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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识（解析版）
1.1 认识三角形1
【知识重点】
1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形. “三角形” 用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形记做“△ABC”读作“三角形ABC”.三角形基本元素（三条边、三个内角、三个顶点）.
2.性质：（1）三角形内角和为180°.（2）三角形任何两边之和大于第三边；三角形的任何两边之差小于第三边（两点之间线段最短）
注：判断三条线段能否组成三角形，只有把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较.
4.考点
(1)给出三条线段的长判断这三条线段能否组成三角形；(2)已知三角形的两边的长求三角形的第三边长或周长的取值范围；（3）由三角形三个内角的关系求三角形内角的度数或根据三角形三个内角的度数判定三角形的形状.
【经典例题】
【例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6 B．5，8，13 C．4，4，7 D．3，4，8
【答案】C
【解析】A、∵2+3＜6，∴2、3、6三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵5+8=13，∴5、8、13三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵4+4＞7，∴4、4、7三条线段能为围成三角形，故此选项符合题意；
D、∵3+4＜8，∴3、4、8三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【例2】若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【解析】∵直角三角形的一个锐角为40°，
∴另一个锐角为90°-40°=50°.
故答案为：B
【例3】如图，直线，且于点C，若，则的度数为 .
【答案】55°
【解析】，
.
在中，，
，
，
.
，
.
故答案为：55°.
【例4】已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是 三角形．
【答案】直角
【解析】设∠A=x°，则∠B=2 x°，∠C=3 x°，
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴x°+2 x°+3 x°=180°
∴x°=30°
∴∠C=3 x°=90°
∴△ABC是直角三角形
故答案为直角
【例5】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂直为D，∠1=∠B，∠C=67°，求∠BAC的度数
【答案】解：
AD⊥BC，
△ADB=90°
在△ABD中，∠2=∠1
=（180°﹣∠ADB）
=（180°﹣90°）
=45°
在△ABD中，
∠C=67°，
∠BAC=180°﹣∠C﹣∠2
=180°﹣67°﹣45°
=68°
【基础训练】
1．如果一个三角形的两边长都是6，则第三边的长不能是( )
A．3 B．6 C．9 D．13
【答案】D
【解析】设第三边长为x，
∴x＞0，x＜12，
∴x的取值范围为0＜x＜12，
∵13＞12，
∴第三边长不能为13.
故答案为：D
2．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②∠A+∠B＝∠C；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，
∴∠C＝3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确；
②∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，故本小题正确；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，故本小题正确；
④∵∠A＝∠B＝2∠C，
∴5∠C＝180°，解得∠C＝36°，
∴∠A＝∠B＝72°，故本小题错误.
故答案为：C.
3．在中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】在 中，
设，则，
，即
°，
解得，
，
是锐角三角形．
故答案为：A．
4．若三角形三个角的度数比为3：3：4，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】A
【解析】设其三个内角分别是3k°、3k°、4k°（k≠0），
根据三角形的内角和定理得：
3k+3k+4k＝180，
解得k＝18.
则3k°＝54°，3k°＝54°，4k°＝72°.
则该三角形是锐角三角形.
故答案为：A.
5．如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】由图形可得：该三角形为锐角三角形.
故答案为：B.
6．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这个三角形的最大周长是 ，
【答案】19
【解析】设第三边为x，则4＜x＜10，
∵第三边长为奇数，
∴第三边长为5，7，9，
∴这个三角形的最大周长是3+7+9=19.
故答案为：19.
7．已知a，b，c是的三边长，a，b满足，c为奇数，则c= .
【答案】5
【解析】∵，
∴，
∴，
∵a，b，c是的三边长，
∴，即：，
∵c为奇数，
∴，
故答案为：5.
8．在中，，求的度数．
【答案】解：设，则，
∵，
∴，
解得，
∴．
9．如图，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°．求∠BDC的度数．
【答案】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+∠1+∠DBC+∠2+∠BCD=180°，
∴∠DBC+∠BCD=180°-∠A-∠1-∠2
=180°-62°-20°-35°
=63°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）
=180°-63°
=117°.
10．已知 分别为 的三边，且满足 .
（1）求 的取值范围；
（2）若 的周长为 ，求 的值.
【答案】（1）解：∵ 分别为 的三边，且 , ，
∴ ，
即
解得： ，
（2）解：∵ 的周长为 ，
∴ 即 ，
解得：
【培优训练】
11．用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，
∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x，
∴x＜6，y＜6，x+y＞6
又∵x，y是整数，
∴同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：
2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5，
∴第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2，
∴三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，
∴能摆出不同的三角形的个数是3．
故答案为：C．
12．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为（ ）
A．11 B．12 C．17 D．18
【答案】B
【解析】设三角形的三边长为，，，且，
∵，，
∴a+b+c＞2a，即，
∴，，
∴，
∴，
∴的可能取值为8，9，10或11，
当为8时，有1个三角形，分别为8，8，8，
当为9时，有2个三角形，分别为9，9，6；9，8，7，
当为10时，有4个三角形，分别为10，10，4；10，9，5；10，8，6；10，7，7，
当为11时，有5个三角形，分别为11，11，2；11，10，3；11，9，4；11，8，5；11，7，6，
∴符合条件的三角形共12组，
∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12.
故答案为：B.
13．在中，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，，，
又∵，
∴，
解得：，
故答案为：B．
14．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，水条长度分别为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整。若调整木条使木框成为一个三角形，则所有三角形中边最长为( )
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】B
【解析】当最长边为6时，三角形的三条边为4、5、6；当最长边为7时，三角形的三条边为2、6、7；
当最长边为8时，因3+4<8, 不等组成三角形；当最长边时2+3<10, 也不能组成三角形；故使木框成为一个三角形，则所有三角形中边最长为7.
故答案为：B.
15．如图，一把直尺的边缘AB 经过一块三角板 DCB 的直角顶点B，交斜边CD 于点A，直尺的边缘EF 分别交CD、BD 于点E、F，若∠D=60°，∠ABC=20°，则∠1 的度数为（ ）
A．25° B．40° C．50° D．80°
【答案】C
【解析】∵∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ABC＝=90°-20°=70°，
∵EF∥AB，
∴∠DFE＝∠ABD＝70°，
∴∠DEF＝180°﹣∠D﹣∠DFE＝50°，
∴∠1＝∠DEF＝50°，
故答案为：C.
16．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 ．
【答案】105°
【解析】∵的三角板的另一个锐角度数为：，
∴；
故答案为：．
17．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为 ．
【答案】60°
【解析】∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
∵∠1＝20°，
∴∠CED＝＝80°，
在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∴∠2＝180°﹣2∠CDE＝180°﹣2×60°＝60°，
故答案为60°．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=25°，则∠CDE= .
【答案】70°
【解析】∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=65°，
由折叠得：∠BCD=∠ACD=∠ACB=45°，∠CED=∠B=65°，
∴∠CDE=180°-∠CED-∠ACD=70°，
故答案为：70°.
19．已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 .
【答案】265°
【解析】
由折叠知：，.
，，.
，
，
.
.
故答案为：.
20．已知：如图，P是△ABC内任一点，求证：AB+AC＞BP+PC。
【答案】证明：延长BP交AC于点D，
在△ABD中，PB+PD
在△PCD中，PC①+②得PB+PD+PC即PB+PC即：AB+AC>PB+PC.
21．从1，2，3，…，2004中任选K-1个数中，一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的K的最小值是多少？
【答案】解：这个问题等价于在1，2，3，……，2004中选K-1个数，使其中任何三个数都不能成力三边互不稻等的个三角形二边的长试同再足这一条件的不的最大值是多少，符合上述条件的数组，当R=4时最小的三个数是1，2，3.由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数值和，所以为使K达到最大，可选加入之数等已得数组中最大的两数之和这样得1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597. ①共16个数，对符合上述条件的任一组数组，a1， a2， ……，an， 显然总有ai大于等于①中的第i个数，所以n≤16≤K-1，从而知K的最小值为17
22．用火柴棒搭三角形时，大家都知道，3根火柴棒只能搭成1种三角形，不妨记作t的边长分别为1，1，1；4根火柴棒不能搭成三角形；着根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，1；6根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，2；7根火柴棒只能搭成2种三角形，其边长分别为3，3，1和3，2，2；…；那么30根火柴棒能搭成三角形x数是？
【答案】解：设三角形最长边长为x，则30根火柴棒组成的三角形的最长边长存在以下关系，10≤x≤14．
当x=10，剩余边长总和20，只有10，10，10一种可能
当x=11，剩余边长总和19，有9，10，11或8，11，11两种可能
当x=12，剩余边长总和18，有9，9，12或8，10，12或7，11，12或6，12，12共四种可能．
当x=13，剩余边长总和17，有8，913或7，10，13或6，1213或5，1213或13，13共五种可能当x=14，剩余边长总和16，有8，8，14或7，9，14或6，10，14或5，11，14或12，14或3，13，14或2，14，14共7种可能，综上，共有1-2-4+5+7=19个不同的三角形
【直击中考】
23．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
【答案】C
【解析】A、∵，∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵，∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵，，∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D、∵，∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意.
故答案为：C.
24．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故答案为：B．
25．线段a、b、c首尾顺次相接组成三角形，若a=1，b=3，则c的长度可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，
即： ，
∴c的长度可能为3．
故答案为：A
26．一副三角板如图放置，，，，则 ．
【答案】105
【解析】如图，
∵ ，
∴ ，
， ，
，
故答案为：105.
27．如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F，若∠E=30°，∠EFC=130°，则∠A= 。
【答案】20°
【解析】∵AB∥CD
∴∠ABE=∠EFC=130°
∵∠E=30°
∴∠A=180°-130°-30°=20°
故答案为：20°.
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识
1.1 认识三角形1
【知识重点】
1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形. “三角形” 用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形记做“△ABC”读作“三角形ABC”.三角形基本元素（三条边、三个内角、三个顶点）.
2.性质：（1）三角形内角和为180°.（2）三角形任何两边之和大于第三边；三角形的任何两边之差小于第三边（两点之间线段最短）
注：判断三条线段能否组成三角形，只有把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较.
4.考点
(1)给出三条线段的长判断这三条线段能否组成三角形；(2)已知三角形的两边的长求三角形的第三边长或周长的取值范围；（3）由三角形三个内角的关系求三角形内角的度数或根据三角形三个内角的度数判定三角形的形状.
【经典例题】
【例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6 B．5，8，13 C．4，4，7 D．3，4，8
【例2】若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【例3】如图，直线，且于点C，若，则的度数为 .
【例4】已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是 三角形．
【例5】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂直为D，∠1=∠B，∠C=67°，求∠BAC的度数
【基础训练】
1．如果一个三角形的两边长都是6，则第三边的长不能是( )
A．3 B．6 C．9 D．13
2．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②∠A+∠B＝∠C；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
4．若三角形三个角的度数比为3：3：4，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
5．如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
6．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这个三角形的最大周长是 ，
7．已知a，b，c是的三边长，a，b满足，c为奇数，则c= .
8．在中，，求的度数．
9．如图，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°．求∠BDC的度数．
10．已知 分别为 的三边，且满足 .
（1）求 的取值范围；
（2）若 的周长为 ，求 的值.
【培优训练】
11．用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为（ ）
A．11 B．12 C．17 D．18
13．在中，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，水条长度分别为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整。若调整木条使木框成为一个三角形，则所有三角形中边最长为( )
A．6 B．7 C．8 D．10
15．如图，一把直尺的边缘AB 经过一块三角板 DCB 的直角顶点B，交斜边CD 于点A，直尺的边缘EF 分别交CD、BD 于点E、F，若∠D=60°，∠ABC=20°，则∠1 的度数为（ ）
A．25° B．40° C．50° D．80°
16．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 ．
17．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=25°，则∠CDE= .
19．已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 .
20．已知：如图，P是△ABC内任一点，求证：AB+AC＞BP+PC。
21．从1，2，3，…，2004中任选K-1个数中，一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的K的最小值是多少？
22．用火柴棒搭三角形时，大家都知道，3根火柴棒只能搭成1种三角形，不妨记作t的边长分别为1，1，1；4根火柴棒不能搭成三角形；着根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，1；6根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，2；7根火柴棒只能搭成2种三角形，其边长分别为3，3，1和3，2，2；…；那么30根火柴棒能搭成三角形x数是？
【直击中考】
23．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
24．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
25．线段a、b、c首尾顺次相接组成三角形，若a=1，b=3，则c的长度可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
26．一副三角板如图放置，，，，则 ．
27．如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F，若∠E=30°，∠EFC=130°，则∠A= 。
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