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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识
1.5三角形全等的判定（3）
【知识重点】
1. 全等三角形判定3: 两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；
2.注意书写格式：角边角中的边是指两对应角的夹边，在证明过程中边一定要放在两组对应角的中间.
如图，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
3.灵活运用三角形全等判定（SSS、SAS、ASA）：在证明两个三角形全等时要灵活运用所给的条件，选择不同的判断方法，尤其一个题目需要多次全等才能完成的，所以在证明过程中一定要保持清醒的头脑，清晰的思路，规范的书写格式.
【经典例题】
【例1】如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是( )
A．只带①去 B．带②③去 C．只带④去 D．带①③去
【例2】如图，在四边形中，，平分，，则的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【例3】如图，是中的平分线，交于点，交于点，若，，，则的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【例4】如图， 是 的边 上一点， ， 交 于 点， .
（1）求证： ≌ ；
（2）若 ， ，求 的长.
【例5】已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，且.求证：.
【基础训练】
1．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，中，，平分交于点P，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，，平分，，，则的面积为（ ）
A．20 B．10 C．15 D．30
4．如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BD，CD并延长交AC，AB于E，F点，则此图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．如图，，是的高线，与相交于点．若，则能判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路。现要建造一个洗手台P，使P到三条公路的距离都相等，则洗手台P可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
7．如图，在中，H是高和的交点，且，已知，则的长为 ．
8．如图，已知在和中，.求证：.
9．如图，在△ABC与△DCB中，已知∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB.
求证：AC＝DB.
10．如图，为等边三角形，D是BC中点，，CE是的外角的平分线．
求证：．
【培优训练】
11．如图，在四边形中，点E在边上，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，，平分，于E，，已知，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
13．如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在四边形中，，，，则四边形的面积为( )
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
15．如图，射线是的角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积是 .
16．如图，在中，是中线，是角平分线，交延长线于点F，，则的长为 ．
17．如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为 ．
18．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为 .
19．如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交与点E，．若，，则的长为 ．
20．阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方，因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长，例如：在中，已知，，，由定理得，代入数据计算求得．
请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：
已知：如图，，，，，，点是的中点，那么的长为 ．
21．如图，在等腰中， ，D是边上任一点，于E，交的延长线于F，于H，交于G；求证：.
22．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．
23．如图，已知，是的平分线，且交的延长线于点E．
求证：．
24．如图，在中，，过点C作，，连接并延长交于点F.
（1）求的度数；
（2）证明：；
25．在等腰三角形△ABC中，，D、E分别为AB、BC上一点，．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，过点C作，垂足为H，若，．
①求证：；
②求CE－BE的值．
【直击中考】
26．已知：如图，．求证：．
27．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．
28．如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A＝90°，EC⊥BD，且AB＝CD.求证：AC＝CE.
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识（解析版）
1.5三角形全等的判定（3）
【知识重点】
1. 全等三角形判定3: 两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；
2.注意书写格式：角边角中的边是指两对应角的夹边，在证明过程中边一定要放在两组对应角的中间.
如图，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
3.灵活运用三角形全等判定（SSS、SAS、ASA）：在证明两个三角形全等时要灵活运用所给的条件，选择不同的判断方法，尤其一个题目需要多次全等才能完成的，所以在证明过程中一定要保持清醒的头脑，清晰的思路，规范的书写格式.
【经典例题】
【例1】如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是( )
A．只带①去 B．带②③去 C．只带④去 D．带①③去
【答案】C
【解析】第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的，故A不符合题意；
第②③块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的，故B不符合题意；
第④块不仅保留了原来三角形的两个角，还保留了一边，则可根据ASA来配一块与原来一样的玻璃，故C符合题意；
第①③块保留了原三角形的部分和一角，根据这两块不能配一块与原来完全一样的，故D不符合题意.
故答案为：C．
【例2】如图，在四边形中，，平分，，则的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解析】过D作，交的延长线于F，
∵，平分，，，
∴，
∵，
∴的面积，
故答案为：A．
【例3】如图，是中的平分线，交于点，交于点，若，，，则的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=S△ABD+S△ADC，
∴，
解之：AC=.
故答案为：A
【例4】如图， 是 的边 上一点， ， 交 于 点， .
（1）求证： ≌ ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明： ，
，
在 和 中，
（2）解：由（1）得
∴
【例5】已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，且.求证：.
【答案】解：
，
，
在和中，
(ASA).
【基础训练】
1．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】由作法得平分，，，
∴G点到的距离等于的长，即G点到的距离为1，
∴的面积．
故答案为：A．
2．如图，中，，平分交于点P，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过点P作于点H，
平分，
，
，
．
故答案为：D．
3．如图，中，，平分，，，则的面积为（ ）
A．20 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【解析】如图，过点D作于E，
∵，平分，，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
4．如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BD，CD并延长交AC，AB于E，F点，则此图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【解析】∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，
又∠EDB＝∠FDC，
∴∠ADE＝∠ADF，
∴△AED≌△AFD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE.
∴△AED≌△AFD，△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE，共4对.
故答案为：C.
5．如图，，是的高线，与相交于点．若，则能判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，是的高线，
，
，，
，
在和中
，
(ASA)．
故答案为：C．
6．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路。现要建造一个洗手台P，使P到三条公路的距离都相等，则洗手台P可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【答案】D
【解析】∵洗手台P要到三条公路的距离都相等，
∴洗手台P是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角的角平分线的交点，而外角的角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，
∴洗手台P可选择的点有4处.
故答案为：D.
7．如图，在中，H是高和的交点，且，已知，则的长为 ．
【答案】4
【解析】∵H是高和的交点，
∴，，
∴，．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
8．如图，已知在和中，.求证：.
【答案】证明：
∵，
∴，
即.
在和中，
∴，
∴.
9．如图，在△ABC与△DCB中，已知∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB.
求证：AC＝DB.
【答案】证明：∵∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠DCB，
在△ABC和△DCB中
∵ ，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC＝DB.
10．如图，为等边三角形，D是BC中点，，CE是的外角的平分线．
求证：．
【答案】证明：过D作DG∥AC交AB于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
又∵DG∥AC，
∴∠BDG＝∠BGD＝60°，
∴△BDG是等边三角形，∠AGD＝180° ∠BGD＝120°，
∴DG＝BD，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴DG＝CD，
∵EC是△ABC外角的平分线，
∴∠ACE＝（180° ∠ACB）＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°＝∠AGD，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
又∵∠BDG＝60°，∠ADE＝60°，
∴∠ADG＝∠EDC＝30°，
在△AGD和△ECD中，
，
∴△AGD≌△ECD（ASA）．
∴AD＝DE．
【培优训练】
11．如图，在四边形中，点E在边上，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
12．如图，，平分，于E，，已知，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】作于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴中，，
∴．
故答案为：B．
13．如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过D点作于E，如图，
∵是的平分线，，，
∴，
∴．
故答案为：B．
14．如图，在四边形中，，，，则四边形的面积为( )
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
【答案】B
【解析】【解答】如图，过作，交的延长线于，
又
又
在和中
，，
，即是等腰直角三角形
四边形的面积与的面积相等
四边形的面积为
故答案为：B．
15．如图，射线是的角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积是 .
【答案】10
【解析】作DH⊥OB于点H，
是的角平分线，，，
，
的面积，
故答案为：10.
16．如图，在中，是中线，是角平分线，交延长线于点F，，则的长为 ．
【答案】2.5
【解析】如图，延长交于点G，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2.5．
17．如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为 ．
【答案】1.5
【解析】如图，平分，，
∴，，
∵，
∴，
，，
∵，
∴是等腰三角形，
，
∴，
故答案是：1.5．
18．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为 .
【答案】64°
【解析】作FH垂直于FE，交AC于点H，
∵
又∵，
∴
∵，FA=CF
∴
∴FH=FE
∵
∵
∴
又∵DF=DF
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：64°.
19．如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交与点E，．若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
故答案为：．
20．阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方，因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长，例如：在中，已知，，，由定理得，代入数据计算求得．
请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：
已知：如图，，，，，，点是的中点，那么的长为 ．
【答案】5
【解析】延长交于点F，如图所示，
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴中，，
∴，
故答案为：5
21．如图，在等腰中， ，D是边上任一点，于E，交的延长线于F，于H，交于G；求证：.
【答案】证明：∵
∴
∵是等腰三角形，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∵
∴，
在和中，
∴，
∴.
22．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．
【答案】证明：∵AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，BD＝DC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵BC平分∠ACF，∴∠FCB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠FCB，
在△BDE和△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴BE＝CF．
23．如图，已知，是的平分线，且交的延长线于点E．
求证：．
【答案】证明：如图，延长与的延长线相交于点F，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．如图，在中，，过点C作，，连接并延长交于点F.
（1）求的度数；
（2）证明：；
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
（2）证明：，，
，
，
，
在和中，
，
.
25．在等腰三角形△ABC中，，D、E分别为AB、BC上一点，．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，过点C作，垂足为H，若，．
①求证：；
②求CE－BE的值．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴．
在△ADC和△BED中，
（2）解：①证明：∵，
∴．
由（1）知：，
∴，
∴CE＝DE；
②如图，在DE上取点F，使DF＝BE，
在△CDF和△DBE中，
，
∴，
∴CF＝DE＝CE，
又∵，
∴FH＝HE，
∴．
【直击中考】
26．已知：如图，．求证：．
【答案】证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴△ACB≌△ACD，
∴ ．
27．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．
【答案】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠DCE，
在△CED和△ABC中，
，
∴△CED≌△ABC（ASA）．
28．如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A＝90°，EC⊥BD，且AB＝CD.求证：AC＝CE.
【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
∵EC⊥BD，∠A＝90°，
∴∠DCE＝90°＝∠A，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AC＝CE.
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