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新浙教版数学八年级（上）
2.7 探索勾股定理(2)
（1）直角三角形的内角有什
么特点？
（2）怎样判定一个三角形是
是直角三形？
反过来，有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
直角边
A
斜边
B
直角边
C
A
C
B
直角三角形有一个内角是直角,另外两个锐角互余。
1、若c为直角△ABC的斜边，b、a为直角
边，则a、b、c的关系为___________
2、在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，CD⊥AB，
若BC=15，AC=20，则AB＝_____，
AD＝＿＿，BD＝＿＿，CD＝＿＿。
3、在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，CD、CE
分别是AB边上的高和中线，若AC＝6，
BC＝8，则DE＝＿＿＿。
a2＋b2＝c2
16
25
9
12
1.4
(1)、要求每组画一个三角形,使其三边长分别为:
（1）3cm, 4cm, 5cm；（2）5cm, 12cm,13cm；
（3）6cm, 8cm, 10cm；
(2)、算一算较短两条边的平方和与最长一条边的平方是否相等
三边 较短两条边的平方和 最长一条边的平方
3 4 5
5 12 13
8 15 17
25
25
169
169
289
289
(3)、再用量角器量一量最大的角，判断它们是否是直角三角形？
三边 较短两条边的平方和 最长一条边的平方
3 4 5
5 12 13
8 15 17
25
25
169
169
289
289
由此你得到怎样的结论
由此你得到怎样的结论
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
即如果三角形的三边长a，b，c有关系
那么这个三角形是直角三角形.
1.想一想:上述哪条边所对的角是直角
2.能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）。 如3、4、5； 6、8、10； 5、12、13。
例1 、根据下列条件，分别判断以a, b, c为边的三角形是不是直角三角形
（1）a＝7，b＝24，c＝25
解：（1）∵72+242＝252，
∴以7, 24, 25为边三角形是直角三角形
小结:
比较较短两条边的平方和与最长一条边的平方
想一想:上述哪条边所对的角是直角
例2、已知△ABC三条边长分别为a,b,c,且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m,n是正整数)。△ABC是直角三角形吗？请说明理由.
解：∵ a=m2－n2，b=2mn，c＝m2＋n2
∴a2+b2=(m2－n2)2+(2mn)2
＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2
＝(m2＋n2)2
＝m4＋2m2n2＋n4
＝c2
∴△ABC是直角三角形
1、如图在△ABC中AB=4,BC=2,BD=1,CD=
判断下列结论是否正确，并说明理由
(1) CD ⊥AB; (2) AC⊥BC
D
A
C
B
解(1)∵BC2=BD2 +CD2=4
(2)∵AC2=AD2+CD2=12
∴∠CDB=90°
∴CD⊥AB
AC2+BC2=16=AB2
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
B
C
S1
S2
S3
是直角三角形吗？
合作探究：
A
C
S1
S2
S3
B
如下图中分别以 三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则
1、如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD的面积
┐
D
B
A
C
2、 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。
∟
∟
A
B
C
D
5
3、已知△ABC的三条边长分别为a、b、c，且满足关系：
2b(c+2b)+(2c+a)(2c-a)=3(b+c)2-4bc ,
试判断△ABC的形状，并说明理由.
归纳小结
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
c
b
A
B
C
(1)
如果三角形两边的平方和等于第三边平方,
那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形的判定方法之一：登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.7 探索勾股定理（2） （巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、根据下列条件,分别判断以为边的三角形是否直角三角形.
(1) ;(2)
2、以下不能构成直角三角形三边长的数据是…………………………………………（ ）
A. B. C. D.
3、已知：在△ABC中，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m、n是正整数，且m>n。
试判断△ABC的形状.
4、在△中，若，则△是……………………（ ）
. 锐角三角形 . 钝角三角形 . 等腰三角形 . 直角三角形
答案：D
5、如图1，已知：在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD BD.则△ABC是直角三角形.请说明理由.21·cn·jy·com
6、如图2，正方形ABCD中，E为AD的 ( http: / / www.21cnjy.com )中点，G为DC上一点，且DG= DC，请问：BE与EG垂直吗？为什么？ 2·1·c·n·j·y
第二部分
1.若一个三角形中有两个角分别为40°、50°,则这个三角形是 三角形.
2.(02贵阳市)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，AC＝8，则BC＝ ．
3.一个三角形的三边分别记为,若,则这个三角形是 三角形.
4.若一个三角形的三条边分别为,则这个三角形是 三角形.
5. 请完成以下未完成的勾股数：9、40、 ， 8、 、17.
6. 下列结论:①三个角度之比为1∶2∶3 ( http: / / www.21cnjy.com )的三角形是直角三角形;②三边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形;③三边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形;④三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形.其中正确的有 .(填序号)【来源：21·世纪·教育·网】
7.根据下列条件,判断下面以为边的三角形是否直角三角形.
(1) ;(2) (3)
9.如图4，已知：AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD。问：BC⊥BD吗？为什么？
10. 观察下表：
列举 猜想
3，4，5 32=4+5
5，12，13 52=12+13
7，24，25 72=24+25
… … … … … …
13，b,c 132= b +c
请你结合该表格及相关知识，求出b, c的值.
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )5、如图1，已知：在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD BD.则△ABC是直角三角形.请说明理由.21世纪教育网版权所有
解:∵CD⊥AB, ∴∠BDC= ∠ADC=90°.
由勾股定理：在Rt△ACD中，AC2=AD2+DC2，
在Rt△BCD中，BC2=BD2+DC2 ,
又 ∵CD2=ADBD,
∴ AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD BD+BD2=(AD+BD)2=AB2.
∴△ABC是直角三角形（直角三角形的判别条件）.
6、如图2，正方形ABCD中，E为AD的中 ( http: / / www.21cnjy.com )点，G为DC上一点，且DG= DC，请问：BE与EG垂直吗？为什么？ 21cnjy.com
分析：连结BG，运用勾股逆定理证△BEG为直角三角形
解：连结BG，设DG=x (以便数形结合，用代数方法判别)
则DC=4a，ED=2a，AE=2a，AB=4a。
∵Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2=20a2，
Rt△EDG中，EG2=5a2，
Rt△BCG中，BG2=BC2+CG2=25a2
∴△BEG中，BG2=BE2+EG2
∴△BEG为直角三角形，BE⊥EG
第二部分
1.若一个三角形中有两个角分别为40°、50°,则这个三角形是 三角形.
答案：直角
2.(02贵阳市)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，AC＝8，则BC＝ ．
答案：6
3.一个三角形的三边分别记为,若,则这个三角形是 三角形.
答案：直角
4.若一个三角形的三条边分别为,则这个三角形是 三角形.
答案：直角
5. 请完成以下未完成的勾股数：9、40、 ， 8、 、17.
答案：41 15
6. 下列结论:①三个角度 ( http: / / www.21cnjy.com )之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形;②三边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形;③三边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形;④三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形.其中正确的有 .(填序号)21教育网
答案：①②④
7.根据下列条件,判断下面以为边的三角形是否直角三角形.
(1) ;(2) (3)
答案：(1)能；(2)不能；(3)能.
9.如图4，已知：AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD。问：BC⊥BD吗？为什么？www.21-cn-jy.com
解：∵AB⊥AD, AB=4, DA=3,
∴BD2==5
又∵52+122=132, ∴BD2+BC2=CD2, 即BC⊥BD.
10. 观察下表：
列举 猜想
3，4，5 32=4+5
5，12，13 52=12+13
7，24，25 72=24+25
… … … … … …
13，b,c 132= b +c
请你结合该表格及相关知识，求出b, c的值.
解：, c=b+1=85.
图1
图2
图4
图1
图2
图4
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