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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识（解析版）
1.5 全等三角形的判定2
【知识重点】
1.全等三角形判定2: 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）；
2.注意书写格式：边角边中的角是指两对应边的夹角，在证明过程中角一定要放在两组对应边的中间.
如图，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
3.灵活运用三角形全等判定（SSS、SAS）：在证明两个三角形全等时要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，然后再灵活运用三角形全等判定（SSS、SAS）判定两个三角形全等.
4.线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
5.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
6.全等变换的应用：全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换.
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换.
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换.
在三种变换，变换前后的图形的形状、大小不变，只是图形位置发生了改变，因此称之为全等变换.
【经典例题】
【例1】如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（ ）
A．AB⊥CD B．OA=OB C．∠ACD=∠BDC D．∠ABC=∠CAB
【答案】A
【解析】∵AC=AD，
∴点A在线段CD的垂直平分线上，
∵BC=BD，
∴点B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD，
∴AB⊥CD，
故答案为：A．
【例2】如图，点E、F在线段AC上，AF=CE，AD=CB，下列不能推断△ADF≌△CBE是( )
A．∠D=∠B B．∠A=∠C C．BE=DF D．AD//BC
【答案】A
【解析】A、由于AF=CE，AD=CB， 如果添加∠D=∠B，SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意；
B、由于AF=CE，AD=CB， 如果添加∠A=∠C，根据SAS，可以推出△ADF≌△CBE，本选项不符合题意；
C、由于AF=CE，AD=CB， 如果添加BE=DF，根据SSS，可以推出△ADF≌△CBE，本选项不符合题意；
D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，又AF=CE，AD=CB，根据SAS，可以推出△ADF≌△CBE，本选项不符合题意．
故答案为：A.
【例3】在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“x型转动钳”按如图方法进行测量，其中，测得，圆形容器的壁厚是 .
【答案】1
【解析】在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴圆柱形容器的壁厚是，
故答案为：1.
【例4】如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，求证：BE=CD。
【答案】证明：∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE即∠BAE=∠CAD
在△ABE和△CAD中
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴BE=CD.
【例5】如图，中，是中线，，，则的取值范围是 ．
【答案】1＜AD＜4
【解析】延长AD到点E ，使AD=ED，连接CE．
∵AD是△ABC的中线，
．
在△ABD与△ECD 中
，
∴△ABD≌△ECD（SAS） ，
，
在△AEC中， ，且 ，
即 ， ，
，
，
故答案为：1＜AD＜4.
【基础训练】
1．如图，点E、F在上，，，相交于点G，添加下列哪一个条件，可使得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、由，，，不能证明，不符合题意；
B、由，，，不能证明，不符合题意；
C、由，，，不能证明，不符合题意；
D、由即可证明，，，可以由 证明，符合题意；
故答案为：D.
2．内找一点P，使P到B、C两点的距离相等，并且P到C的距离等于A到C的距离.下列尺规作图正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵P到A、C两点的距离相等
∴P在AC的垂直平分线上
又∵P到C和A到C的距离相等
∴A、P在以C为圆心，AC为半径的圆上
故答案为：C.
3．如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等( )
A．BE B．AE C．DE D．DP
【答案】C
【解析】支杆DF需要更换，则所换长度应与ED的长度相等，理由如下：
如图：连接DF，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AED与△AFD中，
∵AE=AF，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴DF=ED，
∴ 支杆DF需要更换，则所换长度应与ED的长度相等.
故答案为：C.
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E两点，若，△ADC的周长为9 cm，则△ABC的周长是（ ）
A．6 cm B．12 cm C．15 cm D．24 cm
【答案】C
【解析】∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，AB=2AE=2×3=6cm，
∵△ADC的周长为9cm，
∴AD+CD+AC=9cm，
∴BD+CD+AC=9cm，即BC+AC=9cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=6+9=15cm，
故答案为：C.
5．如图，，添加下列条件，能用“”判断 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、添加可利用证明，故此选项不合题意；
B、添加可利用证明，故此选项不合题意；
C、添可利用证明，故此选项符合题意；
D、添加不能证明，故此选项不合题意；
故答案为：C．
6．如图所示，已知，，要证，需补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，
，即，
在和中，
，
，
要证，需补充的条件是，
故答案为：C．
7．如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 .（写出一个即可）
【答案】AC=AD（答案不唯一）
【解析】这个条件可以是，
在和中，
，
∴.
故答案为：AC=AD（答案不唯一）.
8．如图，在中，是的垂直平分线，3cm，的周长为12cm，则的周长是 .
【答案】18cm
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，
∴，
∵ 3cm，的周长为12cm，
∴cm，cm，
∴△ABC的周长是.
故答案为：18cm.
9．如图，有一个池塘，要测池塘两端 ， 的距离，可先在平地上取一个点 ，从点 不经过池塘可以直接达到点 和 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ，那么量出 的长度就是 ， 的距离，为什么？
【答案】证明：在 和 中，
10．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个正确的结论（要求写出已知，求证及证明过程）
【答案】解：a、在△ABD和△ACE中，已知①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2 ，
求证：④BD＝CE．
理由：∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE．
b、在△ABD和△ACE中，已知①AB＝AC；②AD＝AE；④BD＝CE，
求证③∠1＝∠2．
理由：在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠1＝∠2．
【培优训练】
11．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（ ）
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【答案】C
【解析】如图，延长AD至点E，使AD=DE，连接CE，
∵AD是边BC上的中线，
∴CD=BD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED，
∴AB=CE=6，
在△ACE中，8-6
∴1＜AD＜7.
故答案为：C.
12．如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．
C．DE＝GE D．CD＝BE
【答案】C
【解析】∵，，
∴
在和中
∴
∴
故A、D正确；
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故B正确；
∴选项C错误.
故答案为：C.
13．如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B=∠C，且∠EAC>90°，则根据图中标示的角，下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2，∠1<∠3 B．∠1=∠2，∠1>∠3
C．∠l≠∠2，∠1<∠3 D．∠1≠∠2，∠1>∠3
【答案】B
【解析】DE为AB的中垂线，则AD=BD，且∠BDE=∠ADE=90°，在△BDE和△ADE中，DE是公共边，根据SAS可知，△BDE≌△ADE，所以∠1=∠2。在△BDE和△ACE中，∠B=∠C，∠BDE=90°，而∠EAC>90°，根据三角形内角和为180°，则∠B+∠BDE+∠1=∠C+∠EAC+∠2，所以∠1>∠3；
故答案为：B。
14．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【答案】C
【解析】∵是的中线，
∴，
∴和面积相等，故①符合题意；
而和不一定相等，故②不符合题意；
在和中，
，
∴，故③符合题意；
∴，
∴，故④符合题意；
∵，
∴，故⑤不符合题意，
符合题意结论为：①③④，
故答案为：C．
15．如图，在中，于点D，C是上一点，，且点C在的垂直平分线上.若的周长为30，则的长为 .
【答案】15
【解析】∵于点D，，
∴，
∵点C在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故答案为：15.
16．如图，是的边的垂直平分线，垂足为E，交于点D，连接，若的周长为10，则的长为 ．
【答案】6
【解析】∵ 是 的边 的垂直平分线，
∴ ，
∵ 的周长为10，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
17．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝62°，则∠AEB＝ ．
【答案】152°
【解析】∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB ∠BCE＝∠ECD ∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD，
∴∠CAE＋∠CBE＝∠CBD＋∠CBE＝∠EBD＝62°，
在△ABC中，∠EAB＋∠EBA＝180° （∠ACB＋∠CAE＋∠CBE）＝180° （90°＋62°）＝28°，
在△ABE中，∠AEB＝180° （∠EAB＋∠EBA）＝180° 28°＝152°，
故答案为：152°．
18．如图所示， ， ， ，点 在线段 上，若 ， ，则 .
【答案】55°
【解析】
∵∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
∴∠1=∠CAE；
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠2=∠ABE=30°；
∵∠3=∠1+∠ABE，∠1=25°，
∴∠3=55°．
故答案为：55°．
19．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，点D为的中点，连接，此时，．求证：．
【答案】证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴AD是线段CE的垂直平分线，
∴，
∵EF垂直平分，
∴，
∴．
20．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F．若BE＝AC，BF＝9，CF＝6，则AF的长度为 ．
【答案】
【解析】如图，延长AD到G使DG＝AD，连接BG，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
在△ACD与△GBD中，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠CAD＝∠G，AC＝BG，
∵BE＝AC，
∴BE＝BG，
∴∠G＝∠BEG，
∵∠BEG＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠EAF．
∴EF＝AF，
∴AF+CF＝BF﹣AF，
即AF+6＝9﹣AF，
∴AF＝ ．
故答案为：.
21．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 .
【答案】2.4
【解析】如解图，延长到点G，使，
∵为边的中线，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴.
故答案为：2.4.
22．如图，在中，E是边上一点，平分交的延长线于点P，且，求证：
【答案】证明：平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
23．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，，求证：．
小明发现，延长AD到点H，使DH=AD，连结BH，构造，通过证明与全等，为等腰三角形，使问题得以解决（如图2）．请写出推导过程．
【答案】证明：延长到点，使
∵为中点
∴
在和中
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
24．如图，在中，，分别是，边上的高，在上截取，延长至点使，连接，．求证：；
【答案】证明：、分别是、两条边上的高，
，
，
，
在与中，，
，
；
25．综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在中，，是的平分线．
求证：．
（1）解决问题：小敏的证明思路：在上截取，连接．（如图2）
小洁的证明思路：延长至点E，使，连接．（如图3）
请你任意选择一种思路完成证明．
（2）问题升华：如图4，在中，若，，是外角的平分线，交的延长线于点D，则线段，，之间的数量关系又如何？请证明．
【答案】（1）解：小敏的证明思路：如图2，在上截取，连接．
∵是的平分线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
小洁的证明思路：如图3，延长至点E，使，连接，则，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图在的延长线上取一点E，使，连接，
平分，
在与中
，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【直击中考】
26．已知：如图，点、、、在一条直线上，且，，.求证：.
【答案】证明：∵，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴.
27．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
28．如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，即．
在与中，
，
∴≌（SAS）；
（2）解：由（1）得，
又∵和都是等腰直角三角形，
∴且，
在中∵且
∴，
∴．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识
1.5 全等三角形的判定2
【知识重点】
1.全等三角形判定2: 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）；
2.注意书写格式：边角边中的角是指两对应边的夹角，在证明过程中角一定要放在两组对应边的中间.
如图，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
3.灵活运用三角形全等判定（SSS、SAS）：在证明两个三角形全等时要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，然后再灵活运用三角形全等判定（SSS、SAS）判定两个三角形全等.
4.线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
5.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
6.全等变换的应用：全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换.
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换.
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换.
在三种变换，变换前后的图形的形状、大小不变，只是图形位置发生了改变，因此称之为全等变换.
【经典例题】
【例1】如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（ ）
A．AB⊥CD B．OA=OB C．∠ACD=∠BDC D．∠ABC=∠CAB
【例2】如图，点E、F在线段AC上，AF=CE，AD=CB，下列不能推断△ADF≌△CBE是( )
A．∠D=∠B B．∠A=∠C C．BE=DF D．AD//BC
【例3】在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“x型转动钳”按如图方法进行测量，其中，测得，圆形容器的壁厚是 .
【例4】如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，求证：BE=CD。
【例5】如图，中，是中线，，，则的取值范围是 ．
【基础训练】
1．如图，点E、F在上，，，相交于点G，添加下列哪一个条件，可使得（ ）
A． B． C． D．
2．内找一点P，使P到B、C两点的距离相等，并且P到C的距离等于A到C的距离.下列尺规作图正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等( )
A．BE B．AE C．DE D．DP
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E两点，若，△ADC的周长为9 cm，则△ABC的周长是（ ）
A．6 cm B．12 cm C．15 cm D．24 cm
5．如图，，添加下列条件，能用“”判断 的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，已知，，要证，需补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 .（写出一个即可）
8．如图，在中，是的垂直平分线，3cm，的周长为12cm，则的周长是 .
9．如图，有一个池塘，要测池塘两端 ， 的距离，可先在平地上取一个点 ，从点 不经过池塘可以直接达到点 和 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ，那么量出 的长度就是 ， 的距离，为什么？
10．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个正确的结论（要求写出已知，求证及证明过程）
【培优训练】
11．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（ ）
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
12．如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．
C．DE＝GE D．CD＝BE
13．如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B=∠C，且∠EAC>90°，则根据图中标示的角，下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2，∠1<∠3 B．∠1=∠2，∠1>∠3
C．∠l≠∠2，∠1<∠3 D．∠1≠∠2，∠1>∠3
14．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
15．如图，在中，于点D，C是上一点，，且点C在的垂直平分线上.若的周长为30，则的长为 .
16．如图，是的边的垂直平分线，垂足为E，交于点D，连接，若的周长为10，则的长为 ．
17．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝62°，则∠AEB＝ ．
18．如图所示， ， ， ，点 在线段 上，若 ， ，则 .
19．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，点D为的中点，连接，此时，．求证：．
20．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F．若BE＝AC，BF＝9，CF＝6，则AF的长度为 ．
21．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 .
22．如图，在中，E是边上一点，平分交的延长线于点P，且，求证：
23．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，，求证：．
小明发现，延长AD到点H，使DH=AD，连结BH，构造，通过证明与全等，为等腰三角形，使问题得以解决（如图2）．请写出推导过程．
24．如图，在中，，分别是，边上的高，在上截取，延长至点使，连接，．求证：；
25．综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在中，，是的平分线．
求证：．
（1）解决问题：小敏的证明思路：在上截取，连接．（如图2）
小洁的证明思路：延长至点E，使，连接．（如图3）
请你任意选择一种思路完成证明．
（2）问题升华：如图4，在中，若，，是外角的平分线，交的延长线于点D，则线段，，之间的数量关系又如何？请证明．
【直击中考】
26．已知：如图，点、、、在一条直线上，且，，.求证：.
27．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．
28．如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
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