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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识（解析版）
1.5 三角形全等的判定4
【知识重点】
一、三角形全等条件的再探索：在和中，每个三角形都有三条边，三个角，共6个元素，边简称（S），角简称（A）；通过探究人们发现用三组对应元素相等，就可以简捷的判定两个三角形全等；因此，6组元素构成如下组合，即：SSS、SAS、SSA、ASA、AAS、AAA，我们已经学习了用SSS、SAS、ASA可以判定两个三角形全等；（1）AAA是指三个角对应相等两个三角形，如
图①在，点D是AB上的点，点E是AC上的点，DE∥BC，则有∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，满足三组角对应相等，但△ADE与△ABC不能全等. （2）SSA是指两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形，如图②△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不能全等.这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. AAS是指两角和其中一条角的对边对应相等的两个三角形，它是真命题，可由ASA定理推出.
二、（1）全等三角形判定4:两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；
（2）注意书写格式：角角边中的边是指其中一个角的对边，在证明过程中边一定不要放在两组对应角的中间.
如图③，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
三、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
四、选择证明三角形全等的方法与技巧（“题目中找，图形中看”）
1.判定两个三角形全等的定理中，必须具备三组条件（直角三角形除外），且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，一定要先寻找相等的边.
2.灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.
（1）已知两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）；②任一组等角的对边相等(AAS).
（2）已知两边对应相等，可找：①夹角相等（SAS）；②第三组边也相等(SSS).
（3）已知一边一角对应相等，可找：①任一组角相等(AAS 或 ASA) ；②夹等角的另一组边相等(SAS).
五、全等三角形中的基本图形的构造与运用
（1）出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
（2）出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用加倍延长中线）
（3）利用加长（或截取）的方法解决线段的和、倍问题（转移线段）
【经典例题】
【例1】如图，，，，则不正确的结论是（ ）
A．与互为余角 B．
C．≌ D．
【答案】B
【解析】∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴B选项错误，符合题意；
∵∠B=∠E=90°，
∴∠1+∠A＝90°，∠2+∠D＝90°，
∴∠A＝∠2，
∴D选项正确，不符合题意；
∴∠A+∠D＝90°，
∴A选项正确，不符合题意；
在△ABC和△CED中，
∠A＝∠2，∠B=∠E=90°，AC=CD，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴C选项正确，不符合题意.
故答案为：B．
【例2】如图，A在上，F在上，且，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，，
∴.
∵，，，
∴.
在和中，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.DE＝5，AD＝9，则BE的长是（ ）
A．6 B．5 C．4.5 D．4
【答案】D
【解析】∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴EC＝AD＝9，BE＝DC，
∵DE＝5，
∴CD＝EC﹣DE＝4，
∴BE＝4.
故答案为：D.
【例4】如图，已知，E为的中点，若，，则 ．
【答案】3
【解析】∵，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【基础训练】
1．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O，若∠1=38°，则∠BDE的度数为（ ）
A．71° B．76° C．78° D．80°
【答案】A
【解析】AE和BD相交于点O，
，
在和中，∠A=∠B，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
即的度数为，
故答案为：A．
2．如图，中边上的高为中边上的高为，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】过点A作AM⊥BC交BC于点M，过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N，则有AM=h1，FN=h2；
在△AMC和△FNE中，
∵AM⊥BC，FN⊥DE，
∴∠AMC=∠FNE；
∵∠FED=115°，
∴∠FEN=65°=∠ACB；
∵又AC=FE，
∴△AMC≌△FNE；
∴AM=FN，
∴h1=h2.
故答案为：C.
3．如图，点D，E分别在线段上，与相交于O点，已知，添加一个条件能直接用“”判定，符合要求的条件是 ．
【答案】∠AEB=∠ADC（答案不唯一）
【解析】添加条件，
在和中，
，
∴，
故答案为：∠AEB=∠ADC（答案不唯一）．
4．如图，，且，于E，于F.若，，，则的长为 .
【答案】7
【解析】∵，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴.
故答案为：7.
5．如图，已知，为的中点，若，，则 ．
【答案】6
【解析】，
，，
在和中
，
≌，
，．
故答案为：6．
6．如图，点C在上，，，，，则的长为 ．
【答案】10
【解析】∵，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：10．
7．如图，点在同一直线上，，求证：.
【答案】解：证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴.
8．如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，，，，求证：.
【答案】证明：∵，
∴.
在和中，
，
∴（）.
∴，
∴，即.
9．已知：如图，点是线段上一点， ，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
10．如图，AD＝BD，∠CAD+∠CBD＝180°，求证：CD平分∠ACB.
【答案】解：证明：过点D作DE⊥CA于点E，DF⊥CB于点F，
∴∠AED＝∠BFD＝90°，
∵∠CAD+∠CBD＝180°，∠CAD+∠EAD＝180°，
∴∠CBD＝∠EAD，
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS），
∴DE＝DF，
∴点D在∠BCE的角平分线上，
∴CD平分∠ACB.
【培优训练】
11．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE=EF，AB∥EF，AD平分∠BAE，CE=3，AB=13，则CF=( )
A．10 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【解析】如图：延长FE交AD的延长线于点H，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠HAE，
∵FH∥AB，
∴∠H＝∠BAD，
∴∠H＝∠HAE，
∴EA＝EH＝EF，设CF＝x，则EF＝EA＝EH＝x＋3，
∵∠H＝∠BAD，∠HDC＝∠ADB，DC＝DB，
∴△HDC≌△ADB（AAS），
∴AB＝CH=13，
∴x＋3＋3＝13，
∴x＝7，
∴CF=7.
故答案为：C.
12．如图，中，，点为内一点，，，则（ ）
A．60° B．72° C．70° D．65°
【答案】B
【解析】如图，作于点D，延长交于点P，连接.
由题意可求出，
∵，
∴.
∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴ （），
∴.
∵，
∴
故答案为：B.
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，E为AB上一点，D为BC延长线上一点，连接DE，交AC于点F，过点E作EG∥BC交AC于点G.若CF＝GF，∠D＝35°，则下列结论错误的是（ ）
A．CD＝EG B．DF＝EF C．CD＝CF D．BD＝DE
【答案】D
【解析】∵EG∥BC，
∴∠FEG＝∠D，∠AEG＝∠ABC，∠AGE＝∠ACB，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠AEG＝∠AGE＝70°，
在△FEG和△FDC中，
，
∴△FEG≌△FDC（AAS），
∴EG＝DC，EF＝DF，故A，B选项正确；
∵∠GEF＝∠D＝35°，∴∠GFE＝70°﹣35°＝35°，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF，∴CD＝CF，故C选项正确；
∵∠DEB＝180°﹣70°﹣35°＝75°，∠B＝70°，∴∠DEB≠∠B，
∴BD≠ED，故D选项错误，
故答案为：D.
14．如图，已知AD是的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且连接BF，CE，下列说法中：①；②；③；④；⑤.正确的是（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．①③④ D．①③⑤
【答案】D
【解析】∵AD是的中线，
∴，故①正确，
∵AD为的中线，
∴，和不一定相等，故② 错误，
∵，
∴，
在和中，
∴，故③正确，
∴，故④错误，
∵，，
∴，故⑤正确，
故答案为：D.
15．如图，AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上，且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，则下列结论错误的是（ ）
A．△EBM≌△DCM
B．若S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点
C．MA平分∠EMD
D．若E是AB的中点，则BM+AC＜EM+BD
【答案】D
【解析】A、在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠C；
在△EBM和△DCM中
∴△EBM≌△DCM（AAS），故A不符合题意；
B、∵△EBM≌△DCM，
∴EM=DM，
∴△AEM≌△ADM（SSS），
∴S△AEM=S△ADM，
∵S△BEM=S△ADM，
∴S△EBM=S△AEM，
∴AE=BE，
∴点E是AB的中点，故B不符合题意；
C、∵△AEM≌△ADM，
∴∠AME=∠AMD，
∴MA平分∠EMD，故C不符合题意；
D、延长ME使NE=ME，连接AN，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEN和△BEM中
∴△AEN≌△BEM（SAS），
∴AN=BM，
在△ACN中
AN+AC＞NE+CE即BM+AC＞EM+BD，故D符合题意；
故答案为：D
16．如图，四边形中，，，，则的面积为 .
【答案】50
【解析】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
在 ACD与 CBE中，
∵，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴BE=CD=10，
∴的面积=CD BE=×10×10=50，
故答案为：50.
17．如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点F，若，则线段的长度为 .
【答案】5
【解析】∵是边上的高，是边上的高，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5.
18．如图所示，平分于点E，，那么的长度为 .
【答案】2
【解析】如图，在上截取，
因为，
所以直线是线段的垂直平分线，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以.
故答案为：2.
19．如图，在中，，，垂足分别为D，E，，交于点H，已知，，则 .
【答案】7
【解析】∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
故答案为：7．
20．如图，在中，，是的平分线，于E.
（1）求证：；
（2）若，求的周长.
【答案】（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
∴△DEC的周长为
.
21．如图，.
（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】（1）证明：在与中
（2）证明：，
，
又已知，
，
即：
22．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC.
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC.
【答案】（1）72
（2）证明：如图1中，∵∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB＝EC.
（3）证明：如图2中，延长BD到T.使得CD＝CT，
∵CD＝CT，
∴∠T＝∠CDT＝∠ADB，
∵BD＝CD，
∴BD＝CT，
在△ABD和△ECT中，
，
∴△ABD≌△ECT（AAS），
∴AB＝EC.
【解析】（1）如图1中，设∠C＝x.
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝2x，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝x，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝2x＝72°，
故答案为：72；
23．在中，，直线经过点C，且于D，于E．
（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
（2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
（3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】（1）证明：如图
①∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
②∵，
∴，，
∴．
（2）证明：
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当旋转到图3的位置时，所满足的等量关系是（或等）．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
24．如图：
（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．
求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为21，求△ACF与△BDE的面积之和．
【答案】（1）证明：∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）证明：∵∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
同理：∠BAE＝∠ACF，在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）解：如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵CD＝2BD，∴BC＝3BD，
∵S△ABC BC×AH，S△ABD BD×AH，
∴S△ABD S△ABC 21＝7
由（2）知，△ABE≌△CAF，
∴S△ABE＝S△CAF，
∴S△ACF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD＝7，
即：△ACF与△BDE的面积之和等于7．
25．如图①： 中， ，延长AC到E，过点E作 交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作 交AB的延长线于H，且 .
（1）求证： ≌ ；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若 ，求DH的长.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
又∵ ， ，
∴ .
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ （AAS）.
（2）解：∵ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ （AAS），
∴ .
【直击中考】
26．如图，点 ， 在线段 上， ， ， ，求证： .
【答案】证明： ，
，
在 与 中，
（AAS），
.
27．如图，已知 ， ， 与 相交于点O，求证： .
【答案】证明：
∵ ，
∴ （AAS），
∴ ，
∴ .
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识
1.5 三角形全等的判定4
【知识重点】
一、三角形全等条件的再探索：在和中，每个三角形都有三条边，三个角，共6个元素，边简称（S），角简称（A）；通过探究人们发现用三组对应元素相等，就可以简捷的判定两个三角形全等；因此，6组元素构成如下组合，即：SSS、SAS、SSA、ASA、AAS、AAA，我们已经学习了用SSS、SAS、ASA可以判定两个三角形全等；（1）AAA是指三个角对应相等两个三角形，如
图①在，点D是AB上的点，点E是AC上的点，DE∥BC，则有∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，满足三组角对应相等，但△ADE与△ABC不能全等. （2）SSA是指两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形，如图②△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不能全等.这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. AAS是指两角和其中一条角的对边对应相等的两个三角形，它是真命题，可由ASA定理推出.
二、（1）全等三角形判定4:两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；
（2）注意书写格式：角角边中的边是指其中一个角的对边，在证明过程中边一定不要放在两组对应角的中间.
如图③，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
三、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
四、选择证明三角形全等的方法与技巧（“题目中找，图形中看”）
1.判定两个三角形全等的定理中，必须具备三组条件（直角三角形除外），且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，一定要先寻找相等的边.
2.灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.
（1）已知两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）；②任一组等角的对边相等(AAS).
（2）已知两边对应相等，可找：①夹角相等（SAS）；②第三组边也相等(SSS).
（3）已知一边一角对应相等，可找：①任一组角相等(AAS 或 ASA) ；②夹等角的另一组边相等(SAS).
五、全等三角形中的基本图形的构造与运用
（1）出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
（2）出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用加倍延长中线）
（3）利用加长（或截取）的方法解决线段的和、倍问题（转移线段）
【经典例题】
【例1】如图，，，，则不正确的结论是（ ）
A．与互为余角 B．
C．≌ D．
【例2】如图，A在上，F在上，且，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.DE＝5，AD＝9，则BE的长是（ ）
A．6 B．5 C．4.5 D．4
【例4】如图，已知，E为的中点，若，，则 ．
【基础训练】
1．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O，若∠1=38°，则∠BDE的度数为（ ）
A．71° B．76° C．78° D．80°
2．如图，中边上的高为中边上的高为，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．如图，点D，E分别在线段上，与相交于O点，已知，添加一个条件能直接用“”判定，符合要求的条件是 ．
4．如图，，且，于E，于F.若，，，则的长为 .
5．如图，已知，为的中点，若，，则 ．
6．如图，点C在上，，，，，则的长为 ．
7．如图，点在同一直线上，，求证：.
8．如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，，，，求证：.
9．已知：如图，点是线段上一点， ，，．求证：．
10．如图，AD＝BD，∠CAD+∠CBD＝180°，求证：CD平分∠ACB.
【培优训练】
11．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE=EF，AB∥EF，AD平分∠BAE，CE=3，AB=13，则CF=( )
A．10 B．8 C．7 D．6
12．如图，中，，点为内一点，，，则（ ）
A．60° B．72° C．70° D．65°
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，E为AB上一点，D为BC延长线上一点，连接DE，交AC于点F，过点E作EG∥BC交AC于点G.若CF＝GF，∠D＝35°，则下列结论错误的是（ ）
A．CD＝EG B．DF＝EF C．CD＝CF D．BD＝DE
14．如图，已知AD是的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且连接BF，CE，下列说法中：①；②；③；④；⑤.正确的是（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．①③④ D．①③⑤
15．如图，AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上，且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，则下列结论错误的是（ ）
A．△EBM≌△DCM
B．若S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点
C．MA平分∠EMD
D．若E是AB的中点，则BM+AC＜EM+BD
16．如图，四边形中，，，，则的面积为 .
17．如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点F，若，则线段的长度为 .
18．如图所示，平分于点E，，那么的长度为 .
19．如图，在中，，，垂足分别为D，E，，交于点H，已知，，则 .
20．如图，在中，，是的平分线，于E.
（1）求证：；
（2）若，求的周长.
21．如图，.
（1）求证：；
（2）求证：.
22．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC.
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC.
23．在中，，直线经过点C，且于D，于E．
（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
（2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
（3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
24．如图：
（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．
求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为21，求△ACF与△BDE的面积之和．
25．如图①： 中， ，延长AC到E，过点E作 交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作 交AB的延长线于H，且 .
（1）求证： ≌ ；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若 ，求DH的长.
【直击中考】
26．如图，点 ， 在线段 上， ， ， ，求证： .
27．如图，已知 ， ， 与 相交于点O，求证： .
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