第二章 一元二次方程 单元知识点题型突破（含解析）浙教版八年级数学下册

一元二次方程【知识点＋题型分类】突破
【知识点1 一元二次方程的概念】
①一个未知数②未知数的最高次是2次③两边都是整式
题型1 判断一元二次方程
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x2+＝0 B．2x﹣3y+1＝0
C．（x﹣3）（x﹣2）＝x2 D．（3x﹣1）（3x+1）＝3
题型2 根据一元二次方程的概念求字母的值
2．若关于x的方程（a﹣1）x﹣7＝0是一元二次方程，则a＝　　．
3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【知识点2 一元二次方程的一般形式】
形如：
二次项： 二次项系数： 一次项： 一次项系数： 常数项：
题型1一元二次方程的一般式
4．把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）
A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2
5．一元二次方程（2+x）（3x﹣4）＝5的二次项系数是　　，一次项系数是　　，常数项是　　．
6．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（　　）
A．1 B．1或2 C．2 D．±1
7．关于x的一元二次方程（kx+1）（x﹣k）＝k﹣2的二次项系数，一次项系数及常数项之和等于3，则k的值为　　．
8．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【知识点3一元二次方程的解（根）】
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值
题型1 利用一元二次方程的解求字母的值
9．如果x＝﹣2是一元二次方程ax2﹣8＝12﹣a的解，则a的值是（　　）
A．﹣20 B．4 C．﹣3 D．﹣10
10．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是　　．
11．已知2+是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1
题型2 利用一元二次方程的解求代数式的值
12．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6
13．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，则m+n的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
14．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
15．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为　　．
16．设m是方程x2﹣3x+1＝0的一个实数根，则＝　　．
17．已知m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为　　．
18．已知2是关于x的方程：x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长是　　．
【知识点4 直接开方法求解一元二次方程】
形如：①=p（p） ②=p(p,m)
题型1 直接开方法求解一元二次方程的条件
19．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝b的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个实数根
20．若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m≥1 C．m＞1 D．m≠1
题型2 解形如=p（p）的方程
21．方程x2＝4的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝2，x2＝﹣2
22．若2x2﹣8＝0，则x＝　　．
23．方程x2﹣3＝0的解是　 ， 　．
题型3 解形如=p(p,m)的方程
24．方程（x+1）2＝4的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣2
【知识点5 配方法求解一元二次方程】配方法解一元二次方程的步骤：
把原方程化为一般式
2、方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1;
3、方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
4、再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数;
5、若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解;若右边是一个负数，则判定此方程无实数解。
题型1 会将方程化成配方的形式
25．一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
26．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（　　）
A．（y+）2＝1 B．（y﹣）2＝1 C．（y+）2＝ D．（y﹣）2＝
题型2 利用一元二次方程的配方求字母的值
27．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
28．如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝　　．
29．一元二次方程x2﹣8x+a＝0，配方后为（x﹣4）2＝1，则a＝　　．
题型3 二次项系数不为1的一元二次方程化成配方法的形式
30．将方程2x2﹣4x﹣9＝0配方成（x+m）2＝n的形式为 　 　．
31．已知关于x的方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，则（m﹣n）2＝　　．
题型4 一元二次方程的几何解法
32．公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程．他把一元二次方程x2+2x﹣35＝0写成x2+2x＝35的形式，并将方程左边的x2+2x看作是由一个正方形（边长为x）和两个同样的矩形（一边长为x，另一边长为1）构成的图形，它的面积为35，如图所示，于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表示为：x2+2x+　　＝35+　　，整理，得（x+1）2＝36．因为x表示边长，所以x＝　　．
【知识点6 公式法求解一元二次方程】
公式：x=
题型1 用公式法解一元二次方程
33．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0
题型2 求根公式的应用
34．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成如图的矩形，设a＝1，则这个正方形的面积为（　　）
A． B． C． D．（1+）2
35．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2是“和谐函数”．以下函数y1和y2是“和谐函数”的是（　　）
A．和y2＝﹣x+1 B．和y2＝﹣x+1
C．和y2＝﹣x﹣1 D．和y2＝﹣x﹣1
36．下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的根是（　　）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
ax2﹣bx … 6 2 0 0 2 6 …
A．x＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2
37．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为 　 　．
【知识点7 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：
①方程有两个不相等的实数根＞0
②方程有两个相等的实数根=0
③方程没实数根＜0
④方程有实数根≥0
题型1 应用根的判别式判断方程根的情况
38．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
39．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
40．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k
41．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
42．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
43．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 　　．
【知识点8 因式分解法解一元二次方程】
A则A=0或B=0（提取公因式、乘法公式、十字相乘法）
题型1 因式分解法求解的应用
44．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
45．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
46．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
47．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
48．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．24
题型补充1 用换元法解一元二次方程
49．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（　　）
A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或3
50．已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（　　）
A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2
题型补充2 新定义问题
51．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}＝，则x的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣1或2+ C．2+ D．1或2﹣
52．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2+b2，a★b＝，则方程3☆x＝x★12的解为 　　．
53．李伟同学在解关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为 　 ．
54．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，则a＝　　，方程的根为 　 　．
55．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝　　．
56．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣2）＝6，则x的值为 　　．
题型补充3 配方法的应用
57．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（　　）
A．总大于7 B．总不小于9 C．总不小于﹣9 D．为任意有理数
58．已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（　　）
A．6 B．9 C．6或9 D．无法确定
59．已知A为多项式，且A＝﹣2x2﹣y2+12x+4y+1，则A有（　　）
A．最大值23 B．最小值23 C．最大值﹣23 D．最小值﹣23
60．已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（　　）
A． B． C． D．
61．无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（　　）
A．非负数 B．0 C．正数 D．负数
62．已知A＝a2﹣a+4，B＝3a﹣1，则A、B的大小关系为（　　）
A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．不能确定
63．已知，则的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．
64．若m2+4n2＝4m﹣4n﹣5，则m n的值为 　　．
答案
1.【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．
【解答】解：A、3x2+＝0是分式方程，故此选项错误；
B、2x﹣3y+1＝0为二元一次方程，故此选项错误；
C、（x﹣3）（x﹣2）＝x2是一元一次方程，故此选项错误；
D、（3x﹣1）（3x+1）＝3是一元二次方程，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2.【分析】根据一元二次方程的定义列式计算，得到答案．
【解答】解：方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2，a﹣1≠0，
解得，a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3.【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．
【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
4.【分析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：由方程x（x+2）＝5（x﹣2），得
x2﹣3x+10＝0，
∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
6.【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：由题意，得
m2﹣3m+2＝0且m﹣1≠0，
解得m＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
7.【分析】把原方程转化为一般形式得：kx2+（1﹣k2）x+（2﹣2k）＝0，其中二次项系数是k，一次项系数是（1﹣k2），常数项是（2﹣2k），根据二次项系数，一次项系数及常数项之和等于3，即可得到关于k的方程，从而求得k的值．
【解答】解：原方程可化为：kx2﹣（k2﹣1）x﹣2k+2＝0，
由题意得k+（1﹣k2）+（2﹣2k）＝3，
解得k＝0或k＝﹣1，
又因为一元二次方程的二次项系数不能为0，
即k≠0，
所以k＝﹣1．
答案：﹣1
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
8.【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【解答】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次项系数不为0以及一次项的概念是解题的关键．
9.【分析】将x＝﹣2代入原方程即可求出a的值．
【解答】解：将x＝﹣2代入ax2﹣8＝12﹣a，
得：4a﹣8＝12﹣a，
解得：a＝4，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
10.【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．
【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，
把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，
解得，k1＝1，k2＝0
当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，
方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．
所以k的值是0．
故答案为：0
【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．
11.【分析】把x＝2+代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
【解答】解：根据题意，得
（2+）2﹣4×（2+）+m＝0，
解得m＝1；
解法二：对方程变形得：x（x﹣4）+m＝0，再代入x＝2+，得到：（+2）（﹣2）+m＝0，
即m﹣1＝0，m＝1
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
12.【分析】先把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得a+2b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，
所以a+2b＝﹣1，
所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【分析】把x＝n代入方程得出n2+mn+2n＝0，方程两边都除以n得出m+n+2＝0，求出即可．
【解答】解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，
代入得：n2+mn+2n＝0，
∵n≠0，
∴方程两边都除以n得：n+m+2＝0，
∴m+n＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出m+n的值是解此题的关键，题型较好，难度适中．
14.【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+2020的值．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2020＝1+2020＝2021．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15.【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2015＝2018
故答案为：2018
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
16.【分析】利用一元二次方程的解的意义得到m2﹣3m+1＝0，两边除以m得到m+＝3，再把原式变形得到原式＝m2+1+＝（m+）2﹣2+1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个实数根，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m+＝3，
∴原式＝m2+1+
＝（m+）2﹣2+1
＝9﹣2+1
＝8．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
17.【分析】把x＝m代入已知方程，得到m2﹣m＝3，m2﹣3＝m，然后代入所求的代数式进行求值即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，
∴m2﹣m﹣3＝0，
∴m2﹣m＝3，m2﹣3＝m，
∴（m2﹣m）（m﹣+1）＝3×（+1）＝3×（1+1）＝6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意“整体代入”思想的应用．
18.【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入方程求出m得到原方程为x2﹣8x+12＝0，再解此方程得到得x1＝2，x2＝6，然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长．
【解答】解：把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4，
则原方程为x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
所以△ABC的腰为6，底边为2，则△ABC的周长为6+6+2＝14．
故答案为14．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．
19.【分析】根据直接开平方法可得当（x﹣1）2＝b，b＜0时，不能开平方，进而得出答案．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝b中b＜0，
∴没有实数根，
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
20.【分析】由于方程（x+5）2＝m﹣1有两个实数根，则m﹣1≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得m﹣1≥0，
所以m≥1．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
21.【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2＝4，
∴x1＝2，x2＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
22.【分析】先将常数项移到等式的右边，然后化未知数的系数为1，通过直接开平方求得该方程的解即可．
【解答】解：由原方程，得
2x2＝8，
∴x2＝4，
直接开平方，得
x＝±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
23.【分析】方程移项后，开方即可求出解．
【解答】解：方程x2﹣3＝0，
移项得：x2＝3，
解得：x1＝，x2＝﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
24.【分析】利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案．
【解答】解：（x+1）2＝4
则x+1＝±2，
解得：x1＝﹣1+2＝1，x2＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
25.【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．
【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝5+9，
（x﹣3）2＝14，
故选：A．
【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．
26.【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：y2﹣y﹣＝0
y2﹣y＝
y2﹣y+＝1
（y﹣）2＝1
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
27.【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
28.【分析】先根据配方法求出m、n的值，再代入计算可得．
【解答】解：∵x2+4x＝﹣n，
∴x2+4x+4＝4﹣n，即（x+2）2＝4﹣n，
又（x+m）2＝3，
∴m＝2，n＝1，
则（n﹣m）2020＝（1﹣2）2020＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
29.【分析】利用配方法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣8x＝﹣a，
∴x2﹣8x+16＝16﹣a，即（x﹣4）2＝16﹣a，
则16﹣a＝1，
解得a＝15，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
30.【分析】移项，方程两边都除以2，再配方，即可得出答案．
【解答】解：2x2﹣4x﹣9＝0，
2x2﹣4x＝9，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝，
故答案为：（x﹣1）2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
31.【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果．
【解答】解：由（x+m）2＝3，得：
x2+2mx+m2﹣3＝0，
∴2m＝4，m2﹣3＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴（m﹣n）2＝1，
故答案为1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
32.【分析】观察图形可知，图形中缺少的正方形的边长是1，由此可知，大正方形的边长为x+1，化简即求．
【解答】解：由已知可得，图形中所缺正方形为边长为1的正方形，
∴大正方形的边长为x+1，
∴（x+1）2＝36，
∴x+1＝6，
∴x＝5．
故答案为1，1，5．
【点评】本题考查一元二次方程的解；能够通过正方形面积与边长的关系建立等式，利用配方法求解方程是解题的关键．
33.【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝，不合题意；
B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝，不合题意；
C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝，不合题意；
D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
34.【分析】从图中可以看出，正方形的边长＝a+b，所以面积＝（a+b）2，矩形的长和宽分别是a+2b，b，面积＝b（a+2b），两图形面积相等，列出方程得＝（a+b）2＝b（a+2b），其中a＝1，求b的值，即可求得正方形的面积．
【解答】解：根据图形和题意可得：
（a+b）2＝b（a+2b），其中a＝1，则方程是（1+b）2＝b（1+2b）
解得：b＝，
所以正方形的面积为（1+）2＝．
故选：A．
【点评】本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值，从而求出边长，求面积．
35.【分析】根据题意，令y1+y2＝0，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”．
【解答】解：A、令y1+y2＝0，
则﹣﹣x+1＝0，
整理得：x2﹣x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故A不符合题意；
B、令y1+y2＝0，
则x2+2x﹣x+1＝0，
整理得：x2+x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故B不符合题意；
C、A、令y1+y2＝0，
则﹣﹣x﹣1＝0，
整理得：x2+x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故C不符合题意；
D、A、令y1+y2＝0，
则x2+2x﹣x﹣1＝0，
整理得：x2+x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，根据题意令y1+y2＝0，然后进行计算是解题的关键．
36.【分析】由表知当x＝﹣1和x＝2时，ax2﹣bx＝2，从而得出答案．
【解答】解：∵ax2﹣bx﹣2＝0，
∴ax2﹣bx＝2，
由表知当x＝﹣1和x＝2时，ax2﹣bx＝2，
∴ax2﹣bx＝2的解为x1＝﹣1，x2＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
37.【分析】先根据数轴上两点之间的距离公式列出关于x的方程，解之求出x的值，再结合A、B的位置取舍即可．
【解答】解：根据题意，得：x2+x﹣（2x﹣1）＝5，
整理，得：x2﹣x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
∵点A在数轴的负半轴，
∴2x﹣1＜0，即x＜，
∴x＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
38.【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：k＜5且k≠1．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键．
39.【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，
∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，
则4﹣4（m﹣2）≥0，
4﹣4m+8≥0，
﹣4m≥﹣12，
解得：m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
40.【分析】根据关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，知Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解之可得．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤且k≠0，
故选：C．
【点评】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
41.【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；
（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由题意得出m的方程，解方程则可得出答案．
方法二：利用根与系数的关系可求出答案．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x1＝m，x2＝3m．
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
方法二：
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1 x2＝3m2，
∵x1﹣x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∴（4m）2﹣4×3m2＝4，
∴m＝±1，
又m＞0，
∴m＝1．
【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
42.【分析】（1）直接把x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0求出m的值；
（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．
【解答】解：（1）根据题意，将x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0，
得：1+m+m﹣2＝0，
解得：m＝；
（2）∵Δ＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
43.【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案．
【解答】解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，
则k2﹣9＝0，
解得k＝±3，
②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根，
即Δ＝b2﹣4ac＝0，
即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0
解得：k＝﹣5．
故答案为±3或﹣5．
【点评】本题考查了根的判别式，同时还考查了分类讨论思想，是一道好题．
44.【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝5或x＝7．
当x＝7时，3+4＝7，不能组成三角形；
当x＝5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5＝12，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．
45.【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
【解答】解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0，x﹣5＝0，
x1＝2，x2＝5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．
46.【分析】先将x＝2代入x2﹣2mx+3m＝0，求出m＝4，则方程即为x2﹣8x+12＝0，利用因式分解法求出方程的根x1＝2，x2＝6，分两种情况：①当6是腰时，2是底边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解答】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，
∴22﹣4m+3m＝0，m＝4，
∴x2﹣8x+12＝0，
解得x1＝2，x2＝6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长＝6+6+2＝14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
47.【分析】解方程得出x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．
48.【分析】法1：利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可；
法2：利用根与系数的关系求出两根之积，再根据对角线乘积的一半求出菱形面积即可．
【解答】解：法1：方程x2﹣10x+24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为×4×6＝12；
法2：设a，b是方程x2﹣10x+24＝0的两根，
∴ab＝24，
则这个菱形的面积为ab＝12．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及菱形的性质，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
49.【分析】在本题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把x+2y当成一个整体进行考虑．
【解答】解：设x+2y＝a，则原方程变形为a2+3a﹣4＝0，
解得a＝﹣4或a＝1．
故选C．
【点评】此题主要是把x+2y当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用求根公式求解．
50.【分析】设 x2+y2＝z，则原方程换元为 z2﹣2z﹣8＝0，可得z1＝4，z2＝﹣2，即可求解．
【解答】解：设 x2+y2＝z，则原方程换元为 z2﹣2z﹣8＝0，
∴（z﹣4）（z+2）＝0，
解得：z1＝4，z2＝﹣2，
即 x2+y2＝4或 x2+y2＝﹣2（不合题意，舍去），
∴x2+y2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
51.【分析】根据新定义分x＞0和x＜0列出方程，再分别求解可得．
【解答】解：若x＞﹣x，即x＞0，则x＝，解得x＝2+（负值舍去）；
若x＜﹣x，即x＜0，则﹣x＝，解得x＝﹣1（正值舍去）；
故选：B．
【点评】本题主要考查了新定义和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
52.【分析】根据题中的新定义将方程化为普通方程，利用完全平方公式将方程左边的多项式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：根据题中的新定义得：3☆x＝9+x2，x★12＝6x，
所求方程化为：9+x2＝6x，即（x﹣3）2＝0，
解得：x1＝x2＝3．
故答案为：x1＝x2＝3
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法及因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
53.【分析】将错就错把﹣3x看作+3x，把方程的解代入求出m的值，进而确定出正确的解．
【解答】解：由题意得：x2+3x+m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣4，
可得m＝﹣4，
原方程为x2﹣3x﹣4＝0，
分解因式得：（x﹣4）（x+1）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝4，x2＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及因式分解法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
54.【分析】由方程常数项为0求出a的值，检验即可得到a＝﹣3，则方程为﹣6x2﹣2x＝0，利用因式分解法即可求得方程的根．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，
∴a2﹣9＝0，即a＝3或a＝﹣3，
当a＝3时，方程为﹣2x＝0，不符合题意，
则a＝﹣3．
∴一元二次方程为﹣6x2﹣2x＝0，
∴2x（3x+1）＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣，
故答案为：﹣3；x1＝0，x2＝﹣．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，正确求得a的值是解本题的关键．
55.【分析】首先解方程x2﹣5x+6＝0，再根据a*b＝，求出x1*x2的值即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，
∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得：x＝3或2，
①当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3；
②当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝3×2﹣32＝﹣3．
故答案为：3或﹣3．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．
56.【分析】根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）＝6，
整理得，3x+3＝6，
解得，x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键．
57.【分析】先将原式化简，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于﹣9即可．
【解答】解：4x2+3y2+8x﹣12y+7
＝4x2+8x+4+3y2﹣12y+3
＝4（x2+2x+1）+3（y2﹣4y+1）
＝4（x+1）2+3（y2﹣4y+4﹣4+1）
＝4（x+1）2+3（y﹣2）2﹣9，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴4x2+3y2+8x﹣12y+7≥﹣9．
即不论x、y为什么实数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值总不小于﹣9．
故选：C．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．
58.【分析】根据配方法可求出a与b的值，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【解答】解∵2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣4＝0，
解得a＝1，b＝4，
∵3＜c＜5，
∵△ABC是等腰三角形，
∴c＝4．
故△ABC的周长为：1+4+4＝9．
故选：B．
【点评】本题考查配方法，解题的关键是熟练运用配方法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．
59.【分析】利用配方法将多项式A进行变形，然后根据非负数的性质求得最值．
【解答】解：A＝﹣2x2﹣y2+12x+4y+1＝﹣[2（x﹣3）2+（y﹣2）2]+23．
∵2（x﹣3）2+（y﹣2）2≥0，
∴﹣[2（x﹣3）2+（y﹣2）2]≤0，
∴A＝﹣[2（x﹣3）2+（y﹣2）2]+23≤23，
∴多项式A的最大值是23．
故选：A．
【点评】本题主要考查了配方法的应用和非负数的性质，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
60.【分析】本题先将u转化为2xy+4，然后根据x2﹣xy+4y2＝4进行配方，确定xy的范围，从而求出u的范围，得到M，m的大小即可得解．
【解答】解：方法一：∵x2﹣xy+4y2＝4，
∴x2+4y2＝xy+4，
∴u＝x2+xy+4y2＝2xy+4，
∵5xy＝4xy+（x2+4y2﹣4）＝（x+2y）2﹣4≥﹣4，当且仅当x＝﹣2y，即，，或，时等号成立．
∴xy的最小值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最小值为，即．
∵3xy＝4xy﹣（x2+4y2﹣4）＝4﹣（x﹣2y）2≤4，当且仅当x＝2y，即，或，时等号成立．
∴xy的最大值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最大值为，即．
∴．
方法二：由x2﹣xy+4y2＝4，得x2+4y2＝xy+4，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4．
设xy＝t，若x＝0，则u＝4；x≠0时，，将代入x2﹣xy+4y2＝4，
得，即x4﹣（t+4）x2+4t2＝0，…①
由△＝（t+4）2﹣16t2≥0，解得．
将代入方程①，解得，；代入方程①，解得，．
∴xy的最大值为，最小值为．
因此，，，，
故选：C．
方法三：
由题意得，
①﹣②，得2xy＝u﹣4，
u＝2xy+4，
把②两边加5xy，得（x+2y）2＝4+5xy 0，
解得：，
把②两边减3xy，得（x﹣2y）2＝4﹣3xy 0，
解得：xy≤，
∴，
，
因此，，
，
，
故选：C．
【点评】本题考查了代数式的最值问题，关键是将u转化为2xy+4，再确定xy的范围．
61.【分析】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．
【解答】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+6b+9）+1
＝（a﹣1）2+（b+3）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，（b+3）2≥0，
∴（a﹣1）2+（b+3）2+1＞0，
即原式的值总是正数．
故选：C．
【点评】本题考查了配方法的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键．
62.【分析】利用作差法比较A与B的大小即可．
【解答】解：∵A＝a2﹣a+4，B＝3a﹣1，
∴A﹣B＝a2﹣a+4﹣3a+1＝a2﹣4a+4+1＝（a﹣2）2+1≥1＞0，
则A＞B，
故选：A．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
63.【分析】首先根据，可得：（m+2）2+（n﹣2）2＝0，据此求出m、n的值各是多少；然后把求出的m、n的值代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴m2+n2＝4n﹣4m﹣8，
∴（m2+4m+4）+（n2﹣4n+4）＝0，
∴（m+2）2+（n﹣2）2＝0，
∴m+2＝0，n﹣2＝0，
解得m＝﹣2，n＝2，
∴
＝﹣+
＝0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．
64.【分析】先移项，然后利用配方法将左边进行变形，再由非负数的性质求得m、n的值，代入求值即可．
【解答】解：m2+4n2＝4m﹣4n﹣5，
（m﹣2）2+（2n+1）2＝0，
则m﹣2＝0且2n+1＝0，
解得m＝2．n＝﹣，
所以mn＝2×（﹣）＝﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．