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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识
1.3 证明（1）
【知识重点】
1.证明
要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），推得结论成立，这样的推理过程叫做证明.
2. 推理过程要求
判定一个命题是真命题的推理过程，要注意推理的连续性，合理性、完整性,同时也要求格式上的条理性、连贯性和美观性.
【经典例题】
【例1】如图，在中，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例2】将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例3】如图，直线，且于点C，若，则的度数为 .
【例4】如图，已知，则的度数为 .
【例5】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B＝34°，且∠ACD＝47°，求∠3的度数．
【基础训练】
1．如图，直线a，b被c所截，a∥b，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．如图，直线，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知平分，是延长线上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠C＝ ．
6．如图，在中，平分交于点D，平分交于点E，若，则 ．
7．在中，，CD平分交AB于D点，，交BC的延长线于点E，已知，则 度.
8．如图，，直线分别与直线、直线相交于点E，F，点G在上，平分．若，求的度数．
9．如图，已知，则，，之间的关系是： ▲ ，请写出你的证明过程．
10．如图， ，P为 ， 之间的一点，已知 ， ，求∠1的度数.
【培优训练】
11．如图，在中，、的平分线，相交于点F，，则（ ）
A． B． C． D．
12．下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A． B．
C． D．
13．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．20° C．15° D．14°
14．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
15．一副三角尺如图摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在中，，于D，平分，，则 度.
17．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A=50°，则∠BOE的度数为 .
18．如图，，BF，DF分别平分和，，与互补，则的度数为 .
19．如图所示，在中，平分交于点E，交于点D，，，求的度数.
20．学行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：
已知：如图，．
【初步感知】如图1，若，求的度数；
【拓展延伸】如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：；
【类比探究】如图3，若，，若，，直接写出的度数．
21．综合与探究：
（1）【情境引入】如图1，分别是的内角，的平分线，说明的理由.
（2）【深入探究】
①如图2，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是 ▲ ；
②如图3，分别是的一个内角和一个外角的平分线，交于点D，探究与之间的等量关系，并说明理由.
22．问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，.
（1）在图1中，，求的度数；
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由；
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系.
【直击中考】
23．如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）
A．46° B．90° C．96° D．134°
24．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
25．将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是（ ）
A． B． C． D．
26．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（ ）
A．40° B．43° C．45° D．47°
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第1章三角形的初步知识（解析版）
1.3 证明（1）
【知识重点】
1.证明
要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），推得结论成立，这样的推理过程叫做证明.
2. 推理过程要求
判定一个命题是真命题的推理过程，要注意推理的连续性，合理性、完整性,同时也要求格式上的条理性、连贯性和美观性.
【经典例题】
【例1】如图，在中，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵是的角平分线，
∴.
∵是的高，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴的度数为
故答案为：A.
【例2】将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
∵∠CAB=45°=∠D+∠AMD=30°+∠AMD，
∴∠AMD=45°-30°=15°，
∴∠α=180°-∠AMD=180°-15°=165°.
故答案为：D
【例3】如图，直线，且于点C，若，则的度数为 .
【答案】55°
【解析】，
.
在中，，
，
，
.
，
.
故答案为：55°.
【例4】如图，已知，则的度数为 .
【答案】110
【解析】延长BD与AC交于点E，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：110.
【例5】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B＝34°，且∠ACD＝47°，求∠3的度数．
【答案】（1）解：DG∥BC，理由是：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDF＝∠EFB＝90°，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵∠B＝34°，
∴∠BCD＝90°﹣34°＝56°，
∵∠ACD＝47°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝47°+56°＝103°，
∵由（1）知DG∥BC，
∴∠3＝∠ACB＝103°．
【基础训练】
1．如图，直线a，b被c所截，a∥b，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】∵a∥b，∠1＝40°，
∴∠2＝∠1＝40°，故B正确.
故答案为：B.
2．如图，直线，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图
∵
∴
∴
∵，
∴
故答案为：B.
3．如图，已知平分，是延长线上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，，
∴，，
又∵平分，
∴，
∴．
故答案为：D．
4．如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【解析】∵AB∥CD，∠1＝30°，
∴∠A＝∠1＝30°，
又∠2＝40°，
∵∠3＝∠A+∠2＝70°，
故答案为：C.
5．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠C＝ ．
【答案】20°
【解析】过点C作CF∥AE，
∵AE∥BD，
∴AE∥BD∥CF，
∴∠2=∠DCF=30°，∠EAC+∠ACF=180°，
∵∠1=∠EAC=130°，
∴∠ACF=∠ACE+∠DCF=180°-130°=50°，
∴∠ACE=50°-30°=20°.
故答案为：20°
6．如图，在中，平分交于点D，平分交于点E，若，则 ．
【答案】56°
【解析】∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴；
故答案为：56°．
7．在中，，CD平分交AB于D点，，交BC的延长线于点E，已知，则 度.
【答案】72
【解析】∵∠E=36°，AE∥DC，
∴∠E=∠BCD=36°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=72°，
∴∠B=∠ACB=72°，
故答案为：72.
8．如图，，直线分别与直线、直线相交于点E，F，点G在上，平分．若，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
9．如图，已知，则，，之间的关系是： ▲ ，请写出你的证明过程．
【答案】结论：∠APC=∠A+∠C.
证明：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE，
∵∠APC=∠APE+∠CPE，
∴∠APC=∠A+∠C.
10．如图， ，P为 ， 之间的一点，已知 ， ，求∠1的度数.
【答案】解：过点P作射线 ，如图.
∵ ， ，
∴ .
∴ .
∵ ，∴ .
又∵ .
∴ .
【培优训练】
11．如图，在中，、的平分线，相交于点F，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵、的平分线、相交于点F，
∴，，
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
12．下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A.如图：
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠1+∠3，
∵ab，
∴∠ACD=∠2，
∴∠2=∠1+∠3，故A不符合题意；
B.如图：延长AD交BF于点C，
∵ab，
∴∠1=∠ACF，
∵∠ACF=∠3+∠2，
∴∠1=∠3+∠2，故B符合题意；
C.如图：过点A作ABa，
∴∠2+∠CAB=180°，
∵ab，
∴ABb，
∴∠1+∠BAD=180°，
∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°，故C不符合题意；
D.如图：延长DA交直线b于点C，
∵ab，
∴∠2=∠DCB，
∵∠3=∠1+∠DCB，
∴∠3=∠1+∠2，故D不符合题意；
故答案为：B．
13．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．20° C．15° D．14°
【答案】C
【解析】如图，∠2=30°，∠1=∠3﹣∠2=45°﹣30°=15°．
故答案为：C．
14．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】A
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
又∵∠ADE=∠1=40°，
∴∠DEC=∠A+∠ADE=100°，
又∵ab，
∴∠2=∠DEC=100°，
故答案为：A．
15．一副三角尺如图摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，
由题意得： ， ， ，
，
.
故答案为：B.
16．如图，在中，，于D，平分，，则 度.
【答案】10
【解析】，
，
，
，
，平分，
，
.
故答案为：10.
17．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A=50°，则∠BOE的度数为 .
【答案】65°
【解析】在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线
∠ABO=∠CBO ∠BCO=∠ACO
∠A=50°，∠ABC+∠ACB=180 -∠A=130
∠BOE= (∠ABC+∠ACB)=65 (三角形的补角等于另外两个内角之和)
故答案为：65°.
18．如图，，BF，DF分别平分和，，与互补，则的度数为 .
【答案】36°
【解析】如图延长FB交CD于G
∵BF∥ED
∴∠F=∠EDF，
又∵DF平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED
∴∠CGF=∠EDF=2∠F，
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE
∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F与∠ABE互补
∴∠F+∠ABE=180°即5∠F=180°，
解得∠F=36°
故答案为：36°.
19．如图所示，在中，平分交于点E，交于点D，，，求的度数.
【答案】解：∵，
∴
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
20．学行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：
已知：如图，．
【初步感知】如图1，若，求的度数；
【拓展延伸】如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：；
【类比探究】如图3，若，，若，，直接写出的度数．
【答案】解：【初步感知】解： ，
，
，
，
；
【拓展延伸】证明：过点 作 ，过点 作 ，
，
，
， ， ，
；
【类比探究】102°
【解析】【解答】【类比探究】上结论知，如图：
，
，
， ，
，
，
， ，
，
．
21．综合与探究：
（1）【情境引入】如图1，分别是的内角，的平分线，说明的理由.
（2）【深入探究】
①如图2，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是 ▲ ；
②如图3，分别是的一个内角和一个外角的平分线，交于点D，探究与之间的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵分别是的两个外角，的平分线，
∴，，
∵，，
∴
，
故答案为：；
②与之间的等量关系是：，理由如下：
∵分别是的一个内角和一个外角的平分线，
，，
∴，
∴，
∴.
22．问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，.
（1）在图1中，，求的度数；
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由；
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系.
【答案】（1）解：如图标出，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：定值为：，理由如下：
过点作，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵平分，
∴，
过点作，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴.
【直击中考】
23．如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）
A．46° B．90° C．96° D．134°
【答案】C
【解析】∵l1∥l2，
∴∠1+∠3+∠2＝180°，
∵∠1＝38°，∠2＝46°，
∴∠3＝96°.
故答案为：C.
24．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
【答案】B
【解析】如图：
∵m∥n，∠1=70°，
∴∠1=∠ABD=70°，
∵∠ABC=30°，
∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°，
故答案为：B．
25．将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，根据题意可知为直角，直尺的两条边平行，
∴，，，
∴.
故答案为：B.
26．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（ ）
A．40° B．43° C．45° D．47°
【答案】B
【解析】如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，
∵直尺的两边互相平行，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
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