第5章 一次函数专题培优 一次函数的图象与性质（例题＋巩固训练+解析）

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第五讲 一次函数的图象与性质
一．例题分析
1．若y关于x的函数y＝（a﹣2）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　）
A．a≠2 B．b＝0 C．a＝2且b＝0 D．a≠2且b＝0
2．一次函数y＝5x的图象向下平移3个单位所得到的函数关系式是（　　）
A．y＝5x﹣3 B．y＝5x+3 C．y＝2x D．y＝8x
3．已知点P（k，b）在第二象限，则直线y＝kx+b的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
4．已知（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　）
A．y1＞y3＞y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3
5．如图，点A的坐标为（﹣1，0），直线y＝x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线y＝x﹣2上运动．当线段AB最短时，求点B的坐标（　　）21·cn·jy·com
A． B．（1，﹣1） C． D．（0，﹣2）
6．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，在x轴的负半轴上存在点P，使△ABP是等腰三角形，则点P的坐标为 　 　．21教育名师原创作品
7．在平面直角坐标系中，画出一次函数y＝2x﹣4的图象，并完成下列问题：
（1）函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 　 　．
（2）观察图象，当x＞2时，y的取值范围是 　 　．
（3）将直线y＝2x﹣4平移后经过点（﹣3，1），求平移后的直线的函数表达式．
8．如图，在直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+8的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，在y轴上取一点C，AC＝BC，连接BC．www.21-cn-jy.com
（1）求点C的坐标和直线BC的表达式；
（2）在线段AB上取一点D，若点D的横坐标为2，请你在x轴上找一点P，使得PD+PC的值最小，并求出此时点P的坐标．
二．巩固练习
1．一次函数y＝﹣2x+9的图象不经过第 　 　象限．
2．一次函数y＝﹣x+b的图象过A（﹣2，y1），B（1，y2），则y1　 　y2（填“＞”或“＜”或“＝”）．
3．已知一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的函数值y随x值的增大而增大，则一次函数y＝﹣ax+2（a≠0）的图象大致是（　　）
A．B． C． D．
4．三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
5．如图，在直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，∠BAO的平分线与y轴相交于点M，求线段OM的长为 　 　．
第4题 第5题 第6题
6．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣1.5，0） D．（﹣2.5，0）
7．已知y﹣3与2x﹣1成正比例，且当x＝1时，y＝6．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围；
（3）若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数图象上，且y1＞y2，试判断x1，x2的大小关系．
8．如图，已知一次函数yx+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．
（1）求m的值与点B的坐标；
（2）点P（﹣3，m）是平面直角坐标系内一动点，若△ABP面积为12，求P的坐标．
（3）若点P在x轴上，且△ABP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
9．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，求：
①求点D的坐标；
②求点C的坐标；
③求点Q的坐标．
2023年01月25日陈梦洁的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．试题（共24小题）
1．若y关于x的函数y＝（a﹣2）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　）
A．a≠2 B．b＝0 C．a＝2且b＝0 D．a≠2且b＝0
【分析】直接利用正比例函数的定义分析求出答案．
【解答】解：∵y＝（a﹣2）x+b是y关于x的正比例函数，
∴b＝0，a﹣2≠0，
解得：b＝0，a≠2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握正比例函数一般形式是解题关键．
2．一次函数y＝5x的图象向下平移3个单位所得到的函数关系式是（　　）
A．y＝5x﹣3 B．y＝5x+3 C．y＝2x D．y＝8x
【分析】求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
【解答】解：把一次函数y＝5x，向下平移3个单位长度，得到图象解析式是y＝5x﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
3．对于一次函数y＝﹣2x+1的相关性质，下列描述错误的是（　　）
A．函数图象经过第一、二、四象限
B．图象与y轴的交点坐标为（1，0）
C．y随x的增大而减小
D．图象与坐标轴调成三角形的面积为
【分析】根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A．∵k＝﹣2＜0，b＝1＞0，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意；
B．当x＝0时，y＝1，∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），错误，符合题意；
C．∵k＝﹣2＜0，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意；
D．令y＝0可得y＝1，
∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：1，故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
4．已知点P（k，b）在第二象限，则直线y＝kx+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据点P（k，b）在第二象限，可知k＜0，b＞0，然后根据一次函数的性质，即可得到直线y＝kx+b的图象经过哪几个象限．2·1·c·n·j·y
【解答】解：∵点P（k，b）在第二象限，
∴k＜0，b＞0，
∴直线y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
5．已知（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　）
A．y1＞y3＞y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）代入直线方程y＝﹣x+2，求得y1，y2，y3的值，然后比较y1，y2，y3的值的大小．21教育网
【解答】解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x+2上，
∴y1＝2+2＝4，
y2＝1+1＝2，
y3＝﹣1+2＝1，
∵4＞2＞1，
∴y1＞y2＞y3．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数图象上的坐标特征．即在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．解答此题时，掌握不等式的基本性质来比较y1，y2，y3的值的大小是解题关键．
6．如图，点A的坐标为（﹣1，0），直线y＝x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线y＝x﹣2上运动．当线段AB最短时，求点B的坐标（　　）
A． B．（1，﹣1） C． D．（0，﹣2）
【分析】当线段AB最短时，AB⊥BC，求出直线AB的解析式为：y＝﹣x﹣1，联立方程组求出点的坐标．
【解答】解：当线段AB最短时，AB⊥BC，
∵直线BC为y＝x﹣2，
∴设直线AB的解析式为：y＝﹣x+b，
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴0＝1+b，
∴b＝﹣1，
∴直线AB的解析式为 y＝﹣x﹣1
解 ，得，
∴B（，）．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，垂线段最短，解方程组求直线的交点坐标，关键是明确线段AB最短时，是AB垂直于CD．
7．已知一次函数y＝（m﹣2）x+3m﹣1．
（1）图象经过（﹣1，2），求m的值；
（2）y随x的增大而减小，求m的取值范围；
（3）函数图象不经过第三象限，求m的取值范围．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值；
（2）利用一次函数的性质，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（3）利用一次函数图象与系数的关系，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝（m﹣2）x+3m﹣1的图象经过（﹣1，2），
∴2＝﹣（m﹣2）+3m﹣1，
解得：m，
∴m的值为．
（2）∵y随x的增大而减小，
∴m﹣2＜0，
解得：m＜2，
∴m的取值范围为m＜2．
（3）∵一次函数y＝（m﹣2）x+3m﹣1的图象不经过第三象限，
∴，
解得：m＜2，
∴m的取值范围为m＜2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”；（2）牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”；（3）牢记“k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限”及“k＜0，b＝0 y＝kx+b的图象在二、四象限”．2-1-c-n-j-y
8．已知直线y＝kx+b过点（3，﹣2）和（4，0）．
（1）求k与b的值；
（2）判断点（1，﹣6）是否在此直线上，请简要写出过程．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）分别把x＝1代入解析式判断即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b过点（3，﹣2）和（4，0），
∴，
解得：k＝2，b＝﹣8，
（2）直线解析式为y＝2x﹣8，
当x＝1时，y＝2×1﹣8＝﹣6，
∴点（1，﹣6）在此直线上．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．21cnjy.com
9．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，在x轴的负半轴上存在点P，使△ABP是等腰三角形，则点P的坐标为 　（﹣18，0）或　．21*cnjy*com
【分析】先计算AB的长，分AB＝PA和AB为底边两种情况求解即可．
【解答】解：因为直线与x轴，y轴分别交于点A，B，
所以A（﹣8，0），B（0，6），
所以；
当AB＝PA＝10时，OP＝PA+OA＝8+10＝18，
因为点P在x轴的负半轴上，
所以P（﹣18，0）；
当AB为底边时，作AB的垂直平分线PD，交x轴于点P，根据线段垂直平分线的性质，得到PA＝PB，
设PO＝t，则PA＝PB＝8﹣t，
根据勾股定理，得（8﹣t）2＝t2+62，
解得，
因为点P在x轴的负半轴上，
所以；
故答案为：（﹣18，0）或．
【点评】本题考查了一次函数背景下的等腰三角形存在性问题，熟练掌握够勾股定理，等腰三角形的分类，线段垂直平分线的性质是解题的关键．【版权所有：21教育】
10．如图，在直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+8的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，在y轴上取一点C，AC＝BC，连接BC．
（1）求点C的坐标和直线BC的表达式；
（2）在线段AB上取一点D，若点D的横坐标为2，请你在x轴上找一点P，使得PD+PC的值最小，并求出此时点P的坐标．21·世纪*教育网
【分析】（1）先利用直线y＝﹣2x+8确定A点和C点坐标，再设C（0，t），则OC＝t，AC＝BC＝8﹣t，利用勾股定理得到42+t2＝（8﹣t）2，解方程得到C（0，3），然后利用待定系数法求出直线BC的解析式；
（2）作C点关于x轴的对称点C′，连接DC′交x轴于P点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PC+PD的值最小，先利用待定系数法求出直线DC′的解析式为yx﹣3，然后计算函数值为0所对应的自变量的值，从而得到P点坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2x+8＝8，
∴A（0，8），
当y＝0时，﹣2x+8＝0，解得x＝4，
∴B（4，0），
设C（0，t），则OC＝t，AC＝BC＝8﹣t，
在Rt△OBC中，42+t2＝（8﹣t）2，
解得t＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（4，0），C（0，3）分别代入得，
解得，
∴直线BC的表达式为yx+3；
（2）作C点关于x轴的对称点C′，连接DC′交x轴于P点，如图，
∵PC＝PC′，
∴PC+PD＝PC′+PD＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
当x＝2时，y＝﹣2x+8＝4，
∴D（2，4），
∵C′点与C（0，3）关于x轴对称，
∴C′（0，﹣3），
设直线DC′的解析式为y＝kx+b，
把C′（0，﹣3），D（2，4）分别代入得，
解得，
∴直线DC′的解析式为yx﹣3，
当y＝0时，x﹣3＝0，解得x，
∴P点坐标为（，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了最短路径问题．
11．一次函数y＝﹣2x+9的图象不经过第 　三　象限．
【分析】直接根据k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限，不经过第三象限进行解答即可．
【解答】解：∵k＝﹣2，b＝9，
∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：三．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y＝kx+b与y轴交于（0，b），k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
12．一次函数y＝﹣x+b的图象过A（﹣2，y1），B（1，y2），则y1　＞　y2（填“＞”或“＜”或“＝”）．
【分析】根据一次函数的性质，当k＜0时，y随x的增大而减小判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A（﹣2，y1），B（1，y2），
∴k＜0，
∵﹣2＜1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数的基本性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，灵活运用性质是解题的关键．
13．已知一次函数y＝2x+m的图象是由一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移7个单位得到的，则m＝　4　．
【分析】根据平移的规律求得平移后的解析式，即可求得m的值．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移7个单位得到y＝2x﹣3+7，即y＝2x+4，
∴m＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
14．已知一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的函数值y随x值的增大而增大，则一次函数y＝﹣ax+2（a≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的函数值y随x的增大而增大，可以得到a＞0，然后即可得到函数y＝﹣ax+2的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：∵一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的函数值y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∴﹣a＜0，
∴函数y＝﹣ax+2的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
15．三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【分析】根据所在象限判断出a、b、c的符号，再根据直线越陡，则|k|越大可得答案．
【解答】解：∵y＝ax，y＝bx，y＝cx的图象都在第一三象限，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∵直线越陡，则|k|越大，
∴b＞a＞c，
故选：C．
【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质，y＝kx中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大．
16．如图，在直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，∠BAO的平分线与y轴相交于点M，求线段OM的长为 　3　．
【分析】根据直线，可以求得点A和点B的坐标，然后根据勾股定理即可得到AB的长，再根据角平分线的性质可以得到MO和M到AB的距离相等，最后根据等面积法即可求得线段OM的长．
【解答】解：∵直线，
∴当x＝0时，y＝8；当y＝0时，x＝6；
∴点B的坐标为（0，8），点A的坐标为（6，0），
∴OB＝8，OA＝6，
∴AB10，
设线段OM的长x，则点M到直线AB的距离为x，
∴，
即，
解得x＝3，
即OM的长为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【来源：21cnj*y.co*m】
17．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（　　）21*cnjy*com
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣1.5，0） D．（﹣2.5，0）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，结合点C、D分别为线段AB、OB的中点，可得出点C，D的坐标，作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D交x轴于点P，此时PC+PD的值最小，由点C的坐标，可求出点C′的坐标，利用待定系数法可求出直线C′D的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出PC+PD值最小时点P的坐标．【出处：21教育名师】
【解答】解：当x＝0时，y0+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
当y＝0时，x+4＝0，
解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C的坐标为（﹣3，2），点D坐标为（0，2）．
作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D交x轴于点P，此时PC+PD的值最小，如图所示．
∵点C的坐标为（﹣3，2），
∴点C′的坐标为（﹣3，﹣2）．
设直线C′D的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将C′（﹣3，﹣2），D（0，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线C′D的解析式为yx+2．
当y＝0时，x+2＝0，
解得：x，
∴点P的坐标为（，0），
即点P的坐标为（﹣1.5，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称﹣最短路线问题，利用两点之间线段最短，找出点P的位置是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
18．在平面直角坐标系中，画出一次函数y＝2x﹣4的图象，并完成下列问题：
（1）函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 　4　．
（2）观察图象，当x＞2时，y的取值范围是 　y＞0　．
（3）将直线y＝2x﹣4平移后经过点（﹣3，1），求平移后的直线的函数表达式．
【分析】（1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可；
（2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论；
（3）设平移后的函数表达式为y＝2x+b，把（﹣3，1）代入求出b的值即可得出结论．
【解答】解：（1）令y＝0，解得x＝2，
∴直线与x轴交点坐标为（2，0），与y轴交点坐标为（0，﹣4），
∴此三角形的面积S＝4．
故答案为：4；
（2）画图如下：
由图可知，y的取值范围为y＞0．
故答案为：y＞0；
（3）设平移后的函数表达式为y＝2x+b，将（﹣3，1）代入，解得b＝7．
∴函数解析式为y＝2x+7．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．21世纪教育网版权所有
19．已知y﹣3与2x﹣1成正比例，且当x＝1时，y＝6．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围；
（3）若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数图象上，且y1＞y2，试判断x1，x2的大小关系．
【分析】（1）首先设y﹣3＝k（2x﹣1），再把x＝1，y＝6代入可得关于k的方程，再解出k的值可得答案；
（2）根据y的取值范围，结合一次函数解析式，利用等量代换可得关于x的不等式组，再解不等式即可；
（3）利用6x1＞6x2，可得到x1，x2的大小关系．
【解答】解：（1）设y﹣3＝k（2x﹣1），
∵当x＝1时，y＝6，
∴6﹣3＝k（2﹣1），
解得：k＝3，
∴y与x的函数关系式为y﹣3＝3（2x﹣1），
即y＝6x；
（2）∵0≤y≤5，
∴0≤6x≤5，
解得：0≤x；
（3）∵y1＝6x1，y2＝6x2，
而y1＞y2，
∴x1＞x2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
20．如图，已知一次函数yx+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．
（1）求m的值与点B的坐标；
（2）点P（﹣3，m）是平面直角坐标系内一动点，若△ABP面积为12，求P的坐标．
（3）若点P在x轴上，且△ABP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）把点A（﹣6，0）代入yx+m，求出m，即可．
（2）由题意可得6×|8﹣b|＝12，解方程即可．
（3）分三种情形讨论即可①当AB＝AP时，②当BA＝BP时，③当PA＝PB时．
【解答】解：（1）把点A（﹣6，0）代入，得m＝8，
∴点B坐标为（0，8）．
（2）存在，设点C坐标为（0，b），
∴BC＝|8﹣b|，
∴6×|8﹣b|＝12，
解得b＝4或12，
∴点C坐标（0，12）或（0，4）．
（3）如图1中，
①当AB＝AP时，AP＝AB10，
可得P1（﹣16，0），P2（4，0）．
②当BA＝BP时，OA＝OP，可得P3（6，0）．
③当PA＝PB时，
∵线段AB的垂直平分线为yx，可得P4（，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣16，0）或（4，0）或（6，0）或（，0）．
【点评】本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，求：
①求点D的坐标；
②求点C的坐标；
③求点Q的坐标．
【分析】①过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标；
②在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标；
③设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：①过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴DN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
∴D（3，2）；
②在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2，
则C的坐标是（0，3）；
③设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k，
即直线CD的解析式是yx+3，
即方程组，
解得，
即Q的坐标是（，）．
【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
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