第2章 特殊三角形专题培优：直角三角形（例题+巩固练习+解析）

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第四讲：直角三角形
一．例题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠1＝30°，BD＝2，则AD的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．已知Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则下列结论不可能成立的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A﹣∠B＝∠C
C．a2﹣b2＝c2 D．a：b：c＝7：24：25
第1题 第3题 第4题 第5题
3．如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则BC边上的高是（　　）
A． B． C．2 D．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上且AD＝BD，M是BD的中点，若AC＝16，BC＝8，则CM等于（　　）www-2-1-cnjy-com
A．5 B．6 C．8 D．10
5．如图，在同一水平线上有相距8m的两棵树AB和CD，其中树AB高8m，大风将树AB折断，树的顶端B恰好落在AC的中点E处，则树的折断点离地面的高度是（　　）【版权所有：21教育】
A．6m B．5m C．4m D．3m
6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（　　）21*cnjy*com
A． B．16 C．8 D．
第7题 第8题 第9题
7．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝　 　．
8．如图，AB＝BC且AB⊥BC，点P为线段BC上一点，PA⊥PD且PA＝PD，若∠A＝26°，则∠D的度数为 　 　．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F．△BCE和△AEF的面积分别为S1和S2，若2S1＝3S2，则CE的长为 　 　．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
①当t＝　 　秒时，△PBQ为等边三角形；
②当t＝　 　秒时，△PBQ为直角三角形．
二．巩固练习
1．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，CD＝1，BD⊥AC，则BC的长度为（　　）
A．3 B．4 C． D．
2．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，D为AB中点且DE⊥AB，交BC于点E，AC＝6cm，则BE等于（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
第1题 第2题 第3题 第4题
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若CD＝3，BD＝4，则BE的长为（　　）
A．5 B． C． D．2
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（　　）
A．4 B． C． D．5
5．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形．如图所示，已知∠A＝90°，正方形ADOF的边长是2，CF＝6，则BD的长为（　　）
A．6 B．2 C．4 D．8
第5题 第6题 第7题 第8题
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为　 　度．
7．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝　 　．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为 　 　．
9．将一等腰直角的三角板△ABC如图放置在平面直角坐标系中，若∠ABC＝90°．
（1）若如图①放置时，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标；
（2）若如图②放置时，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标．
10．如图，在射线MB上，MB＝10，A是射线外一点，AB＝5，且A到射线MB的距离AC＝3，动点P从点M出发，沿射线MB方向以1个单位/秒的速度运动，设点P运动的时间为t秒．解答下列问题．
（1）当t为何值时，△PAB是等腰三角形；
（2）当t为何值时，△PAB是直角三角形．
八上培优专题：直角三角形
参考答案与试题解析
一．试题（共25小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠1＝30°，BD＝2，则AD的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据垂直定义可得∠CDB＝90°，再在Rt△CBD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC＝4，∠B＝60°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A＝30°，再在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AB＝8，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠1＝30°，BD＝2，
∴BC＝2BD＝4，∠B＝90°﹣∠1＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∴AB＝2BC＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
2．已知Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则下列结论不可能成立的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A﹣∠B＝∠C
C．a2﹣b2＝c2 D．a：b：c＝7：24：25
【分析】根据三角形内角和定理以及勾股定理即可求出答案．
【解答】解：A、设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x＝15°，
∴∠C＝75°，故不能成立；
B、∵∠A＝∠B+∠C，
∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，故能成立；
C、当∠A＝90°时，此时a2＝b2+c2，故能成立；
D、设a＝7x，b＝24x，c＝25x，
当∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，故能成立．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
3．如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则BC边上的高是（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】先根据勾股定理分别求出AB，AC，BC的长，根据勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解．21·cn·jy·com
【解答】解：∵AB，
AC，
BC，
∴AB2+AC2＝BC2＝10，
∴△ABC是直角三角形，
设BC边上的高为h，
则S，
∴h，
即BC边上的高是，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，三角形的面积公式，判断出△ABC是直角三角形是解题的关键．2·1·c·n·j·y
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上且AD＝BD，M是BD的中点，若AC＝16，BC＝8，则CM等于（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】根据勾股定理得出BD，进而利用直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：设BD＝x，则CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝16﹣x，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2＝BC2+CD2，
即：x2＝82+（16﹣x）2，
解得：x＝10，
∴BD＝10，
∵M是BD的中点，
∴CM＝5，
故选：A．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出BD解答．
5．如图，在同一水平线上有相距8m的两棵树AB和CD，其中树AB高8m，大风将树AB折断，树的顶端B恰好落在AC的中点E处，则树的折断点离地面的高度是（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A．6m B．5m C．4m D．3m
【分析】根据题意表示出AE＝4m，设AF＝xm，则EF＝（8﹣x） m，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：如图所示：根据题意可得，AE＝4m，设AF＝xm，则EF＝（8﹣x） m，
在Rt△AEF中，
AF2+AE2＝EF2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
树的折断点离地面的高度是3m．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（　　）
A． B．16 C．8 D．
【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可求E＝CE＝4，利用三角形外角的性质结合等腰三角形的性质可求解∠AEC＝90°，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，BD＝8，
∴AE＝CEBD＝4，
∴∠ABE＝∠BAE，∠CBE＝∠BCE，
∵∠AED＝∠ABE+∠BAE＝2∠ABE，∠CED＝∠CBE+∠BCE＝2∠CBE，
∴∠AEC＝2∠ABE+2∠CBE＝2∠ABC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴S△ACEAE CE4÷4＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形斜边上的中线的性质，三角形外交的性质，三角形的面积，求解AE，CE的长及∠AEC＝90°可求解△ACB的面积．
7．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝　6　．
【分析】设BC＝x，AF可用含x的式子表示，CF可以根据勾股定理求出，然后用x表示出BF，在Rt△ABF中，利用勾股定理，可建立关于x的方程，即可得出BF的长．
【解答】解：由折叠的性质知：AD＝AF，DE＝EF＝8﹣3＝5；
在Rt△CEF中，EF＝DE＝5，CE＝3，由勾股定理可得：CF＝4，
若设AD＝AF＝x，则BC＝x，BF＝x﹣4；
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
82+（x﹣4）2＝x2，解得x＝10，
故BF＝x﹣4＝6．
故答案为：6．
【点评】考查了勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．
8．如图，AB＝BC且AB⊥BC，点P为线段BC上一点，PA⊥PD且PA＝PD，若∠A＝26°，则∠D的度数为 　19°　．
【分析】如图，作DH⊥BC交BC的延长线于H．只要证明△ABP≌△PHD（AAS），得出AB＝PH，PB＝DH，∠A＝∠DPH＝26°，由AB＝CB，推出BC＝PH，推出PB＝CH＝DH，可得∠DCH＝45°即可解决问题．
【解答】解：如图，作DH⊥BC交BC的延长线于H．
∵AB⊥BC，DH⊥BC，PA⊥PD，
∴∠B＝∠APD＝∠H＝90°，
∴∠A+∠APB＝90°，∠APB+∠DPH＝90°，
∴∠A＝∠DPH，
∵PA＝PD．
∴△ABP≌△PHD（AAS），
∴AB＝PH，PB＝DH，∠A＝∠DPH＝26°，
∵AB＝CB，
∴BC＝PH，
∴PB＝CH＝DH，
∴∠DCH＝45°，
∵∠DCH＝∠DPC+∠PDC，
∴∠PDC＝19°．
故答案为：19°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．www.21-cn-jy.com
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F．△BCE和△AEF的面积分别为S1和S2，若2S1＝3S2，则CE的长为 　2　．21教育名师原创作品
【分析】作辅助线GH过点E，且GH∥AB，构造一线三垂直模型，用EH分别表示出S1和S2的值，列出关于EH的式子，求出EH即可求出CE．
【解答】解：如图，作GH过点E，且GH∥AB，
∵∠HBE+∠HEB＝90°，∠HEB+∠GEF＝90°，
∴∠HBE＝∠GEF，
∵AC为正方形的对角线，
∴CH＝EH，
∴HB＝GE，
在△HBE和△GEF中，
，
∴△HBE≌△GEF（ASA），
∴GF＝EH，
设EH＝a，AF＝6﹣2a，
，，
∵2S1＝3S2，
∴6a＝3（a2﹣9a+18），
解得a＝2，
∴CE2，
故答案为2．
【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，关键是要能作出辅助线GH，构造一线三垂直模型，出现需要判定的全等三角形，将AF用EH表示出来．2-1-c-n-j-y
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
①当t＝　2　秒时，△PBQ为等边三角形；
②当t＝　1.5或　秒时，△PBQ为直角三角形．
【分析】（1）由题意得AP＝2tcm，BQ＝tcm，BP＝AB AP＝（6 2t）cm，再由等边三角形的性质得到PB＝BQ，即6 2t＝t，解方程即可；
（2）讨论∠PQB＝90°或∠BPQ＝90°时，利用PB与BQ之间的关系，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，
∴∠B＝60°，
∴当PB＝BQ时，△PBQ是等边三角形，
由题意得AP＝2tcm，BQ＝tcm，
∴BP＝AB AP＝（6 2t）cm，
∴6 2t＝t，
解得t＝2，
∴当t＝2时，△PBQ为等边三角形；
故答案为：2．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴当△PBQ为直角三角形时，只能是∠PQB＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠PQB＝90°时，如图，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQBP，
∵BP＝（6 2t）cm，BQ＝tcm，
∴t（6 2t），
解得t＝1.5；
当∠BPQ＝90°时，如图，
∴∠PQB＝30°，
∴BQ＝2BP，
∴t＝2（6 2t），
解得t，
综上所述，当t＝1.5或t时△PBQ为直角三角形．
故答案为：1.5或．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质、解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握含30度角的直角三角形的性质．21教育网
11．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，CD＝1，BD⊥AC，则BC的长度为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【分析】先根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出BC．
【解答】解：∵AC＝5，CD＝1，
∴AD＝5﹣1＝4，
在Rt△ABD中，BD3，
在Rt△BCD中，BC，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
12．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，D为AB中点且DE⊥AB，交BC于点E，AC＝6cm，则BE等于（　　）21cnjy.com
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝15°，再利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，从而可得∠B＝∠BAE＝15°，然后利用三角形的外角性质可得∠AEC＝30°，再在Rt△AEC中，利用含30度角的直角三角形可求出AE的长，即可解答．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝15°，
∵D为AB中点且DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠B＝∠BAE＝15°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，
∵AC＝6cm，
∴AE＝2AC＝12（cm），
∴BE＝AE＝12cm，
故选：D．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若CD＝3，BD＝4，则BE的长为（　　）
A．5 B． C． D．2
【分析】利用角平分线的性质得DE＝CD＝3，再利用勾股定理求出BE即可．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝3，
∵BD＝4，
∴BE，
故选：B．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的性质和勾股定理是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（　　）
A．4 B． C． D．5
【分析】过A作AE⊥BC于点E，根据勾股定理计算出底边上的高AE的长，然后计算三角形的面积，再以AC为底，利用三角形的面积计算出AC边上的高BD即可．【出处：21教育名师】
【解答】解：过A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AE⊥BC，
∴EB＝ECCB＝3，
在Rt△ABE中，AE4，
∴S△ABC AC BD BC AE6×4＝12，
∴5×BD＝12，
解得BD．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合．
15．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形．如图所示，已知∠A＝90°，正方形ADOF的边长是2，CF＝6，则BD的长为（　　）
A．6 B．2 C．4 D．8
【分析】设BD＝x，正方形ADOF的边长为2，则AD＝AF＝2，根据全等三角形的性质得到CF＝CE，BE＝BD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：正方形ADOF的边长为2，则AD＝AF＝2，
设BD＝x，
∵△BDO≌△BEO，△CEO≌△CFO，
∴BD＝BE，CF＝CE，
∴AB＝x+2，AC＝6+2＝8，BC＝x+6，
∵AC2+AB2＝BC2，
∴（x+2）2+82＝（x+6）2，
∴x＝4，
∴BD＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为　32　度．21·世纪*教育网
【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠DEB＝116°，根据直角三角形的性质得到DE＝BEAC，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵∠BAD＝58°，
∴∠DEB＝116°，
∵DE＝BEAC，
∴∠EBD＝∠EDB＝32°，
故答案为：32．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，推出A，B，C，D四点共圆是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝　3　．
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，由旋转的性质可得AD＝AC，BE＝BC，利用“一线三等角“证得∠D＝∠CAF，从而可判定△DAM≌△ACF（AAS），则DM＝AF．同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），则BF＝EN＝2，再由AB＝5，可得AF，即DM的值．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：
∵旋转，
∴AD＝AC，BE＝BC，
∵DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，CF⊥AB于点F，
∴∠AMD＝∠AFC＝∠BFC＝∠BNE＝90°，
∴∠D+∠DAM＝90°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠CAF+∠DAM＝90°，
∴∠D＝∠CAF，
∴在△DAM和△ACF中，
，
∴△DAM≌△ACF（AAS），
∴DM＝AF．
同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），
∴BF＝EN＝2，
∵AB＝5，
∴AF＝3，
∴DM＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为 　2　．
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，求得BD的长，在Rt△ADF中运用勾股定理求得DF的长，即可得到DF长，最后在Rt△DOF中求得FO的长，即可得到答案．
【解答】解：如图，连接BD，交FG于O，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分BD，
Rt△ABD中，BD，
由折叠可得DOBD＝3，∠BFO＝∠DFO，
由AB∥CD可得，∠DFO＝∠BGO，
∴∠DFO＝∠BGO，
∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形，
∴BD平分FG，
∴OF＝OG，
由折叠知，BF＝DF，
设BF＝DF＝x，则AF＝18﹣x，
在Rt△ABF中，（18﹣x）2+62＝x2，
解得x＝10，即DF＝10，
∴Rt△DOF中，OF，
∴FG＝2FO＝2．
故答案为：2．
【点评】本题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，勾股定理以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据勾股定理列方程求解．21世纪教育网版权所有
19．将一等腰直角的三角板△ABC如图放置在平面直角坐标系中，若∠ABC＝90°．
（1）若如图①放置时，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标；
（2）若如图②放置时，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标．
【分析】（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，再利用边角关系证明∴△BCD≌△ABO，求出CD＝1，OD＝3，即可得出答案；21*cnjy*com
（2）过B作x轴的垂线，交x轴于点D，过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E，再利用边角关系证明△ABD≌△BCE，求出CE＝1，DE＝4，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，
∵A（0，﹣4），B（1，0），
∴OA＝4，OB＝1，
∴∠ABC＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠CBD+∠OBA＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
∵AB＝BC，∠AOB＝∠BDC＝90°，
∴△BCD≌△ABO（AAS），
∴CD＝BO＝1，BD＝AO＝4，
∴OD＝3，
∴点C坐标为（﹣3，1）；
（2）过B作x轴的垂线，交x轴于点D，过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E，
∵A（0，0），B（3，1），
∴OD＝3，BD＝1，
∵∠ABC＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠CBE+∠OBD＝90°，∠BAD+∠OBD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴CE＝BD＝1，BE＝AD＝3，
∴DE＝4，
∴点C的横坐标为3﹣1＝2，
∴点C坐标为（2，4）．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，利用全等三角形的判定定理证出三角形全等是解题关键．
20．如图，在射线MB上，MB＝10，A是射线外一点，AB＝5，且A到射线MB的距离AC＝3，动点P从点M出发，沿射线MB方向以1个单位/秒的速度运动，设点P运动的时间为t秒．解答下列问题．
（1）当t为何值时，△PAB是等腰三角形；
（2）当t为何值时，△PAB是直角三角形．
【分析】（1）先由勾股定理求出BC＝4，再分三种情况进行讨论：①若BA＝BP；②若AB＝AP；③若PA＝PB．分别列出方程求解即可；
（2）先由勾股定理求出，再分两种情况进行讨论：①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，则t＝6；②当∠BAP＝90°时，根据勾股定理列方程，求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝3，
由勾股定理可得BC＝4．
由题意可得MP＝t．
当△PAB是等腰三角形时，分三种情况：
①若BA＝BP，如图1．
则有|10﹣t|＝5，
解得t＝5或15；
②若AB＝AP，如图2．
则有PB＝2BC，故有10﹣t＝8，
解得t＝2；
③若PA＝PB，如图3．
则有，
解得．
综上，当t为5或15或2或时，△PAB是等腰三角形．
（2）由MP＝t，BP＝|10﹣t|，由勾股定理可得．
当△PAB是直角三角形时，分两种情况：
①当∠APB＝90°时，如图4．
点P与点C重合，则t＝6；
②当∠BAP＝90°时，如图5．
则有，解得．
综上，当t为6或时，△PAB是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．
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