3.5圆周角定理
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课件32张PPT。3.5 圆周角第1课时 圆周角定理【学习目标】
1．理解圆周角的概念；
2．掌握圆周角定理及其推论，并能熟练地运用其进行论证和计算；
3．通过圆周角定理的证明，了解分情况证明数学问题的思想方法．
【学法指导】
1．注意和垂径定理的联系；
2．证明时注意分类讨论和由特殊到一般的研究方法；
3．利用“直径所对的圆周角是直角”构造圆中的直角三角形．填 一 填
1．圆周角的概念
圆周角：顶点在圆上，它的两边都和圆相交，像这样的角叫做圆周角．【知识管理】注意：圆周角必须具备的两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交，二者缺一不可．圆心角与圆周角的相同点：角的两边都和圆相交．
不同点：圆心角的顶点在圆心，而圆周角的顶点在圆上．
2．圆周角定理
定理：圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半．图3－5－13．圆周角定理的推论
定理：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
1．(知识点1)下面图形中的角，是圆周角的是 ( )【对点自测】B2．(知识点2)如图3－5－2所示，已知∠ACB是⊙O的圆周角，∠ACB＝40°，则圆心角∠AOB是 ( )
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°图3－5－2C3．(知识点2)如图3－5－3所示，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是 ( )图3－5－3CA．156°
B．78°
C．39°
D．12°
【解析】 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．4．(知识点3)在下列图形中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是( )A5．(知识点3)如图3－5－4，△ABC为⊙O的内接三角形，AB是直径，∠A＝20°，则∠B的度数是 ( )
A．20° B．40°
C．70° D．160°图3－5－4C研 一 研类型之一 利用圆周角定理计算圆周角的大小
例1 如图3－5－5所示，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为 ( )图3－5－5AA．40°
B．30°
C．45°
D．50°【点悟】 找出同一条弧上的圆周角和所对的圆心角是解决此类问题的关键． 1.将量角器按如图3－5－6所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为 ( )
图3－5－6BA．15°
B．28°
C．29°
D．34°2．如图3－5－7所示，已知点E是圆O上的点，B，C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为_________.图3－5－769°3．如图3－5－8所示，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是 ( )图3－5－8AA．25°
B．40°
C．30°
D．50°例2 如图3－5－9所示，弦AB把圆周分成1∶5的两个部分，那么弦AB所对的圆周角的度数是______________.图3－5－930°或150° 1.如图3－5－10所示，A，B，C，D四点都在⊙O上，∠BOC＝110°，则∠BDC的度数为( )
A．110°
B．70°
C．55°
D．125°
图3－5－10D2．在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x＋100)°和(5x－30)°，这条弧所对的圆心角和圆周角的度数分别为________、_________.140°70°类型之二 利用圆周角定理的推论计算或证明
例3 如图3－5－11所示，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC＝AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？图3－5－11【解析】 连结AD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB＝90°，然后由等腰三角形的性质得BD＝CD.
解：BD＝CD.理由是：连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
又∵AC＝AB，∴BD＝CD.【点悟】 直径是构造直角的一个重要条件，一般是构造相关的弦，把直径所对的圆周角转化为90°的角，可以简单说成“有直径，造直角”． 1.如图3－5－12所示，在等边△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，连结AD，则∠DAC的度数为________.
图3－5－1230°【解析】 因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°，又因为△ABC是等边三角形，所以AD是∠BAC的角平分线，所以∠DAC＝30°.2．如图3－5－13，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．图3－5－13练 一 练
1．理解圆周角的概念；
2．掌握圆周角定理及其推论，并能熟练地运用其进行论证和计算；
3．通过圆周角定理的证明，了解分情况证明数学问题的思想方法．
【学法指导】
1．注意和垂径定理的联系；
2．证明时注意分类讨论和由特殊到一般的研究方法；
3．利用“直径所对的圆周角是直角”构造圆中的直角三角形．填 一 填
1．圆周角的概念
圆周角：顶点在圆上，它的两边都和圆相交，像这样的角叫做圆周角．【知识管理】注意：圆周角必须具备的两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交，二者缺一不可．圆心角与圆周角的相同点：角的两边都和圆相交．
不同点：圆心角的顶点在圆心，而圆周角的顶点在圆上．
2．圆周角定理
定理：圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半．图3－5－13．圆周角定理的推论
定理：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
1．(知识点1)下面图形中的角，是圆周角的是 ( )【对点自测】B2．(知识点2)如图3－5－2所示，已知∠ACB是⊙O的圆周角，∠ACB＝40°，则圆心角∠AOB是 ( )
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°图3－5－2C3．(知识点2)如图3－5－3所示，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是 ( )图3－5－3CA．156°
B．78°
C．39°
D．12°
【解析】 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．4．(知识点3)在下列图形中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是( )A5．(知识点3)如图3－5－4，△ABC为⊙O的内接三角形，AB是直径，∠A＝20°，则∠B的度数是 ( )
A．20° B．40°
C．70° D．160°图3－5－4C研 一 研类型之一 利用圆周角定理计算圆周角的大小
例1 如图3－5－5所示，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为 ( )图3－5－5AA．40°
B．30°
C．45°
D．50°【点悟】 找出同一条弧上的圆周角和所对的圆心角是解决此类问题的关键． 1.将量角器按如图3－5－6所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为 ( )
图3－5－6BA．15°
B．28°
C．29°
D．34°2．如图3－5－7所示，已知点E是圆O上的点，B，C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为_________.图3－5－769°3．如图3－5－8所示，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是 ( )图3－5－8AA．25°
B．40°
C．30°
D．50°例2 如图3－5－9所示，弦AB把圆周分成1∶5的两个部分，那么弦AB所对的圆周角的度数是______________.图3－5－930°或150° 1.如图3－5－10所示，A，B，C，D四点都在⊙O上，∠BOC＝110°，则∠BDC的度数为( )
A．110°
B．70°
C．55°
D．125°
图3－5－10D2．在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x＋100)°和(5x－30)°，这条弧所对的圆心角和圆周角的度数分别为________、_________.140°70°类型之二 利用圆周角定理的推论计算或证明
例3 如图3－5－11所示，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC＝AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？图3－5－11【解析】 连结AD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB＝90°，然后由等腰三角形的性质得BD＝CD.
解：BD＝CD.理由是：连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
又∵AC＝AB，∴BD＝CD.【点悟】 直径是构造直角的一个重要条件，一般是构造相关的弦，把直径所对的圆周角转化为90°的角，可以简单说成“有直径，造直角”． 1.如图3－5－12所示，在等边△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，连结AD，则∠DAC的度数为________.
图3－5－1230°【解析】 因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°，又因为△ABC是等边三角形，所以AD是∠BAC的角平分线，所以∠DAC＝30°.2．如图3－5－13，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．图3－5－13练 一 练
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