(共28张PPT)
新浙教版数学八年级（上）
2.8 直角三角形全等的判定
1、判定两个三角形全等方法， ， ， ， 。
SSS
ASA
AAS
SAS
3、如图，AB BE于C，DE BE于E，
⊥
⊥
2、如图，Rt ABC中，直角边 、 ，斜边 。
A
B
C
BC
AC
AB
（1）若 A= D，AB=DE，
则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）
根据 （用简写法）
△
△
A
B
C
D
E
F
全等
ASA
A
B
C
D
E
F
（2）若 A= D，BC=EF，
则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）
△
△
AAS
全等
（3）若AB=DE，BC=EF，
则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）
△
△
全等
SAS
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）
△
△
全等
SSS
4、要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先从B处出发与AB成900角的方向，向前走10米到C处立一标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转900，沿DE方向再走17米，到达E处，使A（目标物）、C（标杆）与E在同一直线上，那么可测得A、B的距离是----------------米。
A
B
C
D
E
10
10
17
17
已知线段a=4cm、c=5cm和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠ α ，CB=a，AB=c.
a
c
α
想一想，怎样画呢？
按照下面的步骤做一做：
⑴ 作∠MCN=∠α=90°;
C
M
N
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a;
C
M
N
B
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;
C
M
N
B
A
⑷ 连接AB.
C
M
N
B
A
⑴ △ABC就是所求作的三角形吗？
⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？
简写：“斜边、直角边定理”或“HL”
∠C=∠C =90°
A B=A B
A C= A C （ 或BC= B C ）
∴Rt△ABC≌Rt△ A B C (H L)
直角三角形全等的判定方法
∵
几何语言表示：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
Ａ
Ｃ
Ｂ
A’
C’
B’
如图，在△ABC和△A’B’C’中，
∠C= ∠C’=Rt∠，AB=A’B’，AC=A’C’
说明△ABC和△A’B’C’ 全等的理由。
验证 斜边、直角边定理
解 ∵ ∠1= ∠2=90 °
∴ B，C，B'在同一直线上，AC ⊥BB’
∵ AB=A'B'
∴ BC=B'C'(等腰三角形三线合一)
∵ AC=A'C'(公共边)
∴ RTΔABC ≌ RTΔA'B'C'(SSS)
B
C(C’)
B'
A(A’)
想一想
你还有其他
说理的方法吗？
在使用“HL”时,同学们应注意什么
“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
注意对应相等.
因为”HL”仅适用直角三角形,
书写格式应为:
∵在Rt△ ABC 与Rt△ DEF中
AB =DE
AC=DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
A
B
C
D
E
F
判断直角三角形全等条件
三边对应相等 SSS
一锐角和它的邻边对应相等 ASA
一锐角和它的对边对应相等 AAS
两直角边对应相等 SAS
斜边和一条直角边对应相等 HL
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”.
想一想
你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三角形全等的方法.
(1) _______,∠A=∠D ( ASA )
(2) AC=DF,________ (SAS)
(3) AB=DE,BC=EF ( )
(4) AC=DF, ______ (HL)
(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )
(6) ________,AC=DF ( AAS )
B
C
A
E
F
D
比一比
把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.
AC=DF
BC=EF
HL
AB=DE
AAS
∠B=∠E
（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）
（4）若AB=DE，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）
2、如图，∠ABD与∠DEF都是直角
（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）
全等
全等
全等
全等
ASA
AAS
SAS
HL
A
B
C
D
E
F
3、如图，AC=AD，∠C=∠D=Rt∠ ，你能说明∠ABC与∠ ABD相等吗？
解：BC=BD，理由如下：
AB=AB,
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴BC=BD
(全等三角形对应边相等).
在Rt△ACB和Rt△ADB中
练 习：
1、下列所给的条件中不能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A、两条直角边对应相等 B、斜边和一条直角边对应相等 C、一个锐角和一边对应相等 D、一角和一边对应相等。
2、如图，已知AB=DC，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，则在下列条件中选择一个就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF有（ ）个
(1) ∠B=∠C (2)AB∥CD (3)BE＝CF (4)AF＝DE
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
A
B
E
F
C
D
D
D
D
B
C
A
F
E
2、已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC，DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE=DF.
求证: △ABC是等腰三角形.
解：∵ DE ⊥AB，DF ⊥ AC（已知）
∴ ∠ BED= ∠ CFD=RT ∠ （垂直意义）
∵ DE=DF（已知）
∵ BD=CD（中点意义）
∴ RT Δ BDE ≌ RT Δ CDF（HL）
∴ ∠ B= ∠ C（全等三角形对应角相等）
∴ AB=AC（在一个三角形中，等角对等边）
2、再过点M作OA的垂线,
1、如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上
分别取点M,N,使OM=ON;
3、过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,
4、那么射线OP就是∠AOB的平分线.
A
B
O
●
●
P
M
N
●
你能用一个三角板作任意角的角平分线吗？
角平分线性质：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
4、如图，已知CE ┴ AB，DF ┴ AB，AC=BD，AF=BE，则CE=DF。请说明理由。
解∵ CE ┴ AB，DF ┴ AC（已知）
∴ ∠ AEC= ∠ BFD=Rt∠
∵ AF=BE （已知）
即AE+EF=BF+EF
AE=BF
∵ AC=BD
∴ RtΔACE ≌ RtΔBDF（HL）
∴ CE=DF（全等三角形的对应边相等）
1. 如图1, △ABC≌ △DEF, ∠B=600,则∠E的度数为( )
A.300 B.450 C.600 D.900
B
A
C
D
F
E
？
图1
C
2、能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题。
学习目标：
2. 如图2，点P是∠CAB内一点，且P到AB、AC的距离PD＝PE，则△PEA≌△PDA的理由是( )
AAS B. SSS
C. HL D. ASA
图2
C
2、能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题。
学习目标：
3. 如图3，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”，还需要加条件________；若加条件∠B＝∠C，则可用_________判定
图3
AB=AC
AAS
2、能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题。
学习目标：
4. 已知：如图4，AB=AC，AD=AE，AD⊥BD于D，AE⊥EC于E.
求证：△ABD≌△ACE.
图4
证明:
∵ AD⊥BD于D，AE⊥EC于E.
∴ △ABD和△ACE是直角三角形
在Rt△ABD与Rt△ACE中
∵ AB=AC，AD=AE
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACE(HL)
2、能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题。
学习目标：
5、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么关系？
解：(1)∵在R t△ABC和Rt△DEF中
BC=EF (已知)
AC=DF (已知)
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
(2) ∵Rt△ABC≌Rt△DEF
∴∠ABC=∠DEF(全等三角形对应角相等)
又∵∠DEF+∠DFE=90°
(直角三角形的两个锐角互余)
∴∠ABC+∠DFE=90°
B
A(D)
F
E
C登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.8 直角三角形全等的判定 （巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、如图1，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，那么请你判断阴影部分图形的形状.
2、如图2，△ABC中，∠ABC=45°，AD是高，点E在AD上，且BE=AC.
（1）试说明∠BED=∠C的理由；
（2）BE与AC垂直吗？为什么？
3、如图3,在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点P,则AP平分∠BAC.说明理由.21cnjy.com
4、近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站，张、李两村座落在两相交公路内(如图5所示)．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等，②到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定点的位置．21·cn·jy·com
第二部分
1.判定两个直角三角形全等共有五种方法:SAS, ,AAS, 和HL.
2.斜边对应相等的两个等腰直角三角形__________全等．(填“一定”或“不一定”)
3. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等,这是根据 .
4.已知点P在∠BAC的角平分线OD上,且PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F.若PE=3cm,
则PF = cm.
5.如果Rt△ABC≌Rt△DEF,AC=DF=4,AB=7, ∠C=∠F=90°，,则DE= ,EF= .
6.如图11，四边形ABCD是一防洪堤坝的横截面，AE⊥CD，BF⊥CD，且AE=BF，AD=BC问：∠C与∠D是否相等 说明你的理由.www.21-cn-jy.com
7.如图12,在△ABC中,D是BC的中点,DF⊥AB于点F,DE⊥AC于点E,且BF=CE.则点D在∠BAC的平分线上,试说明理由.21世纪教育网版权所有
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )4、近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站，张、李两村座落在两相交公路内(如图5所示)．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等，②到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定点的位置．2·1·c·n·j·y
解：(1)画出角平分线；(2)作出垂直平分线.
第二部分
1.判定两个直角三角形全等共有五种方法:SAS, ,AAS, 和HL.
答案：ASA SSS
2.斜边对应相等的两个等腰直角三角形__________全等．(填“一定”或“不一定”)
答案：一定
3. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等,这是根据 .
答案：SAS
5.已知点P在∠BAC的角平分线OD上,且PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F.若PE=3cm,
则PF = cm.
答案：3
5.如果Rt△ABC≌Rt△DEF,AC=DF=4,AB=7, ∠C=∠F=90°，,则DE= ,EF= .
答案：7
6.如图11，四边形ABCD是一防洪堤坝的横截面，AE⊥CD，BF⊥CD，且AE=BF，AD=BC问：∠C与∠D是否相等 说明你的理由.21教育网
解：∵AE⊥CD，BF⊥CD，且AE=BF，AD=BC,
∴Rt△AED≌Rt△BFC, ∴∠C=∠D.
7.如图12,在△ABC中,D是BC的中点,DF⊥AB于点F,DE⊥AC于点E,且BF=CE.则点D在∠BAC的平分线上,试说明理由.【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵D是BC的中点, ∴BD=CD.
又∵DF⊥AB, DE⊥AC, 且BF=CE,
∴Rt△BDF≌Rt△CDE, ∴DE=DF, 即点D在∠BAC的平分线上.
A
B
C
D
O
图1
图2
图3
图5
图11
图12
图5
李
张
P
图11
图12
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