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2.5 逆命题和逆定理 （巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假.
(1)两直线平行，同旁内角互补.
逆命题：_____________________________________ ____________（ ）
(2)在一个三角形中，等边对等角.
逆命题：___________________________________________________ __（ ）
(3)如果a=0，b=0，那么ab=0.
逆命题：_______________________________________________________（ ）
2、写出下列命题的逆命题，并判断两个互逆命题的真假.
(1)等角的余角相等；
(2)若a=b，则a2=b2.
3、请说出“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题. 这个逆命题是真命题吗 请证明你的判断.
第二部分
1. 下列说法中，正确的是……………………………………………………………………（ ）
A. 每个命题不一定都有逆命题 B. 每个定理都有逆定理
C. 真命题的逆命题仍是真命题 D. 假命题的逆命题未必是假命题
2. 下列命题的逆命题为真命题的是………………………………………………………（ ）
A. 直角都相等 B. 等边三角形是锐角三角形
C. 若x>y，则x2>y2 D. 能被5整除的数，它的末位数字是5
3. 下列定理有逆定理的是…………………………………………………………………（ ）
A.对顶角相等 B.正方形的四个角都是直角
C.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D.成轴对称的两个三角形全等
4. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是_____ _____.
5. 请写出一个命题 ，使它是假命题，但它的逆命题是真命题. 21世纪教育网版权所有
6. 定理“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”的逆定理是_______
.
7. 请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题
.
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )
3、请说出“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题. 这个逆命题是真命题吗 请证明你的判断.
解：逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形.
这是一个真命题.
已知：如图，BD，CE是△ABC的两条高，且BD=CE.
求证：AB=AC.
证明：∵BD，CE是△ABC的两条高，∴∠BDA=∠CEA=90°.
又∵∠A=∠A，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE，∴AB=AC.
第二部分
1. 下列说法中，正确的是……………………………………………………………………（ ）
A. 每个命题不一定都有逆命题 B. 每个定理都有逆定理
C. 真命题的逆命题仍是真命题 D. 假命题的逆命题未必是假命题
答案：D
2. 下列命题的逆命题为真命题的是………………………………………………………（ ）
A. 直角都相等 B. 等边三角形是锐角三角形
C. 若x>y，则x2>y2 D. 能被5整除的数，它的末位数字是5
答案：D
3. 下列定理有逆定理的是…………………………………………………………………（ ）
A.对顶角相等 B.正方形的四个角都是直角
C.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D.成轴对称的两个三角形全等
答案：C
4. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是_____ _____.
答案：内错角相等，两直线平行
5. 请写出一个命题 ，使它是假命题，但它的逆命题是真命题. 21教育网
答案：如有一个角为60°的三角形是等边三角形
6. 定理“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”的逆定理是_______
.
答案：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
7. 请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题
.
答案：如对顶角相等
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新浙教版数学八年级（上）
2.5 逆命题和逆定理
命题有真有假。
正确的命题是真命题，错误的命题是假命题
1. 什么是命题
一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成。
2. 命题由哪两部分组成
回顾旧知、掌握新知
下列句子是命题的是 （ ）
A.画∠AOB=45° B. 小于直角的角是锐角吗？
C.连结CD D. 三角形的中位线平行且等于第三边的一半
命题的定义:
对某件事作出正确或不正确判断的句子叫做命题
D
命题的结构：命题由题设、结论组成
命题的分类: 真命题和假命题
回顾旧知、掌握新知
同位角相等
两直线平行
同位角相等
两直线平行
问题：1. 这两个命题有什么联系与区别？
2. 我们还学过类似的一些命题吗？
观察与思考
命题 条件 结论
a＝b
a2＝b2
⑷如果a2＝b2，那么a＝b
a2＝b2
a＝b
⑶如果a＝b，那么a2＝b2
两直线平行
同位角相等
⑵同位角相等，两直线平行
同位角相等
两直线平行
⑴两直线平行，同位角相等
请说出下列命题的条件与结论：
思考：命题⑴、⑵有什么不同？
命题⑶、⑷有什么不同？请你说一说。
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。
真
命题真假
真
真
假
如果一个定理的逆命题也是定理，那么
这两个定理叫做互逆定理。
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，
但逆定理、互逆定理，一定是真命题
注意2：不是所有的定理都有逆定理
其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．
一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．
在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是
真命题？试举出几个例子说明.
例如：1、同旁内角互补，两直线平行.
逆命题：两直线平行，同旁内角互补.
真
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形.
逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.
真
命题“轴对称图形是等腰三角形”、“如果a2=b2，那么a=b”正确吗？
矩形是轴对称图形，但不是等腰三角形。
当a=2，b=－2时，a2=b2，但a≠b
像小明、小丽这样，举出一个例子来说明一个命题是假命题，这样的例子称为反例。
数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例就行了。
讨 论
说出下列命题的逆命题，并与同学交流：
(1)对顶角相等；
(2)如果a2=b2，那么a=b；
(3)直角三角形的两个锐角互余；
(4)轴对称图形是等腰三角形；
(5)正方形的4个角都是直角.
1、你能判断上述互逆命题的真假吗？
相等的角是对顶角。
如果a=b，那么a2=b2
有两个角互余的三角形是直角三角形。
等腰三角形是轴对称图形。
如果一个四边形的4个角都是直角，那么这个四边形是正方形。
2、说说你对一对互逆命题的真假性的看法，如果原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？
练 一 练
练习：举例说明下列命题的逆命题是假命题：
(2).如果两个角都是直角，那么这两个角相等．
(1).如果一个整数的个位数字是5，那么这个整
数能被5整除．
公元１６４０年，法国著名数学家费尔马发现：
２２０＋１＝３，
２２１＋１＝５，
２２２＋１＝１７，
２２３＋１＝２５７，
２２４＋１＝６５５３７．
而3、5、17、257、65 537都是质数，于是费尔马猜想：
对于一切自然数n，２２n＋１都是质数。
一起来欣赏--著名的反例
可是，到了1732年，数学家欧拉发现：
２２5＋１= ２32＋１=4 294 967 297
= 641×6 700 417
这说明２２5＋１是一个合数，
从而否定了费尔马的猜想.
一起来欣赏--著名的反例
1.判断下列数学命题的真假,并给出证明.
(1) 若2x+y=0,则x=y=0；
解: 是假命题.理由如下：
取x=-1,y=2,则2x+y=2×(-1)+2=0,
但x≠0,且y ≠0.
即 x= -1，y=2具备命题的条件,但不具备命题的结论,所以这个命题是假命题.
一起来完成
(2) 有一条边、两个角相等的两个三角形全等.
解: 是假命题.理由如下：
如图,在ΔABC和ΔA′B′C′中, ∠A=∠B′, ∠B=∠C′,AB=A′B′, 但很明显,ΔABC和ΔA′B′C′不全等, 所以这个命题是假命题.
C′
A′
B′
450
750
A
B
C
450
750
2.5cm
2.5cm
一起来完成
快速判断:
下列说法哪些正确，哪些不正确？
（1）每个定理都有逆定理。
（2）每个命题都有逆命题。
（3）假命题没有逆命题。
（4）真命题的逆命题是真命题。
√
×
×
×
⑴任意作一条线段，并画出它的中垂线
知识回顾
⑵线段的中垂线（垂直平分线）有什么性质？
A
B
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
O
D
C
P
⑶请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
A
P
B
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且
ＰＡ＝ＰＢ
求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直平分线上
作PC⊥AB于 点O
O
C
证明:
∵PA=PB，PO⊥AB，
∴OA=OB（等腰三角形三线合一性质）
∴PC是AB的垂直平分线。
∴点P在线段AB的垂直平分线上
证明命题：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
(2)当点P在线段ＡＢ上，结论显然成立；
(1)当点P不在 线段AB上时，
A
B
P
P
P
P
P
P
知识学习
线段垂直平分线性质定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
A
P
B
几何语言：
∵PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
线段垂直平分线性质定理的逆定理：
两者是互逆定理！
1.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和所得的逆命题的真假：
（1）同位角相等；
（2）如果|a|=|b|，那么a=b；
（3）等边三角形的三个角都是60°
逆命题：相等的角是同位角，
逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|
逆命题：三个角都是60°的三角形是等边三角形
判断下列说法是否正确：
（1）如果原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题。 （ ）
（2）如果原命题是假命题，那么它的逆命题也是假命题。 （ ）
（3）每个命题都有逆命题。 （ ）
（4）“面积相等的两个三角形是全等三角形”与“面积不相等的两个三角形不是全等三角形”是一对互逆命题 。 （ ）
×
×
√
×
看谁的速度最快
1、说出一个原命题是真命题和逆命题是假命题的命题。
3、说出一个没有逆定理的定理。
2、说出一对互逆定理。
