角形；理由：∵∠A＝45°，∴∠EBF+∠DCF=180°-45°=135°，
∵，∴∠EBF=∠FEB，同理，∠DCF =∠FDC，∴∠FEB +∠FDC =135°，∴∠BFE +∠CFD=180°+180°-135°-135°=90°，∴∠DFE=180°-90°=90°，∴△DEF是等腰直角三角形．21世纪教育网版权所有
(3) 作EG⊥DF于G，设∠A＝5，∠DFE＝2，
则∠FEB +∠FDC =∠EBF+∠DCF=，
∴∠BFE +∠CFD=180°+180°--
=，显然有，
∴∠DFE＝2，∵BC=4，∴DF=EF=2，
∴EG=1，∴△DEF面积1
5.解：(1)AE=
设AD=x ∴CF=x 则BD=6-x，BF=6+x
∵∠B=60°，∠BDF=90° ∴BF=2BD 即6+x=2×(6-x)
∴x=2即AD=2 ∴BD=4,DF=
∴S△BDF=×4×=
不变，理由如下
如图，过F作FM⊥AG延长线于M
易知△DEG≌△FMG,CM=AE,FG=GM
∴AC=AE+EC=CM+CE=FG+GM=2GE
6.解：（1）∵α=30°， ∴∠ADM=30°， ∵∠A=30°， ∴∠ADM=∠A． ∴AM=DM． 又∵MG⊥AD于G， ∴AG=AD． ∵∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°，∠B=60°， ∴△CDB是等边三角形． 又∵CH⊥DB于H， ∴DH=DB． ∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴BC=AB． ∵BC=BD， ∴AD=DB． ∴AG=DH． （2）结论成立．理由如下： 在△AMD与△DNB中，∠A=∠NDB=30°，AD=DB，∠MDA=∠B=60°， ∴△AMD≌△DNB， ∴AM=DN． 又∵在△AMG与△DNH中，∠A=∠NDB，∠MGA=∠NHD=90°， ∴△AMG≌△DNH． ∴AG=DH． （3）AG=DH21教育网
7.解：（1）∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE，∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB，又∵∠BAC=90° ∴∠BCE=90°；．21cnjy.com
（2）①α+β=180°， 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．
