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2.4 等腰三角形的判定定理 （巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、如图1，C是∠AOB平分线OC上一点，CD∥OB与OA交于点D，则△COD是等腰三角形．请说明理由.21cnjy.com
2、如图2, △ABC中,BC=8,BO与CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线,OD∥AB,OE∥AC.求△ODE的周长.21·cn·jy·com
3、如图3，三角形纸片的三个内角分别为2 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，60°，100°，请你把这张纸片剪一刀，分成2张纸片，使每张纸片都是等腰三角形．你能办到吗 请画出示意图说明剪法。
4、如图，在下列三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D．(1)(3)(4)
第二部分
1. 等腰△ABC中，顶角∠A=40°，则一个底角∠B= 度．
2.在△ABC中,若∠A=∠C,则 = .
3. 在△ABC中,已知∠A=65°,∠C=50°,则△ABC是 三角形.
4.如果一个三角形有两个外角相等,那么这个三角形是 三角形.
5.如图7，上午8时，一条船从A处出发，以 ( http: / / www.21cnjy.com )15海里/时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离_______．21世纪教育网版权所有
6.若三角形一个外角的平分线平行于第三边,则这个三角形一定是
三角形.
7.如图8,BD与CE交于点A,AB=AC,DE∥BC.则△ADE是等腰三角形,请说明理由.
8. 如图9,把一张对边平行的纸条如图折叠，则重合部分必是等腰三角形.请说明理由.
9. 如图10， ABC中，D、E分别是A ( http: / / www.21cnjy.com )C、AB上的点，BD与CE交于点O. 给出下列四个条件：①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB＝OC.
(1) 上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
(2) 选择第(1)小题中的一种情形，试说明△ABC是等腰三角形.
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )
4、如图，在下列三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D．(1)(3)(4)
答案：D
第二部分
1. 等腰△ABC中，顶角∠A=40°，则一个底角∠B= 度．
答案：70°
2.在△ABC中,若∠A=∠C,则 = .
答案：AB=BC
3. 在△ABC中,已知∠A=65°,∠C=50°,则△ABC是 三角形.
答案：等腰
4.如果一个三角形有两个外角相等,那么这个三角形是 三角形.
答案：等腰
5.如图7，上午8时，一条 ( http: / / www.21cnjy.com )船从A处出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离_______．
答案：30海里
6.若三角形一个外角的平分线平行于第三边,则这个三角形一定是
三角形.
答案：等腰三角形
7.如图8,BD与CE交于点A,AB=AC,DE∥BC.则△ADE是等腰三角形,请说明理由.
解：∵AB=AC, ∴∠B=∠C.
∵DE∥BC, ∴∠D=∠B, ∠E=∠C.
∴∠D=∠E, ∴△ADE是等腰三角形.
8. 如图9,把一张对边平行的纸条如图折叠，则重合部分必是等腰三角形.请说明理由.
解：由题意, 得∠EAC=∠BAC. ∵DC∥AB, ∴∠ECA=∠BAC.
∴∠EAC=∠ECA, 即△EAC是等腰三角形.
9. 如图10， ABC中，D、E分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是AC、AB上的点，BD与CE交于点O. 给出下列四个条件：①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB＝OC.21教育网
(1) 上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
(2) 选择第(1)小题中的一种情形，试说明△ABC是等腰三角形.
解：(1) ①③或①④或②③或②④.
(2) 如②④.
∵OB=OC, ∴∠OCB=∠OBC. 又∠BEO=∠CDO, BC=CB.
∴△EBC≌△DCB, ∴∠EBC=∠DCB, ∴△ABC是等腰三角形.
图2
图3
图7
图8
图9
图10
图7
图8
图9
图10
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新浙教版数学八年级（上）
2.4 等腰三角形的判定定理
你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗
推论:
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线， 底边上的高互相重合(三线合一).
你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗
定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
1
2
A
C
B
D
暑假的某天，酷爱游泳的李明和王强到一矩形游泳池去游泳，两人约定：站在游泳池同一边的两个角落上(如图示B、C两点)，同时以相同的角度(∠B＝∠C)潜入水里，并以相同的速度直线式前游。不一会儿，两人在池内的A处碰撞在一起。好动脑筋的李明就想：难道刚刚游过的路程相等(即AB＝AC)？这是为什么呢？它蕴藏了什么数学道理？
探索一：
B
C
A
游泳池
如图所示,量出AC的长,就可知道河的宽度AB,你知道为什么吗
探索二：
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
这又是一个判定两条线段相等根据之一.
用几何语言表示为：
在△ABC中，
∵∠B=∠C ( 已知 )
∴ AC=AB. ( )
在一个三角形中，等角对等边
等腰三角形的判定方法：
简单地说，在同一个三角形中,等角对等边。
A
B
C
等腰三角形的判定
′
前面已经证明了“等边对等角”，反过来，
“等角对等边”成立吗
即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
A
C
B
已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C.
求证:AB=AC.
解析：要想证明AB=AC,只要能构造两个三角形全等，使AB与AC成为对应边就可以了。
如：作BC边上的中线；
作∠A的平分线
作BC边上的高.
证明：作BC边上的高AD
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵ ∠B＝∠C,AD=AD
∴△ADB≌△ADC(AAS)
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
D
在同一个三角形中,等角对等边。
等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等。
在同一个三角形中,等边对等角
等腰三角形的判定：两个底角相等的三角形是等腰
三角形。
例1：在△ABC中, 已知∠A=40°，∠B=70°,判断△ABC是什么三角形,并说明理由。
A
B
C
解： △ABC是等腰三角形。理由如下：
（在同一个三角形中，等角对等边）
即△ABC是等腰三角形
在△ABC中，
∠C=180°-∠B-∠A
=180°-70°-40°=70°
∴ ∠B=∠C
∴ AB=AC
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知),
∴∠C=∠B=600 (等边对等角) .
∴∠A=600(三角形内角和定理).
∴∠A=∠B（等式性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形的定义).
已知:如图,在△ABC中 AB=AC,∠B=600.
求证:△ABC是等边三角形.
A
C
B
600
做一做
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=600(已知)，
∴△ABC是等边三角形
(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).
这又是一个判定等边三角形的根据
A
C
B
600
回顾与反思
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
证明:∵∠A=∠B (已知),
∴ BC=AC(等角对等边).
又∠B=∠C(已知),
∴ AC=AB(等角对等边).
∴AB=BC=AC(等式的性质).
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形的定义).
已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
求证:△ABC是等边三角形.
A
C
B
做一做
′
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
在△ABC中,
∵∠A=∠B=∠C(已知),
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
A
C
B
回顾与反思
1.如图,△ABC中,D.E分别是AC.AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO ②∠BEO=∠CDO
③BE=CD ④OB=OC
(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)
(2)选择的1小题的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.
B
A
E
D
C
O
①③; ①④;
②③; ②④
（2）已知：∠BEO=∠CDO
OB=OC 求证：△ABC是等腰三角形
证明：在△EOB和△DOC中，∠BEO=∠CDO，∠EOB=∠DOC,
OB=OC. ∴△EOB≌△DOC(AAS) ∴∠EBO=∠DCO(全等三角形的对应角相等)
∵OB=OC ∴∠OBC=∠OCB(等边对等角)
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB(等式的性质)
即∠ABC=∠ACB
∴AB=AC(等角对等边)
1
2
B
D
A
C
E
2
1
答:△ABC是等腰三角形。
理由：
∵AD平分∠EAC
∴∠1=∠2
（角平分线定义）
∵AD∥BC
∴∠1=∠B
（两直线平行，同位角相等）
∠2=∠C
（两直线平行，内错角相等）
∴∠B=∠C
∴AB=AC
（等角对等边）
即△ABC是等腰三角形。
2.如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,且AD∥BC,试判断△ABC的形状,并说明理由
继续努力
3.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，两底角的平分线BE和CD相交于点O，那么△OBC是什么三角形？为什么？
A
B
C
E
D
O
1
2
答：△OBC是等腰三角形。
理由：
∵△ABC中，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
（等边对等角）
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB
∴∠1= ∠ABC，
∠2= ∠ACB，
（角平分线定义）
∴∠1=∠2
∴OB=OC
（等角对等边）
即△OBC是等腰三角形。
1.等腰三角形△ABC中，∠A的外角是110°，则∠B= 。
2.如图，AB=AC，BD平分∠ABC，且∠C=2∠A，
则图中等腰三角形共有 个。
A
B
C
D
4.已知∠EAC是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC，请说明AB=AC的理由。
A
B
C
D
E
1
2
3.AB=AC,BF 平分∠ABC交AC于F，CE平分∠ACB交AB于E，BF和BE交于点D，且EF∥BC，则图中有 个等腰三角形。
6
70或55
3
1
2
(角平分线定义)
5.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,试判断△ABD的形状,并说明理由
A
B
D
C
挑战自我
答:△ABD是等腰三角形.
3
2
理由:
∵BD平分∠ABC
∴∠1=∠2
∵AD∥BC
∴∠2=∠3
(两直线平行,内错角相等)
∴∠1=∠3
∴AB=AD
(等角对等边)
即△ABD是等腰三角形.
A
B
C
有两边相等的三角形是等腰三角形。
2.等边对等角,
3. 三线合一。
4.是轴对称图形.
2.等角对等边,
1.两边相等。
1.两腰相等.
名称 图 形 概 念 性质与边角关系 判 定
等
腰
三
角
形
