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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识（解析版）
1.4 全等三角形
【知识重点】
1.定义：（1）能够重合的两个图形称为全等图形；
（2）能够重合的两个三角形形称为全等三角形.
2.全等符号：全等用符号“≌”表示，读做“全等于”.如△ABC与△DEF全等，记作
“△ABC≌△DEF”，读作“△ABC全等于△DEF ”.
3.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边；互相重合的角叫做全等三角形的对应角.
4.对应关系的确定：对应角所对的边是对应边，对应边所的角是对应角.
5.全等三角形书写要求：对应顶点的字母放在对应位置上.
6.性质：★全等三角形的对应边相等，对应角相等.
【经典例题】
【例1】观察下列图案，其中与如图全等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】图形与为全等图形.
故答案为：B.
【例2】下列说法错误的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；
B．图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关；
C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形；
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等.
【答案】C
【解析】A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，不符合题意；
B、图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关，不符合题意；
C、全等图形的面积相等，但面积相等的两个图形不一定是全等图形，符合题意；
D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，不符合题意；
故答案为：C．
【例3】如图，，若，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
【答案】B
【解析】，，
；
故答案为：B.
【例4】如图的两个三角形是全等三角形，其中角和边的大小如图所示，那么∠1的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵两三角形全等，对应角相等，
∴．
故答案为：A．
【例5】如图，点A，O，B在同一直线上，且．证明：
（1）点C，O，D在同一直线上；
（2）．
【答案】（1）证明：∵≌，
∴．
∵点，，在同一直线上，
∵∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD+∠AOC＝180°，
∴点，，在同一直线上
（2）证明：∵≌，
∴∠A＝∠B，
∴
【例6】如图，在△ABC≌△DEC，点D在AB上，且AB∥CE，∠A＝75°，求∠DCB的度数.
【答案】解：∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝CD，∠ACB＝∠DCE，
∴∠A＝∠ADC，
∵∠A＝75°，
∴∠ADC＝75°，
∴∠ACD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∵AB∥CE，
∴∠DCE＝∠ADC＝75°，
∴∠ACB＝75°，
∴∠DCB＝75°﹣30°＝45°.
【基础训练】
1．下列各组图形中，属全等图形的是（ ）
A．周长相等的两个等腰三角形 B．面积相等的两个长方形
C．面积相等的两个直角三角形 D．周长相等的两个圆
【答案】D
【解析】A、两个周长相等的等腰三角形，不一定全等，故此选项错误；
B、两个面积相等的长方形，不一定全等，故此选项错误；
C、两个面积相等的直角三角形，不一定全等，故此选项错误；
D、两个周长相等的圆，半径一定相等，故两圆一定全等，故此选项正确．
故答案为：D.
2．如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：D
3．如图，点A，E，C在同一直线上，，，，则BC的长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．11
【答案】B
【解析】∵△ABC≌△DEC，
∴DC=AC=8，EC=BC，
∵EC=AC-AE，AE=3，
∴EC=8-3=5，
∴BC=5.
故答案为：B.
4．如图，△ABC≌△DEF，若∠A=100°，∠F=47°，则∠E的度数为（ ）
A．100° B．53° C．47° D．33°
【答案】D
【解析】∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D=100°，
∴∠E=180°-∠D-∠F=180°-100°-47°=33°.
故答案为：D
5．如图，若，，，，则的周长为 ．
【答案】12
【解析】∵，
∴，
∴则的周长，
故答案为：12．
6．如图，点A，D，C在同一条直线上，且，若，则的度数为 ．
【答案】30°
【解析】∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
7．如图， ，∠A＝45°，∠ACD＝80°，则∠DBC的度数为 °.
【答案】95
【解析】 ， ，
， ，
，
，
.
故答案为：95.
8．如图，△ABE≌△DCE，点A，C，B在一条直线上，∠AED和∠BEC相等吗？为什么？
【答案】解：相等；
理由：
∵△ABE≌△DCE，
∴∠AEB=∠DEC，
∴∠DEC-∠AEC=∠AEB-∠AEC，
即：∠AED=∠BEC.
9．如图，△ABO≌△CDO，点B在CD上，AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度数．
【答案】解：∵△ABO≌△CDO，
∴OB=OD，∠ABO=∠D，
∴∠OBD=∠D= （180°-∠BOD）= （180°-30）=75°，
∴∠ABC=180°-75°×2=30°，
∵AO∥CD
∴∠A=∠ABC=30°．
10．如图△ADF≌△BCE，∠B＝40°，∠F＝22°，BC＝2cm，CD＝1cm.求：
（1）
∠1的度数；
（2）
AC的长.
【答案】（1）解：∵
∴
由三角形外角的性质可得：
∠1的度数为
（2）解：∵
∴
∴即AC的长为
【培优训练】
11．下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④
【答案】A
【解析】①、②和④都可以完全重合，因此全等的图形是①和②.
故答案为：A.
12．如图，，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
故答案为：B.
13．如图，，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：B．
14．如图，点D，E，F分别在的边，，上（不与顶点重合），设，.若，则，满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴∠B=∠C，∠BED=∠EFC，
∵，，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴，，
∴，
∵在△EFC中，，
∴，即，
∴.
故答案为：B.
15．如图，若，且，，则 °.
【答案】50
【解析】∵，， ∴，
∵，，∴，
故答案为：50.
16．三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为 .
【答案】180°
【解析】如图所示：
由图形可得：，
∵三个三角形全等，
∴，
又∵，
∴，
∴的度数是180°.
故答案为：.
17．如图，，若，则的度数为 ．
【答案】60°
【解析】【解答】，
，，
∵，
；
，
；
故答案为：60°．
18．如图，，且∠EAB=120°，∠B=30°，∠CAD=10°，∠CFD= °．
【答案】95
【解析】∵，
∴∠EAD=∠CAB，
∵∠EAB=120°，∠CAD=10°，
∴∠EAD=∠CAB=55°，
∴∠CFD=∠FAB+∠B=10°+55°+30°=95°，
故答案为：95．
19．如图，已知△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，点D在BC上，∠BAE=114°，∠BAD=40°，则∠E的度数是 °.
【答案】36
【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠BAD=40°，
∴∠ABD=∠ADB= （180°-∠BAD）=70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ADE=∠ABD=70°，
∵∠BAE=114°，∠BAD=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=114°-40°=74°，
∴∠E=180°-∠ADE-∠DAE=180°-70°-74°=36°，
故答案为：36.
20．一个三角形的三条边长分别为 ， ，x，另一个三角形的三条边长分别为y， ， ，若这两个三角形全等，则 .
【答案】10
【解析】∵两个三角形全等，一个三角形的三条边长分别为5，7，x，另一个三角形的三条边长分别为y，5， 3 ，
∴x＝3，y＝7，
∴x＋y＝10，
故答案为：10.
21．已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边分别为3，m，n，△DEF的三边分别为5，p，q.若△ABC的三边均为整数，则m+n+p+q的最大值为 .
【答案】22
【解析】∵△ABC≌△DEF，
∴m，n中有一边长为5，
∴m，n与p，q中剩余的两边相等，
∴3+5=8
∵ p，q.若△ABC的三边均为整数，
∴剩余的两边的最大值为7，
∴m+n+p+q的最大值8+7+7=22.
故答案为：22.
22．如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且 ，求证： ．
【答案】证明： ，
， ，
，
．
23．如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D.
（1）求证：CE⊥AB；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长.
【答案】（1）证明：∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD＝∠DCF，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CDF＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3.
24．如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵≌，
∴∠BAC=∠DAE，
即∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE，
∴；
（2）解：∵，，
∴∠CAE=35°，
∵≌，
∴∠C=∠AED，
∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠AEB=∠AED+∠BED，
∴∠BED=∠CAE=35°．
25．
（1）如图，△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上，若BE=10，FC=2，求BF的长．
（2）如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，∠ACB=40°，∠A=70°，求证：AB//CE．
【答案】（1）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BC FC=EF FC，即BF=EC．
∵BE=10，FC=2，
∴BF+CE=BE FC=10 2=8，
∴BF=EC=4；
（2）证明：∵∠ACB=40°，
∴∠ACD=180° 40°=140°．
∵CE是△ABC外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE=∠ACD=70°．
∵∠A=70°，
∴∠A=∠ACE=70°，
∴AB//CE．
【直击中考】
26．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE
C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【答案】B
【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项不符合题意，B选项符合题意，
故答案为：B．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识
1.4全等三角形
【知识重点】
1.定义：（1）能够重合的两个图形称为全等图形；
（2）能够重合的两个三角形形称为全等三角形.
2.全等符号：全等用符号“≌”表示，读做“全等于”.如△ABC与△DEF全等，记作
“△ABC≌△DEF”，读作“△ABC全等于△DEF ”.
3.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边；互相重合的角叫做全等三角形的对应角.
4.对应关系的确定：对应角所对的边是对应边，对应边所的角是对应角.
5.全等三角形书写要求：对应顶点的字母放在对应位置上.
6.性质：★全等三角形的对应边相等，对应角相等.
【经典例题】
【例1】观察下列图案，其中与如图全等的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】下列说法错误的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；
B．图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关；
C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形；
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等.
【例3】如图，，若，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
【例4】如图的两个三角形是全等三角形，其中角和边的大小如图所示，那么∠1的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例5】如图，点A，O，B在同一直线上，且．证明：
（1）点C，O，D在同一直线上；
（2）．
【例6】如图，在△ABC≌△DEC，点D在AB上，且AB∥CE，∠A＝75°，求∠DCB的度数.
【基础训练】
1．下列各组图形中，属全等图形的是（ ）
A．周长相等的两个等腰三角形 B．面积相等的两个长方形
C．面积相等的两个直角三角形 D．周长相等的两个圆
2．如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A，E，C在同一直线上，，，，则BC的长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．11
4．如图，△ABC≌△DEF，若∠A=100°，∠F=47°，则∠E的度数为（ ）
A．100° B．53° C．47° D．33°
5．如图，若，，，，则的周长为 ．
6．如图，点A，D，C在同一条直线上，且，若，则的度数为 ．
7．如图， ，∠A＝45°，∠ACD＝80°，则∠DBC的度数为 °.
8．如图，△ABE≌△DCE，点A，C，B在一条直线上，∠AED和∠BEC相等吗？为什么？
9．如图，△ABO≌△CDO，点B在CD上，AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度数．
10．如图△ADF≌△BCE，∠B＝40°，∠F＝22°，BC＝2cm，CD＝1cm.求：
（1）
∠1的度数；
（2）
AC的长.
【培优训练】
11．下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④
12．如图，，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
13．如图，，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，点D，E，F分别在的边，，上（不与顶点重合），设，.若，则，满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，若，且，，则 °.
16．三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为 .
17．如图，，若，则的度数为 ．
18．如图，，且∠EAB=120°，∠B=30°，∠CAD=10°，∠CFD= °．
19．如图，已知△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，点D在BC上，∠BAE=114°，∠BAD=40°，则∠E的度数是 °.
20．一个三角形的三条边长分别为 ， ，x，另一个三角形的三条边长分别为y， ， ，若这两个三角形全等，则 .
21．已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边分别为3，m，n，△DEF的三边分别为5，p，q.若△ABC的三边均为整数，则m+n+p+q的最大值为 .
22．如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且 ，求证： ．
23．如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D.
（1）求证：CE⊥AB；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长.
24．如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
25．
（1）如图，△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上，若BE=10，FC=2，求BF的长．
（2）如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，∠ACB=40°，∠A=70°，求证：AB//CE．
【直击中考】
26．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE
C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
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