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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识
1.3 证明2
【知识重点】
1.三角形的外角及外角的性质
外角：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫该三角形的外角.三角形一个顶点有两个外角.
2. 重要结论：
（1）三角形三个内角的和等于180°；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形的外角和为360°.
3. 证明几何命题的一般格式
（1）按题意画出图形；
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
（3）在“证明”中写出推理过程. 推理过程要结合图形，用“∵……”，“∴……”的形式表达出来. 在书写推理过程时要求学生弄清推理论证的结构和每一步推理的因果关系.
4.注意：
(1)有些题目已经画好图形，写好已知和求证，这时只需要写出“证明的过程”即可；
(2)证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内.推理的依据主要有：已知的定义、基本事实、定理（包括推论）等.推理的书写格式一定要严密、规范；
(3)在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添加辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线.
【经典例题】
【例1】如图，是的一个外角，E是边AB上一点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（ ）
A．105° B．120° C．75° D．45°
【例3】如下图，等于（ ）
A．90° B．120° C．180° D．360°
【例4】如图，线段、相交于点，连接、，和的平分线和相交于点，则与、之间存在的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【例5】如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；……；与的平分线交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例6】如图，将△ABC沿着直线l折叠，使点B落在点F的位置，若∠1﹣∠2＝70°，则∠B的度数是 °．
【例7】如图，的平分线与的外角的平分线相交于点P．若，求的度数．
【基础训练】
1．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝50°，∠ACD＝120°，则∠A＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
2．图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，，，则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
4．下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．20° C．15° D．14°
6．如图，在中，延长至D，延长至E，如果，则 ．
7．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A= ．
8．如图，的大小关系是 （填>，=或<）．
9．一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，，在边上，点在边上，，相交于点，，，则的度数为 .
10．如图，，，平分，求的度数.
11．如图，在中，，，，求的度数.
12．如图，是的高，平分交于E．若，，求的度数．
13．已知中，于点D，AE平分，过点A作直线，且，．
（1）求的外角的度数；
（2）求的度数．
【培优训练】
14．如图，将一副三角板按如图所示的方式放置，图中等于（ ）
A． B． C． D．
15．一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
16．如图，D为边BC延长线上一点，与的平分线交于点，与的平分线交于点与的平分线交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在中，平分，，且分别交，，及的延长线于点，，，，若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
18．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC＝110°，则∠D＝（ ）度．
A．15° B．20° C．25° D．30°
19．如图，，BF，DF分别平分和，，与互补，则的度数为 .
20．如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…的平分线与的平分线交于点，设，则 ．
21．如图，在中，，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ．
22．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 .（填写所有正确结论的序号）
①；②；③；④.
23．如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF；则以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；其中正确的结论有 .
24．已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 .
25．如图，在四边形中，，点、分别在、边上，连接交于，．
（1）求证：；
（2）若，，，求和的度数．
26．【问题背景】∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）【问题思考】如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ ．
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝70°，则∠D＝ ▲ °．
②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（3）【问题拓展】在图②的基础上，如果∠MON＝a，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝ .（用含a的代数式表示）
27．
（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究、与的关系；
（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；
（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程.
【直击中考】
28．如图，直线，截线c，d相交成30°角，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
29．一副三角板如图放置，，，，则 ．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识（解析版）
1.3 证明2
【知识重点】
1.三角形的外角及外角的性质
外角：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫该三角形的外角.三角形一个顶点有两个外角.
2. 重要结论：
（1）三角形三个内角的和等于180°；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形的外角和为360°.
3. 证明几何命题的一般格式
（1）按题意画出图形；
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
（3）在“证明”中写出推理过程. 推理过程要结合图形，用“∵……”，“∴……”的形式表达出来. 在书写推理过程时要求学生弄清推理论证的结构和每一步推理的因果关系.
4.注意：
(1)有些题目已经画好图形，写好已知和求证，这时只需要写出“证明的过程”即可；
(2)证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内.推理的依据主要有：已知的定义、基本事实、定理（包括推论）等.推理的书写格式一定要严密、规范；
(3)在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添加辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线.
【经典例题】
【例1】如图，是的一个外角，E是边AB上一点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＞∠A，不符合题意．
B、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠1是△BEC的一个外角，∠BCD与∠1无法比较大小，符合题意．
C、∠2是△AEC的一个外角，则∠2＞∠3，不符合题意．
D、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＝∠A＋∠B，不符合题意．
故答案为：B．
【例2】如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（ ）
A．105° B．120° C．75° D．45°
【答案】A
【解析】如图，
∵∠ABD=90°，∠ABC=45°，∠D=60°，
∴∠CDB=∠ABD-∠ABC=90°-45°=45°，
∵∠1=∠D+∠CBD，
∴∠1=60°+45°=105°.
故答案为：A
【例3】如下图，等于（ ）
A．90° B．120° C．180° D．360°
【答案】C
【解析】【解答】延长BE，交AC于点G，如图，
∵，，
∴
故答案为： C
【例4】如图，线段、相交于点，连接、，和的平分线和相交于点，则与、之间存在的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】和的平分线和相交于点，
，，
，
，
得：，
，
即．
故答案为：B.
【例5】如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；……；与的平分线交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC=（∠A+∠ABC）=∠A+∠A1BC，
∴∠A1=∠A=×64°=32°；
∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A1，
∴∠A1=∠A，
同理可得∠A1=2∠A2，
∴∠A2=∠A，
∴∠A=2n∠An，
∴∠An=()n∠A=，
∵∠An的度数为整数，
∵n=6.
故答案为：C.
【例6】如图，将△ABC沿着直线l折叠，使点B落在点F的位置，若∠1﹣∠2＝70°，则∠B的度数是 °．
【答案】35
【解析】如图，
由折叠的性质得：∠F=∠B，
根据三角形的外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠2=∠3-∠F=∠3-∠B，
∴∠1-∠2=∠3+∠B-（∠3-∠B）=2∠B=70°，
则∠B=35°．
故答案为：35.
【例7】如图，的平分线与的外角的平分线相交于点P．若，求的度数．
【答案】解：∵是的外角，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【基础训练】
1．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝50°，∠ACD＝120°，则∠A＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【解析】由三角形的外角的性质可知，
∠A＝∠ACD﹣∠B＝70°.
故答案为：C.
2．图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，，，则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵是的外角，，，
∴，
故答案为：C
3．如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
【答案】C
【解析】∵DE⊥AB，∠A＝35°，
∴∠CFD=∠AFE＝90°-∠A＝90°-35°＝55°，
又∵∠D=15°，
∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．
故答案为：C．
4．下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A.如图：
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠1+∠3，
∵ab，
∴∠ACD=∠2，
∴∠2=∠1+∠3，故A不符合题意；
B.如图：延长AD交BF于点C，
∵ab，
∴∠1=∠ACF，
∵∠ACF=∠3+∠2，
∴∠1=∠3+∠2，故B符合题意；
C.如图：过点A作ABa，
∴∠2+∠CAB=180°，
∵ab，
∴ABb，
∴∠1+∠BAD=180°，
∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°，故C不符合题意；
D.如图：延长DA交直线b于点C，
∵ab，
∴∠2=∠DCB，
∵∠3=∠1+∠DCB，
∴∠3=∠1+∠2，故D不符合题意；
故答案为：B．
5．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．20° C．15° D．14°
【答案】C
【解析】如图，∠2=30°，∠1=∠3﹣∠2=45°﹣30°=15°．
故答案为：C．
6．如图，在中，延长至D，延长至E，如果，则 ．
【答案】50°
【解析】∵，∠1+∠ABC=180°，
∴∠2-∠ABC=50°，即∠2=∠ABC+50°，
∵∠2=∠ABC+∠A，
∴∠A=50°．
故答案为：50°.
7．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A= ．
【答案】 或80度
【解析】由三角形的外角性质得： ，
，
，
解得 ，
故答案为： ．
8．如图，的大小关系是 （填>，=或<）．
【答案】<
【解析】∵是的内角，是的外角，
∴，
故答案为：．
9．一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，，在边上，点在边上，，相交于点，，，则的度数为 .
【答案】15°
【解析】是直角三角形，，，
，
，
，
故答案为：15°.
10．如图，，，平分，求的度数.
【答案】解：，平分，
，
，
，
.
11．如图，在中，，，，求的度数.
【答案】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
∴．
12．如图，是的高，平分交于E．若，，求的度数．
【答案】解：是的高，，
，
平分交于E，
，
，
．
13．已知中，于点D，AE平分，过点A作直线，且，．
（1）求的外角的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵AE平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【培优训练】
14．如图，将一副三角板按如图所示的方式放置，图中等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，，，
∴，
∴，
故答案为：D.
15．一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【解析】如图，
∵∠DBC=90°，∠C=45°，∠A=30°，
∴∠BDC=90°-∠C=90°-45°=45°，
∴∠ADE=∠BDC=45°，
∴∠α=∠A+∠ADE=30°+45°=75°.
故答案为：D
16．如图，D为边BC延长线上一点，与的平分线交于点，与的平分线交于点与的平分线交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在△ABC中，∠A=∠ACD-∠ABC，
∵∠ABC的角平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=，
同理可得
……
以此类推，，
又∵，
∴，∴.
故答案为：D.
17．如图，在中，平分，，且分别交，，及的延长线于点，，，，若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】平分，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，，
，
故答案为：A．
18．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC＝110°，则∠D＝（ ）度．
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【解析】如图，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠OCB，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠OCB+2∠OBC+∠A=180°，
∴∠OCB+∠OBC=90°﹣∠A，
又∵∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°，
∴90°﹣∠A+∠BOC=180°，
∴∠BOC=90°+∠A，
∵∠BOC=110°，
∴∠A=40°，
∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，
∴2∠D=∠A，
∴∠D=∠A=20°，
故答案为：B.
19．如图，，BF，DF分别平分和，，与互补，则的度数为 .
【答案】36°
【解析】如图延长FB交CD于G
∵BF∥ED
∴∠F=∠EDF，
又∵DF平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED
∴∠CGF=∠EDF=2∠F，
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE
∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F与∠ABE互补
∴∠F+∠ABE=180°即5∠F=180°，
解得∠F=36°
故答案为：36°.
20．如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…的平分线与的平分线交于点，设，则 ．
【答案】
【解析】∵ 是 的外角， 是 的外角，
∴ ，
∵ 的平分线与 的平分线交于点 ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∵ ，
∴ ，
同理： = ，
……
∴ ，
当 时，
．
故答案为： ．
21．如图，在中，，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ．
【答案】70°
【解析】∵三角形的外角和的平分线交于点E，
∴，，
∵，，
∴
，
∴，
故答案为：．
22．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 .（填写所有正确结论的序号）
①；②；③；④.
【答案】①②④
【解析】，的平分线交于点O，
，，
，
，
，
，
，故①正确，
平分，
，
，，
，故②正确；
，，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，故③错误；
，
，
，
.故④正确，
综上正确的有：①②④，
故答案为：①②④.
23．如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF；则以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；其中正确的结论有 .
【答案】①②③
【解析】∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，
∴②正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF＝2∠DCF，
∵∠ACB+∠ACF＝180°，∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴2∠ABD+2∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠ADC＝90°，故③正确；
故答案为：①②③.
24．已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 .
【答案】265°
【解析】
由折叠知：，.
，，
.
，
，
.
.
故答案为：.
25．如图，在四边形中，，点、分别在、边上，连接交于，．
（1）求证：；
（2）若，，，求和的度数．
【答案】（1）证明：如下图，
∵∠1＝∠BAC，
∴AB∥EF，
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD.
（2）解：由（1）可知：AB∥EF，
∴∠B+∠BFE＝180°，
∵∠BFE＝∠2+∠3，∠2=45°，∠3=20°，
∴∠BFE＝65°，
∴∠B＝115°，
又∵∠1是△AGF的外角，∠CAF=15°，
∴∠1＝∠3+∠GAF＝35°，
∵EF∥CD，
∴∠ACD＝∠1＝35°．
26．【问题背景】∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）【问题思考】如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ ．
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝70°，则∠D＝ ▲ °．
②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（3）【问题拓展】在图②的基础上，如果∠MON＝a，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝ .（用含a的代数式表示）
【答案】（1）135°
（2）解：①45
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化， 设∠BAD=，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=，
∵BC平分∠ABN， ∴∠ABC=，
∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=；
（3）
【解析】（1） ，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=，∠ABE=，
∴∠BAE+∠ABE==45°，
∴∠AEB=135°； 故答案为：135°；
（2）①∵∠AOB=90°，∠BAO=，
∴∠ABO=，
∴∠ABN=，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD=∠CBN=，
∵AD平分∠BAO， ∴∠DAB=，
∴∠D=180°-∠ABD-∠BAD =，
故答案为：；
（3）设 而
∵∠BAO与的平分线交于点
而
故答案为：
27．
（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究、与的关系；
（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；
（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程.
【答案】（1）解：∠1=2∠A+∠2，理由如下，
由折叠的性质可知∠AED=∠A1ED，∠ADE=∠A1DE，
∴∠ADE=∠A1DE=，∠2=2∠AED-180°，
∴∠AED=，
∵∠A+∠AED=∠EDB=∠1+∠A1DE，
∴∠A+∠2+90°=∠1+90°-∠1，
∴∠1=2∠A+∠2；
（2）解：∵，，，
∴，
∵的平分线，与的外角平分线交于点N，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下；
由折叠的性质可知，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【直击中考】
28．如图，直线，截线c，d相交成30°角，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠A＝30°，∠2＝∠4＋∠A，
∴，故A符合题意．
故答案为：A．
29．一副三角板如图放置，，，，则 ．
【答案】105
【解析】如图，
∵ ，
∴ ，
， ，
，
故答案为：105.
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