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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识
1.2定义与命题2
【知识重点】
1.命题：命题是判断一件事情的语句，即命题一定要对某件事情下结论，不管这个结论是对还是错.
2.真命题和假命题：真命题：正确的命题称为真命题； 假命题：不正确的命题称为假命题.
3.举反例：举一个例子，若符合该命题的条件，而不符合该命题的结论，这种例子叫做反例，这种方法称为举反例.要说明一个命题是假命题，通常举一个反例即可.命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．
4.公理：是人们在长期实践中总结出来的正确的命题(真命题)，它不需要用其他的方法来证明，是作为判断其他命题的依据.如初一几何中我们过的主要公理有： ①经过两点有一条直线，并且只有一条直线． ②经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③同位角相等，两直线平行．
④两直线平行，同位角相等．
5.定理:用推理的方法判断正确的命题叫做定理.定理也可以作为判断其他命题的依据. 例如前面学过的定理有:“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三边”，“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”等都是定理．
【经典例题】
【例1】下列语句是假命题的有（ ）
A．同角的余角相等
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．同位角相等
D．同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
【例2】下列说法中：①两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条高交于一点；④有公共顶点且相等的两个角是对顶角；⑤平行于同一条直线的两条直线平行；其中正确的个数是 ．
【例3】命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”是 命题.（执“真”或“假”）
【例4】判断下面命题的真假，若是假命题，请举出反例说明:
①一个三角形的3个内角中至少有1个钝角；
②若三条线段a，b，c满足a+b>c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形；
③个位数字是5的整数，能被5整除；
④对于所有的自然数n，代数式n2-n+11的值都是质数；
【基础训练】
1．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂直于同一直线的两直线平行
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
B．，则
C．与互为相反数，则与互为相反数
D．的平方根是2
3．下列命题：①立方根是它本身的数只有3个；②的立方根是与；③无立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；是真命题的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
4．下列命题中是真命题的是（ ）
A．在同一平面内的三条直线a、b、c，若a⊥b，b∥c，则a⊥c
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．平行于同一条直线的两条直线互相垂直
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
5．同旁内角互补是 （填“真”或“假”）命题．
6．把下列命题补充完整，使之成为真命题：“在同一平面内的直线a，b，c，若a⊥b，b∥c，则 .”
7．将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成 ，该命题是 （填“真命题”或“假命题”）．
8．命题“如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0”是 （填“真命题”或“假命题”）
9．“平行于同一条直线的两条直线平行”是 命题（填“真”或“假”）．
10．下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
①内错角相等；
②两直线平行，同旁内角互补；
③若x=2，则x+1>1；
④不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号应改变方向；
⑤三角形两边之和大于第三边．
【培优训练】
11．对于命题“如果，那么，下面四组关于的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
13．下列命题中：①相等的角是对顶角；②两直线平行，同旁内角相等；③不相交的两条线段一定平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，其中真命题的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
14．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．如果，那么与是对顶角
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．两直线平行，同旁内角相等
D．等角的余角相等
15．下列四个命题中，真命题的是（ ）
A．三角形中至少有两个锐角
B．内错角相等
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．两直线平行，同旁内角相等
16．用一个a的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是 ．
17．能说明命题：“若两个角，互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”是假命题的反例是 .
18．下列命题中：①两点的所有连线中，线段最短；②不等式两边加同一个数，不等号的方向改变；③等式两边加同一个数，结果仍相等；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．是假命题的是： （填编号）
19．命题“a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c”是 ．（填写“真命题”或“假命题”）
20．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中假命题的是 ．（填写序号）
21．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
（1）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．
（2）两个负数的差一定是负数．
22．如图，①AB CD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2=90°，④DE平分∠BDC.
（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由.
【直击中考】
23．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A．x＝ ﹣1 B．x＝ +1 C．x＝3 D．x＝ ﹣
24．能说明“锐角 ，锐角 的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）.
A．B．C．D．
25．命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 （填“真命题”或“假命题”）．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识（解析版）
1.2定义与命题2
【知识重点】
1.命题：命题是判断一件事情的语句，即命题一定要对某件事情下结论，不管这个结论是对还是错.
2.真命题和假命题：真命题：正确的命题称为真命题； 假命题：不正确的命题称为假命题.
3.举反例：举一个例子，若符合该命题的条件，而不符合该命题的结论，这种例子叫做反例，这种方法称为举反例.要说明一个命题是假命题，通常举一个反例即可.命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．
4.公理：是人们在长期实践中总结出来的正确的命题(真命题)，它不需要用其他的方法来证明，是作为判断其他命题的依据.如初一几何中我们过的主要公理有： ①经过两点有一条直线，并且只有一条直线． ②经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③同位角相等，两直线平行．
④两直线平行，同位角相等．
5.定理:用推理的方法判断正确的命题叫做定理.定理也可以作为判断其他命题的依据. 例如前面学过的定理有:“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三边”，“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”等都是定理．
【经典例题】
【例1】下列语句是假命题的有（ ）
A．同角的余角相等
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．同位角相等
D．同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
【答案】C
【解析】A、同角的余角相等，是真命题；
B、平行于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；
C、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
D、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，是真命题.
故答案为：C.
【例2】下列说法中：①两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条高交于一点；④有公共顶点且相等的两个角是对顶角；⑤平行于同一条直线的两条直线平行；其中正确的个数是 ．
【答案】2
【解析】①两条平行线被第三条直线所截，所得的内错角相等，故①不符合题意；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②符合题意；
③三角形的三条高所在的直线交于一点，故③不符合题意；
④有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，故④不符合题意；
⑤平行于同一条直线的两条直线平行，故⑤符合题意；
故答案为：2
【例3】命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”是 命题.（执“真”或“假”）
【答案】假
【解析】比如，但，所以命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”是假命题.
故答案为：假.
【例4】判断下面命题的真假，若是假命题，请举出反例说明:
①一个三角形的3个内角中至少有1个钝角；
②若三条线段a，b，c满足a+b>c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形；
③个位数字是5的整数，能被5整除；
④对于所有的自然数n，代数式n2-n+11的值都是质数；
【答案】解：①假命题，锐角三角形；
②假命题，a=2，b=5，c=3；
③真命题；
④假命题，n=11
【解析】（1）根据三角形按角分类可以分为：锐角三角形，直角三角形、钝角三角形进而再根据三类三角形的定义即可判断；
（2）根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边即可判断该命题是假命题，反例是： a=2，b=5，c=3 ，满足 a+b>c ，但不能围成三角形；
（3）根据能被5整除的数的特点即可判断；
（4）约数只有1和它本身的数就是质数，根据定义判断该命题的真假，举出的反例只要能满足命题的题设，同时又不满足命题的结论即可.
【基础训练】
1．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂直于同一直线的两直线平行
【答案】B
【解析】A. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原选项是假命题，不符合题意；
B. 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短，原选项是真命题，符合题意；
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原选项是假命题，不符合题意；
D. 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，原选项是假命题，不符合题意；
故答案为：B.
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
B．，则
C．与互为相反数，则与互为相反数
D．的平方根是2
【答案】C
【解析】A、同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线平行，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
B、，则，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
C、与互为相反数，则与互为相反数，原命题是真命题，故本选项符合题意；
D、因为，则的平方根是，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
3．下列命题：①立方根是它本身的数只有3个；②的立方根是与；③无立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；是真命题的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【解析】①立方根是它本身的数有0，，共3个，故①为真命题；
②的立方根是，故②是假命题；
③的立方根为，故③是假命题；
④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故④为真命题；
综上，真命题是①④；
故答案为：C.
4．下列命题中是真命题的是（ ）
A．在同一平面内的三条直线a、b、c，若a⊥b，b∥c，则a⊥c
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．平行于同一条直线的两条直线互相垂直
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】A
【解析】A.在同一平面内的三条直线a、b、c，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，为真命题；
B.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题为假命题；
C.平行于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题为假命题；
D.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题为假命题；
故答案为：A.
5．同旁内角互补是 （填“真”或“假”）命题．
【答案】假
【解析】只有两条平行线形成的同旁内角才互补，故这个命题是假命题．
故答案为：假．
6．把下列命题补充完整，使之成为真命题：“在同一平面内的直线a，b，c，若a⊥b，b∥c，则 .”
【答案】a⊥c
【解析】在同一平面内的直线a，b，c，若a⊥b，b∥c，则a⊥c.
故答案为：a⊥c.
7．将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成 ，该命题是 （填“真命题”或“假命题”）．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等；真命题
【解析】把“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等；这个命题符合题意，是真命题，
故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，真命题．
8．命题“如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0”是 （填“真命题”或“假命题”）
【答案】真命题
【解析】∵a，b互为相反数，
∴b=-a，
∴a+b=a+（-a）=0，
∴命题“如果a，b互为相反数，那么a+b=0”是真命题，
故答案为：真命题
9．“平行于同一条直线的两条直线平行”是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【解析】根据平行公理可知“平行于同一直线的两直线互相平行”是真命题．故答案为：真．
10．下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
①内错角相等；
②两直线平行，同旁内角互补；
③若x=2，则x+1>1；
④不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号应改变方向；
⑤三角形两边之和大于第三边．
【答案】解：①内错角相等是假命题，应该是两直线平行，内错角相等.
②两直线平行，同旁内角互补，真命题；
③若x＝2，则：x＋1＞1，真命题；
④不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号应改变方向，真命题.
⑤三角形两边之和大于第三边，真命题.
故由分析可知，真命题是②③④⑤，假命题是①.
【培优训练】
11．对于命题“如果，那么，下面四组关于的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A. 满足若则故A不能说明这个命题是假命题，故此题不符合题意.
B.满足若则故B不能说明这个命题是假命题，故此题不符合题意.
C.满足若则故C能说明这个命题是假命题，故此题符合题意.
D.满足若则故D不能说明这个命题是假命题，故此题不符合题意.
故答案为：C.
12．下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】∵当，时，，但是，
∴，但是，
∴，是假命题的反例.
其他选项不能说明.
故答案为：C.
13．下列命题中：①相等的角是对顶角；②两直线平行，同旁内角相等；③不相交的两条线段一定平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，其中真命题的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】①相等的角不一定是对顶角，故该命题是假命题；
②两直线平行，同旁内角互补，故该命题是假命题；
③不相交的两条线段不一定平行，故该命题是假命题；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故该命题是真命题；
故真命题有1个，
故答案为：B.
14．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．如果，那么与是对顶角
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．两直线平行，同旁内角相等
D．等角的余角相等
【答案】D
【解析】A.如果，那么与是对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
B.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，不符合题意；
C.两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意；
D.等角的余角相等，正确，是真命题，符合题意.
故答案为：D.
15．下列四个命题中，真命题的是（ ）
A．三角形中至少有两个锐角
B．内错角相等
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．两直线平行，同旁内角相等
【答案】A
【解析】三角形中至少有两个锐角，故A属于真命题；
两直线平行，内错角相等，故B属于假命题；
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，故C属于假命题；
两直线平行，同旁内角互补，故D属于假命题.
故答案为：A.
16．用一个a的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】当a=时，a2=，，而＜2，
∴命题“若a>0，则a2>”是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
17．能说明命题：“若两个角，互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”是假命题的反例是 .
【答案】，
【解析】若两个角，互补，则这两个角不一定一个是锐角一个是钝角，
如，，
故答案为：，.
18．下列命题中：①两点的所有连线中，线段最短；②不等式两边加同一个数，不等号的方向改变；③等式两边加同一个数，结果仍相等；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．是假命题的是： （填编号）
【答案】②④
【解析】【解答】①两点的所有连线中，线段最短，是真命题，不符合题意；
②不等式两边加同一个数，不等号的方向改变，是假命题，符合题意．真命题应为“不等式两边加同一个数，不等号的方向不变”；
③等式两边加同一个数，结果仍相等，是真命题，不符合题意；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，符合题意．真命题应为“两平行直线被第三条直线所截，同位角相等”．
故答案为：②④．
19．命题“a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c”是 ．（填写“真命题”或“假命题”）
【答案】假命题
【解析】如图，a⊥b，b⊥c，但是a∥c．
所以，该命题是假命题，
故答案为：假命题．
20．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中假命题的是 ．（填写序号）
【答案】③
【解析】①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，符合题意，是真命题；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，符合题意，是真命题；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，不符合题意，应该是b∥c，故原命题是假命题；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，符合题意，是真命题．
假命题有③，
故答案为：③．
21．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
（1）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．
（2）两个负数的差一定是负数．
【答案】（1）解：假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．
（2）解：假命题．反例：(－5)－(－8)＝＋3.
22．如图，①AB CD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2=90°，④DE平分∠BDC.
（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由.
【答案】（1）解：由题意可得：条件②③④，结论：①；条件①③④，结论：②；条件①②④，结论：③；条件①②③，结论：④.
（2）解：当选取条件②③④，结论：①时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
又∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴AB CD
当选取条件①③④，结论：②时
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵DE平分∠BDC
∴∠CDE=∠2
∴∠ABE+∠2=90°
∴∠ABE=∠1
∴BE平分∠ABD
当选取条件①②④，结论：③时
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC
∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∴2∠1+2∠2=180°
∴∠1+∠2=90°
当选取条件①②③，结论：④时
∵AB CD
∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABE+∠CDE=90°
又∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠1
∴∠1+∠CDE=90°
∴∠CDE=∠2
∴DE平分∠BDC
【直击中考】
23．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A．x＝ ﹣1 B．x＝ +1 C．x＝3 D．x＝ ﹣
【答案】C
【解析】A、 （ ﹣1 ）2=3-2 为无理数，不符合题意；
B、 （ +1 ）2=3+2 为无理数，不符合题意；
C、∵ （3 ）2= 18为有理数，∴该命题为假命题，符合题意；
D、（ ﹣ ）2=5-2为无理数，不符合题意；
故答案为：C.
24．能说明“锐角 ，锐角 的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、如图1，∠1是锐角，且∠1= ，所以此图说明“锐角 ，锐角 的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；
B、如图2，∠2是锐角，且∠2= ，所以此图说明“锐角 ，锐角 的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；
C、如图3，∠3是钝角，且∠3= ，所以此图说明“锐角 ，锐角 的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；
D、如图4，∠4是锐角，且∠4= ，所以此图说明“锐角 ，锐角 的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
25．命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 （填“真命题”或“假命题”）．
【答案】真命题
【解析】∵三角形内角和为180°，
∴三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题；
故答案为：真命题.
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