圆的基本性质的同步练习与专题复习（共127页，附答案）
文档属性
| 名称 | 圆的基本性质的同步练习与专题复习（共127页，附答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 26.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-09-27 12:47:36 | ||
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文档简介
第3章 圆的基本性质
3.1__圆__
第1课时 圆的有关概念[见A本P22]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为( B )
A．①③④ B．①③⑤
C．②③⑤ D．③④⑤
【解析】 其中②，④都是错误的，在同圆或等圆中优弧一定大于劣弧．
2．若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，那么点A与⊙O的位置关系是( A )
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．不能确定
【解析】 d＝3 cm＜4 cm＝R，所以点A在⊙O内．
3．已知⊙O的半径为5 cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是( D )
A．5 cm B．4 cm
C．3 cm D．6 cm
【解析】 ∵点P在⊙O外，∴d>5 cm.故选D.
4．如图3－1－1所示，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为( A )
图3－1－1
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
5．已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8.如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是( A )
A．6＜r＜10 B．8＜r＜10
C．6＜r≤8 D．8＜r≤10
【解析】 ∵AB＝6，AD＝8，∴ AC＝10，∴ 点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r的取值范围是6＜r＜10.
6．已知⊙O的半径为10 cm，点P到圆心的距离为d cm.
(1)当d＝8 cm时，点P在⊙O__内__；
(2)当d＝10 cm时，点P在⊙O__上__；
(3)当d＝12 cm时，点P在⊙O__外__．
【解析】 d>r 点P在圆外；d＝r 点P在圆上；d7．如图3－1－2，已知⊙O的半径为5，∠AOB＝60°，则弦AB的长为__5__．
图3－1－2
【解析】 由已知得OA＝OB，又∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝OA＝5.
8．[2012·广元]平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6 cm，最短为2 cm，则⊙O的半径为__4或2__cm.
【解析】 当点P在⊙O内时，则直径＝6＋2＝8 (cm)，因而半径是4 cm；当点P在⊙O外时，则直径＝6－2＝4 (cm)，因而半径是2 cm，所以⊙O的半径为4 cm或2 cm.
9．如图3－1－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，CM是中线，以C为圆心， cm长为半径画圆，则点A，B，M与⊙C的位置关系如何？
图3－1－3
解：根据勾股定理，有AB＝＝2(cm)．
∵CA＝2 cm＜ cm，∴点A在⊙C内．
∵BC＝4 cm＞ cm，∴点B在⊙C外．
由直角三角形斜边上的中线性质得CM＝ cm，
∴点M在⊙C上．
10．如图3－1－4，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r取何值时，点A，B在⊙C外？
(2)当r在什么范围内时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？
图3－1－4
解：(1)当0＜r＜3时，点A，B在⊙C外．
(2)当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
11．如图3－1－5所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是( A )
图3－1－5
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．无法确定
【解析】 连结OP，∵OC＝OA，PC＝PD，∴OP＝AD＝×AB＝×10＝2.5.∵OA＝OC＝AC＝×6＝3>2.5，即OA>OP，∴点P在⊙O内，故选A.
12．如图3－1－6所示，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径．
(1)试判断四边形ACBD是什么特殊的四边形，并说明理由；
(2)若⊙O的半径r＝2 cm，求四边形ACBD的面积．
图3－1－6
【解析】 (1)利用圆的半径相等及正方形的判定定理可以判断四边形ACBD是正方形．
(2)S正方形ACBD＝AB·CD.
解：(1)∵OA＝OC＝OB＝OD，AB⊥CD，
∴四边形ACBD是正方形．
(2)S正方形ACBD＝AB·CD＝×4×4＝8(cm2)．
13．如图3－1－7所示，AB，AC为⊙O的弦，连结CO，BO并延长分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.
求证：CE＝BF.
图3－1－7
证明：∵OB，OC是⊙O的半径，∴OB＝OC.
又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，
∴△EOB≌△FOC，∴OE＝OF，∴CE＝BF.
14．如图3－1－8，已知OA，OB是⊙O的两条半径，C，D为OA，OB上的两点，且AC＝BD.
求证：AD＝BC.
图3－1－8
证明：∵ OA，OB是⊙O的两条半径，∴ AO＝BO.
∵ AC＝BD，∴ OC＝OD.
在△OCB和△ODA中，
∴△OCB≌△ODA(SAS)，
∴ AD＝BC.
15. 如图3－1－9，在⊙O中，AB为弦，C，D在AB上，且AC＝BD，请问图中有几个等腰三角形？把它们分别写出来，并说明理由．
图3－1－9
解：等腰三角形有∶△OAB，△OCD.
证明：∵OA＝OB(同圆的半径相等)，
∴△OAB是等腰三角形，∴∠A＝∠B，
又∵AC＝BD，OA＝OB，
∴△OAC≌△OBD，∴OC＝OD，
∴△OCD是等腰三角形．
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
16. 如图3－1－10所示，线段AD过圆心O交⊙O于D，C两点，∠EOD＝78°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．
图3－1－10
解：如图所示，连结OB，
∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝OB，∴∠1＝∠A.
又OB＝OE，∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A，
∴∠EOD＝∠E＋∠A＝3∠A，即3∠A＝78°，
∴∠A＝26°.
第2课时 确定圆的条件[见B本P22]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．下列命题正确的是( C )
A．三点确定一个圆
B．圆有且只有一个内接三角形
C．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
D．矩形的四边中点在同一圆上
【解析】 A错误，经过不在同一直线上的三点确定一个圆；B错误，一个圆有无数个内接三角形；C正确，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；D错误，矩形中心到四边中点的距离不一定相等．
2．如图3－1－11所示，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B )
图3－1－11
A．点P B．点Q
C．点R D．点M
3．一个三角形的外心在三角形的内部，则这个三角形是( C )
A．任意三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【解析】 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部，故选C.
4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图3－1－12所示．为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( B )
图3－1－12
A．第①块 B．第②块
C．第③块 D．第④块
【解析】 看所带的一块玻璃能不能通过作图画出原来的圆．任意作两条不平行的弦，再作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点，就是该玻璃所在圆的圆心．圆心到弦的一个端点的距离即为半径．选择B.
5．等边三角形的外心在它的( B )
A．外部 B．内部
C．边上 D．顶点处
【解析】 等边三角形是锐角三角形，锐角三角形的外心在三角形的内部．
6．已知线段AB＝6 cm.
(1)画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__2__个；
(2)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__1__个；
(3)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__0__个．
7．直角三角形两直角边边长分别为，1，那么它的外接圆的直径是__2__．
【解析】 该直角三角形外接圆的直径是斜边长，即为＝2.
8．如图3－1－13，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝31°，则∠COB的度数等于__62°__．
图3－1－13
【解析】 由图知∠COB＝∠ACO＋∠A，又∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO＝31°，∴∠COB＝2×31°＝62°.
图3－1－14
9．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹)．
解：作盘内两条弦，再作两条弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心，圆心到弦的端点的距离就是半径．图略．
10.如图3－1－15，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
图3－1－15
解：(1)用尺规作出两边的垂直平分线，两条垂直平分线交于O点，以OA为半径再作出⊙O，⊙O即为所求作的花坛的位置．(图略)
(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，
∴BC＝＝10米，
∴△ABC外接圆的半径为5米，
∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
11．平面内有五个点A，B，C，D，E，直线AB与直线CD正好相交于E，在这五个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是( C )
A. B. C. D.
12．[2012·资阳]直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是__10或8__．
【解析】 由勾股定理可知∶
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12时，直角三角形的斜边长＝＝20，
因此这个三角形的外接圆半径为10.
综上所述∶这个三角形的外接圆半径等于8或10.
13．如图3－1－16，平面直角坐标系中，点A(2，9)，B(2，3)，C(3，2)，D(9，2)在⊙P上．
(1)在图中清晰标出点P的位置；
(2)写出点P的坐标．
图3－1－16
解：(1)略．(2)(6，6)．
14．如图3－1－17所示，在△ABC中，BD，CE 是两条高线，求证：B，C，D，E 四点在同一个圆上．
图3－1－17
证明：取BC的中点O，连结EO，DO，则EO，DO是Rt△BEC，Rt△BDC斜边上的中线，
∴EO＝DO＝BO＝CO＝BC，
∴点B，C，D，E四点都在⊙O上．
15．如图3－1－18，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E.求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
图3－1－18
第15题答图
证明：如图，∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠1＝∠2.
又∵DE∥AC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE.
又∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB＝90°，
∴∠EBD＋∠1＝∠EDB＋∠3＝90°，
∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AE＝BE＝DE，
∴点E是A，B，D三点所在的圆的圆心．
16．如图3－1－19，D是△ABC 的边BC 的中点，过AD 延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB 的延长线相交于点F，点O在AD 上，AO＝CO，BC∥EF.
(1)证明：AB＝AC；
(2)证明：A，B，C三点在以O点为圆心的圆上．
图3－1－19
证明：(1)∵AE⊥EF，EF∥BC，∴AD⊥BC.
在△ABD和△ACD中，
∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD.∴AB＝AC.
(2)连结BO，由(1)得AD是BC的中垂线，
∴BO＝CO.又AO＝CO，∴AO＝BO＝CO.
∴A，B，C三点在以O点为圆心的圆上．
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
17．[2012·台州]如图3－1－20①，△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.
(1)求证：△ABD≌△CBE；
(2)如图3－1－20②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
图3－1－20
解：(1)证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC＋∠CBD＝∠DBE＋∠CBD，
即∠ABD＝∠CBE.
在△ABD与△CBE中，
∴△ABD △CBE(SAS)．
(2)四边形BDCE是菱形．
证明如下∶
同(1)，易知△ABD≌△CBE，∴CE＝AD.
∵点D是△ABC外接圆的圆心，
∴DA＝DB＝DC.
又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝CE＝CD，
∴四边形BDCE是菱形．
3.2__图形的旋转__[见A本P24]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．[2013·长沙]在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是( C )
2．[2013·莆田]如图3－2－1，将Rt△ABC(其中∠B＝35°，∠C＝90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于( C )
3－2－1
A．55° B．70°
C．125° D．145°
【解析】∵∠B＝35°，∠C＝90°，∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－35°＝55°，
∵点C，A，B1在同一条直线上，∴∠BAB1＝180°－∠BAC＝180°－55°＝125°，
∴旋转角等于125°.
3．[2013·南昌]如图3－2－2，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为( C )
3－2－2
A．60° B．75° C．85° D．90°
【解析】根据旋转的性质知，∠EAC＝∠BAD＝65°，∠C＝∠E＝70°.
如图，设AD⊥BC于点F.则∠AFB＝90°，∴在Rt△ABF中，∠B＝90°－∠BAD＝25°，
∴在△ABC中，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－25°－70°＝85°，即∠BAC的度数为85°.
4．[2013·南京]如图3－2－3，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为∠α(0°＜α＜90°)．若∠1＝110°，则∠α＝__20__°.
3－2－3
第4题图
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′＝∠D＝90°，∠4＝∠α，∵∠1＝∠2＝110°，
∴∠3＝360°－90°－90°－110°＝70°，
∴∠4＝90°－70°＝20°，∴∠α＝20°.
5．[2013·衡阳]如图3－2－4，在直角△OAB中，∠AOB＝30°，将△AOB绕点O逆时针方向旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB的度数为__70°__
3－2－4
6．[2013·广州]如图3－2－5，Rt△ABC的斜边AB＝16，Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长度为__8__．
3－2－5
7．[2010·镇江]如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，AB＝AD.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)如果∠AEC＝75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．
3－2－6
解：(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠B＝∠D，
∴△ABC≌△ADE.
(2)∵△ABC≌△ADE，∴AC与AE是一组对应边，
∴∠CAE为旋转角，
∵AE＝AC，∠AEC＝75°，
∴∠ACE＝∠AEC＝75°，
∴∠CAE＝180°－75°－75°＝30°.
8．[2013·福州]如图3－2－7，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－2，0)，等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是__2__个单位长度；
△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是__y轴__；
△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角可以是__120__度；
(2)连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
3－2－7
解：(1)平移的距离是2个单位长度；对称轴是y轴；旋转角等于120°.
(2)∵△ACO，△BOD是等边三角形，∴∠CAO＝60°，OA＝OD，
∵∠AOD＝120°，OA＝OD，∴∠DAO＝30°，
∴AE平分∠CAO，∴AD垂直平分CO，∴∠AEO＝90°.
9．[2013·崇左]如图3－2－8所示，正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE＝BF.
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么？
3－2－8
解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∴∠D＝∠ABF＝90°，又DE＝BF，AD＝AB，∴△ADE≌△ABF.
(2)将△ADE顺时针旋转90°后与△ABF重合，旋转中心是点A.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
10．[2013·呼伦贝尔]如图3－2－9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转60°后得到△EDC，此时点D在斜边AB上，斜边DE交AC于点F.则图中阴影部分的面积为( C )
3－2－9
A．2 B．2 C. D.
【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°－30°＝60°，
∵△ABC绕点C顺时针方向旋转60°后得到△EDC，点D在斜边AB上，
∴∠BCD＝60°，CD＝BC＝2，
∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝90°－60°＝30°，
∠CFD＝180°－30°－60°＝90°，
在Rt?CDF中，DF＝CD＝×2＝1，
CF＝＝＝，
∴阴影部分的面积＝DF·CF＝×1×＝.故选C.
11．[2013·河池]如图①，已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD，AC于点F，G，则在图②中，全等三角形共有( B )
A．5对 B．4对
C．3对 D．2对
【解析】旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG≌△DCE，△A′B′C≌△ADC，△AGF≌△A′EF，△ACE≌△A′CG，共4对．
12．已知：如图3－2－11，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转30°得到正方形AEFG，FG与BC相交于点H.
(1)求证：BH＝GH；
(2)求BH的长．
3－2－11
第12题图
解：(1)证明：连接AH，
依题意，正方形ABCD与正方形AEFG全等，
∴AB＝AG，∠B＝∠G＝90°.
在Rt△ABH和Rt△AGH中，AH＝AH，
∴Rt△ABH≌Rt△AGH.∴BH＝GH.
(2)∵∠1＝30°，△ABH≌△AGH，∴∠2＝∠3＝30°.
在Rt△ABH中，∵∠3＝30°，AB＝6，∴BH＝2.
13. (2013·温州)如图3－2－12，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上．按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
(1)将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；
(2)以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．
3－2－12
解：(1)
(2)
14．[2013·北京]在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；
(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；
(3)在(2)的条件下，连结DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
解：(1)30°－α；
(2)△ABE 为等边三角形．证明：连接 AD，CD，ED，
∵线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到线段 BD，
则 BC ＝BD，∠DBC＝60°，
又∵∠ABE＝ 60°，
∴∠ABD＝ 60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－α；
且 △BCD 为等边三角形，
在 △ABD 与△ACO 中，
∴ △ABD ≌△ACD(SSS)．
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α.
∵∠BCE＝ 150°，
∴∠BEC＝180°－(30°－α)－150°＝α.
在 △ABD与△EBC中，
∴ △ABD≌△EBC(AAS)．
∴AB＝BE.又∠ABE＝60°.∴△ABE为等边三角形．
(3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°.
∴∠DCE＝150°－60°＝90°.
∵∠DEC＝45°.
∴ △DCE为等腰直角三角形，
∴DC＝CE＝BC，
∵∠BCE＝150°.
∴∠EBC＝＝15°.
而∠EBC＝30°－α＝15°.
∴α＝30°.
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
15．[2013·湘潭]在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD，CF，经测量发现AD＝CF.
(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；
(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．
图3－2－14
第15题图
解：(1)AD与CF还相等，
理由：∵四边形ODEF，四边形ABCO为正方形，
∴∠DOF ＝∠COA ＝ 90°，DO＝OF，CO＝OA，∴∠COF ＝∠AOD，∴△COF≌△AOD(SAS)，∴AD＝CF.
(2)如图，连接DF，交EO于G，则DF⊥EO，DG＝OG＝EO＝1，∴GA＝4，∴CF＝AD＝＝＝.
3.3__垂径定理__
第1课时 垂径定理 [见B本P24]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．[2013·浙江温州市]如图3－3－1，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是( B )
3
3－3－1
A. B. C. D.
2．如图3－3－2，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的有( A )
①CE＝DE；②BE＝OE；③＝；④∠CAB＝∠DAB；⑤AC＝AD.
3－3－2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．[2013·潍坊]如图3－3－3，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为( D )
3－3－3
A．4 B．8 C．2 D．4
4．[2013·丽水]一条水管的截面如图3－3－4所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是( C )
3－3－4
A．4 B．5 C．6 D．8
5．[2013·绍兴]绍兴是著名的桥乡，如图3－3－5，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为( D )
3－3－5
A. 4m B．5m C．6m D．8m
6．[2013·广安]如图3－3－6，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝8 cm，CD＝3 cm，则圆O的半径为( A )
3－3－6
A.cm B．5 cm C．4 cm D. cm
7．[2013·吉林]如图3－3－7，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP.若OA＝
5 cm，OC＝3 cm，则AP的长度可能是__6(5≤AP≤8)__ cm(写出一个符合条件的数值即可)．
3－3－7
8．[2013·黄冈]如图3－3－8，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝8，则CED所在圆的半径为____．
3－3－8
第8题图
【解析】连接OC，∵M是CD的中点，EM⊥CD，∴EM过⊙O的圆心点O，
设半径为x，∵CD＝4，EM＝8，∴CM＝CD＝2，OM＝8－OE＝8－x，
在Rt△OCM中，OM2＋CM2＝OC2，即(8－x)2＋22＝x2，
解得x＝.
∴所在圆的半径为.
9．[2012·嘉兴]如图3－3－9，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则弦CD的长为__24__．
图3－3－9
第9题答图
【解析】 如图，连结OD.∵AM＝18，BM＝8，∴OD＝＝＝13，∴OM＝13－8＝5.在Rt△ODM中，DM＝＝＝12.∵直径AB⊥弦CD，∴CD＝2DM＝2×12＝24.
10．[2012·衢州]工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图3－3－10所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__8__mm.
图3－3－10
第10题答图
【解析】 如图，连结OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.∵钢珠的直径是10 mm，∴钢珠的半径是5 mm.∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，
∴OD＝3 mm.在Rt△AOD中，AD＝＝＝4(mm)，∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
11．如图3－3－11所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．
图3－3－11
解：连结OC，设OP＝x，
则OC＝2x，直径AB＝4x.
因为AB⊥CD，所以PC＝CD＝3 cm.
在Rt△COP中，OC2＝OP2＋PC2，
即(2x)2＝x2＋32，解得x＝，
所以直径AB的长为4 cm.
12．如图3－3－12，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E点．
(1)若AB＝8，OE＝3，求⊙O的半径；
(2)若CD＝10，DE＝2，求AB的长；
(3)若⊙O的半径为6，AB＝8，求DE的长．
3－3－12
第12题图
解：(1)连接OA，
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，OE＝3，
∴OA＝＝＝5，
∴⊙O的半径是5；
(2)∵CD是⊙O的直径，CD＝10，
∴OA＝CD＝5，∵DE＝2，∴OE＝5－2＝3，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝4
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AB＝2AE＝2×4＝8；
(3)∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，OA＝6，
∴OE＝＝＝2，
∴DE＝OA－OE＝6－2.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
13．如图3－3－13所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( C )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．非菱形的平行四边形
【解析】 因为AB垂直平分半径OC，根据垂径定理可知AB与OC互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．
图3－3－13
14．[2012·陕西]如图3－3－14，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为( C )
A．3 B．4 C．3 D．4
图3－3－14
第14题答图
【解析】 如图，作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，连结OB，OD.由垂径定理、勾股定理得OM＝ON＝＝3.∵弦AB，CD互相垂直，∴∠DPB＝90°.又∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∴四边形MONP是正方形，∴OP＝OM＝3.
15．[2013·广州]如图3－3－15，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为__(3，2)__．
3－3－15
【解析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A(6，0)，PD⊥OA，
∴OD＝OA＝3，
∵OP＝，OD＝3
∴PD＝＝＝2，
∴P(3，2)．
16．如图3－3－16所示，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形．
图3－3－16
第16题答图
证明：如答图所示，过O作OH⊥AB，垂足为H，
则AH＝BH.∵AC＝BD，∴CH＝DH.
又OH⊥AB，即OH⊥CD，
∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形．
17．如图3－3－17，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC＝AC＝4，CB＝8.求⊙O的半径．
3－3－17
第17题图
解：连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，
∵AC＝4，CB＝8，∴AB＝12.
∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝6，
∴CD＝2，
在Rt△CDO中，∠CDO＝90°，OC＝4，CD＝2，
∴OD＝2.
在Rt△ADO中，∠ADO＝90°，由勾股定理得OA＝＝4，
∴⊙O的半径是4.
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
18．如图3－3－18，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE.
(1)求证：AP＝AO；
(2)若弦AB＝12，求OP的长．
图3－3－18
第18题答图
解：(1)证明：∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠BPO.
∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，
∴∠BPO＝∠POA，∴AP＝AO.
(2)如图，过点O作OH⊥AB于点H，
则AH＝HB.
∵AB＝12，
∴AH＝6.
由(1)可知PA＝OA＝10，
∴PH＝PA＋AH＝16.
在Rt△OAH中，OH＝＝＝8，
∴OP＝＝8.
第2课时 垂径定理的推论[见A本P26
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．下列命题中，正确的是( C` )
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．过弦的中点的直线必过圆心
C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
D．弦的垂线平分弦所对的弧
2．如图3－3－19，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( D )
A．8 B．2 C．10 D．5
【解析】 连结OA，因为AM＝AB＝×8＝4，OM＝3，由垂径定理的逆定理及勾股定理得⊙O的半径OA＝5.
图3－3－19
第3题答图
3．已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长2 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( A )
A．1 cm B．2 cm C. cm D. cm
【解析】 如图所示，连结OC，由垂径定理及其逆定理，知OC⊥AB且O，C，D三点共线，连结OA.在Rt△AOC中，OC＝＝＝1，
∴CD＝OD－OC＝2－1＝1.
4．如图3－3－20所示，AB，AC是圆的两条弦，AD是圆的一条直径，且AD平分∠BAC，下列结论中不一定正确的是( A )
A.＝ B.＝
C．BC⊥AD D．∠B＝∠C
图3－3－20
图3－3－21
5．如图3－3－21，一条公路弯道处是一段圆弧，点O是这条弧所在圆的圆心，C是的中点，OC与AB相交于点D.已知AB＝120 m，CD＝20 m，那么这段弯道的半径为( C )
A．200 m B．200 m
C．100 m D．100 m
【解析】 连结OA.
∵ C是的中点，OC与AB相交于点D，
∴ AB⊥OC，∴ AD＝AB＝×120＝60，
△AOD是直角三角形．
设OA＝r，则OD＝r－CD＝r－20，在Rt△AOD中，
OA2＝AD2＋OD2，即r2＝602＋(r－20)2，解得r＝100.
6．如图3－3－22所示，在⊙O中(填写你认为正确的结论)：
(1)若MN⊥AB，垂足为C，MN为直径，则__AC＝BC，＝，＝__；
(2)若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则__MN⊥AB，＝，＝__；
(3)若MN⊥AB，AC＝BC，则__MN过圆心，＝，＝__；
(4)若＝，MN为直径，则__＝，AC＝BC，MN⊥AB__．
图3－3－22
图3－3－23
7．如图3－3－23所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为(－3，5)，B点的坐标为(1，5)，C点的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为__(－1，0)__．
8．如图3－3－24是某公园新建的圆形人工湖．为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A，B，C三根木桩，使得＝，并测得B到AC的距离为3米，AC的长为60米，请你帮他们求出人工湖的半径．
图3－3－24
第8题答图
解：如图，设点O为圆心，连结OA，OB，OC，设OB交AC于点D.∵＝，∴OB⊥AC，AD＝CD＝AC＝30米．
设OA＝x米，则OD＝OB－BD＝(x－3)米，
在Rt△OAD中，由OA2－OD2＝AD2，得
x2－(x－3)2＝302，解得x＝151.5(米)，
故人工湖的半径为151.5米．
9．[2013·邵阳]如图3－3－25所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
3－3－25
解：由垂径定理得BF＝AB＝1.5，OE⊥AB，设圆O半径为x，则OF＝x－1，在Rt△OBF中，根据勾股定理得x2＝1.52＋(x－1)2，解得x＝1.625，即圆O的半径是1.625 m.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
10．如图3－3－26，⊙O过点B，C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( C )
A．6 B．13
C. D．2
图3－3－26
11．[2013·宁夏]如图3－3－27，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为__2__cm.
3－3－27
第11题图
【解析】过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，
∵OA＝2OD＝2 cm，
∴AD＝＝＝ cm，
∵OD⊥AB，
∴AB＝2AD＝2 cm.
12．已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，求AB，CD之间的距离．
解：当AB，CD如图(1)所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB于点F，连结OA，OC.
因为AB∥CD，OE⊥CD，所以OF⊥AB.
由垂径定理可知AF＝AB＝×24＝12，
CE＝CD＝×10＝5.
在Rt△CEO中，OE＝＝＝12，
同理，OF＝＝＝5，
故EF＝OE－OF＝12－5＝7；
当AB，CD如图(2)所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB于点F，连结OA，OC，可得OE＝12，OF＝5，故EF＝OE＋OF＝12＋5＝17，所以AB，CD之间的距离为17 cm或7 cm.
13．如图3－3－28，隧道的截面由和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12 m，宽AB为3 m，隧道的顶端E(的中点)高出道路(BC)7 m.
(1)求所在圆的半径；
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5 m，宽2.3 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？
图3－3－28
第13题答图
解：(1)设圆心为点O，半径为R，连结OE交AD于点F，连结OA，OB.
由垂径定理的逆定理，得OF垂直平分AD，AF＝6，OF＝R－(7－3)＝R－4.
由勾股定理，得AF2＋OF2＝OA2，即62＋(R－4)2＝R2，
解得R＝6.5，即所在圆的半径为6.5 m.
(2)这辆货运卡车能通过该隧道，但要小心．
如图，车宽GH＝2.3，圆的半径OH＝6.5，
由勾股定理，得OG＝＝≈6.08，
所以G点与BC的距离为7－6.5＋6.08＝6.58＞6.5，
故这辆货运卡车能通过该隧道，但要小心．
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
14．如图3－3－29甲所示，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn，Cn在⊙O上．
(1)如图乙，当n＝1时，求正三角形的边长a1；
(2)如图丙，当n＝2时，求正三角形的边长a2；
(3)如图甲，求正三角形的边长an(用含n的代数式表示)．
甲
乙
丙
图3－3－29
解：(1)在图乙中，设PQ与B1C1交于点D，连结OB1，则OD＝A1D－OA1＝a1－1.
在Rt△OB1D中，OB12＝B1D2＋OD2，
即12＝＋，解得a1＝.
(2)在图丙中，设PQ与B2C2交于点E，连结OB2，则OE＝2A1A2－OA1＝a2－1.
在Rt△OB2E中，OB22＝B2E2＋OE2，即12＝＋(a2－1)2，解得a2＝.
(3)在图甲中，设PQ与BnCn交于点F，连结OBn，则OF＝nan－1.
在Rt△OBnF中，OBn2＝BnF2＋OF2，
即12＝＋，解得an＝.
专题五__垂径定理有关的辅助线__[见B本P26]
一 连半径构造直角三角形
INCLUDEPICTURE"教材母题.EPS" (教材P78作业题第2题)
如图1，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.已知⊙O的半径为2，AB＝3，求DC的长(精确到0.01)．
图1
解：连结OA，则
AD＝AB＝×3＝，
∴OD＝＝＝，
∴DC＝OC－OD＝2－≈0.68.
【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解．
INCLUDEPICTURE"变形1.EPS" 如图2，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6 cm，则直径AB的长是( D )
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．4 cm
图2
图3
INCLUDEPICTURE"变形2.EPS" 如图3，⊙O的直径CD⊥AB于点M，MD＝2，AB＝8，则CD的长为( C )
A．5 B．8
C．10 D．2
INCLUDEPICTURE"变形3.EPS" 如图4，已知⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为3，则过点A的所有弦中，最短的弦长为( C )
图4
A．4 B．6
C．8 D．10
INCLUDEPICTURE"变形4.EPS" 如图5，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为( B )
图5
A.a B.a
C．(－1)a D．(2－)a
【解析】 从题目中很容易看出桌布刚好覆盖正方形桌子的桌面，正方形是圆的内接正方形，桌子的边长为a，用直径a减去桌子的边长刚好为2x的长度，所以x＝a.
INCLUDEPICTURE"变形5.EPS" 如图6，一块破残的轮片上，点O是这块轮片的圆心，AB＝120 mm，C是上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝20 mm，则原轮片的半径是__100__mm.
图6
INCLUDEPICTURE"变形6.EPS" [2012·西宁]如图7是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2 m，净高CD为5 m，则圆拱形门所在圆的半径为__2.6__m.
图7
变形6答图
【解析】 如图，连结OA.
在Rt△OAD中，AD＝AB＝1 m.
设⊙O的半径为R，则OA＝OC＝R，OD＝5－R，
由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，
即R2＝(5－R)2＋12，
解得R＝2.6(m)．
INCLUDEPICTURE"变形7.EPS" 如图8，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB＝10，BC＝12，求⊙O的半径．
图8
变形7答图
解：如图，连接OB.
∵AD是△ABC的高．
∴BD＝BC＝6，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝8.
设圆的半径是R.则OD＝8－R.
在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到R2＝36＋(8－R)2
解得R＝.
二 作圆心到弦的垂线巧解题
INCLUDEPICTURE"教材母题.EPS"(教材P65作业题第6题)
已知：如图9，在⊙O中，弦AB∥CD.求证：＝.
图9
证明：过点O作OE⊥AB，交⊙O于点E，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD，则＝，＝，
∴－＝－，即＝.
【思想方法】 当圆中出现弦时，通常作圆心到弦的垂线，或再连半径构造直角三角形，可通过垂径定理或勾股定理解题．
INCLUDEPICTURE"变形1.EPS" 如图10所示，矩形ABCD与⊙O相交于点M，N，F，E，若AM＝2，DE＝1，EF＝8，则MN的长为( C )
A．2 B．4
C．6 D．8
图10
变形1答图
【解析】 如图，过点O作OH⊥AB于点H，交CD于点G，
则MH＝HN，EG＝GF，
且四边形ADGH是矩形，所以AH＝DG.
因为EG＝EF＝4，所以DG＝DE＋EG＝1＋4＝5，
则AH＝5.
又因为AH＝AM＋MH＝2＋MH＝5，
所以MH＝3，则MN＝2MH＝2×3＝6.
INCLUDEPICTURE"变形2.EPS" [2013·兰州]如图11是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8 cm，水的深度为2 cm，则该输水管的半径为( C )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
图11
变形2答图
【解析】如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝×8＝4 cm，
设OA＝r，则OD＝r－2，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，即r2＝(r－2)2＋42，
解得r＝5 cm.
INCLUDEPICTURE"变形3.EPS" 如图12，⊙O的弦AB，CD交于点P，AB＝CD.求证：OP平分∠BPD.
图12
变形3答图
证明：连接OB，OD，过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
则由垂径定理得BM＝AB，DN＝CD，
∵AB＝CD，∴BM＝DN，
由勾股定理得OM2＝OB2－BM2，ON2＝OD2－DN2，
∵OB＝OD，BM＝DN，∴OM＝ON，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴OP平分∠BPD.
INCLUDEPICTURE"变形4.EPS" 如图13所示，⊙O的直径AB和弦CD交于点E，已知AE＝6 cm，EB＝2 cm，∠CEA＝30°，求CD.
图13
解：过点O作CD的垂线，垂足为F，连结OD.
∵AE＝6 cm，EB＝2 cm，
∴AB＝AE＋EB＝8 cm，∴OB＝AB＝4 cm，
∴OE＝OB－EB＝2 cm.
∵∠CEA＝30°，
∴OF＝OE＝1 cm(直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)，
∴FD＝＝＝(cm)，
∴CD＝2FD＝2(cm)．
INCLUDEPICTURE"变形5.EPS" 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图14所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
图14
解：不需要采取紧急措施．
理由如下∶
设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，OC＝R－18，由勾股定理得OA2＝AC2＋OC2，
即R2＝302＋(R－18)2＝900＋R2－36R＋324，
解得R＝34.
如图，连结OM，设DE＝x.
在Rt△MOE中，ME＝16，OE＝34－x，由勾股定理得OM2＝ME2＋OE2，
即342＝162＋(34－x)2＝162＋342－68x＋x2，
即x2－68x＋256＝0，
解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，
∴DE＝4.∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．
3.4__圆心角__
第1课时 圆心角定理[见A本P28]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．下列语句中，正确的有( A )
A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．长度相等的两条弧相等
D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
2．如图3－4－1所示是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合( C )
A．60° B．90° C．120° D．180°
图3－4－1
图3－4－2
3．如图3－4－2所示，MN为⊙O的弦，∠M＝45°，则∠MON等于( D )
A．50° B．65° C．80° D．90°
4．如图3－4－3所示，点O是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA，OB分别交小圆于C，D两点，则下列结论中正确的是( C )
图3－3－3
A.＝ B．AB＝CD
C．AB∥CD D．AC∥BD
【解析】 ∵OC＝OD，OA＝OB，∴∠OCD＝∠OAB＝(180°－∠AOB)，∴AB∥CD.
5．如图3－4－4所示，AB是⊙O的直径，如果∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段OA相等的线段有__OC，OD，OB，AC，CD，DB__，与相等的弧有__，__．
图3－4－4
【解析】 根据圆心角定理可得出结论．
6．一条弦把圆分成1∶3的两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为__90°__．
【解析】 劣弧的度数为×360°＝90°，所以它所对的圆心角的度数为90°.
图3－3－5
7．如图3－4－5所示，若∠AOB＝100°，则的度数为__260°__；若的度数为250°，则∠AOB＝__110°__．
【解析】 当∠AOB＝100°时，的度数为100°，的度数为360°－100°＝260°.当的度数为250°时，的度数为360°－250°＝110°，∴∠AOB＝110°.
8．如图3－3－6所示，AB，CD，EF都是⊙O的直径，且∠1＝∠2＝∠3，判断⊙O的弦AC，BE，DF的大小关系，并说明理由．
图3－4－6
解： AC＝BE＝DF.理由如下∶
∵∠1＝∠2＝∠3，∠1＝∠AOC，∠2＝∠BOE，∠3＝∠DOF，
∴∠AOC＝∠BOE＝∠DOF，
∴AC＝BE＝DF(在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等)．
9．如图3－4－7所示，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，判断与的大小关系，并说明理由．
图3－4－7
解： ＝.理由如下∶
∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，CO＝CO，
∴Rt△CDO≌Rt△CEO，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴＝.
10．如图3－4－8，在⊙O中，D，E分别为半径OA，OB上的点，且AD＝BE.点C为上一点，连结CD，CE，CO，∠AOC＝∠BOC.
求证：CD＝CE.
图3－4－8
证明：∵ OA＝OB，AD＝BE，
∴ OA－AD＝OB－BE，即OD＝OE.
在△ODC和△OEC中，
∴△ODC≌△OEC(SAS)．
∴CD＝CE.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
11．[2012·日照]如图3－4－9，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠B＝__18°__．
图3－4－9
12．如图3－4－10，△ABC是等边三角形，以BC为直径画⊙O分别交AB，AC于点D，E.求证：BD＝CE.
图3－4－10
证明：连结OD，OE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
又∵OB＝OD，OE＝OC，
∴△BOD，△OEC都是等边三角形，
∴∠BOD＝∠EOC＝60°，∴BD＝CE.
13．如图3－4－11所示，AB是⊙O的弦，C，D为弦AB上的两点，且OC＝OD，延长OC，OD分别交⊙O于点E，F.求证：＝.
图3－4－11
证明：如图，作OG⊥AB于点G.
∵OC＝OD，OG⊥AB，∴∠COG＝∠DOG.
∵OA＝OB，OG⊥AB，∴∠AOG＝∠BOG，
∴∠AOE＝∠BOF，∴＝.
14．如图3－4－12所示，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，以点B为圆心，AB为半径画圆，交AC于点D，交BC于点E.
求证：(1)＝2；
(2)D是AC的中点．
图3－4－12
第14题答图
【解析】 (1)连结BD，证明∠ABD＝2∠DBE.
(2)证明AD＝BD＝DC.
证明：(1)如答图所示，连结BD.
∵∠A＝60°，BA＝BD，
∴∠ABD＝60°，即的度数为60°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBE＝30°，即的度数为30°，
∴＝2.
(2)∵∠C＝180°－∠A－∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝∠C，
∴DC＝DB.
由(1)得△ABD为等边三角形，
∴DB＝AD，
∴DC＝AD，即D为AC的中点．
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
15．“五一”节，小贾和同学一起到游乐场游玩大型摩天轮．摩天轮的半径为20 m，匀速转动一周需要12 min，小贾乘坐最底部的车厢(离地面0.5 m)．
(1)经过2 min后小贾到达点Q(如图3－4－13所示)，此时他离地面的高度是多少？
(2)在摩天轮转动过程中，小贾将有多长时间连续保持在距离地面不低于30.5 m的空中？
图3－4－13
【解析】 (1)先计算转动2 min摩天轮所经过的圆心角∠AOQ＝360°×＝60°，小贾距地面的高度为Q到直线l的距离．
(2)计算小贾在离地面不低于30.5 m的空中的圆心角的度数，从而求出相应的时间．
解∶(1)如答图(1)所示，作QB⊥l于点B，QC⊥OA于点C，由题意得∠AOQ＝×360°＝60°，
∴∠OQC＝30°，∴OC＝OQ＝×20＝10(m)，
∴BQ＝OA－OC＝20＋0.5－10＝10.5(m)，
∴此时他离地面的高度为10.5 m.
(2)如答图(2)所示，设Q′，Q″离地面的距离为30.5 m，那么上的点到l的距离不低于30.5 m．延长AO交Q′Q″于点C，
则OC⊥Q′Q″，OC＝30.5－20.5＝10.
又∵OQ′＝20＝2OC，∴∠Q′＝30°，
∴∠Q′OC＝60°，∴∠Q′OQ″＝120°，
∴小贾在离地面不低于30.5 m的空中的时间为120°÷＝120°÷30°＝4(min)．
第2课时 圆心角定理的逆定理[见B本P28]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．下列说法中正确的是( B )
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等，所对的圆心角相等
【解析】 圆心角定理及逆定理的条件是在同圆或等圆中，所以A、C、D都不正确．B中“等弧”隐含着“同圆或等圆中”这个条件．
2．如图3－4－14所示，已知AB是⊙O的直径，C，D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE是( C )
A．40° B．60° C．80° D．120°
【解析】 根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，故由＝＝，得∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC＋∠COD＋∠DOE＝120°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝40°，∴∠COE＝80°.
图3－4－14
3. 如图3－4－15，C，D为半圆上三等分点，则下列说法正确的有( A )
①＝＝；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3－4－15
4．[2013·厦门]如图3－4－16所示，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B＝( B )
A．150° B．75° C．60° D．15°
3－4－16
【解析】∵在⊙O中，＝，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠C.又∠A＝30°，∴∠B＝75°.
5．如图3－4－17所示，AB，CD是⊙O的两条弦，OM，ON是弦AB，CD的弦心距，则有：
(1)如果AB＝CD，那么__∠AOB＝∠COD__，__＝__，__OM＝ON__；
(2)如果＝，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD__，__OM＝ON__；
(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__OM＝ON__，__AB＝CD__，__＝__；
(4)如果OM＝ON，那么__∠AOB＝∠COD__，__AB＝CD__，__＝__．
6．如图3－4－18所示，AB，CD为⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥AB于点E，且OE＝2 cm，那么点O到CD的距离为__2 cm.
图3－4－18
图3－4－19
7．如图3－4－19所示，AB是⊙O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，则∠AOC＝__36°__，∠COF＝__108°__．
【解析】 ∵AC＝CD＝DE＝EF＝FB，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOB＝×180°＝36°，
∴∠AOC＝36°，∠COF＝3×36°＝108°.
8．如图3－4－20，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，则：①AB＝CD；②＝；③PO＝PE；④＝；⑤PB＝PD，其中结论正确的是
__①②④⑤__(填写序号)．
图3－4－20
图3－4－21
9．如图3－4－21，等边三角形ABC内接于⊙O，连结OA，OB，OC.
(1)∠AOB，∠COB，∠AOC分别为多少度？
(2)若等边三角形ABC的边长为r，求⊙O的半径．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝×360°＝120°.
(2)过点O作OH⊥BC，
则∠HOC＝∠BOC＝60°，∠OCH＝30°.
又∵HC＝BC＝r，OH＝OC，根据勾股定理得OH2＋HC2＝OC2，∴OC＝r.
10．如图3－4－22，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3 cm.
(1)求证：＝；
(2)能否求出BD的长？若能，求出BD的长；若不能，请说明理由．
图3－4－22
解：(1)证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠COB＝∠2＋∠COB，
即∠DOB＝∠COA，
∴＝.
(2)∵＝，
∴BD＝AC.
∵AC＝3 cm，
∴BD＝3 cm.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
11．如图3－4－23所示，在⊙O中，已知＝2，则( B )
A．AB＝2CD
B．AB<2CD
C．AB>2CD
D．AB与2CD的大小不确定
图3－4－23
第11题答图
【解析】 如答图所示，取的中点E，连结AE，BE.
∵＝2＝2＝2，
∴CD＝AE＝BE，∴AE＋BE＝2CD.
在△ABE中，AE＋BE>AB，∴AB<2CD.
12．如图3－4－24所示，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A，B两点)上移动时，则点P( B )
A．到CD的距离保持不变
B．位置不变
C．等分
D．随C点的移动而移动
图3－3－24
第12题答图
【解析】 连结OP，如答图所示．
∵OC＝OP，∴∠2＝∠3.又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴CD∥OP.∵AB⊥CD，
∴OP⊥AB，且OP是圆的半径，故点P的位置不变，故选B.
13．如图3－4－25所示，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB＝120°，C是的中点，试判断四边形OACB的形状，并说明理由．
图3－4－25
解：四边形OACB是菱形．
理由：连结OC.∵C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝×120°＝60°.
∵CO＝BO(⊙O的半径)，
∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC.
同理，△OCA也是等边三角形，
∴OA＝AC.
又∵OA＝OB，∴OA＝AC＝BC＝BO，
∴四边形OACB是菱形．
14．如图3－4－26所示，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直且相交于点P，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，＝.求证：四边形OEPF是正方形．
图3－4－26
证明：∵＝，∴＋＝＋，
即＝，∴AB＝CD.
又∵OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，
∴OE＝OF.∵AB⊥CD，
∴∠EPF＝∠PFO＝∠PEO＝90°，
∴四边形OEPF是正方形．
15．如图3－4－27，已知AB，CD是⊙O的直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.
(1)求证：BE＝DF；
(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明)．
图3－4－27
解：(1)证明：连结OE，OF.
∵DF∥AB，BE∥DC，
∴∠EBA＝∠COA＝∠CDF.
∵OB＝OE，OD＝OF，
∴∠OEB＝∠EBA＝∠CDF＝∠OFD.
在△OEB与△OFD中，
∴△OEB≌△OFD，∴BE＝DF.
(2)图中相等的劣弧有∶＝，＝＝＝，＝，＝等．
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
16．如图3－4－28，点A是⊙O上的一个六等分点，点B是的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1.
(1)找出当AP＋BP取最小值时，点P的位置；
(2)求出AP＋BP的最小值．
图3－4－28
第16题答图
解：(1)如图，过点A作弦AA′⊥MN于点E，连结BA′交MN于点P，连结AP.
∵MN是⊙O的直径，
∴AE＝EA′，
∴AP＝PA′，即AP＋BP＝PA′＋BP.
根据两点之间线段最短，当A′，P，B三点共线时，
PA′＋BP此时取得最小值BA′，
即AP＋BP此时取得最小值BA′，
∴点P位于A′B与MN的交点处．
(2)连结OA′，OB.
∵点A是⊙O上的一个六等分点，
∴∠AON＝∠A′ON＝60°.
∵点B是的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠BOA′＝90°.
∵OB＝OA′＝1，∴BA′＝，即AP＋BP的最小值为.
3.5__圆周角__
第1课时 圆周角定理[见A本P30]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．[2013·衡阳]如图3－5－1，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于( D )
3－5－1
A．50° B．80° C．90° D．100°
2．[2013·泰安]如图3－5－2，点A，B，C在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于( D )
A．60° B．70° C．120° D．140°
3－5－2
第2题答图
【解析】过A作⊙O的直径，交⊙O于D，△OAB中，OA＝OB，
则∠BOD＝∠OBA＋∠OAB＝2×32°＝64°，
同理∠COD＝∠OCA＋∠OAC＝2×38°＝76°，
故∠BOC＝∠BOD＋∠COD＝140°.
3．[2013·成都]如图3－5－3，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为( D )
3－5－3
A．40° B．50° C．80° D．100°
4．[2012·达州]如图3－5－4，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB，OC，若OB＝BC，则∠BAC等于( C )
图3－5－4
A．60° B．45° C．30° D．20°
5．[2013·海南]如图3－5－5，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是( A )
3－5－5
A．1 B．2 C. D.
6．如图3－5－6所示，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是( A )
A．25° B．40° C．30° D．50°
图3－5－6
【解析】 ∵DE∥OA，∴∠AOD＝∠D＝50°.∵OA＝OC，∴∠C＝∠A＝∠AOD，∴∠C＝25°.故选A.
7．[2013·河池]如图3－5－7，⊙O的弦AB垂直于半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝3 cm，则弦AB的长为( A )
3－5－7
A．9 cm B．3 cm
C. cm D.cm
8．[2013·益阳]如图3－5－8，若AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，∠CAB＝30°，则BC＝__5__ cm.
3－5－8
9．[2013·莱芜]如图3－5－9，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为( D )
3－5－9
A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5°
【解析】∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝22.5°，
∴∠AOB＝180°－22.5°－22.5°＝135°.
∴∠C＝180°－＝112.5°.
10．[2012·青海]如图3－5－10，已知点E是⊙O上的点，B，C分别是劣弧的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为__69°__．
图3－5－10
图3－5－11
11．如图3－5－11所示，已知⊙O中半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于点E，你能发现AD和BC有怎样的位置关系吗？为什么？
解：AD和BC的位置关系是AD∥BC.
理由如下∶
∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠D＝∠C＝45°.
∵AC⊥BD于点E，∴∠BEC＝90°.
又∵∠C＝45°，∴∠EBC＝45°，
∴∠D＝∠EBC，∴AD∥BC.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
12．如图3－5－12，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数为( D )
A．50° B．80°或50°
C．130° D．50°或130°
【解析】 当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°；当点C在劣弧上时，∠ACB＝(360°－∠AOB)＝×(360°－100°)＝130°.故选D.
图3－5－12
13．[2013·珠海]如图3－5－13， ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连接AE，则∠AEB的度数为( A )
A．36° B．46° C．27° D．63°
3－5－13
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝54°，
∴∠B＝∠ADC＝54°，
∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝90°－∠B＝90°－54°＝36°.
14．[2013·嘉兴]如图3－5－14，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为( D )
3－5－14
第14题答图
A．2 B．8
C．2 D．2
【解析】∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
设⊙O的半径为r，则OC＝r－2，
在Rt△AOC中，
∵AC＝4，OC＝r－2，
∴OA2＝AC2＋OC2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，
∴AE＝2r＝10，
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝10，AB＝8，
∴BE＝＝＝6，
在Rt△BCE中，
∵BE＝6，BC＝4，
∴CE＝＝＝2.
故选D.
15．如图3－5－15，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数为84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__48°__．
图3－5－15
【解析】 在△COD中，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.又∠COD＋∠OCD＋∠ODC＝180°，∠COD＝84°，∴∠OCD＝48°.∵CA是∠OCD的平分线，∴∠OCA＝∠ACD＝24°.在△AOC中，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA.∵∠ABD＝∠AOD，∠DCA＝∠AOD，∴∠ABD＝∠CAO，∴∠ABD＋∠CAO＝48°.
16．[2012·宁夏]如图3－5－16，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连结CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．
解：连结BD.∵AB是⊙O的直径，∴BD ⊥AD.
又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC＝∠C.
又∵∠BDC＝∠BOC，∴∠C＝∠BOC.
∵AB⊥CD，即∠OEC＝90°，∴∠C＋∠BOC＝90°，
∴∠C＝30°，∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.
图3－5－16
图3－5－17
17．如图3－5－17，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
(1)试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明；
(2)在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？(直接写出结论)
解：(1)AB＝AC.证明：连结AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
又∵AD为公共边，BD＝DC，∴Rt△ABD≌Rt△ACD.
∴AB＝AC.
(2)△ABC为正三角形或AB＝BC或AC＝BC或∠A＝∠B或∠A＝∠C等．
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
18．阅读下面的情境对话，然后解答问题．
图3－5－18
(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小丽提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
(2)在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c的值；
(3)如图3－5－19，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A，B重合)，D是半圆的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE.
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
图3－5－19
解：(1)真命题．
(2)在Rt△ABC中，有a2＋b2＝c2，∵c＞b＞a＞0，
∴2c2＞a2＋b2，2a2＜c2＋b2，
∴若Rt△ABC是奇异三角形，一定有2b2＝c2＋a2，
∴2b2＝a2＋(a2＋b2)，
∴b2＝2a2，即b＝a.
∵c2＝b2＋a2＝3a2，∴c＝a，∴a∶b∶c＝1∶∶.
(3)①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
在Rt△ABC 中，AC2＋CB2＝AB2，
在Rt△ADB 中，AD2＋BD2＝AB2.
∵点D是半圆的中点，∴＝，∴AD＝BD，
∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2.∴AC2＋CB2＝2AD2.
又∵CB＝CE，AE＝AD，∴AC2＋CE2＝2AE2，
∴△ACE是奇异三角形．
②由①可得AC2＋CE2＝2AE2，当△ACE是直角三角形时，
由(2)可得AC∶AE∶CE＝1∶∶或AC∶AE∶CE＝∶∶1.
(Ⅰ)当AC∶AE∶CE＝1∶∶时，
AC∶CE＝1∶，即AC∶CB＝1∶.
∵∠ACB＝90°，∴由勾股定理得AB＝2AC，
∴∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°.
(Ⅱ)当AC∶AE∶CE＝∶∶1时，
AC∶CE＝∶1，即AC∶CB＝∶1.
∵∠ACB＝90°，∴由勾股定理得AB＝2CB，
∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠ABC ＝120°，
∴∠AOC的度数为60°或120°.
第2课时 圆周角定理的推论[见B本P30]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．[2012·毕节]下列命题是假命题的是( B )
A．同弧或等弧所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．两条平行线间的距离处处相等
D．正方形的两条对角线互相垂直平分
2．[2013·宜昌]如图3－5－20，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB.则下列结论错误的是( C )
3－5－20
A.＝ B．AF＝BF
C．OF＝CF D．∠DBC ＝90°
3．[2012·德阳]如图3－5－21，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝20°，那么∠BAD＝( D )
图3－5－21
A．45° B．60° C．30° D．20°
4．[2013·巴中]如图3－5－22，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于( B )
3－5－22
A．116° B．32° C．58° D．64°
5．[2012·湖州]如图3－5－23，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是( B )
图3－5－23
A．45° B．85° C．90° D．95°
【解析】 ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠C＝50°，∴∠BAC＝40°.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∴∠CAD＝∠DBC＝45°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝40°＋45°＝85°.
6．[2013·青海]如图3－5－24，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为E，若∠AOD＝52°，则∠DCB＝__26°__．
3－5－24
7．[2013·邵阳]如图3－5－25，弦AB，CD相交于点O，连接AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是__∠A＝∠C__.
3－5－25
8．如图3－5－26，海边有两座灯塔A，B，暗礁分布在经过A，B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB＝90°，为了避免触礁，轮船P与A，B的张角∠APB的最大值为__45°__．
图3－5－26
【解析】 根据三角形外角的性质，当P点在圆上时，轮船P与A，B的张角∠APB最大，此时为∠AOB＝45°.
9．[2011·温州]如图3－5－27，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连结CA，CB，DC，DB.已知∠D＝30°，BC＝3，则AB的长是__6__．
【解析】 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵BC＝3，∴AB＝2BC＝6.
图3－5－27
图3－5－28
10．如图3－5－28所示，在△ABC中，AC＝BC，以AC为直径作⊙O交AB于点E，作△BCA的外角平分线CF交⊙O于点F，连结EF.
求证：EF＝BC.
证明：∵CA＝CB，∴∠B＝∠A.
又∵∠DCA＝∠A＋∠B＝2∠A＝2∠B，CF平分∠DCA，
∴∠FCA＝∠DCA＝∠A＝∠B，∴CF∥AB.
∵∠FCA＝∠FEA，∴∠FEA＝∠B，∴BC∥EF，
∴四边形CFEB为平行四边形，∴EF＝BC.
11．如图3－5－29，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°.
图3－5－29
(1)求∠EBC的度数；
(2)求证：BD＝CD.
解：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.
又∵∠BAC＝45°，
∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠BAC)＝67.5°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠A＝45°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝67.5°－45°＝22.5°.
(2)证明：连结AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
∵AB＝AC，
∴BD＝CD.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
12．[2013·苏州]如图3－5－30，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( C )
3－5－20
A．55° B．60° C．65° D．70°
第12题图
【解析】连结BD，如图，
∵点D是AC弧的中点，即弧CD＝弧AD，
∴∠ABD＝∠CBD，
而∠ABC＝50°，∴∠ABD＝×50°＝25°，
∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°－25°＝65°.
13．如图3－5－31所示是一个圆形人工湖示意图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100 m，测得圆周角∠ACB＝45°，则这个人工湖的直径AD为( B )
A．50 m B．100 m
C．150 m D．200 m
图3－5－31
14．[2013·黔西南州]如图3－5－32所示，⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO的度数为__50°__．
3－5－32
15．[2013·安徽]如图3－5－33，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上点，在以下判断中，不正确的是( C )
A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
3－5－33
16．[2013·温州]如图3－5－34，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE.
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
3－5－34
解：(1)证明∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DC＝CB
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D.
(2)设BC＝x，则AC＝x－2.
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
∴(x－2)2＋x2＝42，
解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)，
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，
∵CD＝CB
∴CE＝CB＝1＋.
17．[2012·长沙]如图3－5－35，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD.
图3－5－35
第17题答图
解：(1)证明：∵∠APC＝60°，∠APC＝∠ABC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形．
(2)如图，连结OB，OC，
∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°.
∵OB⊥OC，OD⊥BC，∴∠BOD＝∠BOC＝60°，
∴∠OBD＝90°－∠BOD＝30°，
∴OD＝OB＝×8＝4.
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
18．如图3－5－36所示，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
(1)求证：CF＝BF；
(2)若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
图3－5－36
第18题答图
解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠ABC.
又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，
∴∠2＝90°－∠ABC，∴∠2＝∠A.
又∵C是的中点，∴＝，
∴∠1＝∠D＝∠A，
∴∠1＝∠2，∴CF＝BF.
(2)∵＝，∴BC＝CD＝6.
∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5.
∵S△ABC＝AB·CE＝BC·AC，
∴CE＝＝＝.
专题六__圆周角定理的综合运用__[见A本P32]
一 巧作辅助线求角度
INCLUDEPICTURE"教材母题.EPS"(教材P77作业第6题)
如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°.求∠CAD的度数．
图1
解：连结DC.∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°.
∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝50°，
∴∠CAD＝90°－∠ADC＝40°.
【思想方法】 利用圆周角定理，常见的辅助线作法有(1)作半径，构造圆心角；(2)作弦，构造圆周角．
INCLUDEPICTURE"变形1.EPS" [2012·泰州]如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，若∠A＝50°，则∠OCD的度数是( A )
A．40° B．45° C．50° D．60°
图2
变形1答图
【解析】 如图，连结OB，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°.∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠OBC＝＝40°.
INCLUDEPICTURE"变形2.EPS" 如图3，已知四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是( A )
A．45° B．60° C．75° D．90°
图3
变形2答图
【解析】 如图，连结OB，OC，则∠BOC＝90°，
根据圆周角定理，得∠BPC＝∠BOC＝45°.
INCLUDEPICTURE"变形3.EPS" 如图4，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为( C )
A．100° B．120° C．140° D．160°
图4
变形3答图(1)
【解析】 解法一∶如图，连结OB，则∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝∠ABC.
在△AOB中，∠1＋∠2＋∠AOB＝180°； ①
在△OBC中，∠3＋∠4＋∠BOC＝180°， ②
①＋②得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠AOB＋∠BOC＝360°，
∴2∠ABC＋∠AOC＝360°，
∴∠ABC＝(360°－∠AOC)＝140°.
解法二∶如图，作所对的圆周角∠D.
变形3答图(2)
∵∠AOC＝80°，∴∠D＝∠AOC＝×80°＝40°，
∴∠ABC＝180°－∠D＝140°.
INCLUDEPICTURE"变形4.EPS" 如图5，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，求⊙O的半径．
图5
解：连结AO，BO，AO交BC于点D，
则根据垂径定理的逆定理得OA⊥BC，
BD＝CD＝BC＝12.
在Rt△ABD中，根据勾股定理得AD＝＝5.
设⊙O的半径为r，则OD＝OA－AD＝r－5，
在Rt△OBD中，根据勾股定理得BD2＋OD2＝OB2，
即122＋(r－5)2＝r2，解得r＝16.9，
即⊙O的半径为16.9.
INCLUDEPICTURE"变形5.EPS" 如图6，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D.若∠A＝30°，OD＝20 cm，求CD的长．
图6
解：连结BC，∵OD⊥AB，∠A＝30°，OD＝20，
∴AD＝2OD＝40，
∴OA＝＝20.
∵AB是⊙O的直径，
∴AB＝2OA＝40，且∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝20，
∴AC ＝＝60，
∴CD＝AC－AD＝60－40＝20(cm)．
二 圆周角定理与直角三角形、全等三角形等知识的综合运用
INCLUDEPICTURE"教材母题.EPS"(教材P92例3)
图7
一个圆形人工湖如图7所示，弦AB是湖上的一座桥．已知桥AB长100 m，测得圆周角∠C＝45°.求这个人工湖的直径．
解：设圆心为O，连结OA，OB，由∠C＝45°，可知∠AOB＝2∠C＝90°，则OA＝＝50 m，所以这个人工湖的直径为2OA＝100 m.
【思想方法】 直角三角形与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度转换，利用直角三角形的相关知识求解．
INCLUDEPICTURE"变形1.EPS" [2011·衢州]如图8所示是一个圆形人工湖示意图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100 m，测得圆周角∠ACB＝45°，则这个人工湖的直径AD为( B )
图8
A．50 m B．100 m
C．150 m D．200 m
INCLUDEPICTURE"变形2.EPS" 如图9，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2 cm，求⊙O的半径．
图9
解：连结AO并延长交⊙O于点D，连结BD.
∵∠D，∠C所对的圆弧都为，
∴∠D＝∠C＝30°.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，∴AD＝2AB＝4 cm，
∴AO＝AD＝2 cm，即⊙O的半径为2 cm.
INCLUDEPICTURE"变形3.EPS" [2012·深圳]如图10，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为( C )
A．6 B．5
C．3 D．3
图10
图11
INCLUDEPICTURE"变形4.EPS" 如图11所示，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结AD，请添加一个条件__AB＝AC或BD＝CD或∠B＝∠C或∠BAD＝∠CAD__，使△ABD≌△ACD.
三 圆周角定理的创新应用
INCLUDEPICTURE"教材母题.EPS"(教材P92例3)
如图12，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角∠C＝50°.问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？
图12
解：当张角∠ASB<∠ACB时，船在弓形暗礁区外；当张角∠ASB＝∠ACB时，船在弓形暗礁区边上；当张角∠ASB>∠ACB时，船在弓形暗礁区内，所以要使船保证不进入暗礁区，必须使∠ASB<∠ACB，即∠ASB<50°.
【思想方法】 由圆周角定理知，同弧上的圆周角相等，应用在航海上，常常考查动点问题．
INCLUDEPICTURE"变形1.EPS" [2012·兰州]如图13，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为( D )
图13
A. B．1
C.或1 D.或1或
【解析】 ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，BC＝2 cm，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4 cm.
①当∠BFE＝90°时，
Rt△BEF中，∠ABC＝60°，则∠BEF＝30°，
∴BE＝2BF＝2 cm，
故此时AE＝AB－BE＝2 cm，
∴E点运动的距离为2 cm或6 cm，故t＝1 s或3 s，
由于0≤t＜3，故t＝3 s不合题意，舍去，
∴当∠BFE＝90°时，t＝1 s；
②当∠BEF＝90°时，
同①可求得BE＝0.5 cm，此时AE＝AB－BE＝3.5 cm，
∴E点运动的距离为3.5 cm或4.5 cm，故t＝1.75 s或2.25 s.
综上所述，当t的值为1或1.75或2.25时，△BEF是直角三角形．
故选D.
INCLUDEPICTURE"变形2.EPS" [2012·南京]如图14，A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(点P不与点A，B重合)，我们称∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角．
(1)已知∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角，
①若AB是⊙O的直径，则∠APB＝________；
②若⊙O的半径是1，AB＝，求∠APB的度数．
(2)已知O2 是⊙O1 外一点，以O2 为圆心作一个圆与⊙O1 相交于A，B两点，∠APB是⊙O1 上关于点A，B的滑动角，直线PA，PB分别交⊙O2 于点M，N(点M与点A，点N与点B均不重合)，连结AN，试探索∠APB与∠MAN，∠ANB之间的数量关系．
图14
变形2答图(1)
解：(1)①90°
②如图(1)，连结OA，OB，AB.
∵⊙O的半径是1，即OA＝OB＝1，AB＝，
∴由勾股定理的逆定理可得△OAB为直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠APB＝∠AOB＝45°.
(2)①当点P在优弧AB上时，如左图，∠APB＝∠MAN－∠ANB；
②当点P在劣弧AB上时，如右图，∠APB＝∠MAN＋∠ANB.
变形2答图(2)
3.6__圆内接四边形__[见B本P32]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．已知，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝50°，则∠ABC等于( D )
A．100° B．110° C．120° D．130°
2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( B )
3－6－1
A．115° B．l05° C．100° D．95°
【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
而∠BCD＋∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠BAD，
而∠BAD＝105°，∴∠DCE＝105°.
3．圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D等于( B )
A．60° B．120° C．140° D．150°
【解析】∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶5∶4，
∴∠D＝180°×＝120°.
4．如图3－6－2，A，B，C，D四点在⊙O上，四边形ABCD的一个外角∠DCE＝70°，则∠BOD等于( D )
3－6－2
A．35° B．70° C．110° D．140°
【解析】∵四边形ABCD的一个外角∠DCE＝70°，
∴∠A＝∠DCE＝70°，∴∠BOD＝2∠A＝140°.
5．已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A∶∠C＝1∶2，则∠C＝__120°__．
6．如图3－6－3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝130°，则∠AOC的度数是__100__度．
3－6－3
【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°－∠ABC＝50°；
∴∠AOC＝2∠D＝100°.
7．如图3－6－4，已知AB是半圆O的直径，∠BAC＝20°，D是弧AC上任意一点，则∠D的度数是__110°__．
3－6－4
【解析】∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90－20＝70°，
∴∠D＝180－70＝110°.
8．[ 2013·沈阳]如图3－6－5，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是____．
3－6－5
9. 如图3－6－6，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝80°，求∠BAD和∠BCD的度数．
3－6－6
解：∵∠BOD＝80°，∴∠BAD＝40°.
又∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝140°.
10．如图3－6－7，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，求∠C.
3－6－7
解：∵∠ABC＝100°，∴∠PBA＝80°，
又∵∠P＝30°，∴∠PAB＝180°－80°－30°＝70°，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠C＋∠BAD＝180°，
∵∠BAD＋∠PAB＝180°，∴∠C＝∠PAB＝70°.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
11．如图3－6－8，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证：BC＝EC.
3－6－8
第11题答图
证明：连接AC.
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°＝∠ACE.
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，
又∠ABC＋∠EBC＝180°，
∴∠EBC＝∠D.
∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠2，
∴∠1＋∠E＝∠2＋∠D＝90°，∴∠E＝∠D，
∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC.
12．如图3－6－9所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD，DC.求证：BD＝DC＝DI.
3－6－9
证明：∵AI平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴＝
∴BD＝DC.∵BI平分∠ABC，∴∠ABI＝∠CBI.
∵∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，∴∠BAD＝∠DBC.
又∵∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，∠DIB＝∠ABI＋∠BAD，
∴∠DBI＝∠DIB，∴△BDI为等腰三角形，
∴BD＝ID，∴BD＝DC＝DI.
13. 如图3－6－10，在四边形ADBC中，∠ACB＋∠ADB＝180°，∠ABC＝∠BAC＝60°.求∠BDC的度数．
3－6－10
解：∵∠ABC＝∠BAC＝60°，∴AC＝BC＝AB，
∵∠ACB＋∠ADB＝180°，∴A，B，C，D四点共圆，
∵AC＝BC，∴弦AC，BC所对的圆周角相等，
∴∠BAC＝∠BDC＝60°.
14. 如图3－6－12，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四边形ABCD的面积．
3－6－12
第14题答图
解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
∵∠ADF＋∠ABC＝180(圆的内接四边形对角之和为180)，∠ABE＋∠ABC＝180°，
∴∠ADF＝∠ABE.
∵∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∠AEB＝∠AFD，
∴△AEB≌△AFD，
∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF.
又∵∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC.
∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝30°，
∴CF＝，AF＝，
∴四边形ABCD的面积＝2S△ACF＝2×CF×AF＝.
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
15．如图3－6－12，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝DB＝p，BC＝q.求对角线AC的长．
3－6－12
解：延长CD交半径为p的⊙D于E点，连接AE.显然A，B，C在⊙D上．
∵AB∥CD，
∴＝.
∴BC＝AE＝q.
在△ACE中，∠CAE＝90°，CE＝2p，AE＝q，
故AC＝＝.
3.7__正多边形__[见A本P34]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．[2013·扬州]一个多边形的每一个内角均为108°，则这个多边形是( C )
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
2．[2013·资阳]一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( C )
A. 正六边形 B．正八边形
C．正十边形 D. 正十二边形
3．[2013·咸宁]如图3－7－1，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为( B )
3－7－1
A．30° B．36° C．38° D．45°
4．[2013·绵阳]如图3－7－2，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( C )
3－7－2
A．6 mm B．12 mm C．6 mm D．4 mm
5．[2013·滨州]若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( B )
A．6，3 B．3，3
C．6，3 D．6，3
解：∵正方形的边长为6，
∴AB＝3，
又∵∠AOB＝45°，∴OB＝3
∴AO＝＝3
故选B.
6．(1)[2013·毕节]正八边形的一个内角是__135__度。
(2)[2013·莱芜]正十二边形每个内角的度数为__150°__．
(3)[2013·淮安]若n边形的每一个外角等于60°，则n
＝__6__.
7．[2013·南京]△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为__9__．
【解析】当∠OAB＝70°时，∠AOB＝40°，则多边形的边数是360÷40＝9；
当∠AOB＝70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．
故答案是：9.
8．[2013·徐州]如图3－7－3，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20 cm2，则正八边形的面积为__40__cm2.
3－7－3
9. 钳工车间用圆钢做方形螺母，现要做边长为a的方形螺母，问下料时至少要用直径多大的圆钢？
解：由圆周角定理可知AC为⊙O的直径，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝a，
∴AC＝＝＝.
10．如图3－7－4，已知⊙O的周长等于6 πcm，求它的内接正六边形ABCDEF的面积．
3－7－4
第10题答图
解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∴AH＝AB，
∵⊙O的周长等于6 πcm，∴⊙O的半径为3 cm，
∵∠AOB＝×360°＝60°，
∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝3 cm，∴所求面积为.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
11．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图3－7－5所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( A )
3－7－5
A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
12．[2013·南昌]如图3－7－6，正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为( C )
3－7－6
第12题答图
A．2 B．4 C. D.
【解析】如图，连接AE，在正六边形中，∠F＝×(6－2)·180°＝120°，
∵AF＝EF，
∴∠AEF＝∠EAF＝(180°－120°)＝30°，
∴∠AEP＝120°－30°＝90°，
∵点P是ED的中点，
∴EP＝×2＝1，
在Rt△AEP中，AP＝＝＝.
故选C.
13．[2013·绍兴]小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤∶
(1)作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
(2)以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2.若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是( C )
图3－7－7
A．BD2＝OD B．BD2＝OD
C．BD2＝OD D．BD2＝OD
14．如图3－7－8，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC.求∠BCM的大小．
3－7－8
解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC＝120°，AB＝BC.
∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM＝90°，AB＝BM.∴∠MBC＝120°－90°＝30°，BM＝BC.
∴∠BCM＝∠BMC.
∴∠BCM＝×(180°－30°)＝75°.
15．如图3－7－9，正五边形ABCDE中，点F，G分别是BC，CD的中点，AF与BG相交于H.
(1)求证：△ABF≌△BCG；
(2)求∠AHG的度数．
3－7－9
解：(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD，∴F，G分别是BC，CD的中点，
∴BF＝CG，在△ABF和BCG中，
AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，BF＝CG，∴△ABF≌△BCG；
(2)由(1)知∠GBC＝∠FAB，
∵∠AHG＝∠FAB＋∠ABH＝∠GBC＋∠ABH＝∠ABC，
∵正五边形的内角为108°，
∴∠AHG＝108°.
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
16．[2013·台州]如图3－7－10，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y轴上，且在A的下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为( B )
A．3 B．4－ C．4 D．6－2
3－7－10
第16题答图
【解析】如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；
∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC.
∵AB＝BC＝2，
∴AD＝，
∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，
∴OE＝OE′＝2.
∵点A的坐标为(0，6)，
∴OA＝6，
∴D′E＝OA－AD－OE′＝4－.
故选B.
3.8__弧长及扇形的面积__
第1课时 弧长公式[见B本P34]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．[2013·淮安]若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是( B )
A．3π B．4π C．5π D．6π
2．[2012·湛江]一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2π cm，则这个扇形的半径为( A )
A．6 cm B．12 cm
C．2 cm D. cm
【解析】 由扇形的圆心角为60°，它所对的孤长为2π cm，根据弧长公式l＝，得2π＝，解得R＝6 cm.
3．[2012·珠海]如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为( C )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．在半径为1的⊙O中，弦AB＝1，则劣弧AB的长是( A )
A. B.
C.或π D.
【解析】 弧长为＝.
5．[2012·日照]如图3－8－1，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为( A )
A．π B.
C．7 D．6
图3－8－1
图3－8－2
6．如图3－8－2所示是两个同心圆的一部分，已知OB＝OA，则的长是的长的( A )
A. B．2倍
C. D．4倍
【解析】 由弧长公式l＝，得＝＝＝，＝，∴＝.
7．(1)一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的弧长为__π__(结果保留π)；
(2)一个扇形的圆心角为120°，半径为15 cm，则这个扇形的弧长为__10π__cm(结果保留π)．
【解析】 (1)l＝×π×2＝π.
(2)l＝×π×15＝10π(cm)．
8．[2013·菏泽]在半径为5的圆中，30°的圆心角所对弧的弧长为__π__(结果保留π)．
9．如图3－8－3所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧.已知半径OA＝60 cm，∠AOB＝108°，则管道的长度(即的长)为__36π__cm.
图3－8－3
【解析】 由弧长计算公式l＝得l＝＝36π(cm)．
10．[2012·苏州]已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是__2__．
【解析】 根据弧长的公式l＝，得r＝＝＝2，即该扇形的半径为2.
11．有一段圆弧形的公路弯道，其所对的圆心角是150°，半径是400 m，一辆汽车以40 km/h的速度开过这段弯道，需要多少时间(精确到分)
解：÷＝≈2(min)．
12．一段铁丝长为4.5π cm，把它弯成半径为9 cm的一段圆弧，求铁丝两端间的距离．
解：设弯成的圆弧所对的圆心角为n°，则有4.5π＝，解得n＝90，即圆心角为直角，所以由勾股定理可求得铁丝两端间的距离为＝9(cm)．
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
13．如图3－8－4所示，5个圆的圆心在同一条直线上，若大圆直径是12，4个小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为( B )
图3－8－4
A．48π B．24π
C．12π D．6π
14．如图3－8－5，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六边形的渐开线”，其中曲线FK1，K1K2，K2K3，K3K4，K4K5，K5K6，……的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…….当AB＝1时，l2 013等于( B )
图3－8－5
A. B.
C. D.
【解析】 第一段圆弧，以A为圆心，以AF＝1为半径，以F点为起点，作60度圆弧到达K1(K1在BA延长线上)；
第二段圆弧，以B为圆心，以BK1＝2为半径，以K1点为起点，作60度圆弧到达K2(K2在CB延长线上)；
第三段圆弧，以C为圆心，以CK2＝3为半径，以K2点为起点，作60度圆弧到达K3(K3在DC延长线上)；
依次类推，第2 013段圆弧，以C为圆心，以CK2 012＝2 013为半径，以K2 012点为起点，作60度圆弧到达K2 013(K2 013在DC延长线上)，所以l2 013＝×2 013＝×2 013＝.
15．[2012·德州]如图3－8－6，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于__π__．
图3－8－6
【解析】 ∵△ABC为正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，
∴＝＝＝＝.
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长＝＋＋＝3×＝π.
16．如图3－8－7，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为__2π__cm(结果保留π)
图3－8－7
【解析】 所得到的两条弧长度之和为半径为2的半圆的弧长，故长度之和为π×2＝2π(cm)．.
17．如图3－8－8，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连结BD，AD，OC，∠ADB＝30°.
(1)求∠AOC的度数；
(2)若弦BC＝6 cm，求图中劣弧BC的长．
图3－8－8
解：(1)连结OB，∵弦BC垂直于半径OA，
∴BE＝CE，＝.
又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB＝60°.
(2)∵BC＝6，∴CE＝BC＝3.
在Rt△OCE中，∠AOC＝60°，∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC.
∵OE2＋CE2＝OC2，
∴＋32＝OC2，∴OC＝2.
∵＝，
∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，
∴＝＝＝π(cm)．
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
18．如图3－8－9所示，菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作后菱形中心O所经过的路径总长为__(8＋4)π__(结果保留π)．
图3－8－9
【解析】 经过每3次这样的操作，中心O所经过的路径长为×π×＋×π×1＝π＋，经过36次这样的操作后菱形中心O所经过的路径总长为×π＝(8＋4)π.
19．已知一个半圆形工件，未搬动前如图3－8－10所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m，半圆的直径为4 m，则圆心O所经过的路线长是__2π＋50__m(结果用π表示)．
图3－8－10
【解析】 由图形可知，圆心先向右移动个圆的周长，然后沿着地点旋转90°，最后向右平移50 m，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半加上50 m，由已知得圆的半径为2 m，则半圆形的弧长l＝2π m，∴圆心O所经过的路线长＝(2π＋50)m.
第2课时 扇形的面积[见A本P36]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．一扇形的圆心角为120°，半径为3 cm，则扇形的面积为( B )
A.π cm2 B．3π cm2 C.π cm2 D．π cm2
【解析】 S＝＝3π.故选B.
2．⊙O的半径为9 cm，的长是5π cm，则扇形OAB的面积是( A )
A．22.5π cm2 B．25π cm2 C．45π cm2 D．100π cm2
【解析】 根据扇形的面积计算公式得S＝lr＝×5π×9＝22.5π，故选A.
3．如图3－8－11，这是中央电视台“曲苑杂谈”节目中的一幅图案，它是一扇形图案，其中∠AOB为120°，OC长为8 cm，CA长为12 cm，则阴影部分的面积为( B )
图3－8－11
A．64π cm2 B．112π cm2
C．144π cm2 D．152π cm2
【解析】 阴影部分的面积可看作是半径为OA的扇形与半径为OC的扇形面积之差．∵OA＝OC＋CA＝20 cm，∴S阴影＝－＝112π(cm2)．故选B.
4．[2012·兰州]如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为( C )
A
3.1__圆__
第1课时 圆的有关概念[见A本P22]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为( B )
A．①③④ B．①③⑤
C．②③⑤ D．③④⑤
【解析】 其中②，④都是错误的，在同圆或等圆中优弧一定大于劣弧．
2．若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，那么点A与⊙O的位置关系是( A )
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．不能确定
【解析】 d＝3 cm＜4 cm＝R，所以点A在⊙O内．
3．已知⊙O的半径为5 cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是( D )
A．5 cm B．4 cm
C．3 cm D．6 cm
【解析】 ∵点P在⊙O外，∴d>5 cm.故选D.
4．如图3－1－1所示，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为( A )
图3－1－1
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
5．已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8.如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是( A )
A．6＜r＜10 B．8＜r＜10
C．6＜r≤8 D．8＜r≤10
【解析】 ∵AB＝6，AD＝8，∴ AC＝10，∴ 点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r的取值范围是6＜r＜10.
6．已知⊙O的半径为10 cm，点P到圆心的距离为d cm.
(1)当d＝8 cm时，点P在⊙O__内__；
(2)当d＝10 cm时，点P在⊙O__上__；
(3)当d＝12 cm时，点P在⊙O__外__．
【解析】 d>r 点P在圆外；d＝r 点P在圆上；d
图3－1－2
【解析】 由已知得OA＝OB，又∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝OA＝5.
8．[2012·广元]平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6 cm，最短为2 cm，则⊙O的半径为__4或2__cm.
【解析】 当点P在⊙O内时，则直径＝6＋2＝8 (cm)，因而半径是4 cm；当点P在⊙O外时，则直径＝6－2＝4 (cm)，因而半径是2 cm，所以⊙O的半径为4 cm或2 cm.
9．如图3－1－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，CM是中线，以C为圆心， cm长为半径画圆，则点A，B，M与⊙C的位置关系如何？
图3－1－3
解：根据勾股定理，有AB＝＝2(cm)．
∵CA＝2 cm＜ cm，∴点A在⊙C内．
∵BC＝4 cm＞ cm，∴点B在⊙C外．
由直角三角形斜边上的中线性质得CM＝ cm，
∴点M在⊙C上．
10．如图3－1－4，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r取何值时，点A，B在⊙C外？
(2)当r在什么范围内时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？
图3－1－4
解：(1)当0＜r＜3时，点A，B在⊙C外．
(2)当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
11．如图3－1－5所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是( A )
图3－1－5
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．无法确定
【解析】 连结OP，∵OC＝OA，PC＝PD，∴OP＝AD＝×AB＝×10＝2.5.∵OA＝OC＝AC＝×6＝3>2.5，即OA>OP，∴点P在⊙O内，故选A.
12．如图3－1－6所示，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径．
(1)试判断四边形ACBD是什么特殊的四边形，并说明理由；
(2)若⊙O的半径r＝2 cm，求四边形ACBD的面积．
图3－1－6
【解析】 (1)利用圆的半径相等及正方形的判定定理可以判断四边形ACBD是正方形．
(2)S正方形ACBD＝AB·CD.
解：(1)∵OA＝OC＝OB＝OD，AB⊥CD，
∴四边形ACBD是正方形．
(2)S正方形ACBD＝AB·CD＝×4×4＝8(cm2)．
13．如图3－1－7所示，AB，AC为⊙O的弦，连结CO，BO并延长分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.
求证：CE＝BF.
图3－1－7
证明：∵OB，OC是⊙O的半径，∴OB＝OC.
又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，
∴△EOB≌△FOC，∴OE＝OF，∴CE＝BF.
14．如图3－1－8，已知OA，OB是⊙O的两条半径，C，D为OA，OB上的两点，且AC＝BD.
求证：AD＝BC.
图3－1－8
证明：∵ OA，OB是⊙O的两条半径，∴ AO＝BO.
∵ AC＝BD，∴ OC＝OD.
在△OCB和△ODA中，
∴△OCB≌△ODA(SAS)，
∴ AD＝BC.
15. 如图3－1－9，在⊙O中，AB为弦，C，D在AB上，且AC＝BD，请问图中有几个等腰三角形？把它们分别写出来，并说明理由．
图3－1－9
解：等腰三角形有∶△OAB，△OCD.
证明：∵OA＝OB(同圆的半径相等)，
∴△OAB是等腰三角形，∴∠A＝∠B，
又∵AC＝BD，OA＝OB，
∴△OAC≌△OBD，∴OC＝OD，
∴△OCD是等腰三角形．
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
16. 如图3－1－10所示，线段AD过圆心O交⊙O于D，C两点，∠EOD＝78°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．
图3－1－10
解：如图所示，连结OB，
∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝OB，∴∠1＝∠A.
又OB＝OE，∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A，
∴∠EOD＝∠E＋∠A＝3∠A，即3∠A＝78°，
∴∠A＝26°.
第2课时 确定圆的条件[见B本P22]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．下列命题正确的是( C )
A．三点确定一个圆
B．圆有且只有一个内接三角形
C．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
D．矩形的四边中点在同一圆上
【解析】 A错误，经过不在同一直线上的三点确定一个圆；B错误，一个圆有无数个内接三角形；C正确，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；D错误，矩形中心到四边中点的距离不一定相等．
2．如图3－1－11所示，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B )
图3－1－11
A．点P B．点Q
C．点R D．点M
3．一个三角形的外心在三角形的内部，则这个三角形是( C )
A．任意三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【解析】 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部，故选C.
4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图3－1－12所示．为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( B )
图3－1－12
A．第①块 B．第②块
C．第③块 D．第④块
【解析】 看所带的一块玻璃能不能通过作图画出原来的圆．任意作两条不平行的弦，再作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点，就是该玻璃所在圆的圆心．圆心到弦的一个端点的距离即为半径．选择B.
5．等边三角形的外心在它的( B )
A．外部 B．内部
C．边上 D．顶点处
【解析】 等边三角形是锐角三角形，锐角三角形的外心在三角形的内部．
6．已知线段AB＝6 cm.
(1)画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__2__个；
(2)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__1__个；
(3)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__0__个．
7．直角三角形两直角边边长分别为，1，那么它的外接圆的直径是__2__．
【解析】 该直角三角形外接圆的直径是斜边长，即为＝2.
8．如图3－1－13，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝31°，则∠COB的度数等于__62°__．
图3－1－13
【解析】 由图知∠COB＝∠ACO＋∠A，又∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO＝31°，∴∠COB＝2×31°＝62°.
图3－1－14
9．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹)．
解：作盘内两条弦，再作两条弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心，圆心到弦的端点的距离就是半径．图略．
10.如图3－1－15，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
图3－1－15
解：(1)用尺规作出两边的垂直平分线，两条垂直平分线交于O点，以OA为半径再作出⊙O，⊙O即为所求作的花坛的位置．(图略)
(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，
∴BC＝＝10米，
∴△ABC外接圆的半径为5米，
∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
11．平面内有五个点A，B，C，D，E，直线AB与直线CD正好相交于E，在这五个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是( C )
A. B. C. D.
12．[2012·资阳]直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是__10或8__．
【解析】 由勾股定理可知∶
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12时，直角三角形的斜边长＝＝20，
因此这个三角形的外接圆半径为10.
综上所述∶这个三角形的外接圆半径等于8或10.
13．如图3－1－16，平面直角坐标系中，点A(2，9)，B(2，3)，C(3，2)，D(9，2)在⊙P上．
(1)在图中清晰标出点P的位置；
(2)写出点P的坐标．
图3－1－16
解：(1)略．(2)(6，6)．
14．如图3－1－17所示，在△ABC中，BD，CE 是两条高线，求证：B，C，D，E 四点在同一个圆上．
图3－1－17
证明：取BC的中点O，连结EO，DO，则EO，DO是Rt△BEC，Rt△BDC斜边上的中线，
∴EO＝DO＝BO＝CO＝BC，
∴点B，C，D，E四点都在⊙O上．
15．如图3－1－18，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E.求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
图3－1－18
第15题答图
证明：如图，∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠1＝∠2.
又∵DE∥AC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE.
又∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB＝90°，
∴∠EBD＋∠1＝∠EDB＋∠3＝90°，
∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AE＝BE＝DE，
∴点E是A，B，D三点所在的圆的圆心．
16．如图3－1－19，D是△ABC 的边BC 的中点，过AD 延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB 的延长线相交于点F，点O在AD 上，AO＝CO，BC∥EF.
(1)证明：AB＝AC；
(2)证明：A，B，C三点在以O点为圆心的圆上．
图3－1－19
证明：(1)∵AE⊥EF，EF∥BC，∴AD⊥BC.
在△ABD和△ACD中，
∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD.∴AB＝AC.
(2)连结BO，由(1)得AD是BC的中垂线，
∴BO＝CO.又AO＝CO，∴AO＝BO＝CO.
∴A，B，C三点在以O点为圆心的圆上．
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
17．[2012·台州]如图3－1－20①，△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.
(1)求证：△ABD≌△CBE；
(2)如图3－1－20②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
图3－1－20
解：(1)证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC＋∠CBD＝∠DBE＋∠CBD，
即∠ABD＝∠CBE.
在△ABD与△CBE中，
∴△ABD △CBE(SAS)．
(2)四边形BDCE是菱形．
证明如下∶
同(1)，易知△ABD≌△CBE，∴CE＝AD.
∵点D是△ABC外接圆的圆心，
∴DA＝DB＝DC.
又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝CE＝CD，
∴四边形BDCE是菱形．
3.2__图形的旋转__[见A本P24]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．[2013·长沙]在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是( C )
2．[2013·莆田]如图3－2－1，将Rt△ABC(其中∠B＝35°，∠C＝90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于( C )
3－2－1
A．55° B．70°
C．125° D．145°
【解析】∵∠B＝35°，∠C＝90°，∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－35°＝55°，
∵点C，A，B1在同一条直线上，∴∠BAB1＝180°－∠BAC＝180°－55°＝125°，
∴旋转角等于125°.
3．[2013·南昌]如图3－2－2，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为( C )
3－2－2
A．60° B．75° C．85° D．90°
【解析】根据旋转的性质知，∠EAC＝∠BAD＝65°，∠C＝∠E＝70°.
如图，设AD⊥BC于点F.则∠AFB＝90°，∴在Rt△ABF中，∠B＝90°－∠BAD＝25°，
∴在△ABC中，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－25°－70°＝85°，即∠BAC的度数为85°.
4．[2013·南京]如图3－2－3，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为∠α(0°＜α＜90°)．若∠1＝110°，则∠α＝__20__°.
3－2－3
第4题图
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′＝∠D＝90°，∠4＝∠α，∵∠1＝∠2＝110°，
∴∠3＝360°－90°－90°－110°＝70°，
∴∠4＝90°－70°＝20°，∴∠α＝20°.
5．[2013·衡阳]如图3－2－4，在直角△OAB中，∠AOB＝30°，将△AOB绕点O逆时针方向旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB的度数为__70°__
3－2－4
6．[2013·广州]如图3－2－5，Rt△ABC的斜边AB＝16，Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长度为__8__．
3－2－5
7．[2010·镇江]如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，AB＝AD.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)如果∠AEC＝75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．
3－2－6
解：(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠B＝∠D，
∴△ABC≌△ADE.
(2)∵△ABC≌△ADE，∴AC与AE是一组对应边，
∴∠CAE为旋转角，
∵AE＝AC，∠AEC＝75°，
∴∠ACE＝∠AEC＝75°，
∴∠CAE＝180°－75°－75°＝30°.
8．[2013·福州]如图3－2－7，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－2，0)，等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是__2__个单位长度；
△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是__y轴__；
△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角可以是__120__度；
(2)连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
3－2－7
解：(1)平移的距离是2个单位长度；对称轴是y轴；旋转角等于120°.
(2)∵△ACO，△BOD是等边三角形，∴∠CAO＝60°，OA＝OD，
∵∠AOD＝120°，OA＝OD，∴∠DAO＝30°，
∴AE平分∠CAO，∴AD垂直平分CO，∴∠AEO＝90°.
9．[2013·崇左]如图3－2－8所示，正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE＝BF.
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么？
3－2－8
解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∴∠D＝∠ABF＝90°，又DE＝BF，AD＝AB，∴△ADE≌△ABF.
(2)将△ADE顺时针旋转90°后与△ABF重合，旋转中心是点A.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
10．[2013·呼伦贝尔]如图3－2－9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转60°后得到△EDC，此时点D在斜边AB上，斜边DE交AC于点F.则图中阴影部分的面积为( C )
3－2－9
A．2 B．2 C. D.
【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°－30°＝60°，
∵△ABC绕点C顺时针方向旋转60°后得到△EDC，点D在斜边AB上，
∴∠BCD＝60°，CD＝BC＝2，
∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝90°－60°＝30°，
∠CFD＝180°－30°－60°＝90°，
在Rt?CDF中，DF＝CD＝×2＝1，
CF＝＝＝，
∴阴影部分的面积＝DF·CF＝×1×＝.故选C.
11．[2013·河池]如图①，已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD，AC于点F，G，则在图②中，全等三角形共有( B )
A．5对 B．4对
C．3对 D．2对
【解析】旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG≌△DCE，△A′B′C≌△ADC，△AGF≌△A′EF，△ACE≌△A′CG，共4对．
12．已知：如图3－2－11，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转30°得到正方形AEFG，FG与BC相交于点H.
(1)求证：BH＝GH；
(2)求BH的长．
3－2－11
第12题图
解：(1)证明：连接AH，
依题意，正方形ABCD与正方形AEFG全等，
∴AB＝AG，∠B＝∠G＝90°.
在Rt△ABH和Rt△AGH中，AH＝AH，
∴Rt△ABH≌Rt△AGH.∴BH＝GH.
(2)∵∠1＝30°，△ABH≌△AGH，∴∠2＝∠3＝30°.
在Rt△ABH中，∵∠3＝30°，AB＝6，∴BH＝2.
13. (2013·温州)如图3－2－12，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上．按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
(1)将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；
(2)以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．
3－2－12
解：(1)
(2)
14．[2013·北京]在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；
(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；
(3)在(2)的条件下，连结DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
解：(1)30°－α；
(2)△ABE 为等边三角形．证明：连接 AD，CD，ED，
∵线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到线段 BD，
则 BC ＝BD，∠DBC＝60°，
又∵∠ABE＝ 60°，
∴∠ABD＝ 60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－α；
且 △BCD 为等边三角形，
在 △ABD 与△ACO 中，
∴ △ABD ≌△ACD(SSS)．
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α.
∵∠BCE＝ 150°，
∴∠BEC＝180°－(30°－α)－150°＝α.
在 △ABD与△EBC中，
∴ △ABD≌△EBC(AAS)．
∴AB＝BE.又∠ABE＝60°.∴△ABE为等边三角形．
(3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°.
∴∠DCE＝150°－60°＝90°.
∵∠DEC＝45°.
∴ △DCE为等腰直角三角形，
∴DC＝CE＝BC，
∵∠BCE＝150°.
∴∠EBC＝＝15°.
而∠EBC＝30°－α＝15°.
∴α＝30°.
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
15．[2013·湘潭]在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD，CF，经测量发现AD＝CF.
(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；
(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．
图3－2－14
第15题图
解：(1)AD与CF还相等，
理由：∵四边形ODEF，四边形ABCO为正方形，
∴∠DOF ＝∠COA ＝ 90°，DO＝OF，CO＝OA，∴∠COF ＝∠AOD，∴△COF≌△AOD(SAS)，∴AD＝CF.
(2)如图，连接DF，交EO于G，则DF⊥EO，DG＝OG＝EO＝1，∴GA＝4，∴CF＝AD＝＝＝.
3.3__垂径定理__
第1课时 垂径定理 [见B本P24]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．[2013·浙江温州市]如图3－3－1，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是( B )
3
3－3－1
A. B. C. D.
2．如图3－3－2，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的有( A )
①CE＝DE；②BE＝OE；③＝；④∠CAB＝∠DAB；⑤AC＝AD.
3－3－2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．[2013·潍坊]如图3－3－3，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为( D )
3－3－3
A．4 B．8 C．2 D．4
4．[2013·丽水]一条水管的截面如图3－3－4所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是( C )
3－3－4
A．4 B．5 C．6 D．8
5．[2013·绍兴]绍兴是著名的桥乡，如图3－3－5，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为( D )
3－3－5
A. 4m B．5m C．6m D．8m
6．[2013·广安]如图3－3－6，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝8 cm，CD＝3 cm，则圆O的半径为( A )
3－3－6
A.cm B．5 cm C．4 cm D. cm
7．[2013·吉林]如图3－3－7，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP.若OA＝
5 cm，OC＝3 cm，则AP的长度可能是__6(5≤AP≤8)__ cm(写出一个符合条件的数值即可)．
3－3－7
8．[2013·黄冈]如图3－3－8，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝8，则CED所在圆的半径为____．
3－3－8
第8题图
【解析】连接OC，∵M是CD的中点，EM⊥CD，∴EM过⊙O的圆心点O，
设半径为x，∵CD＝4，EM＝8，∴CM＝CD＝2，OM＝8－OE＝8－x，
在Rt△OCM中，OM2＋CM2＝OC2，即(8－x)2＋22＝x2，
解得x＝.
∴所在圆的半径为.
9．[2012·嘉兴]如图3－3－9，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则弦CD的长为__24__．
图3－3－9
第9题答图
【解析】 如图，连结OD.∵AM＝18，BM＝8，∴OD＝＝＝13，∴OM＝13－8＝5.在Rt△ODM中，DM＝＝＝12.∵直径AB⊥弦CD，∴CD＝2DM＝2×12＝24.
10．[2012·衢州]工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图3－3－10所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__8__mm.
图3－3－10
第10题答图
【解析】 如图，连结OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.∵钢珠的直径是10 mm，∴钢珠的半径是5 mm.∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，
∴OD＝3 mm.在Rt△AOD中，AD＝＝＝4(mm)，∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
11．如图3－3－11所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．
图3－3－11
解：连结OC，设OP＝x，
则OC＝2x，直径AB＝4x.
因为AB⊥CD，所以PC＝CD＝3 cm.
在Rt△COP中，OC2＝OP2＋PC2，
即(2x)2＝x2＋32，解得x＝，
所以直径AB的长为4 cm.
12．如图3－3－12，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E点．
(1)若AB＝8，OE＝3，求⊙O的半径；
(2)若CD＝10，DE＝2，求AB的长；
(3)若⊙O的半径为6，AB＝8，求DE的长．
3－3－12
第12题图
解：(1)连接OA，
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，OE＝3，
∴OA＝＝＝5，
∴⊙O的半径是5；
(2)∵CD是⊙O的直径，CD＝10，
∴OA＝CD＝5，∵DE＝2，∴OE＝5－2＝3，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝4
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AB＝2AE＝2×4＝8；
(3)∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，OA＝6，
∴OE＝＝＝2，
∴DE＝OA－OE＝6－2.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
13．如图3－3－13所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( C )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．非菱形的平行四边形
【解析】 因为AB垂直平分半径OC，根据垂径定理可知AB与OC互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．
图3－3－13
14．[2012·陕西]如图3－3－14，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为( C )
A．3 B．4 C．3 D．4
图3－3－14
第14题答图
【解析】 如图，作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，连结OB，OD.由垂径定理、勾股定理得OM＝ON＝＝3.∵弦AB，CD互相垂直，∴∠DPB＝90°.又∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∴四边形MONP是正方形，∴OP＝OM＝3.
15．[2013·广州]如图3－3－15，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为__(3，2)__．
3－3－15
【解析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A(6，0)，PD⊥OA，
∴OD＝OA＝3，
∵OP＝，OD＝3
∴PD＝＝＝2，
∴P(3，2)．
16．如图3－3－16所示，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形．
图3－3－16
第16题答图
证明：如答图所示，过O作OH⊥AB，垂足为H，
则AH＝BH.∵AC＝BD，∴CH＝DH.
又OH⊥AB，即OH⊥CD，
∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形．
17．如图3－3－17，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC＝AC＝4，CB＝8.求⊙O的半径．
3－3－17
第17题图
解：连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，
∵AC＝4，CB＝8，∴AB＝12.
∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝6，
∴CD＝2，
在Rt△CDO中，∠CDO＝90°，OC＝4，CD＝2，
∴OD＝2.
在Rt△ADO中，∠ADO＝90°，由勾股定理得OA＝＝4，
∴⊙O的半径是4.
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
18．如图3－3－18，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE.
(1)求证：AP＝AO；
(2)若弦AB＝12，求OP的长．
图3－3－18
第18题答图
解：(1)证明：∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠BPO.
∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，
∴∠BPO＝∠POA，∴AP＝AO.
(2)如图，过点O作OH⊥AB于点H，
则AH＝HB.
∵AB＝12，
∴AH＝6.
由(1)可知PA＝OA＝10，
∴PH＝PA＋AH＝16.
在Rt△OAH中，OH＝＝＝8，
∴OP＝＝8.
第2课时 垂径定理的推论[见A本P26
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．下列命题中，正确的是( C` )
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．过弦的中点的直线必过圆心
C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
D．弦的垂线平分弦所对的弧
2．如图3－3－19，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( D )
A．8 B．2 C．10 D．5
【解析】 连结OA，因为AM＝AB＝×8＝4，OM＝3，由垂径定理的逆定理及勾股定理得⊙O的半径OA＝5.
图3－3－19
第3题答图
3．已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长2 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( A )
A．1 cm B．2 cm C. cm D. cm
【解析】 如图所示，连结OC，由垂径定理及其逆定理，知OC⊥AB且O，C，D三点共线，连结OA.在Rt△AOC中，OC＝＝＝1，
∴CD＝OD－OC＝2－1＝1.
4．如图3－3－20所示，AB，AC是圆的两条弦，AD是圆的一条直径，且AD平分∠BAC，下列结论中不一定正确的是( A )
A.＝ B.＝
C．BC⊥AD D．∠B＝∠C
图3－3－20
图3－3－21
5．如图3－3－21，一条公路弯道处是一段圆弧，点O是这条弧所在圆的圆心，C是的中点，OC与AB相交于点D.已知AB＝120 m，CD＝20 m，那么这段弯道的半径为( C )
A．200 m B．200 m
C．100 m D．100 m
【解析】 连结OA.
∵ C是的中点，OC与AB相交于点D，
∴ AB⊥OC，∴ AD＝AB＝×120＝60，
△AOD是直角三角形．
设OA＝r，则OD＝r－CD＝r－20，在Rt△AOD中，
OA2＝AD2＋OD2，即r2＝602＋(r－20)2，解得r＝100.
6．如图3－3－22所示，在⊙O中(填写你认为正确的结论)：
(1)若MN⊥AB，垂足为C，MN为直径，则__AC＝BC，＝，＝__；
(2)若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则__MN⊥AB，＝，＝__；
(3)若MN⊥AB，AC＝BC，则__MN过圆心，＝，＝__；
(4)若＝，MN为直径，则__＝，AC＝BC，MN⊥AB__．
图3－3－22
图3－3－23
7．如图3－3－23所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为(－3，5)，B点的坐标为(1，5)，C点的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为__(－1，0)__．
8．如图3－3－24是某公园新建的圆形人工湖．为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A，B，C三根木桩，使得＝，并测得B到AC的距离为3米，AC的长为60米，请你帮他们求出人工湖的半径．
图3－3－24
第8题答图
解：如图，设点O为圆心，连结OA，OB，OC，设OB交AC于点D.∵＝，∴OB⊥AC，AD＝CD＝AC＝30米．
设OA＝x米，则OD＝OB－BD＝(x－3)米，
在Rt△OAD中，由OA2－OD2＝AD2，得
x2－(x－3)2＝302，解得x＝151.5(米)，
故人工湖的半径为151.5米．
9．[2013·邵阳]如图3－3－25所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
3－3－25
解：由垂径定理得BF＝AB＝1.5，OE⊥AB，设圆O半径为x，则OF＝x－1，在Rt△OBF中，根据勾股定理得x2＝1.52＋(x－1)2，解得x＝1.625，即圆O的半径是1.625 m.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
10．如图3－3－26，⊙O过点B，C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( C )
A．6 B．13
C. D．2
图3－3－26
11．[2013·宁夏]如图3－3－27，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为__2__cm.
3－3－27
第11题图
【解析】过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，
∵OA＝2OD＝2 cm，
∴AD＝＝＝ cm，
∵OD⊥AB，
∴AB＝2AD＝2 cm.
12．已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，求AB，CD之间的距离．
解：当AB，CD如图(1)所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB于点F，连结OA，OC.
因为AB∥CD，OE⊥CD，所以OF⊥AB.
由垂径定理可知AF＝AB＝×24＝12，
CE＝CD＝×10＝5.
在Rt△CEO中，OE＝＝＝12，
同理，OF＝＝＝5，
故EF＝OE－OF＝12－5＝7；
当AB，CD如图(2)所示时，过点O作OE⊥CD于点E，交AB于点F，连结OA，OC，可得OE＝12，OF＝5，故EF＝OE＋OF＝12＋5＝17，所以AB，CD之间的距离为17 cm或7 cm.
13．如图3－3－28，隧道的截面由和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12 m，宽AB为3 m，隧道的顶端E(的中点)高出道路(BC)7 m.
(1)求所在圆的半径；
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5 m，宽2.3 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？
图3－3－28
第13题答图
解：(1)设圆心为点O，半径为R，连结OE交AD于点F，连结OA，OB.
由垂径定理的逆定理，得OF垂直平分AD，AF＝6，OF＝R－(7－3)＝R－4.
由勾股定理，得AF2＋OF2＝OA2，即62＋(R－4)2＝R2，
解得R＝6.5，即所在圆的半径为6.5 m.
(2)这辆货运卡车能通过该隧道，但要小心．
如图，车宽GH＝2.3，圆的半径OH＝6.5，
由勾股定理，得OG＝＝≈6.08，
所以G点与BC的距离为7－6.5＋6.08＝6.58＞6.5，
故这辆货运卡车能通过该隧道，但要小心．
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
14．如图3－3－29甲所示，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn，Cn在⊙O上．
(1)如图乙，当n＝1时，求正三角形的边长a1；
(2)如图丙，当n＝2时，求正三角形的边长a2；
(3)如图甲，求正三角形的边长an(用含n的代数式表示)．
甲
乙
丙
图3－3－29
解：(1)在图乙中，设PQ与B1C1交于点D，连结OB1，则OD＝A1D－OA1＝a1－1.
在Rt△OB1D中，OB12＝B1D2＋OD2，
即12＝＋，解得a1＝.
(2)在图丙中，设PQ与B2C2交于点E，连结OB2，则OE＝2A1A2－OA1＝a2－1.
在Rt△OB2E中，OB22＝B2E2＋OE2，即12＝＋(a2－1)2，解得a2＝.
(3)在图甲中，设PQ与BnCn交于点F，连结OBn，则OF＝nan－1.
在Rt△OBnF中，OBn2＝BnF2＋OF2，
即12＝＋，解得an＝.
专题五__垂径定理有关的辅助线__[见B本P26]
一 连半径构造直角三角形
INCLUDEPICTURE"教材母题.EPS" (教材P78作业题第2题)
如图1，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.已知⊙O的半径为2，AB＝3，求DC的长(精确到0.01)．
图1
解：连结OA，则
AD＝AB＝×3＝，
∴OD＝＝＝，
∴DC＝OC－OD＝2－≈0.68.
【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解．
INCLUDEPICTURE"变形1.EPS" 如图2，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6 cm，则直径AB的长是( D )
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．4 cm
图2
图3
INCLUDEPICTURE"变形2.EPS" 如图3，⊙O的直径CD⊥AB于点M，MD＝2，AB＝8，则CD的长为( C )
A．5 B．8
C．10 D．2
INCLUDEPICTURE"变形3.EPS" 如图4，已知⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为3，则过点A的所有弦中，最短的弦长为( C )
图4
A．4 B．6
C．8 D．10
INCLUDEPICTURE"变形4.EPS" 如图5，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为( B )
图5
A.a B.a
C．(－1)a D．(2－)a
【解析】 从题目中很容易看出桌布刚好覆盖正方形桌子的桌面，正方形是圆的内接正方形，桌子的边长为a，用直径a减去桌子的边长刚好为2x的长度，所以x＝a.
INCLUDEPICTURE"变形5.EPS" 如图6，一块破残的轮片上，点O是这块轮片的圆心，AB＝120 mm，C是上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝20 mm，则原轮片的半径是__100__mm.
图6
INCLUDEPICTURE"变形6.EPS" [2012·西宁]如图7是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2 m，净高CD为5 m，则圆拱形门所在圆的半径为__2.6__m.
图7
变形6答图
【解析】 如图，连结OA.
在Rt△OAD中，AD＝AB＝1 m.
设⊙O的半径为R，则OA＝OC＝R，OD＝5－R，
由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，
即R2＝(5－R)2＋12，
解得R＝2.6(m)．
INCLUDEPICTURE"变形7.EPS" 如图8，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB＝10，BC＝12，求⊙O的半径．
图8
变形7答图
解：如图，连接OB.
∵AD是△ABC的高．
∴BD＝BC＝6，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝8.
设圆的半径是R.则OD＝8－R.
在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到R2＝36＋(8－R)2
解得R＝.
二 作圆心到弦的垂线巧解题
INCLUDEPICTURE"教材母题.EPS"(教材P65作业题第6题)
已知：如图9，在⊙O中，弦AB∥CD.求证：＝.
图9
证明：过点O作OE⊥AB，交⊙O于点E，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD，则＝，＝，
∴－＝－，即＝.
【思想方法】 当圆中出现弦时，通常作圆心到弦的垂线，或再连半径构造直角三角形，可通过垂径定理或勾股定理解题．
INCLUDEPICTURE"变形1.EPS" 如图10所示，矩形ABCD与⊙O相交于点M，N，F，E，若AM＝2，DE＝1，EF＝8，则MN的长为( C )
A．2 B．4
C．6 D．8
图10
变形1答图
【解析】 如图，过点O作OH⊥AB于点H，交CD于点G，
则MH＝HN，EG＝GF，
且四边形ADGH是矩形，所以AH＝DG.
因为EG＝EF＝4，所以DG＝DE＋EG＝1＋4＝5，
则AH＝5.
又因为AH＝AM＋MH＝2＋MH＝5，
所以MH＝3，则MN＝2MH＝2×3＝6.
INCLUDEPICTURE"变形2.EPS" [2013·兰州]如图11是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8 cm，水的深度为2 cm，则该输水管的半径为( C )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
图11
变形2答图
【解析】如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝×8＝4 cm，
设OA＝r，则OD＝r－2，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，即r2＝(r－2)2＋42，
解得r＝5 cm.
INCLUDEPICTURE"变形3.EPS" 如图12，⊙O的弦AB，CD交于点P，AB＝CD.求证：OP平分∠BPD.
图12
变形3答图
证明：连接OB，OD，过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
则由垂径定理得BM＝AB，DN＝CD，
∵AB＝CD，∴BM＝DN，
由勾股定理得OM2＝OB2－BM2，ON2＝OD2－DN2，
∵OB＝OD，BM＝DN，∴OM＝ON，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴OP平分∠BPD.
INCLUDEPICTURE"变形4.EPS" 如图13所示，⊙O的直径AB和弦CD交于点E，已知AE＝6 cm，EB＝2 cm，∠CEA＝30°，求CD.
图13
解：过点O作CD的垂线，垂足为F，连结OD.
∵AE＝6 cm，EB＝2 cm，
∴AB＝AE＋EB＝8 cm，∴OB＝AB＝4 cm，
∴OE＝OB－EB＝2 cm.
∵∠CEA＝30°，
∴OF＝OE＝1 cm(直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)，
∴FD＝＝＝(cm)，
∴CD＝2FD＝2(cm)．
INCLUDEPICTURE"变形5.EPS" 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图14所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
图14
解：不需要采取紧急措施．
理由如下∶
设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，OC＝R－18，由勾股定理得OA2＝AC2＋OC2，
即R2＝302＋(R－18)2＝900＋R2－36R＋324，
解得R＝34.
如图，连结OM，设DE＝x.
在Rt△MOE中，ME＝16，OE＝34－x，由勾股定理得OM2＝ME2＋OE2，
即342＝162＋(34－x)2＝162＋342－68x＋x2，
即x2－68x＋256＝0，
解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，
∴DE＝4.∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．
3.4__圆心角__
第1课时 圆心角定理[见A本P28]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．下列语句中，正确的有( A )
A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．长度相等的两条弧相等
D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
2．如图3－4－1所示是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合( C )
A．60° B．90° C．120° D．180°
图3－4－1
图3－4－2
3．如图3－4－2所示，MN为⊙O的弦，∠M＝45°，则∠MON等于( D )
A．50° B．65° C．80° D．90°
4．如图3－4－3所示，点O是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA，OB分别交小圆于C，D两点，则下列结论中正确的是( C )
图3－3－3
A.＝ B．AB＝CD
C．AB∥CD D．AC∥BD
【解析】 ∵OC＝OD，OA＝OB，∴∠OCD＝∠OAB＝(180°－∠AOB)，∴AB∥CD.
5．如图3－4－4所示，AB是⊙O的直径，如果∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段OA相等的线段有__OC，OD，OB，AC，CD，DB__，与相等的弧有__，__．
图3－4－4
【解析】 根据圆心角定理可得出结论．
6．一条弦把圆分成1∶3的两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为__90°__．
【解析】 劣弧的度数为×360°＝90°，所以它所对的圆心角的度数为90°.
图3－3－5
7．如图3－4－5所示，若∠AOB＝100°，则的度数为__260°__；若的度数为250°，则∠AOB＝__110°__．
【解析】 当∠AOB＝100°时，的度数为100°，的度数为360°－100°＝260°.当的度数为250°时，的度数为360°－250°＝110°，∴∠AOB＝110°.
8．如图3－3－6所示，AB，CD，EF都是⊙O的直径，且∠1＝∠2＝∠3，判断⊙O的弦AC，BE，DF的大小关系，并说明理由．
图3－4－6
解： AC＝BE＝DF.理由如下∶
∵∠1＝∠2＝∠3，∠1＝∠AOC，∠2＝∠BOE，∠3＝∠DOF，
∴∠AOC＝∠BOE＝∠DOF，
∴AC＝BE＝DF(在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等)．
9．如图3－4－7所示，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，判断与的大小关系，并说明理由．
图3－4－7
解： ＝.理由如下∶
∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，CO＝CO，
∴Rt△CDO≌Rt△CEO，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴＝.
10．如图3－4－8，在⊙O中，D，E分别为半径OA，OB上的点，且AD＝BE.点C为上一点，连结CD，CE，CO，∠AOC＝∠BOC.
求证：CD＝CE.
图3－4－8
证明：∵ OA＝OB，AD＝BE，
∴ OA－AD＝OB－BE，即OD＝OE.
在△ODC和△OEC中，
∴△ODC≌△OEC(SAS)．
∴CD＝CE.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
11．[2012·日照]如图3－4－9，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠B＝__18°__．
图3－4－9
12．如图3－4－10，△ABC是等边三角形，以BC为直径画⊙O分别交AB，AC于点D，E.求证：BD＝CE.
图3－4－10
证明：连结OD，OE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
又∵OB＝OD，OE＝OC，
∴△BOD，△OEC都是等边三角形，
∴∠BOD＝∠EOC＝60°，∴BD＝CE.
13．如图3－4－11所示，AB是⊙O的弦，C，D为弦AB上的两点，且OC＝OD，延长OC，OD分别交⊙O于点E，F.求证：＝.
图3－4－11
证明：如图，作OG⊥AB于点G.
∵OC＝OD，OG⊥AB，∴∠COG＝∠DOG.
∵OA＝OB，OG⊥AB，∴∠AOG＝∠BOG，
∴∠AOE＝∠BOF，∴＝.
14．如图3－4－12所示，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，以点B为圆心，AB为半径画圆，交AC于点D，交BC于点E.
求证：(1)＝2；
(2)D是AC的中点．
图3－4－12
第14题答图
【解析】 (1)连结BD，证明∠ABD＝2∠DBE.
(2)证明AD＝BD＝DC.
证明：(1)如答图所示，连结BD.
∵∠A＝60°，BA＝BD，
∴∠ABD＝60°，即的度数为60°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBE＝30°，即的度数为30°，
∴＝2.
(2)∵∠C＝180°－∠A－∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝∠C，
∴DC＝DB.
由(1)得△ABD为等边三角形，
∴DB＝AD，
∴DC＝AD，即D为AC的中点．
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
15．“五一”节，小贾和同学一起到游乐场游玩大型摩天轮．摩天轮的半径为20 m，匀速转动一周需要12 min，小贾乘坐最底部的车厢(离地面0.5 m)．
(1)经过2 min后小贾到达点Q(如图3－4－13所示)，此时他离地面的高度是多少？
(2)在摩天轮转动过程中，小贾将有多长时间连续保持在距离地面不低于30.5 m的空中？
图3－4－13
【解析】 (1)先计算转动2 min摩天轮所经过的圆心角∠AOQ＝360°×＝60°，小贾距地面的高度为Q到直线l的距离．
(2)计算小贾在离地面不低于30.5 m的空中的圆心角的度数，从而求出相应的时间．
解∶(1)如答图(1)所示，作QB⊥l于点B，QC⊥OA于点C，由题意得∠AOQ＝×360°＝60°，
∴∠OQC＝30°，∴OC＝OQ＝×20＝10(m)，
∴BQ＝OA－OC＝20＋0.5－10＝10.5(m)，
∴此时他离地面的高度为10.5 m.
(2)如答图(2)所示，设Q′，Q″离地面的距离为30.5 m，那么上的点到l的距离不低于30.5 m．延长AO交Q′Q″于点C，
则OC⊥Q′Q″，OC＝30.5－20.5＝10.
又∵OQ′＝20＝2OC，∴∠Q′＝30°，
∴∠Q′OC＝60°，∴∠Q′OQ″＝120°，
∴小贾在离地面不低于30.5 m的空中的时间为120°÷＝120°÷30°＝4(min)．
第2课时 圆心角定理的逆定理[见B本P28]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．下列说法中正确的是( B )
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等，所对的圆心角相等
【解析】 圆心角定理及逆定理的条件是在同圆或等圆中，所以A、C、D都不正确．B中“等弧”隐含着“同圆或等圆中”这个条件．
2．如图3－4－14所示，已知AB是⊙O的直径，C，D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE是( C )
A．40° B．60° C．80° D．120°
【解析】 根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，故由＝＝，得∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC＋∠COD＋∠DOE＝120°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝40°，∴∠COE＝80°.
图3－4－14
3. 如图3－4－15，C，D为半圆上三等分点，则下列说法正确的有( A )
①＝＝；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3－4－15
4．[2013·厦门]如图3－4－16所示，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B＝( B )
A．150° B．75° C．60° D．15°
3－4－16
【解析】∵在⊙O中，＝，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠C.又∠A＝30°，∴∠B＝75°.
5．如图3－4－17所示，AB，CD是⊙O的两条弦，OM，ON是弦AB，CD的弦心距，则有：
(1)如果AB＝CD，那么__∠AOB＝∠COD__，__＝__，__OM＝ON__；
(2)如果＝，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD__，__OM＝ON__；
(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__OM＝ON__，__AB＝CD__，__＝__；
(4)如果OM＝ON，那么__∠AOB＝∠COD__，__AB＝CD__，__＝__．
6．如图3－4－18所示，AB，CD为⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥AB于点E，且OE＝2 cm，那么点O到CD的距离为__2 cm.
图3－4－18
图3－4－19
7．如图3－4－19所示，AB是⊙O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，则∠AOC＝__36°__，∠COF＝__108°__．
【解析】 ∵AC＝CD＝DE＝EF＝FB，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOB＝×180°＝36°，
∴∠AOC＝36°，∠COF＝3×36°＝108°.
8．如图3－4－20，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，则：①AB＝CD；②＝；③PO＝PE；④＝；⑤PB＝PD，其中结论正确的是
__①②④⑤__(填写序号)．
图3－4－20
图3－4－21
9．如图3－4－21，等边三角形ABC内接于⊙O，连结OA，OB，OC.
(1)∠AOB，∠COB，∠AOC分别为多少度？
(2)若等边三角形ABC的边长为r，求⊙O的半径．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝×360°＝120°.
(2)过点O作OH⊥BC，
则∠HOC＝∠BOC＝60°，∠OCH＝30°.
又∵HC＝BC＝r，OH＝OC，根据勾股定理得OH2＋HC2＝OC2，∴OC＝r.
10．如图3－4－22，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3 cm.
(1)求证：＝；
(2)能否求出BD的长？若能，求出BD的长；若不能，请说明理由．
图3－4－22
解：(1)证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠COB＝∠2＋∠COB，
即∠DOB＝∠COA，
∴＝.
(2)∵＝，
∴BD＝AC.
∵AC＝3 cm，
∴BD＝3 cm.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
11．如图3－4－23所示，在⊙O中，已知＝2，则( B )
A．AB＝2CD
B．AB<2CD
C．AB>2CD
D．AB与2CD的大小不确定
图3－4－23
第11题答图
【解析】 如答图所示，取的中点E，连结AE，BE.
∵＝2＝2＝2，
∴CD＝AE＝BE，∴AE＋BE＝2CD.
在△ABE中，AE＋BE>AB，∴AB<2CD.
12．如图3－4－24所示，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A，B两点)上移动时，则点P( B )
A．到CD的距离保持不变
B．位置不变
C．等分
D．随C点的移动而移动
图3－3－24
第12题答图
【解析】 连结OP，如答图所示．
∵OC＝OP，∴∠2＝∠3.又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴CD∥OP.∵AB⊥CD，
∴OP⊥AB，且OP是圆的半径，故点P的位置不变，故选B.
13．如图3－4－25所示，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB＝120°，C是的中点，试判断四边形OACB的形状，并说明理由．
图3－4－25
解：四边形OACB是菱形．
理由：连结OC.∵C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝×120°＝60°.
∵CO＝BO(⊙O的半径)，
∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC.
同理，△OCA也是等边三角形，
∴OA＝AC.
又∵OA＝OB，∴OA＝AC＝BC＝BO，
∴四边形OACB是菱形．
14．如图3－4－26所示，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直且相交于点P，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，＝.求证：四边形OEPF是正方形．
图3－4－26
证明：∵＝，∴＋＝＋，
即＝，∴AB＝CD.
又∵OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，
∴OE＝OF.∵AB⊥CD，
∴∠EPF＝∠PFO＝∠PEO＝90°，
∴四边形OEPF是正方形．
15．如图3－4－27，已知AB，CD是⊙O的直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.
(1)求证：BE＝DF；
(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明)．
图3－4－27
解：(1)证明：连结OE，OF.
∵DF∥AB，BE∥DC，
∴∠EBA＝∠COA＝∠CDF.
∵OB＝OE，OD＝OF，
∴∠OEB＝∠EBA＝∠CDF＝∠OFD.
在△OEB与△OFD中，
∴△OEB≌△OFD，∴BE＝DF.
(2)图中相等的劣弧有∶＝，＝＝＝，＝，＝等．
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
16．如图3－4－28，点A是⊙O上的一个六等分点，点B是的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1.
(1)找出当AP＋BP取最小值时，点P的位置；
(2)求出AP＋BP的最小值．
图3－4－28
第16题答图
解：(1)如图，过点A作弦AA′⊥MN于点E，连结BA′交MN于点P，连结AP.
∵MN是⊙O的直径，
∴AE＝EA′，
∴AP＝PA′，即AP＋BP＝PA′＋BP.
根据两点之间线段最短，当A′，P，B三点共线时，
PA′＋BP此时取得最小值BA′，
即AP＋BP此时取得最小值BA′，
∴点P位于A′B与MN的交点处．
(2)连结OA′，OB.
∵点A是⊙O上的一个六等分点，
∴∠AON＝∠A′ON＝60°.
∵点B是的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠BOA′＝90°.
∵OB＝OA′＝1，∴BA′＝，即AP＋BP的最小值为.
3.5__圆周角__
第1课时 圆周角定理[见A本P30]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．[2013·衡阳]如图3－5－1，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于( D )
3－5－1
A．50° B．80° C．90° D．100°
2．[2013·泰安]如图3－5－2，点A，B，C在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于( D )
A．60° B．70° C．120° D．140°
3－5－2
第2题答图
【解析】过A作⊙O的直径，交⊙O于D，△OAB中，OA＝OB，
则∠BOD＝∠OBA＋∠OAB＝2×32°＝64°，
同理∠COD＝∠OCA＋∠OAC＝2×38°＝76°，
故∠BOC＝∠BOD＋∠COD＝140°.
3．[2013·成都]如图3－5－3，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为( D )
3－5－3
A．40° B．50° C．80° D．100°
4．[2012·达州]如图3－5－4，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB，OC，若OB＝BC，则∠BAC等于( C )
图3－5－4
A．60° B．45° C．30° D．20°
5．[2013·海南]如图3－5－5，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是( A )
3－5－5
A．1 B．2 C. D.
6．如图3－5－6所示，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是( A )
A．25° B．40° C．30° D．50°
图3－5－6
【解析】 ∵DE∥OA，∴∠AOD＝∠D＝50°.∵OA＝OC，∴∠C＝∠A＝∠AOD，∴∠C＝25°.故选A.
7．[2013·河池]如图3－5－7，⊙O的弦AB垂直于半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝3 cm，则弦AB的长为( A )
3－5－7
A．9 cm B．3 cm
C. cm D.cm
8．[2013·益阳]如图3－5－8，若AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，∠CAB＝30°，则BC＝__5__ cm.
3－5－8
9．[2013·莱芜]如图3－5－9，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为( D )
3－5－9
A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5°
【解析】∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝22.5°，
∴∠AOB＝180°－22.5°－22.5°＝135°.
∴∠C＝180°－＝112.5°.
10．[2012·青海]如图3－5－10，已知点E是⊙O上的点，B，C分别是劣弧的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为__69°__．
图3－5－10
图3－5－11
11．如图3－5－11所示，已知⊙O中半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于点E，你能发现AD和BC有怎样的位置关系吗？为什么？
解：AD和BC的位置关系是AD∥BC.
理由如下∶
∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠D＝∠C＝45°.
∵AC⊥BD于点E，∴∠BEC＝90°.
又∵∠C＝45°，∴∠EBC＝45°，
∴∠D＝∠EBC，∴AD∥BC.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
12．如图3－5－12，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数为( D )
A．50° B．80°或50°
C．130° D．50°或130°
【解析】 当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°；当点C在劣弧上时，∠ACB＝(360°－∠AOB)＝×(360°－100°)＝130°.故选D.
图3－5－12
13．[2013·珠海]如图3－5－13， ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连接AE，则∠AEB的度数为( A )
A．36° B．46° C．27° D．63°
3－5－13
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝54°，
∴∠B＝∠ADC＝54°，
∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝90°－∠B＝90°－54°＝36°.
14．[2013·嘉兴]如图3－5－14，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为( D )
3－5－14
第14题答图
A．2 B．8
C．2 D．2
【解析】∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
设⊙O的半径为r，则OC＝r－2，
在Rt△AOC中，
∵AC＝4，OC＝r－2，
∴OA2＝AC2＋OC2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，
∴AE＝2r＝10，
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝10，AB＝8，
∴BE＝＝＝6，
在Rt△BCE中，
∵BE＝6，BC＝4，
∴CE＝＝＝2.
故选D.
15．如图3－5－15，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数为84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__48°__．
图3－5－15
【解析】 在△COD中，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.又∠COD＋∠OCD＋∠ODC＝180°，∠COD＝84°，∴∠OCD＝48°.∵CA是∠OCD的平分线，∴∠OCA＝∠ACD＝24°.在△AOC中，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA.∵∠ABD＝∠AOD，∠DCA＝∠AOD，∴∠ABD＝∠CAO，∴∠ABD＋∠CAO＝48°.
16．[2012·宁夏]如图3－5－16，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连结CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．
解：连结BD.∵AB是⊙O的直径，∴BD ⊥AD.
又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC＝∠C.
又∵∠BDC＝∠BOC，∴∠C＝∠BOC.
∵AB⊥CD，即∠OEC＝90°，∴∠C＋∠BOC＝90°，
∴∠C＝30°，∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.
图3－5－16
图3－5－17
17．如图3－5－17，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
(1)试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明；
(2)在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？(直接写出结论)
解：(1)AB＝AC.证明：连结AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
又∵AD为公共边，BD＝DC，∴Rt△ABD≌Rt△ACD.
∴AB＝AC.
(2)△ABC为正三角形或AB＝BC或AC＝BC或∠A＝∠B或∠A＝∠C等．
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
18．阅读下面的情境对话，然后解答问题．
图3－5－18
(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小丽提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
(2)在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c的值；
(3)如图3－5－19，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A，B重合)，D是半圆的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE.
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
图3－5－19
解：(1)真命题．
(2)在Rt△ABC中，有a2＋b2＝c2，∵c＞b＞a＞0，
∴2c2＞a2＋b2，2a2＜c2＋b2，
∴若Rt△ABC是奇异三角形，一定有2b2＝c2＋a2，
∴2b2＝a2＋(a2＋b2)，
∴b2＝2a2，即b＝a.
∵c2＝b2＋a2＝3a2，∴c＝a，∴a∶b∶c＝1∶∶.
(3)①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
在Rt△ABC 中，AC2＋CB2＝AB2，
在Rt△ADB 中，AD2＋BD2＝AB2.
∵点D是半圆的中点，∴＝，∴AD＝BD，
∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2.∴AC2＋CB2＝2AD2.
又∵CB＝CE，AE＝AD，∴AC2＋CE2＝2AE2，
∴△ACE是奇异三角形．
②由①可得AC2＋CE2＝2AE2，当△ACE是直角三角形时，
由(2)可得AC∶AE∶CE＝1∶∶或AC∶AE∶CE＝∶∶1.
(Ⅰ)当AC∶AE∶CE＝1∶∶时，
AC∶CE＝1∶，即AC∶CB＝1∶.
∵∠ACB＝90°，∴由勾股定理得AB＝2AC，
∴∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°.
(Ⅱ)当AC∶AE∶CE＝∶∶1时，
AC∶CE＝∶1，即AC∶CB＝∶1.
∵∠ACB＝90°，∴由勾股定理得AB＝2CB，
∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠ABC ＝120°，
∴∠AOC的度数为60°或120°.
第2课时 圆周角定理的推论[见B本P30]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．[2012·毕节]下列命题是假命题的是( B )
A．同弧或等弧所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．两条平行线间的距离处处相等
D．正方形的两条对角线互相垂直平分
2．[2013·宜昌]如图3－5－20，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB.则下列结论错误的是( C )
3－5－20
A.＝ B．AF＝BF
C．OF＝CF D．∠DBC ＝90°
3．[2012·德阳]如图3－5－21，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝20°，那么∠BAD＝( D )
图3－5－21
A．45° B．60° C．30° D．20°
4．[2013·巴中]如图3－5－22，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于( B )
3－5－22
A．116° B．32° C．58° D．64°
5．[2012·湖州]如图3－5－23，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是( B )
图3－5－23
A．45° B．85° C．90° D．95°
【解析】 ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠C＝50°，∴∠BAC＝40°.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∴∠CAD＝∠DBC＝45°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝40°＋45°＝85°.
6．[2013·青海]如图3－5－24，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为E，若∠AOD＝52°，则∠DCB＝__26°__．
3－5－24
7．[2013·邵阳]如图3－5－25，弦AB，CD相交于点O，连接AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是__∠A＝∠C__.
3－5－25
8．如图3－5－26，海边有两座灯塔A，B，暗礁分布在经过A，B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB＝90°，为了避免触礁，轮船P与A，B的张角∠APB的最大值为__45°__．
图3－5－26
【解析】 根据三角形外角的性质，当P点在圆上时，轮船P与A，B的张角∠APB最大，此时为∠AOB＝45°.
9．[2011·温州]如图3－5－27，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连结CA，CB，DC，DB.已知∠D＝30°，BC＝3，则AB的长是__6__．
【解析】 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵BC＝3，∴AB＝2BC＝6.
图3－5－27
图3－5－28
10．如图3－5－28所示，在△ABC中，AC＝BC，以AC为直径作⊙O交AB于点E，作△BCA的外角平分线CF交⊙O于点F，连结EF.
求证：EF＝BC.
证明：∵CA＝CB，∴∠B＝∠A.
又∵∠DCA＝∠A＋∠B＝2∠A＝2∠B，CF平分∠DCA，
∴∠FCA＝∠DCA＝∠A＝∠B，∴CF∥AB.
∵∠FCA＝∠FEA，∴∠FEA＝∠B，∴BC∥EF，
∴四边形CFEB为平行四边形，∴EF＝BC.
11．如图3－5－29，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°.
图3－5－29
(1)求∠EBC的度数；
(2)求证：BD＝CD.
解：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.
又∵∠BAC＝45°，
∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠BAC)＝67.5°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠A＝45°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝67.5°－45°＝22.5°.
(2)证明：连结AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
∵AB＝AC，
∴BD＝CD.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
12．[2013·苏州]如图3－5－30，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( C )
3－5－20
A．55° B．60° C．65° D．70°
第12题图
【解析】连结BD，如图，
∵点D是AC弧的中点，即弧CD＝弧AD，
∴∠ABD＝∠CBD，
而∠ABC＝50°，∴∠ABD＝×50°＝25°，
∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°－25°＝65°.
13．如图3－5－31所示是一个圆形人工湖示意图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100 m，测得圆周角∠ACB＝45°，则这个人工湖的直径AD为( B )
A．50 m B．100 m
C．150 m D．200 m
图3－5－31
14．[2013·黔西南州]如图3－5－32所示，⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO的度数为__50°__．
3－5－32
15．[2013·安徽]如图3－5－33，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上点，在以下判断中，不正确的是( C )
A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
3－5－33
16．[2013·温州]如图3－5－34，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE.
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
3－5－34
解：(1)证明∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DC＝CB
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D.
(2)设BC＝x，则AC＝x－2.
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
∴(x－2)2＋x2＝42，
解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)，
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，
∵CD＝CB
∴CE＝CB＝1＋.
17．[2012·长沙]如图3－5－35，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD.
图3－5－35
第17题答图
解：(1)证明：∵∠APC＝60°，∠APC＝∠ABC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形．
(2)如图，连结OB，OC，
∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°.
∵OB⊥OC，OD⊥BC，∴∠BOD＝∠BOC＝60°，
∴∠OBD＝90°－∠BOD＝30°，
∴OD＝OB＝×8＝4.
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
18．如图3－5－36所示，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
(1)求证：CF＝BF；
(2)若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
图3－5－36
第18题答图
解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠ABC.
又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，
∴∠2＝90°－∠ABC，∴∠2＝∠A.
又∵C是的中点，∴＝，
∴∠1＝∠D＝∠A，
∴∠1＝∠2，∴CF＝BF.
(2)∵＝，∴BC＝CD＝6.
∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5.
∵S△ABC＝AB·CE＝BC·AC，
∴CE＝＝＝.
专题六__圆周角定理的综合运用__[见A本P32]
一 巧作辅助线求角度
INCLUDEPICTURE"教材母题.EPS"(教材P77作业第6题)
如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°.求∠CAD的度数．
图1
解：连结DC.∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°.
∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝50°，
∴∠CAD＝90°－∠ADC＝40°.
【思想方法】 利用圆周角定理，常见的辅助线作法有(1)作半径，构造圆心角；(2)作弦，构造圆周角．
INCLUDEPICTURE"变形1.EPS" [2012·泰州]如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，若∠A＝50°，则∠OCD的度数是( A )
A．40° B．45° C．50° D．60°
图2
变形1答图
【解析】 如图，连结OB，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°.∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠OBC＝＝40°.
INCLUDEPICTURE"变形2.EPS" 如图3，已知四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是( A )
A．45° B．60° C．75° D．90°
图3
变形2答图
【解析】 如图，连结OB，OC，则∠BOC＝90°，
根据圆周角定理，得∠BPC＝∠BOC＝45°.
INCLUDEPICTURE"变形3.EPS" 如图4，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为( C )
A．100° B．120° C．140° D．160°
图4
变形3答图(1)
【解析】 解法一∶如图，连结OB，则∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝∠ABC.
在△AOB中，∠1＋∠2＋∠AOB＝180°； ①
在△OBC中，∠3＋∠4＋∠BOC＝180°， ②
①＋②得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠AOB＋∠BOC＝360°，
∴2∠ABC＋∠AOC＝360°，
∴∠ABC＝(360°－∠AOC)＝140°.
解法二∶如图，作所对的圆周角∠D.
变形3答图(2)
∵∠AOC＝80°，∴∠D＝∠AOC＝×80°＝40°，
∴∠ABC＝180°－∠D＝140°.
INCLUDEPICTURE"变形4.EPS" 如图5，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，求⊙O的半径．
图5
解：连结AO，BO，AO交BC于点D，
则根据垂径定理的逆定理得OA⊥BC，
BD＝CD＝BC＝12.
在Rt△ABD中，根据勾股定理得AD＝＝5.
设⊙O的半径为r，则OD＝OA－AD＝r－5，
在Rt△OBD中，根据勾股定理得BD2＋OD2＝OB2，
即122＋(r－5)2＝r2，解得r＝16.9，
即⊙O的半径为16.9.
INCLUDEPICTURE"变形5.EPS" 如图6，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D.若∠A＝30°，OD＝20 cm，求CD的长．
图6
解：连结BC，∵OD⊥AB，∠A＝30°，OD＝20，
∴AD＝2OD＝40，
∴OA＝＝20.
∵AB是⊙O的直径，
∴AB＝2OA＝40，且∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝20，
∴AC ＝＝60，
∴CD＝AC－AD＝60－40＝20(cm)．
二 圆周角定理与直角三角形、全等三角形等知识的综合运用
INCLUDEPICTURE"教材母题.EPS"(教材P92例3)
图7
一个圆形人工湖如图7所示，弦AB是湖上的一座桥．已知桥AB长100 m，测得圆周角∠C＝45°.求这个人工湖的直径．
解：设圆心为O，连结OA，OB，由∠C＝45°，可知∠AOB＝2∠C＝90°，则OA＝＝50 m，所以这个人工湖的直径为2OA＝100 m.
【思想方法】 直角三角形与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度转换，利用直角三角形的相关知识求解．
INCLUDEPICTURE"变形1.EPS" [2011·衢州]如图8所示是一个圆形人工湖示意图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100 m，测得圆周角∠ACB＝45°，则这个人工湖的直径AD为( B )
图8
A．50 m B．100 m
C．150 m D．200 m
INCLUDEPICTURE"变形2.EPS" 如图9，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2 cm，求⊙O的半径．
图9
解：连结AO并延长交⊙O于点D，连结BD.
∵∠D，∠C所对的圆弧都为，
∴∠D＝∠C＝30°.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，∴AD＝2AB＝4 cm，
∴AO＝AD＝2 cm，即⊙O的半径为2 cm.
INCLUDEPICTURE"变形3.EPS" [2012·深圳]如图10，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为( C )
A．6 B．5
C．3 D．3
图10
图11
INCLUDEPICTURE"变形4.EPS" 如图11所示，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结AD，请添加一个条件__AB＝AC或BD＝CD或∠B＝∠C或∠BAD＝∠CAD__，使△ABD≌△ACD.
三 圆周角定理的创新应用
INCLUDEPICTURE"教材母题.EPS"(教材P92例3)
如图12，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角∠C＝50°.问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？
图12
解：当张角∠ASB<∠ACB时，船在弓形暗礁区外；当张角∠ASB＝∠ACB时，船在弓形暗礁区边上；当张角∠ASB>∠ACB时，船在弓形暗礁区内，所以要使船保证不进入暗礁区，必须使∠ASB<∠ACB，即∠ASB<50°.
【思想方法】 由圆周角定理知，同弧上的圆周角相等，应用在航海上，常常考查动点问题．
INCLUDEPICTURE"变形1.EPS" [2012·兰州]如图13，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为( D )
图13
A. B．1
C.或1 D.或1或
【解析】 ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，BC＝2 cm，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4 cm.
①当∠BFE＝90°时，
Rt△BEF中，∠ABC＝60°，则∠BEF＝30°，
∴BE＝2BF＝2 cm，
故此时AE＝AB－BE＝2 cm，
∴E点运动的距离为2 cm或6 cm，故t＝1 s或3 s，
由于0≤t＜3，故t＝3 s不合题意，舍去，
∴当∠BFE＝90°时，t＝1 s；
②当∠BEF＝90°时，
同①可求得BE＝0.5 cm，此时AE＝AB－BE＝3.5 cm，
∴E点运动的距离为3.5 cm或4.5 cm，故t＝1.75 s或2.25 s.
综上所述，当t的值为1或1.75或2.25时，△BEF是直角三角形．
故选D.
INCLUDEPICTURE"变形2.EPS" [2012·南京]如图14，A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(点P不与点A，B重合)，我们称∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角．
(1)已知∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角，
①若AB是⊙O的直径，则∠APB＝________；
②若⊙O的半径是1，AB＝，求∠APB的度数．
(2)已知O2 是⊙O1 外一点，以O2 为圆心作一个圆与⊙O1 相交于A，B两点，∠APB是⊙O1 上关于点A，B的滑动角，直线PA，PB分别交⊙O2 于点M，N(点M与点A，点N与点B均不重合)，连结AN，试探索∠APB与∠MAN，∠ANB之间的数量关系．
图14
变形2答图(1)
解：(1)①90°
②如图(1)，连结OA，OB，AB.
∵⊙O的半径是1，即OA＝OB＝1，AB＝，
∴由勾股定理的逆定理可得△OAB为直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠APB＝∠AOB＝45°.
(2)①当点P在优弧AB上时，如左图，∠APB＝∠MAN－∠ANB；
②当点P在劣弧AB上时，如右图，∠APB＝∠MAN＋∠ANB.
变形2答图(2)
3.6__圆内接四边形__[见B本P32]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．已知，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝50°，则∠ABC等于( D )
A．100° B．110° C．120° D．130°
2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( B )
3－6－1
A．115° B．l05° C．100° D．95°
【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
而∠BCD＋∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠BAD，
而∠BAD＝105°，∴∠DCE＝105°.
3．圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D等于( B )
A．60° B．120° C．140° D．150°
【解析】∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶5∶4，
∴∠D＝180°×＝120°.
4．如图3－6－2，A，B，C，D四点在⊙O上，四边形ABCD的一个外角∠DCE＝70°，则∠BOD等于( D )
3－6－2
A．35° B．70° C．110° D．140°
【解析】∵四边形ABCD的一个外角∠DCE＝70°，
∴∠A＝∠DCE＝70°，∴∠BOD＝2∠A＝140°.
5．已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A∶∠C＝1∶2，则∠C＝__120°__．
6．如图3－6－3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝130°，则∠AOC的度数是__100__度．
3－6－3
【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°－∠ABC＝50°；
∴∠AOC＝2∠D＝100°.
7．如图3－6－4，已知AB是半圆O的直径，∠BAC＝20°，D是弧AC上任意一点，则∠D的度数是__110°__．
3－6－4
【解析】∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90－20＝70°，
∴∠D＝180－70＝110°.
8．[ 2013·沈阳]如图3－6－5，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是____．
3－6－5
9. 如图3－6－6，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝80°，求∠BAD和∠BCD的度数．
3－6－6
解：∵∠BOD＝80°，∴∠BAD＝40°.
又∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝140°.
10．如图3－6－7，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，求∠C.
3－6－7
解：∵∠ABC＝100°，∴∠PBA＝80°，
又∵∠P＝30°，∴∠PAB＝180°－80°－30°＝70°，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠C＋∠BAD＝180°，
∵∠BAD＋∠PAB＝180°，∴∠C＝∠PAB＝70°.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
11．如图3－6－8，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证：BC＝EC.
3－6－8
第11题答图
证明：连接AC.
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°＝∠ACE.
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，
又∠ABC＋∠EBC＝180°，
∴∠EBC＝∠D.
∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠2，
∴∠1＋∠E＝∠2＋∠D＝90°，∴∠E＝∠D，
∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC.
12．如图3－6－9所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD，DC.求证：BD＝DC＝DI.
3－6－9
证明：∵AI平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴＝
∴BD＝DC.∵BI平分∠ABC，∴∠ABI＝∠CBI.
∵∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，∴∠BAD＝∠DBC.
又∵∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，∠DIB＝∠ABI＋∠BAD，
∴∠DBI＝∠DIB，∴△BDI为等腰三角形，
∴BD＝ID，∴BD＝DC＝DI.
13. 如图3－6－10，在四边形ADBC中，∠ACB＋∠ADB＝180°，∠ABC＝∠BAC＝60°.求∠BDC的度数．
3－6－10
解：∵∠ABC＝∠BAC＝60°，∴AC＝BC＝AB，
∵∠ACB＋∠ADB＝180°，∴A，B，C，D四点共圆，
∵AC＝BC，∴弦AC，BC所对的圆周角相等，
∴∠BAC＝∠BDC＝60°.
14. 如图3－6－12，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四边形ABCD的面积．
3－6－12
第14题答图
解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
∵∠ADF＋∠ABC＝180(圆的内接四边形对角之和为180)，∠ABE＋∠ABC＝180°，
∴∠ADF＝∠ABE.
∵∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∠AEB＝∠AFD，
∴△AEB≌△AFD，
∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF.
又∵∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC.
∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝30°，
∴CF＝，AF＝，
∴四边形ABCD的面积＝2S△ACF＝2×CF×AF＝.
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
15．如图3－6－12，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝DB＝p，BC＝q.求对角线AC的长．
3－6－12
解：延长CD交半径为p的⊙D于E点，连接AE.显然A，B，C在⊙D上．
∵AB∥CD，
∴＝.
∴BC＝AE＝q.
在△ACE中，∠CAE＝90°，CE＝2p，AE＝q，
故AC＝＝.
3.7__正多边形__[见A本P34]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．[2013·扬州]一个多边形的每一个内角均为108°，则这个多边形是( C )
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
2．[2013·资阳]一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( C )
A. 正六边形 B．正八边形
C．正十边形 D. 正十二边形
3．[2013·咸宁]如图3－7－1，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为( B )
3－7－1
A．30° B．36° C．38° D．45°
4．[2013·绵阳]如图3－7－2，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( C )
3－7－2
A．6 mm B．12 mm C．6 mm D．4 mm
5．[2013·滨州]若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( B )
A．6，3 B．3，3
C．6，3 D．6，3
解：∵正方形的边长为6，
∴AB＝3，
又∵∠AOB＝45°，∴OB＝3
∴AO＝＝3
故选B.
6．(1)[2013·毕节]正八边形的一个内角是__135__度。
(2)[2013·莱芜]正十二边形每个内角的度数为__150°__．
(3)[2013·淮安]若n边形的每一个外角等于60°，则n
＝__6__.
7．[2013·南京]△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为__9__．
【解析】当∠OAB＝70°时，∠AOB＝40°，则多边形的边数是360÷40＝9；
当∠AOB＝70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．
故答案是：9.
8．[2013·徐州]如图3－7－3，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20 cm2，则正八边形的面积为__40__cm2.
3－7－3
9. 钳工车间用圆钢做方形螺母，现要做边长为a的方形螺母，问下料时至少要用直径多大的圆钢？
解：由圆周角定理可知AC为⊙O的直径，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝a，
∴AC＝＝＝.
10．如图3－7－4，已知⊙O的周长等于6 πcm，求它的内接正六边形ABCDEF的面积．
3－7－4
第10题答图
解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∴AH＝AB，
∵⊙O的周长等于6 πcm，∴⊙O的半径为3 cm，
∵∠AOB＝×360°＝60°，
∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝3 cm，∴所求面积为.
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
11．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图3－7－5所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( A )
3－7－5
A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
12．[2013·南昌]如图3－7－6，正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为( C )
3－7－6
第12题答图
A．2 B．4 C. D.
【解析】如图，连接AE，在正六边形中，∠F＝×(6－2)·180°＝120°，
∵AF＝EF，
∴∠AEF＝∠EAF＝(180°－120°)＝30°，
∴∠AEP＝120°－30°＝90°，
∵点P是ED的中点，
∴EP＝×2＝1，
在Rt△AEP中，AP＝＝＝.
故选C.
13．[2013·绍兴]小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤∶
(1)作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
(2)以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2.若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是( C )
图3－7－7
A．BD2＝OD B．BD2＝OD
C．BD2＝OD D．BD2＝OD
14．如图3－7－8，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC.求∠BCM的大小．
3－7－8
解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC＝120°，AB＝BC.
∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM＝90°，AB＝BM.∴∠MBC＝120°－90°＝30°，BM＝BC.
∴∠BCM＝∠BMC.
∴∠BCM＝×(180°－30°)＝75°.
15．如图3－7－9，正五边形ABCDE中，点F，G分别是BC，CD的中点，AF与BG相交于H.
(1)求证：△ABF≌△BCG；
(2)求∠AHG的度数．
3－7－9
解：(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD，∴F，G分别是BC，CD的中点，
∴BF＝CG，在△ABF和BCG中，
AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，BF＝CG，∴△ABF≌△BCG；
(2)由(1)知∠GBC＝∠FAB，
∵∠AHG＝∠FAB＋∠ABH＝∠GBC＋∠ABH＝∠ABC，
∵正五边形的内角为108°，
∴∠AHG＝108°.
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
16．[2013·台州]如图3－7－10，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y轴上，且在A的下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为( B )
A．3 B．4－ C．4 D．6－2
3－7－10
第16题答图
【解析】如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；
∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC.
∵AB＝BC＝2，
∴AD＝，
∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，
∴OE＝OE′＝2.
∵点A的坐标为(0，6)，
∴OA＝6，
∴D′E＝OA－AD－OE′＝4－.
故选B.
3.8__弧长及扇形的面积__
第1课时 弧长公式[见B本P34]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．[2013·淮安]若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是( B )
A．3π B．4π C．5π D．6π
2．[2012·湛江]一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2π cm，则这个扇形的半径为( A )
A．6 cm B．12 cm
C．2 cm D. cm
【解析】 由扇形的圆心角为60°，它所对的孤长为2π cm，根据弧长公式l＝，得2π＝，解得R＝6 cm.
3．[2012·珠海]如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为( C )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．在半径为1的⊙O中，弦AB＝1，则劣弧AB的长是( A )
A. B.
C.或π D.
【解析】 弧长为＝.
5．[2012·日照]如图3－8－1，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为( A )
A．π B.
C．7 D．6
图3－8－1
图3－8－2
6．如图3－8－2所示是两个同心圆的一部分，已知OB＝OA，则的长是的长的( A )
A. B．2倍
C. D．4倍
【解析】 由弧长公式l＝，得＝＝＝，＝，∴＝.
7．(1)一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的弧长为__π__(结果保留π)；
(2)一个扇形的圆心角为120°，半径为15 cm，则这个扇形的弧长为__10π__cm(结果保留π)．
【解析】 (1)l＝×π×2＝π.
(2)l＝×π×15＝10π(cm)．
8．[2013·菏泽]在半径为5的圆中，30°的圆心角所对弧的弧长为__π__(结果保留π)．
9．如图3－8－3所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧.已知半径OA＝60 cm，∠AOB＝108°，则管道的长度(即的长)为__36π__cm.
图3－8－3
【解析】 由弧长计算公式l＝得l＝＝36π(cm)．
10．[2012·苏州]已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是__2__．
【解析】 根据弧长的公式l＝，得r＝＝＝2，即该扇形的半径为2.
11．有一段圆弧形的公路弯道，其所对的圆心角是150°，半径是400 m，一辆汽车以40 km/h的速度开过这段弯道，需要多少时间(精确到分)
解：÷＝≈2(min)．
12．一段铁丝长为4.5π cm，把它弯成半径为9 cm的一段圆弧，求铁丝两端间的距离．
解：设弯成的圆弧所对的圆心角为n°，则有4.5π＝，解得n＝90，即圆心角为直角，所以由勾股定理可求得铁丝两端间的距离为＝9(cm)．
INCLUDEPICTURE"B组.TIF"
13．如图3－8－4所示，5个圆的圆心在同一条直线上，若大圆直径是12，4个小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为( B )
图3－8－4
A．48π B．24π
C．12π D．6π
14．如图3－8－5，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六边形的渐开线”，其中曲线FK1，K1K2，K2K3，K3K4，K4K5，K5K6，……的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…….当AB＝1时，l2 013等于( B )
图3－8－5
A. B.
C. D.
【解析】 第一段圆弧，以A为圆心，以AF＝1为半径，以F点为起点，作60度圆弧到达K1(K1在BA延长线上)；
第二段圆弧，以B为圆心，以BK1＝2为半径，以K1点为起点，作60度圆弧到达K2(K2在CB延长线上)；
第三段圆弧，以C为圆心，以CK2＝3为半径，以K2点为起点，作60度圆弧到达K3(K3在DC延长线上)；
依次类推，第2 013段圆弧，以C为圆心，以CK2 012＝2 013为半径，以K2 012点为起点，作60度圆弧到达K2 013(K2 013在DC延长线上)，所以l2 013＝×2 013＝×2 013＝.
15．[2012·德州]如图3－8－6，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于__π__．
图3－8－6
【解析】 ∵△ABC为正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，
∴＝＝＝＝.
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长＝＋＋＝3×＝π.
16．如图3－8－7，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为__2π__cm(结果保留π)
图3－8－7
【解析】 所得到的两条弧长度之和为半径为2的半圆的弧长，故长度之和为π×2＝2π(cm)．.
17．如图3－8－8，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连结BD，AD，OC，∠ADB＝30°.
(1)求∠AOC的度数；
(2)若弦BC＝6 cm，求图中劣弧BC的长．
图3－8－8
解：(1)连结OB，∵弦BC垂直于半径OA，
∴BE＝CE，＝.
又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB＝60°.
(2)∵BC＝6，∴CE＝BC＝3.
在Rt△OCE中，∠AOC＝60°，∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC.
∵OE2＋CE2＝OC2，
∴＋32＝OC2，∴OC＝2.
∵＝，
∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，
∴＝＝＝π(cm)．
INCLUDEPICTURE"C组.TIF"
18．如图3－8－9所示，菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作后菱形中心O所经过的路径总长为__(8＋4)π__(结果保留π)．
图3－8－9
【解析】 经过每3次这样的操作，中心O所经过的路径长为×π×＋×π×1＝π＋，经过36次这样的操作后菱形中心O所经过的路径总长为×π＝(8＋4)π.
19．已知一个半圆形工件，未搬动前如图3－8－10所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m，半圆的直径为4 m，则圆心O所经过的路线长是__2π＋50__m(结果用π表示)．
图3－8－10
【解析】 由图形可知，圆心先向右移动个圆的周长，然后沿着地点旋转90°，最后向右平移50 m，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半加上50 m，由已知得圆的半径为2 m，则半圆形的弧长l＝2π m，∴圆心O所经过的路线长＝(2π＋50)m.
第2课时 扇形的面积[见A本P36]
INCLUDEPICTURE"A组.TIF"
1．一扇形的圆心角为120°，半径为3 cm，则扇形的面积为( B )
A.π cm2 B．3π cm2 C.π cm2 D．π cm2
【解析】 S＝＝3π.故选B.
2．⊙O的半径为9 cm，的长是5π cm，则扇形OAB的面积是( A )
A．22.5π cm2 B．25π cm2 C．45π cm2 D．100π cm2
【解析】 根据扇形的面积计算公式得S＝lr＝×5π×9＝22.5π，故选A.
3．如图3－8－11，这是中央电视台“曲苑杂谈”节目中的一幅图案，它是一扇形图案，其中∠AOB为120°，OC长为8 cm，CA长为12 cm，则阴影部分的面积为( B )
图3－8－11
A．64π cm2 B．112π cm2
C．144π cm2 D．152π cm2
【解析】 阴影部分的面积可看作是半径为OA的扇形与半径为OC的扇形面积之差．∵OA＝OC＋CA＝20 cm，∴S阴影＝－＝112π(cm2)．故选B.
4．[2012·兰州]如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为( C )
A
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