第2章 特殊三角形专题培优：等腰三角形（含解析）

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第三讲 等腰三角形
一．知识复习
1．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为　 　cm．
2．等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（　　）
A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BC＝8，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是 　 　．
第3题 第4题 第5题 第6题
4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，直线MN垂直平分边AC，分别交AB，AC于点D，E，则∠BCD＝　 　．www-2-1-cnjy-com
5．如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且BD＝BC，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是 　 　．
6．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB＝3，则PP′＝　 　．【版权所有：21教育】
7．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（　　）
A．1400m B．（500+300）m
C．1000m D．（300+100）m
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
第7题 第8题 第2题 第3题
二．例题讲解
1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是　 　．
2．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（　　）21教育名师原创作品
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
4．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　 　．
第4题 第5题 第6题 第1题
5．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4.5
6．如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝2，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则S四边形BDEF＝　 　．
三．巩固训练
1．如图，AB＝AC，点D是△ABC内一点，∠D＝110°，∠1＝∠2，则∠A＝　 　°．
2．如图，AB＝AC，AE＝ED＝DB＝BC，∠A＝　 　．
第3题 第4题 第5题
3．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，则PM+MN的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为 　 　．
5．如图，△ABC是等边三角形，点E为AC上一点，且∠CBE＝15°，现将△CBE沿直线BE折叠得到△DBE，BD与AC交于F，GH垂直平分BE，若EC＝2，则BG＝　 　．
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N．
（1）求证：EM＝FM；
（2）求证：AC＝AN．
8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，G为CE中点，连接DG，CD＝AE．
（1）求证：DG⊥CE；
（2）已知∠AEC＝69°，求∠ECB的度数．
9．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在直线BC上有一点D（点D在点C右侧），连结AD，以AD为直角边，点A为直角顶点向上作等腰直角△ADE，连结ED、EC，21·世纪*教育网
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）当EC平分∠AED时，求CD的长．
（3）如图2，点F为EC的中点，连结AF，当△ACF为等腰三角形时，请直接写出此时CD的长．
2023年01月17日陈梦洁的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．试题（共23小题）
1．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为　22　cm．
【分析】等腰三角形两边的长为4cm和9cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长＝4+9+9＝22cm．
故填22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．21*cnjy*com
2．等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（　　）
A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40°
【分析】利用平角定义，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：在△ABC中，AB＝AC，
当∠DAC＝70°时，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAC＝110°，
∴等腰三角形的顶角的度数为110°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BC＝8，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是 　16　．
【分析】根据等腰三角形的性质可得BD＝CD＝4，S△BEF＝S△CEF，然后根据S阴影＝S△ABD计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝CDBC＝4，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵AD＝8，
∴S阴影＝S△ABDBD AD4×8＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，直线MN垂直平分边AC，分别交AB，AC于点D，E，则∠BCD＝　15°　．
【分析】由AB＝AC，∠A＝50°得出∠ACB＝65°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AD＝CD，推出∠ACD＝∠A＝50°，即可得出∠BCD＝15°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠B（180°﹣∠A）＝65°，
∵直线MN垂直平分边AC，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出∠ACB＝65°，∠ACD＝50°是解题的关键．
5．如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且BD＝BC，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是 　45°　．
【分析】根据同一个三角形中等边对等角的性质，设∠ABD＝x，结合三角形外角的性质，则可用x的代数式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，运用三角形的内角和为180°，可求∠A的度数．
【解答】解：∵DE＝EB
∴设∠BDE＝∠ABD＝x，
∴∠AED＝∠A＝2x，
∴∠BDC＝∠C＝∠ABC＝3x，
在△ABC中，3x+3x+2x＝180°，
解得x＝22.5°．
∴∠A＝2x＝22.5°×2＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，注意掌握，①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．21cnjy.com
6．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB＝3，则PP′＝　3　．21*cnjy*com
【分析】由已知条件可推出△BPP′为等边三角形，从而得到PP′＝BP＝3．
【解答】解：因为△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，
∴∠PBP′＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴PP′＝BP＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查等边三角形的性质及判定的运用．
7．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（　　）
A．1400m B．（500+300）m
C．1000m D．（300+100）m
【分析】将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：作A点关于直线CD的对称点A′，连接BA′交河岸与P，
则PB+PA＝PB+PA′＝BA′最短，故牧童应将马赶到河边的P地点．
作DB′＝CA′，且DB′⊥CD，
∵DB′＝CA′，DB′⊥CD，BB′∥A′A，
∴四边形A′B′DC是矩形，
∴B'A'＝CD＝500m，DB′＝A′C＝AC＝300m，
在Rt△BB′A′中，
连接A′B′，则BB′＝BD+DB′＝500+300＝800m，
BA′1000（m）．
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】分两种情况推论，当AB是底边时，当AB是腰时，即可判断．
【解答】解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线分别与AC，x轴负半轴相交，共两个交点，都符合条件；
（2）当AB是腰时，①以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；
②以点B为圆心AB长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件，
因此共有8个符合条件的点．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形，关键是分两种情况推论．
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是　110°或70°　．
【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．
【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°＝110°；
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣20°＝70°．
故答案为：110°或70°．
【点评】考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2-1-c-n-j-y
10．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBCS△ABC；21教育网
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBCS△ABC12＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．2·1·c·n·j·y
11．如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】连接BE，由等边三角形的性质可求得∠ABC＝60°，∠ABE＝∠CBE＝30°，结合直角三角形的性质可求∠EBC＝∠D＝30°，BE＝2，由等腰三角形的性质可求得ED的长，进而可求解．
【解答】解：连接BE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵E为AC的中点，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵EF⊥AB，EF＝1，
∴∠D＝90°﹣∠ABC＝30°，BE＝2EF＝2，
∴ED＝BE＝2，
∴DF＝ED+EF＝2+1＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，证明BE＝ED是解题的关键．
12．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　120°或75°或30°　．
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．21·cn·jy·com
【解答】
解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝30°，
∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OEC＝∠OCE（180°﹣30°）＝75°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝30°；
故答案为：120°或75°或30°．
【点评】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．
13．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
A．2 B．3 C．3.5 D．4.5
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，则PA+PC的最小值即为线段AB的长度．
【解答】解：如图，MN是BC的垂直平分线，
∴点C与点B关于直线MN对称，
∴线段AB与直线MN的交点即为点P，
∴PA+PC＝AB．
∵AB＝3，
∴PA+PC的最小值是3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，根据轴对称的性质找到点P的位置是解题的难点．【来源：21cnj*y.co*m】
14．如图，AB＝AC，点D是△ABC内一点，∠D＝110°，∠1＝∠2，则∠A＝　40　°．
【分析】根据三角形内角和定理得∠1+∠BCD＝180°﹣∠D＝70°，得出∠2+∠BCD＝∠ACB＝70°，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵∠D＝110°，
∴∠1+∠BCD＝180°﹣∠D＝70°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BCD＝∠ACB＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70﹣70°＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，关键是求出∠ACB＝70°．
15．如图，AB＝AC，AE＝ED＝DB＝BC，∠A＝　　．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出方程解答即可．
【解答】解：设∠A＝x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵AE＝ED，
∴∠A＝∠ADE＝x，
∴∠BED＝2x，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∵∠A+∠EBD＝∠BDC，
∴x+2x，
解得：x，
即∠A．
故答案为：．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的等边对等角解答．
16．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，则PM+MN的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．
【分析】如图，在∠AOB的外部作射线OC，使∠AOC＝∠AOB＝30°，过点P作PN′⊥OC于点N′，交OA于M，此时，PM+MN′＝PN′为PM+MN的最小值，利用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：如图，在∠AOB的外部作射线OC，使∠AOC＝∠AOB＝30°，过点P作PN′⊥OC于点N′，交OA于M，
此时，PM+MN′＝PN′为PM+MN的最小值，
∵∠BOC＝60°，OP＝2，∠PN′O＝90°，
∴∠OPN′＝90°﹣60°＝30°，
∴ON′OP2＝1，
在Rt△PON′中，PN′，
∴PM+MN的最小值为，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，垂线段最短，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为 　6.4　．
【分析】连接AD，过点A作AG⊥BC，垂足为G，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得AG＝8，然后根据△ABD的面积+△ACD的面积＝△ABC的面积，可得DE+DF＝9.6，再根据已知DF＝2DE，进行计算即可解答．
【解答】解：连接AD，过点A作AG⊥BC，垂足为G，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴，BG＝6，
由勾股定理得：AG＝8，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△ABD的面积+△ACD的面积＝△ABC的面积，
∴AB DEAC DFAG BC，
∴DE+DF＝9.6，
∵DF＝2DE，
∴DF＝6.4，
故答案为：6.4．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．如图，△ABC是等边三角形，点E为AC上一点，且∠CBE＝15°，现将△CBE沿直线BE折叠得到△DBE，BD与AC交于F，GH垂直平分BE，若EC＝2，则BG＝　2　．
【分析】连接GE，则GB＝GE，推出∠GBE＝∠GEB＝15°，所以∠DGE＝15°+15°＝30°，由折叠推出∠D＝∠C＝60°，DE＝EC＝2，所以∠DEG＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即可求出GE＝2．
【解答】解：连接GE．
∵GH垂直平分BE，
∴GB＝GE，
∴∠GBE＝∠GEB＝15°，
∴∠DGE＝15°+15°＝30°，
由折叠可知，∠GBE＝∠CBE，∠D＝∠C＝60°，DE＝EC＝2，
∴∠DEG＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴GD＝2DE＝4，
∴GE2，
∴BG＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了翻折问题，熟练运用折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
19．如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝2，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则S四边形BDEF＝　2　．
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H．首先证明△BAD≌△CAE（SAS），再证明△EFC是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC＝2，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CH，EF＝EC＝BD，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴S平行四边形BDEF＝BD CH＝2．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；
（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．
【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，
理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，
∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，
∴△DEF是等边三角形；
（2）连接AC交BD于点O，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
即AC⊥BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，
∴AE＝CE＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝4，
∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AE＝CE是解题的关键．
21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N．【出处：21教育名师】
（1）求证：EM＝FM；
（2）求证：AC＝AN．
【分析】（1）由已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，CM⊥AF，从而证得三个直角三角形，即：∠AED+∠DAE＝90°，∠EFC+∠CAE＝90°，再通过已知，∠BAC的平分线AF和对顶角得∠CEF＝∠CFE，即得△ECF为等腰三角形，EM＝FM．
（2）根据SAS证得△AMN≌△AMC，即可证得AC＝AN．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，∠CFE+∠CAE＝90°，
又∵∠BAC的平分线AF交CD于E，
∴∠DAE＝∠CAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠CFE，
又∵CM⊥AF，
∴EM＝FM．
（2）证明：∵CN⊥AF，
∴∠AMC＝∠AMN＝90°，
在△AMN和△AMC中，
，
∴△AMN≌△AMC（ASA），
∴AC＝AN．
【点评】此题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质、定理是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，G为CE中点，连接DG，CD＝AE．
（1）求证：DG⊥CE；
（2）已知∠AEC＝69°，求∠ECB的度数．
【分析】（1）连接DE，根据垂直定义可得∠ADB＝90°，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得DE＝AE，进而可得DE＝CD，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
（2）利用等腰三角形的性质可得∠DCE＝∠DEC，从而利用三角形的外角性质可得∠EDB＝2∠DCE，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得DE＝BE，从而可得∠B＝∠EDB＝2∠DCE，最后利用三角形的外角性质可得3∠DCE＝69°，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴DE＝AEAB，
∵CD＝AE，
∴DE＝CD，
∵G为CE中点，
∴DG⊥CE；
（2）解：∵DE＝DC，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴∠EDB＝∠DCE+∠DEC＝2∠DCE，
∵∠ADB＝90°，点E是AB的中点，
∴BE＝DEAB，
∴∠B＝∠EDB＝2∠DCE，
∵∠AEC＝∠B+∠DCE，∠AEC＝69°，
∴3∠DCE＝69°，
∴∠DCE＝23°，
∴∠ECB的度数为23°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在直线BC上有一点D（点D在点C右侧），连结AD，以AD为直角边，点A为直角顶点向上作等腰直角△ADE，连结ED、EC，www.21-cn-jy.com
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）当EC平分∠AED时，求CD的长．
（3）如图2，点F为EC的中点，连结AF，当△ACF为等腰三角形时，请直接写出此时CD的长．
【分析】（1）结合图形得到∠BAD＝∠CAE，利用SAS定理证明△ABD≌△ACE；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ACB＝45°，∠AED＝45°，根据角平分线的定义得到∠AEC∠AED＝22.5°，证明∠ADC＝∠CAD，根据等腰三角形的判定定理解答即可；
（3）分FA＝FC、AF＝AC、CA＝CF三种情况，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴∠ACB＝45°，∠AED＝45°，
∵EC平分∠AED，
∴∠AEC∠AED＝22.5°，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADC＝∠AEC＝22.5°，
∴∠CAD＝∠ACB﹣∠ADC＝22.5°，
∴∠ADC＝∠CAD，
∴CD＝AC；
（3）解：由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABC＝45°，
当FA＝FC时，不合题意；
当AF＝AC时，∠AFC＝∠ACF＝45°，
∴∠CAF＝90°，
∴CFAC，
∵点F为EC的中点，
∴CE＝2，
∴BD＝CE＝2，
∴CD＝BD﹣BC＝2；
当CF＝CA时，CE＝2，
∴CD＝2，
综上所述，当△ACF为等腰三角形时，CD的长为或2．
【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
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