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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识
1.1 认识三角形2
【知识重点】
1、角平分线定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线.
2、中线定义：连接三角形一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫做三角形的中线.
3、高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角
形的高.
4、三角形的面积：三角形的面积等于底乘于高，等高等底的两个三角形面积相等.
5、★重要性质：
（1）三角形的中线平分与它相交的边，并且把一个三角形分成两个面积相等的三角形；
（2）一个三角形有三条中线、三条角平分线，并且都在三角形内部，交于一点；
（3）每个三角形都有三条高线，且三条高线或所在的直线相交于一点.
6、应用：如图（1）AE是△ABC的∠BAC的平分线，则有∠1=∠2=∠BAC或∠BAC=2∠1=2∠2；
如图（2）AD是△ABC的BC上的中线，则有BD=DC=BC或BC=2BD=2DC；
如图（3）AH是△ABC的BC上的高线，AH⊥BC于H，则有∠AHB=∠AHC=90°.
7、注意：（1）三角形的角平分线、中线、高线都是线段；
（2）高线是顶点到对边所在直线的垂线段，所以垂足有可能在边的延长线上；
（3）三条角平分线的交点是三角形的外心；三条中线的交点是三角形的重心；三条高线所在直线的交点是三角形的垂心.
8、考点 (1)利用角平分线、垂线（90°角）、三角形的内角和进行计算角度问题；
(2)画三角形的高线、中线、角平分线，以及基本图形的尺规作图法.
【经典例题】
【例1】利用直角三角板，作的高线，下列作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例2】如图，是的中线，点是上一点，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例3】如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A=50°，则∠BOE的度数为 .
【例4】如图：已知在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E，∠B＝38°，∠C＝70°，求∠DAE的度数.
【例5】如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADC的度数．
【例6】如图，在ABC中，AD是ABC的高，AE、BF是ABC角平分线，AE与BF相交于点O，∠BOA＝125°，求∠DAC的度数．
【基础训练】
1．下列各图中，正确画出 边上的高的是（ ）
A．B．C．D．
2．能把一个三角形的面积分成相等的两部分的线是这个三角形的（ ）
A．一条高 B．一条中线
C．一条角平分线 D．一边上的中垂线
3．如图，是的的中线，是的△的中线，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的中线，已知的周长为25cm，比长7cm，则的周长（ ）
A．18cm B．22cm C．19cm D．31cm
5．如图，在中，平分，于点E，，，则 °．
6．如图，是的中线，是的中线，若，则 ．
7．如图，在中，是的角平分线，是边上的高，相交于点O，如果，求的度数.
8．如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P.已知，，求的度数.
9．如图，已知中，平分交于，于，若，，求的度数．
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，若∠BAC：∠B：∠C＝4：3：2，求∠DAE的度数．
【培优训练】
11．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是4，则△BEF的面积等于（ ）
A．0.75 B．1.25 C．2 D．1
12．如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高．其中正确的结论是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．只有②正确
13．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠BAF＝∠CAF
C．∠B＋∠BAD＝90° D．
14．如图，在△ABC中，BD＝BC，AE＝AD，CF＝CE，S△ABC＝30，则S△DEF＝（ ）
A．10 B．9 C．7 D．8
15．如图，的三条中线AD，BE，CF交于点O，若的面积为20，那么阴影部分的面积之和为 .
16．如图中，已知D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且，那么阴影部分的面积为 .
17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF与AD相交于点G，与BE相交于点H．在下面给出的四个结论中，正确的是 (填序号)
①△ABE的面积等于△BCE的面积
②∠AFG=∠AGF
③∠FAG=2∠ACF
④BH=CH．
18．已知、是的高，直线、相交所成的锐角为40°，则的度数是 .
19．如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数是 ．
20．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，若∠A=700，则∠BPC= ；
21．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝50°，∠BCE＝25°，求∠AOC和∠ADB的度数．
22．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=60°，求∠DAE及∠BOA．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数．
24．
研究任务
画出平分三角形面积的一条直线
研究成果 中线法 中线法
是边上的中线 若，则.
成果应用 如图，在中，是边上的中线，直线平分的面积，交于点已知，的面积为，则 ，四边形的面积为 .
【直击中考】
25．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
26．如图， 是 的两条角平分线， ，则 的度数为 ．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识（解析版）
1.1 认识三角形2
【知识重点】
1、角平分线定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线.
2、中线定义：连接三角形一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫做三角形的中线.
3、高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角
形的高.
4、三角形的面积：三角形的面积等于底乘于高，等高等底的两个三角形面积相等.
5、★重要性质：
（1）三角形的中线平分与它相交的边，并且把一个三角形分成两个面积相等的三角形；
（2）一个三角形有三条中线、三条角平分线，并且都在三角形内部，交于一点；
（3）每个三角形都有三条高线，且三条高线或所在的直线相交于一点.
6、应用：如图（1）AE是△ABC的∠BAC的平分线，则有∠1=∠2=∠BAC或∠BAC=2∠1=2∠2；
如图（2）AD是△ABC的BC上的中线，则有BD=DC=BC或BC=2BD=2DC；
如图（3）AH是△ABC的BC上的高线，AH⊥BC于H，则有∠AHB=∠AHC=90°.
7、注意：（1）三角形的角平分线、中线、高线都是线段；
（2）高线是顶点到对边所在直线的垂线段，所以垂足有可能在边的延长线上；
（3）三条角平分线的交点是三角形的外心；三条中线的交点是三角形的重心；三条高线所在直线的交点是三角形的垂心.
8、考点 (1)利用角平分线、垂线（90°角）、三角形的内角和进行计算角度问题；
(2)画三角形的高线、中线、角平分线，以及基本图形的尺规作图法.
【经典例题】
【例1】利用直角三角板，作的高线，下列作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由三角形的高线的定义可知：
A、作法不符合题意，不符合题意；
B、作法不符合题意，不符合题意；
C、作法符合题意，符合题意；
D、作法不符合题意，不符合题意；
故答案为：C．
【例2】如图，是的中线，点是上一点，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
∵是的中线，
∴．
故答案为：C
【例3】如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A=50°，则∠BOE的度数为 .
【答案】65°
【解析】在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线
∠ABO=∠CBO ∠BCO=∠ACO
∠A=50°，∠ABC+∠ACB=180 -∠A=130
∠BOE= (∠ABC+∠ACB)=65 (三角形的补角等于另外两个内角之和)
故答案为：65°.
【例4】如图：已知在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E，∠B＝38°，∠C＝70°，求∠DAE的度数.
【答案】解：∵∠B＝38°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣38°﹣70°＝72°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝36°
∵AE⊥BC，
∴∠BEA＝90°.
∵∠B＝38°，
∴∠BAE＝180°﹣90°﹣38°＝52°
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝52°﹣36°＝16°.
【例5】如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADC的度数．
【答案】解：∵∠BAC＝60°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝60°÷2＝30°，
∵CE是△ABC的高．
∴∠CEB＝90°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝90° 40°＝50°，
∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝30°＋50°＝80°，即∠ADC的度数是80°．
【例6】如图，在ABC中，AD是ABC的高，AE、BF是ABC角平分线，AE与BF相交于点O，∠BOA＝125°，求∠DAC的度数．
【答案】解：∵∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，∠AOB＝125°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣125°＝55°，
∵AE、BF是△ABC角平分线，
∴∠OAB＝∠BAC，∠OBA＝∠ABC，
∴∠BAC+∠ABC＝55°，
∴∠BAC+∠ABC＝110°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝70°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°．
【基础训练】
1．下列各图中，正确画出 边上的高的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得，
A选项是三角形的高，符合题意；
B选项不是三角形的高，不符合题意；
C选项不是三角形的高，不符合题意；
D选项不是三角形的高，不符合题意；
故答案为：A.
2．能把一个三角形的面积分成相等的两部分的线是这个三角形的（ ）
A．一条高 B．一条中线
C．一条角平分线 D．一边上的中垂线
【答案】B
【解析】能把一个三角形的面积分成相等的两部分的线是这个三角形的一条中线.
故答案为：B.
3．如图，是的的中线，是的△的中线，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ 是 的边BC上的中线， 的面积为 ，
∴ 的面积为： ，
∵ 是 的边 上的中线，
∴ 的面积为： ，
故答案为：D．
4．如图，是的中线，已知的周长为25cm，比长7cm，则的周长（ ）
A．18cm B．22cm C．19cm D．31cm
【答案】A
【解析】∵是的中线，
∴，
∴和的周长的差＝.
∵的周长为，比长，
∴的周长为：.
故答案为：A.
5．如图，在中，平分，于点E，，，则 °．
【答案】70
【解析】∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：70．
6．如图，是的中线，是的中线，若，则 ．
【答案】12
【解析】【解答】∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：12．
7．如图，在中，是的角平分线，是边上的高，相交于点O，如果，求的度数.
【答案】解：∵是边上的高，
∴.
∴.
∵是的角平分线，
∴.
∴.
8．如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P.已知，，求的度数.
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是一条角平分线，
∴，
∴.
9．如图，已知中，平分交于，于，若，，求的度数．
【答案】解：，，
，
．
，
．
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，若∠BAC：∠B：∠C＝4：3：2，求∠DAE的度数．
【答案】解：在△ABC中，
∵∠BAC：∠B：∠C＝4：3：2，
∴∠BAC＝180°× ＝80°，∠B＝180°× ＝60°，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
【培优训练】
11．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是4，则△BEF的面积等于（ ）
A．0.75 B．1.25 C．2 D．1
【答案】D
【解析】∵点D是BC的中点，△ABC的面积是4，
∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝△ABC的面积＝×4＝2，
∵点E是AD的中点，
∴△BDE的面积＝△ABD的面积＝×2＝1，△CDE的面积＝△ADC的面积＝×2＝1，
∴△BEC的面积＝△BED的面积+△CDE的面积＝2，
∵点F是CE的中点，
∴△BEF的面积＝△BEC的面积＝×2＝1，
故答案为：D.
12．如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高．其中正确的结论是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．只有②正确
【答案】D
【解析】∵AD⊥AB，
∴AD是△ABD中AB边上的高；不是△ACD的高；也不△ABC的高，
故②正确，①③错误.
故答案为：D.
13．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠BAF＝∠CAF
C．∠B＋∠BAD＝90° D．
【答案】B
【解析】 AF是中线
故A选项正确，不符合题意；
同高
故D选项正确，不符合题意；
AE是角平分线
∠BAE＝∠CAE
故B选项错误，符合题意；
AD是高
∠B＋∠BAD＝90°
故C选项正确，不符合题意；
故答案为：B.
14．如图，在△ABC中，BD＝BC，AE＝AD，CF＝CE，S△ABC＝30，则S△DEF＝（ ）
A．10 B．9 C．7 D．8
【答案】B
【解析】∵BD＝ BC，
∴CD＝ BC，
∴S△ACD＝ S△ABC＝ ×30＝24，
∵AE＝ AD，
∴DE＝ AD，
∴S△CDE＝ S△ACD＝ ×24＝18，
∵CF＝ CE，
∴EF＝ CE，
∴S△DEF＝ S△CDE＝ ×18＝9．
故答案为：B．
15．如图，的三条中线AD，BE，CF交于点O，若的面积为20，那么阴影部分的面积之和为 .
【答案】10
【解析】，，是的中线，
，，，
阴影部分面积之和.
故答案为：10.
16．如图中，已知D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且，那么阴影部分的面积为 .
【答案】2
【解析】∵D是的中点，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
故答案为：2.
17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF与AD相交于点G，与BE相交于点H．在下面给出的四个结论中，正确的是 (填序号)
①△ABE的面积等于△BCE的面积
②∠AFG=∠AGF
③∠FAG=2∠ACF
④BH=CH．
【答案】①②③
【解析】∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，
∴ △ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACF=∠BCF，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵ ∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=∠ACB+∠DAC=90°，
∴∠ABC=∠DAC，
∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG=∠AGF，故②正确；
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∵ ∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠ACB=∠DAB，
∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACB=2∠ACF，
∴∠BAD=2∠ACF，即 ∠FAG=2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能找出∠HBC=∠HCB，∴也就是推不出BH=CH，故④错误.
故答案为：①②③.
18．已知、是的高，直线、相交所成的锐角为40°，则的度数是 .
【答案】140°或40°
【解析】①当∠BAC为钝角时，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴，
∵，
∴；
②当∠BAC为锐角时，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴，
∵，
∴；
故答案为：140°或40°.
19．如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数是 ．
【答案】20°
【解析】 ， ，
，
是 的角平分线，
，
又 是 的高，
，
，
．
故答案为：20°．
20．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，若∠A=700，则∠BPC= ；
【答案】125°
【解析】如图，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∴2∠PBC+2∠PCB=110°，
∴∠PBC+∠PCB=55°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-55°=125°.
故答案为：125°
21．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝50°，∠BCE＝25°，求∠AOC和∠ADB的度数．
【答案】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝25°，
∵CE是△ABC的高，
∴∠CEA＝90°，
∴∠ACE＝90°－∠BAC＝40°，
∴∠AOC＝180°－∠ACE－∠CAD
＝180°－40°－25°
＝115°，
∵∠BCE＝25°，∠ACE＝40°，∠CAD＝25°，
∴∠ADB＝∠BCE+∠ACE+∠CAD
＝25°+40°+25°
＝90°，
答：∠AOC的度数为115°，∠ADB的度数为90°．
22．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=60°，求∠DAE及∠BOA．
【答案】解：
，
又 是高，
，
，
是角平分线，
，
．
．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数．
【答案】解：∵AD⊥BE，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝10°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣10°＝80°，
∵AE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC，
∴，
又∵∠MAE＝∠ABF+∠AFB，∠MAC＝∠ABC+∠ACB，
∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝．
24．
研究任务
画出平分三角形面积的一条直线
研究成果 中线法 中线法
是边上的中线 若，则.
成果应用 如图，在中，是边上的中线，直线平分的面积，交于点已知，的面积为，则 ，四边形的面积为 .
【答案】3；
【解析】如图，连接BF与AO ，
由研究成果可知，
： ： ：1：2，
： ：1，
设 的面积为 ，
则 的面积为 ，
，
，
，
的面积为 ，
，
，
四边形BCFO的面积 .
故答案为：3， .
【直击中考】
25．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】∵∠A+∠C=100°
∴∠ABC=80°，
∵BD平分∠BAC，
∴∠ABD=40°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE=∠ABD=40°，
故答案为：B.
26．如图， 是 的两条角平分线， ，则 的度数为 ．
【答案】140°．
【解析】【解答】△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180° ∠A＝180° 100°＝80°，
∵BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线．
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC＋∠OCB＝ （∠ABC＋∠ACB）＝40°，
在△OBC中，∠BOC＝180° （∠OBC＋∠OCB）＝140°．
故填：140°．
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