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2.6 直角三角形（1） （巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、如图1,BE,CF分别是△ABC中AC,AB边上的高,M是BC的中点.试说明△FME是等腰三角形.21cnjy.com
2、如图2, ∠ABC=∠ADC=Rt∠，连接BD,点E,F分别是AC,BD的中点,则EF与BD的位置关系如何 请说明理由.2·1·c·n·j·y
3、如图3,在△ABC中,AB=AC, ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于点F,交AB于点E.若BC=9,求BF的长.21教育网
4、如图4，中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD= .www-2-1-cnjy-com
第二部分
1.在△ABC中, ∠A＝90°,∠B=2∠C,则∠C= 度.
2. 在△ABC中, ∠C＝90°, AB=8cm,点D是AB的中点,则CD= .
3. 在△ABC中, ∠C＝90°,点D是AB的中点,则图中有 个等腰三角形.
4. 在△ABC中, ∠C＝90°,AC=BC,CD⊥AB,且AB=8cm,则CD= .
5. (02镇江市)如图8，△ABC中，∠ABC＝90°，D是AB的中点，∠A=66°,则∠BCD= 度.
6.如图9,某市为改善交通状况，修建了大量 ( http: / / www.21cnjy.com )的高架桥．一汽车在坡度为30°的笔直高架桥点A开始爬行，行驶了150米到达点B，则这时汽车离地面的高度为 米．21·cn·jy·com
7.直角三角形斜边长是，以斜边的中点为 圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是 ．
8. 如图10，在等腰三角形中，，=120°，那么底边上的高 cm．
9.如图11，△ABC是房梁的一部分，其中BC⊥AC，垂足为C，∠A=30°，D是AB的中点，且DC=3m，求AB，BC的长.21·世纪*教育网
10.如图12,在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，用两种方法把它分成两个三角形，且要求一个三角形是等腰三角形．www.21-cn-jy.com
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )4、如图4，中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD= .
答案：3
第二部分
1.在△ABC中, ∠A＝90°,∠B=2∠C,则∠C= 度.
答案：30
2. 在△ABC中, ∠C＝90°, AB=8cm,点D是AB的中点,则CD= .
答案：4cm
3. 在△ABC中, ∠C＝90°,点D是AB的中点,则图中有 个等腰三角形.
答案：2
4. 在△ABC中, ∠C＝90°,AC=BC,CD⊥AB,且AB=8cm,则CD= .
答案：4cm
5. (02镇江市)如图8，△ABC中，∠ABC＝90°，D是AB的中点，∠A=66°,则∠BCD= 度.
答案：24
6.如图9,某市为改善交通状况，修建了大量 ( http: / / www.21cnjy.com )的高架桥．一汽车在坡度为30°的笔直高架桥点A开始爬行，行驶了150米到达点B，则这时汽车离地面的高度为 米．21世纪教育网版权所有
答案：75
7.直角三角形斜边长是，以斜边的中点为 圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是 ．
答案：9
8. 如图10，在等腰三角形中，，=120°，那么底边上的高 cm．
答案：1
9.如图11，△ABC是房梁的一部分，其中BC⊥AC，垂足为C，∠A=30°，D是AB的中点，且DC=3m，求AB，BC的长.【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵BC⊥AC, D是BC的中点, ∴AB=2DC=6m.
∵∠A=30°，∴BC=AB=3m.
10.如图12,在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，用两种方法把它分成两个三角形，且要求一个三角形是等腰三角形．2-1-c-n-j-y
解：可参考的作法有：
(1)作AC的中垂线交AB于D，连接CD，得等腰△DAC；
(2)作∠B的平分线交AC于D，得等腰△DAB；
(3)在BA上截取BD＝BC，连接CD，得等腰△BCD；
(4)在AB上截取AD＝AC，连结CD，得等腰△ACD．
图1
图2
图3
图4
30o
图9
A
D
C
Ｂ
图10
图11
图12
A
C
B
A
C
B
30o
图9
A
D
C
Ｂ
图10
图11
图12
A
C
B
A
C
B
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新浙教版数学八年级（上）
2.6 直角三角形（1）
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
——有一个角是钝角。
——三个角都是锐角。
——有一个角是直角。
你能举出生活中用到直角三角形的例子吗
A
C
B
直角三角形:
有一个内角是直角的三角形.
直角三角形表示:
Rt△ABC
直角边
直角边
斜边
a
b
Rt△
（1）直角三角形的内角有什么特点？
（2）怎样判定一个三角形是直角三角形？
1. 一个内角为90。
2.另两个内角互余
1.说明一个角为直角
2.说明有两个角互余
请讨论下面的问题：
合作学习
C
A
B
A
B
C
直角三角形的两个锐角有什么关系？
直角三角形的两个锐角互余。
在△ABC中 , ∠C＝ 90゜
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理）
∴∠A+∠B=180゜－ ∠C= 90゜
即∠A+∠B=90゜
反过来：有两个角互余的三角形是直角三角形．成立吗？
A
C
B
有两个角互余的三角形是直角三角形.
在△ABC中 , ∠A＋∠B＝90 ゜
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理）
∴ ∠C＝ 180 ゜ －( ∠A+∠B)=180 ゜ － 90゜ = 90゜
∴ △ABC是直角三角形．
直角三角形的两个锐角互余。反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形。
（1）直角三角形的内角有什么特点？
（2）怎样判定一个三角形是直角三角形？
1. 一个内角为90。
2.另两个内角互余
1.说明一个角为直角
2.说明有两个角互余
请讨论下面的问题：
C
A
B
结论
练一练
1、△在ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
∠B= .
2、直角三角形两个锐角之差是10°，
则较大的锐角是 度。
3、直角三角形的两个锐角的平分线所构成
的角是 度.
60°
50°
45°或135°
4、一个三角形的三个内角之比是1：2：3 ，
则这个三角形是 三角形.
直角
难度分解:
如图，CD是Ｒt△ABC斜边上的高。
（1）图中有几个直角三角形？
Rt△ABC、 Rt△ACD、Rt△BCD
（2）图中有几对互余的角？
∠A与∠B、 ∠A与∠1、 ∠1与∠2、 ∠B与∠2
（3）图中有几对相等的角？
∠1=∠ B、 ∠2=∠A
两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.
等腰直角三角形的两个底角相等，等于４５ ゜.
请观察下图中的△ABC,这个三角形有什么特点
B
C
A
AB=AC
思考：等腰直角三角形的两个底角各是多少度呢？
图1
∠A=90°
如图：在等腰直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，则AD＝BD＝CD．请说明理由．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
解：∵ △ABC是个等腰直角三角形
∴∠B=∠C=45°
∵AD⊥BC（已知）
∴∠CAD+ ∠C=90 °
∴∠CAD=90°—∠C
=90°— 45°
=45°= ∠C
∴AD=DC（？）
同理可得，AD=BD
∴AD=BD=CD
已知:如图,D是Rt△ABC斜边AB上的一点,BD=CD.求证: AD=CD.
从本题中,你发现直角三角形
斜边上的中线有什么性质
试一试
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形的性质：
几何语言：
∵ ∠ ACB=900 ，CD是AB边上的中线
∴CD= AB
命题的猜想
1 操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
能证明你的结论吗？
300
300
300
300
结论:在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半.
能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
由由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
300
300
300
命题的证明
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300
求证:BC= AB.
300
A
B
C
D
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
延长BC至D,使CD=BC,连接AD
300
A
B
C
D
∵ ∠ACB=900 (已知),
∴∠ACD=900(平角意义)
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图）
∠ACB=∠ACD（已证）
AC=AC（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴ AB=AD
∵∠ACB=900,∠A=300(已知),
∴∠B=600(直角三角形两锐角互余).
∴△ABD是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)
∴BC= BD= AB(等式性质).
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在△ABC中,
∵∠ACB=900,∠A=300.
∴BC= AB.(在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半).
A
B
C
300
推论：
解:∵∠B=∠ACB=150(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和).
∴CD= AC=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). Zx-===xk
A
C
B
D
150
150
例 .已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a.
求腰上的高.
2a
2a
1. 在Ｒｔ△ABC中∠Ｃ＝９０ ゜ ,∠Ａ＝５４ ゜
则∠Ｂ＝___.
2.在Rt △ABC中， ∠C= 90。， ∠ A - ∠ B=20 。 ，
则∠ A=______度, ∠ B=_____度
2. 在Rt △ABC中，∠C= 90。 ， CD ⊥ AB，
∠ A ：∠ B=1 ：2，则∠ACD= _____，
∠BCD= _____
30 。
55 。
35 。
60 。
C
A
B
D
36 。
练一练
如图，在△ABC,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,
∠A=30 °,则AD等于（ ）
能力挑战：
（A）4BD （B）3BD
（C）2BD （D）BD
B
结论：
2、在直角三角形中，30°角
所对的直角边等于斜边的一半。
1、直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半。
知识巩固：
∠A+∠B=90°
∠A=∠B=45°
D
