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2.3 等腰三角形的性质定理（2） （巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、如图1,已知线段a, b,用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使得底边BC=a,顶角平分线的长等于b.【来源：21cnj*y.co*m】
2、如图2，△ABC沿折叠后，点落在边上的处，若点为边的中点，=50°，则的度数为 .【版权所有：21教育】
3、如图3，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且AD=AE．试用两种方法说明BD=CE成立的理由．21教育名师原创作品
4、如图4，在△ABC中，AB = AC ( http: / / www.21cnjy.com )，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点，请写出图中两组全等的三角形，并选出其中一组加以说明理由．
第二部分
1、△ABC中，AB=AC．点D在BC边上,∵AD平分∠BAC，∴BD=___；____⊥___ .
2、△ABC中，AB=AC．点D在BC边上,∵AD是中线，∴∠________=∠________；________⊥________.21cnjy.com
3、△ABC中，AB=AC,点D在BC边上,∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=CD．
4、已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆 ( http: / / www.21cnjy.com )家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的………………………………………（ ）
A. 南偏东50° B. 南偏东40° C. 北偏东50° D. 北偏东40°
5、 如图13, D、E分别是ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则………………………………………（ ）21·cn·jy·com
A. 当∠B为定值时，∠CDE为定值
B. 当α为定值时，∠CDE为定值
C. 当β为定值时，∠CDE为定值
D. 当γ为定值时，∠CDE为定值
6、如图6，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC-BD，则∠B∶∠C的值是___________.2-1-c-n-j-y
15.如图15,BD与CE相交于点A,且A ( http: / / www.21cnjy.com )B=AC,AD=AE. △ABC的中线AG的反向延长线交DE于点F.则AF与DE垂直吗 说明理由.【出处：21教育名师】
16.如图16，△ABC中，AB＝AC，BD=CF，BE=CD，∠FDE＝58°，求∠A的度数.
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )3、如图3，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且AD=AE．试用两种方法说明BD=CE成立的理由．21世纪教育网版权所有
分析：利用三角形全等或添一条底边上的高线,利用”三线合一”来解.
解：解法一： ∵AB=AC，∴ ∠B=∠C.
∵AD=AE，∴ ∠ADE=∠AED.
∴∠ADB=∠AEC, ∴△ABD≌△ACE(AAS). ∴AD=AE.
解法二：如图,画AF⊥BC于点F.
∵AB=AC，AF⊥BC, ∴BF=CF.
∵AD=AE，AF⊥BC, ∴DF=EF. ∴AD=AE.
4、如图4，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB = AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点，请写出图中两组全等的三角形，并选出其中一组加以说明理由．www.21-cn-jy.com
分析：根据题意可得三对全等三角形: △ABE≌△ACD, △CBD≌△BCE, △FBD≌△FCE
解：全等的三角形有: △ABE≌△ACD, △CBD≌△BCE.
选△ABE≌△ACD说明.
∵AB=AC，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=AE. ∵∠A=∠A, ∴△ABE≌△ACD(SAS)
第二部分
1、△ABC中，AB=AC．点D在BC边上,∵AD平分∠BAC，∴BD=___；____⊥___ .
答案：CD AD BC
2、△ABC中，AB=AC．点D在BC边上,∵AD是中线，∴∠________=∠________；________⊥________.21教育网
答案：BAD CAD AD BC
3、△ABC中，AB=AC,点D在BC边上,∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=CD．
答案：BAD CAD BD
4、已知外婆家在小明家的正东方，学校在 ( http: / / www.21cnjy.com )外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的………………………………………（ ）
A. 南偏东50° B. 南偏东40° C. 北偏东50° D. 北偏东40°
答案：D
5、 如图13, D、E分别是ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则………………………………………（ ）2·1·c·n·j·y
A. 当∠B为定值时，∠CDE为定值
B. 当α为定值时，∠CDE为定值
C. 当β为定值时，∠CDE为定值
D. 当γ为定值时，∠CDE为定值
解析：如图, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C=. 又AD=AE, ∴∠ADE=∠AED= . ∴∠CDE=∠AED-∠C=.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：B
6、如图6，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC-BD，则∠B∶∠C的值是___________.21·世纪*教育网
解析：在AC上截取AE=AB, 连 ( http: / / www.21cnjy.com )结DE. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠EAD, 又AD=AD, ∴△ADB≌△ADE, ∴∠AED=∠B且BD=DE. ∵AB=AC- BD, ∴BD=EC, ∴∠C=∠EDC, ∴∠B=∠AED=2∠C.www-2-1-cnjy-com
答案：2∶1
15.如图15,BD与CE相交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )A,且AB=AC,AD=AE. △ABC的中线AG的反向延长线交DE于点F.则AF与DE垂直吗 说明理由. 21*cnjy*com
解：∵AB=AC, AG是BC边上的中线, ∴AG⊥BC.
∵AB=AC, AD=AE, ∴∠B=∠C, ∠D=∠E.
又∵∠BAC=∠DAE, ∴∠B=∠C=∠D=∠E.
∴DE∥BC, ∴AG⊥DE, 即AF⊥DE.
16.如图16，△ABC中，AB＝AC，BD=CF，BE=CD，∠FDE＝58°，求∠A的度数.
解：∵AB=AC, ∴∠B=∠C. 又∵BD=CF，BE=CD，
∴△BDE≌△CFD, ∴∠BDE=∠CFD.
∵∠FDE＝58°, ∴∠BDE+∠FDC=122°, ∴∠CFD+∠FDC=122°.
∴∠C=58°, ∴∠A=180°-2∠C=64°.
图1
图2
图3
图4
图13
A
B
C
D
图6
图15
图16
图3
图4
图13
A
B
C
D
图6
图15
图16
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新浙教版数学八年级（上）
2.3 等腰三角形的性质定理(2)
（1）等腰三角形的一个内角为100°，
求其余各角。
（2）等腰三角形的一个内角为40°，
求其余各角。
（3）等腰三角形的一个内角为60°，
求其余各角。
40°和40°
40°和100°或70°和70°
60°和60°
A
C
B
腰
腰
底边
底角
底角
顶角
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
有两边相等的三角形叫等腰三角形！
等腰三角形的性质:
A
C
B
1
2
1 .等腰三角形的两个底角相等 （简写“等边对等角”）
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
腰
腰
底角
性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（通常说成等腰三角形的“三线合一”）
性质2可分解成下面三个方面来理解：
1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。
应用格式：∵AB＝AC ∠1＝∠2（已知）
∴BD＝DC AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。
应用格式：∵AB＝AC BD＝DC （已知）
∴AD⊥BC ∠1＝∠2 （等腰三角形三线合一）
3、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。
应用格式：∵AB＝AC AD⊥BC （已知）
∴BD＝DC ∠1＝∠2 （等腰三角形三线合一）
A
B
C
D
2
1
等腰三角形的性质
文字叙述
几何语言
等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）
∵AB=AC
∴∠B=∠C
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边（简称三线合一）
①∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC，BD=CD
②∵AB=AC， AD⊥BC ∴ ∠1=∠2 ，BD=CD
③∵AB=AC， BD=CD ∴ ∠1=∠2 ， AD⊥BC
例1 求证:等腰三角形两底角的平分线相等.
证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACB(已知),
∴∠1=∠2(等式性质).
在△BDC与△CEB中
∵∠DCB=∠ EBC（已知）,
BC=CB（公共边）,
∠1=∠2（已证）,
∴△BDC≌△CEB（ASA）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分线.
求证:BD=CE.
A
C
B
D
●
1
E
●
2
求证:等腰三角形两腰上的中线相等.
证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵CM= AC,BN= AB(已知),
∴CN=BM(等式性质).
在△BMC与△CNB中
∵ BC=CB（公共边）,
∠MCB=∠NBC（已知）,
CM=BN（已证）,
∴△BMC≌△CNB（SAS）.
∴BM=CN(全等三角形的对应边相等)
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线.
求证:BM=CN.
A
C
B
M
N
求证:等腰三角形两腰上的高相等.
证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知),
∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义).
在△BPC与△CQB中
∵∠BPC=∠CQB（已证）,
∠PCB=∠QBC（已证）,
BC=CB（公共边）,
∴△BPC≌△CQB（AAS）.
∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高.
求证:BP=CQ.
A
C
B
P
Q
△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，
DF⊥AC于F DE ⊥ AB 于E .求证：DE＝DF。
A
B
C
D
E
F
方法一：证明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）
∴∠BED＝∠CFD
又∵D是BC中点（已知）
∴BD＝DC
∵AB＝AC（已知）
∴∠B＝∠C（等边对等角）
在△DBE与△DCF中
∠DEB＝∠DFC（已证）
∠B＝∠C（已证）
BD＝DC（已证）
∴ △BDE ≌ △CDF（AAS）
∴DE＝DF
方法二：连AD 。
∵AB＝AC，BD＝DC（已知）
∴AD是∠BAC的平分线。
（等腰三角形三线合一）
又∵DE⊥AB DF⊥AC
∴DE＝DF
（角平分线上的点到这个
角的两边距离相等）
5、已知线段a, h(如图),用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a, BC边上的高为h.
等腰三角形的性质
文字叙述
几何语言
等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）
∵AB=AC
∴∠B=∠C
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边（简称三线合一）
①∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC，BD=CD
②∵AB=AC， AD⊥BC ∴ ∠1=∠2 ，BD=CD
③∵AB=AC， BD=CD ∴ ∠1=∠2 ， AD⊥BC
判断下列语句是否正确。
（1）等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合。（ ）
（2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个
内角也为60°. （ ）
（3）等腰三角形的底角都是锐角. （ ）
（4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）
×
×
填空：在△ABC中，AB＝AC， D 在BC上，
1、如果AD⊥BC，那么∠BAD = ∠______,
BD = ______
2、如果∠BAD= ∠CAD，那么AD⊥___, BD = ____
3、如果BD=CD,那么∠BAD =∠ _____， AD⊥___,
∠ADB =∠ _____=___°
D
CAD
CD
BC
CD
CAD
BC
ADC
90
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30。.求∠１和∠ADC的度数．
∵ AB=AC，D是BC边上的中点
∠ADC＝ 90°
∵ ∠BAC=180°-30°-30°=120°
（三线合一）
如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。 求证：AH=2BD
A
B
C
D
E
H
证明：∵AB=AC,AD是高(已知)∴BC=2BD（三线合一）
⌒
1
⌒
2
又∵BE是高（已知）∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°（垂直的定义）
在△AEH和△BEC中
∴△AEH≌△BEC(ASA)
∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴ ∠1=∠2（同角的余角相等）
︸
∠AEH=∠BEC
AE=BE
∠1=∠2
∴AH=BC（全等三角形的性质）
∴AH=2BD（等量代换）
D
作△ABC的中线AD，交底边BC于D。
D
┌
作△ABC的高AD，垂直底边BC于D。
D
作顶角的平分线AD.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
等腰三角形常见辅助线
1
2
1.如图：在三角形ABC中，AB=AC ， D在 AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各内角的度数？
A
C
B
D
讨论：
2、∠A与哪些角相等？
1、∠C与哪些角相等？
（∠3、 ∠ABC ）
1
2
3
（ ∠1、 ∠2 ）
3、 ∠C与∠A是什么关系？
（ ∠C=2 ∠A ）
解：∵BD=AD, ∴ ∠1= ∠A
∵ ∠3= ∠1+ ∠A, ∴ ∠3=2 ∠A
∵ BD=BC, ∴ ∠3= ∠C, ∴ ∠C=2 ∠A
∵ AB=AC, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=1800, ∴ 5 ∠A=1800,
∴ ∠A=360, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A=720
∵AB=AC，∠1=∠2
∴________________
AD⊥BC或BD=CD
∵AB=AC，AD⊥BC
∴________________
∠1=∠2 或BD=CD
∵AB=AC，
∴∠1=∠2 或 AD⊥BC
等腰三角形“三线合一”的性质
几何语言：
__________
BD=CD
思考题：
如图所示，已知下列两个
三角形，思考怎样把每个三角形只剪一次，将它分成两个等腰三角形？试一试，你一定会成功的。
120°
20 °
40 °
100 °
20 °
60 °
120°
20 °
40 °
20 °
100 °
20 °
60 °
20 °
等腰三角形
概念
性质
等边对等角
三线合一
有两边相等的三角形
腰、底、顶角、底角
