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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识（解析版）
1.5 全等三角形的判定1
【知识重点】
1.全等三角形判定1:三边对应相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”） ；
2.三角形的稳定性:当三角形的三条边确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
3.证明两个三角形全等的过程的一般格式:（1）准备条件：把题中没有直接给出的相等条件证明出来，一般由线段的中点、两条线段的和或差、等量代换获得；（2）确定范围：在哪两个三角形中；（3）摆齐条件：把要证明的两个三角形全等的所需的三组条件按顺序摆好，并用大括号括在一起，注意对应元素放在对应位置上，依据写在每一步后面的括号内（如下图）；（4）得出结论：得出三角形全等的结论.
如图，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
4.方法技巧:（1）证明两条线段相等和两个角相等可以通过两个三角形全等来实现；
（2）要充分挖掘隐含条件，如公共边、边的中点等；
（3）要抓住图形特征，有时需要运用等式的性质找出证明三角形全等缺少的相等的条件，从而实现两个三角形全等；
（4）巧妙作出辅助线，沟通图形的关系，为证明打开通道.
【经典例题】
【例1】下列命题属于假命题的是( )
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．三边对应相等的两个三角形全等
C．全等三角形的对应边相等
D．全等三角形的面积相等
【答案】A
【解析】A、三个角对应相等的两个三角形，只是形状一定相同，大小不一定一样，故不一定全等，所以此选项说法错误，是假命题；
B、根据全等三角形的判定方法“SSS”三边对应相等的两个三角形全等，所以此选项说法正确，是真命题；
C、能完全重合的两个三角形全等，所以全等三角形的对应边相等，所以此选项说法正确，是真命题；
D、能完全重合的两个三角形全等，所以全等三角形的面积相等，所以此选项说法正确，是真命题.
故答案为：A.
【例2】安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【解析】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性；
故答案为：A．
【例3】已知：如图，点在同一条直线上，.求证：.
【答案】证明：∵，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴.
【例4】如图，，，求证：.
【答案】证明：在和中，
，
≌，
.
【基础训练】
1．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据三角形的稳定性可得，B、C、D都不具有稳定性，具有稳定性的是A选项.
故答案为：A.
2．如图，要使一个七边形木架不变形，至少要再钉上木条的根数是（ ）
A．1根 B．2根 C．3根 D．4根
【答案】D
【解析】过七边形的一个顶点作对角线，有条对角线，
所以至少要钉上4根木条．
故答案为：D．
3．如图是用尺规作的平分线的示意图，那么这样作图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【解析】连接CE、CD，
在△OEC和△ODC中，
，
∴△OEC≌△ODC(SSS)，
故答案为：A.
4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，则过角尺顶点C的射线便是的平分线在证明时运用的判定定理是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【解析】在和中，
，
，
，
即是的平分线；
故答案为：A.
5．如图，点A，E，B，F在同一直线上，AC=FD，BC=ED，请添加一个条件，使△ABC≌△FED
【答案】答案不唯一，例如AB=EF
【解析】【解答】已知 AC=FD，BC=ED，可根据判定定理SSS进行补充，AB=EF
6．我国传统工艺中，油纸伞如图①制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.图②是撑开的油纸伞的截面示意图，已知，，则 其依据是 .
【答案】AFG；SSS
【解析】在和中，
，
∴.
故答案为：AFG，SSS.
7．如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是 ．
【答案】根据三角形稳定性解答
【解析】∵给凳子加了两根木条，形成两个三角形，
是利用了三角形的稳定性.
故答案为：三角形的稳定性.
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，求证：△ABD≌△ACD．
【答案】证明：在△ABD 和△AC中，
∴△ABD≌△ACD．
9．已知：如图(没图)，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF
【答案】证明：∵AF=DC
∴AF-CF=DC-CF
即AC=DF
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SSS)
10．如图，AC=BD，BC=AD，求证：△ABC≌△BAD．
【答案】证明：在△ABC与△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD．
11．如图，B，E，C，F在一条直线上，，，，求证：.
【答案】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴.
12．如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，
求证：
（1）BC=EF
（2）
△ABC≌△DEF
（3）AB∥DE
【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF.
（2）证明：在△ABC与△DEF 中，
∵
∴ △ABC≌△DEF .
（3）证明：∵ △ABC≌△DEF ，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE.
【培优训练】
13．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．E，G之间 B．A，C之间 C．G，H之间 D．B，F之间
【答案】A
【解析】【解答】工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：A.
14．如图， 中， ， ，直接使用“SSS”可判定( )
A． ≌ B． ≌
C． ≌ D． ≌
【答案】B
【解析】根据AB=AC，BE=EC，AE=AE可以推出△ABE≌△AACE，理由是SSS，
其余△ABD≌△ACD，△BED≌△CED不能直接用SSS定理推出，△ABE和△EDC不全等，
故答案为：B
15．如图，OA＝OB，AC＝BC，∠ACO＝30°，则∠ACB＝ °.
【答案】60
【解析】在与中，
，
∴≌（SSS），
∴，
∴.
故答案为：60.
16．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AC、BC上的点，且AD=DE，AB=BE，∠A=70°，则∠CED= 度．
【答案】110
【解析】∵AD=DE，AB=BE
又 BD= BD
∴△ABD≌△EBD（SSS）
∴∠BED=∠A=70°
∴∠CED=180°-∠BED=180°-70°=110°
故答案为110.
17．如图，△ACD是等边三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE＝ °.
【答案】125
【解析】∵△ACD是等边三角形，
，
在与中，
故答案为：125.
18．如图，在 ABC和 DEC中，AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB.点E在AB上，若∠ACE＝2∠ECB＝50°，则∠D＝ .
【答案】27.5°
【解析】∵2∠ECB＝50°，
∴∠ECB＝25°，
∵CE＝CB，
∴∠B＝∠CEB＝ ＝77.5°，
又∵∠ACE＝50°，∠ECB＝25°，
∴∠ACB＝∠ACE＋∠ECB＝75°，
∴∠A＝180°－∠ACB－∠B＝27.5°，
∵在 ABC和 DEC中，
，
∴ ，
∴ ，
∵∠A＝27.5°，
∴∠D＝27.5°，
故答案为：27.5°.
19．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BC的异侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠BFD＝130°，求∠ACB的度数.
【答案】（1）证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）解：∵∠BFD＝130°，∠BFD+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝50°，
由（1）知，△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴∠ACB＝50°.
20．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上.
（1）求证：∠EAC＝∠BAD；
（2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数.
【答案】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，
∴△ABC≌△ADE.
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE.
即∠EAC＝∠BAD；
（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，
∴∠AEC＝∠C＝ ×(180°－∠EAC)＝ ×(180°－42°)＝69°.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED＝∠C＝69°，
∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°.
【直击中考】
21．如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．
【答案】证明： ，
，
在 和 中，
，
，
．
22．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
（1）求证：ΔABC≌DEF；
（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
【答案】（1）解：∵AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CF∴AC=DF在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）解：由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识
1.5 全等三角形的判定1
【知识重点】
1.全等三角形判定1:三边对应相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”） ；
2.三角形的稳定性:当三角形的三条边确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
3.证明两个三角形全等的过程的一般格式:（1）准备条件：把题中没有直接给出的相等条件证明出来，一般由线段的中点、两条线段的和或差、等量代换获得；（2）确定范围：在哪两个三角形中；（3）摆齐条件：把要证明的两个三角形全等的所需的三组条件按顺序摆好，并用大括号括在一起，注意对应元素放在对应位置上，依据写在每一步后面的括号内（如下图）；（4）得出结论：得出三角形全等的结论.
如图，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
4.方法技巧:（1）证明两条线段相等和两个角相等可以通过两个三角形全等来实现；
（2）要充分挖掘隐含条件，如公共边、边的中点等；
（3）要抓住图形特征，有时需要运用等式的性质找出证明三角形全等缺少的相等的条件，从而实现两个三角形全等；
（4）巧妙作出辅助线，沟通图形的关系，为证明打开通道.
【经典例题】
【例1】下列命题属于假命题的是( )
A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．三边对应相等的两个三角形全等
C．全等三角形的对应边相等 D．全等三角形的面积相等
【例2】安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【例3】已知：如图，点在同一条直线上，.求证：.
【例4】如图，，，求证：.
【基础训练】
1．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，要使一个七边形木架不变形，至少要再钉上木条的根数是（ ）
A．1根 B．2根 C．3根 D．4根
3．如图是用尺规作的平分线的示意图，那么这样作图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，则过角尺顶点C的射线便是的平分线在证明时运用的判定定理是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．如图，点A，E，B，F在同一直线上，AC=FD，BC=ED，请添加一个条件，使△ABC≌△FED
6．我国传统工艺中，油纸伞如图①制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.图②是撑开的油纸伞的截面示意图，已知，，则 其依据是 .
7．如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是 ．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，求证：△ABD≌△ACD．
9．已知：如图(没图)，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF
10．如图，AC=BD，BC=AD，求证：△ABC≌△BAD．
11．如图，B，E，C，F在一条直线上，，，，求证：.
12．如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，
求证：
（1）BC=EF
（2）
△ABC≌△DEF
（3）AB∥DE
【培优训练】
13．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．E，G之间 B．A，C之间 C．G，H之间 D．B，F之间
14．如图， 中， ， ，直接使用“SSS”可判定( )
A． ≌ B． ≌
C． ≌ D． ≌
15．如图，OA＝OB，AC＝BC，∠ACO＝30°，则∠ACB＝ °.
16．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AC、BC上的点，且AD=DE，AB=BE，∠A=70°，则∠CED= 度．
17．如图，△ACD是等边三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE＝ °.
18．如图，在 ABC和 DEC中，AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB.点E在AB上，若∠ACE＝2∠ECB＝50°，则∠D＝ .
19．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BC的异侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠BFD＝130°，求∠ACB的度数.
20．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上.
（1）求证：∠EAC＝∠BAD；
（2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数.
【直击中考】
21．如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．
22．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
（1）求证：ΔABC≌DEF；
（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
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