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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数（解析版）
1.3 二次函数的性质
【知识重点】
二次函数图像与性质：
函数 二次函数（都是常数，）
图像
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大． 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．
最大/小值 抛物线有最低点， 当时，y有最小值， 抛物线有最高点， 当时，y有最大值，
【经典例题】
【例1】求函数的最值，并说明是最大值还是最小值．
【答案】解：在本函数中
抛物线开口向下，有最大值，
将 进行配方，
得 ，
当 时，
，为最大值．
【例2】已知二次函数，当-1≤x≤1时，求函数y的最小值和最大值．
当时，则. 当时，则 所以函数的最小值为2，最大值为4
彤彤的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答.
【答案】解：不正确
∵y=2x2-x+1=2（x-）2+
∵a=2＞0
∴抛物线的开口向下，
∴当x=时y最小值=
当
∵-1≤x≤1，
∴函数的最小值为，最大值为4
【例3】二次函数.当，函数值y的最大值为 ，最小值为 .
【答案】-2；-6
【解析】由函数解析式可得，对称轴为直线；顶点坐标为
根据题意画出图象如下：
故可得，当时函数有最大值，
当时，；当时，；
所以，当时，函数最小值为，
故答案为：-2，-6.
【例4】在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点.
（1）求的值.
（2）若二次函数的顶点为，求的最大值.
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴
（2）解：∵二次函数的顶点为，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为-3
【例5】已知函数（b，c为常数）的图像经过点，.
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值.
【答案】（1）解：把，代入可得∶
，解得：
（2）解：由（1）得：该函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵
∴抛物线开口向上，
又∵，
∴当时，y有最小值为；时，y有最小值为3
∴y的最大值与最小值之差为
（3）解：∵
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
①当时，即
∴当时，y有最小值为，y有最大值为
∵
∴；
①当时，即
∴当时，y有最小值为
当时，y有最大值为
∴，解得
∵与矛盾
∴不符合题意.
综上，.
【基础训练】
1．关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】关于x的二次函数的对称轴为直线，
∵，且在y轴右侧y随x的增大而减小，
∴，
解得：，故B正确.
故答案为：B.
2．已知，，是抛物线上的三点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴.
故答案为：A.
3．二次函数，当时，的（ ）
A．最小值是1 B．最小值是0 C．最小值是-1 D．最小值是-2
【答案】D
【解析】
对称轴是：，开口往下；
离对称轴越远，取值越小，
当时，取值最小值
故答案为：D.
4．下列对抛物线性质的描写中，正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．函数y有最小值
【答案】B
【解析】抛物线中，
抛物线开口向下，有最大值，故A、D错误；
抛物线的解析式为∶，
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，故B正确，C错误.
故答案为：∶B.
5．抛物线y＝x2+2x﹣1的对称轴是 ．
【答案】x＝-1
【解析】∵抛物线y＝x2+2x-1，
∴对称轴为x＝＝＝-1.
故答案为：x＝-1．
6．二次函数的对称轴是直线x= ，最值为 .
【答案】1；2
【解析】，
∴对称轴是直线，最值为2，
故答案为：1，2.
7．二次函数y=﹣x2+2x+7的最大值为 ．
【答案】8
【解析】原式=﹣x2+2x+7
=﹣（x﹣1）2+8，
因为抛物线开口向下，
所以当x=1时，y有最大值8．
故答案为8．
8．指出抛物线的开口方向：写出抛物线的顶点坐标、对称轴方程；当x满足什么条件时，y随x的增大而增大大？当x满足什么条件时，y取最小值多少？当x满足什么条件时，？当x满足什么条件时，？
【答案】解：∵抛物线解析式为，，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而大；
当，y取最小值；
令，则，解得或，
∵抛物线开口向上，
∴当时，；
当或时，．
9．已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值.小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝2时，则y＝4；
所以函数y的最小值为1，最大值为4
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程.
【答案】解：小王的做法是错误的，
正确的做法如下：
∵二次函数y=x2，
∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，
∵-1≤x≤2，
∴当x=0时取得最小值，最小值是0，
当x=2时取得最大值，此时y=4，
由上可得，当-1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4.
10．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且该抛物线的顶点在直线上．
（1）填空： ， ；
（2）将抛物线沿直线平移，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【答案】（1）-1；1
（2）解：由（1）知抛物线解析式为，
可设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为，
∵顶点仍在直线上，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交点的纵坐标为q，
∴，
∵，
∴时平移后的抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为．
【解析】（1）∵抛物线y=a(x-1)2+2经过点B（0，1），
∴1=a+2，
∴a=-1，
∴y=-(x-1)2+2，
∴抛物线的顶点坐标为A（1，2）.
∵抛物线的顶点A在直线y=x+m上，
∴2=1+m，
∴m=1.
故答案为：-1，1.
【培优训练】
11．已知二次函数（其中x是自变量），当时，y随x的增大而增大，且当时，y的最大值为10，则a的值为（ ）
A．1 B．或 C．2.5 D．1或
【答案】A
【解析】∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a>0.
∵y=ax2+2ax+2a2+5的对称轴为直线x=-1，
∴当-2≤x≤-1时，y随x的增大而减小；当-1≤x≤1时，y随x的增大而增大.
∵当x=-2时，y=2a2+5；当x=1时，y=a+2a+2a2+5=2a2+3a+5.
∵a>0，
∴函数在x=1处取得最大值10，
∴2a2+3a+5=10，
∴2a2+3a-5=0，
∴(2a-2)(a+)=0，
∴a=1或a=-（舍去）.
故答案为：A.
12．在平面直角坐标系中，抛物线上的两点，，若对于，都有，则m的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【解析】抛物线的对称轴为直线，
∵点P和点Q是抛物线上的两个点， 对于，都有，
∴点P和点Q不是关于对称轴直线对称，
∴x1+x2≠1，
∴x1+x2＞1或x1+x2＜1，
∴m+1+m+3≤1或m+m+2≥1，
解之：或.
故答案为：C
13．若抛物线M：与抛物线：关于直线对称，则m，n的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】∵抛物线M：y=x2+(3m-1）x-5
∴抛物线M的对称轴为直线，与y轴交于点（0，-5)，
抛物线M′：y=x2-6x-n+1的对称轴为直线x=3，
∵c：y=x2+(3m-1）x-5与抛物线M′：y=x2-6x-n+1关于直线x=1对称，
∴
解之：m=1
∴点（0，-5）关于直线x=1对称的点(2，-5）在抛物线M′：y=x2-6x-n+1上，
∴-5=4-12-n+1，
解之：n=-2.
故答案为：D
14．已知实数，满足，则代数式的最小值是 ．
【答案】5
【解析】∵a-b2=4，
∴b2=a-4，
∴a2-3b2+a-15=a2-3(a-4)+a-15=a2-2a-3=(a-1)2-4.
∵b2=a-4≥0，
∴a≥4，
∴当a=4时，a2-3b2+a-15取得最小值，最小值为(4-1)2-4=9-4=5.
故答案为：5.
15．已知二次函数当时，的取值范围是，该二次函数的对称轴为，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵二次函数y=x2+bx+c的对称轴为直线x=，当-1≤x≤1时，-1≤y≤1.
∴当抛物线过点（1，1）时，有1+b+c=1，则c=-b，
此时-1≤<0，
∴0∴y=x2+bx-b=(x+)2-b-，此时函数的最小值必为-1，
∴-b-=-1，
解得b=-2+或-2-（舍去），
∴m==1-.
当抛物线过点（-1，1）时，有1-b+c=1，则b=c，
此时0<≤1，
∴-2≤b<0，
∴y=x2+bx+b=(x+)2+b-，此时函数的最小值必为-1，
∴b-=-1，
解得b=2-或2+（舍去），
∴m==-1，
∴1-≤m≤-1.
故答案为：1-≤m≤-1.
16．已知函数（m为常数）的图形经过点．
（1）m= ．
（2）当时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值 ．
【答案】（1）4
（2）或
【解析】（1）将点代入，可得5=（-5）2+（-5）m，解得m=4；
（2）由（1）可得m=4，函数解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线x=-2，二次函数的最小值为-4，
∴点（-5，5）的对称点是（1，5），
①当-5≤n＜-2时，最大值为5，x=n时，取得最小值为，由题意可得：，解得n1=-3，n2=-1（舍）；
②当-2≤n≤1时，最大值为5，x=-2时，取得最小值为-4，由题意可得5+（-4）=-1≠2，不符合题意；
③当n＞1时，x=-2时，取得最小值为-4，x=n时，取得最大值为，由题意可得：，解得n1=，n2=（舍），
故答案为：（1）4；（2） 或 .
17．在平面直角坐标系中，若点，在二次函数的图像上，且总满足，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】把点，分别代入二次函数得，，，
，
即，
∵总满足，
∴总有，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：
18．设二次函数有最大值-2，求实数的值.
【答案】解：由题意得：二次函数图象开口向下，对称轴为，
①若，即，
可得当时，y取最大值，此时，
解得：，符合题意；
②若，即，
可得当时，y取最大值，此时，
解得：或（不符合题意，舍去）；
③若，即，
可得当时，y取最大值，此时，
解得：（不符合题意，舍去），
综上，的值为-1或.
19．已知实数a，b满足a﹣b＝1，a2﹣ab+1＞0，当2≤x≤3时，二次函数y＝a（x﹣1）2+1（a≠0）的最大值是3，求a的值．
【答案】解：∵a﹣b＝1，a2﹣ab+1＞0，
∴a（a﹣b）+1＝a+1＞0，即a＞﹣1．
①当﹣1＜a＜0时，二次函数y＝a（x﹣1）2+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1，最大值是1，不合题意；
②当a＞0时，当2≤x≤3时，二次函数y＝a（x﹣1）2+1（a≠0）的最大值是3，
∵2≤x≤3在对称轴直线x＝1的右侧
∴y随x增大而增大，即当x＝3时，y 最大，此时y＝3
把x＝3，y＝3代入二次函数y＝a（x﹣1）2+1，
解得a＝ ；
综上所述，a的值是 ．
20．已知抛物线（b是常数）经过点.
（1）求该抛物线解析式；
（2）直接写出当时，y的取值范围.
（3）若为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为，当点落在该抛物线上时，求m的值.
【答案】（1）解：把代入到抛物线解析式中得：，
∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：当时，
（3）解：关于原点的对称点为，
∴，
∵，都在抛物线上，
∴，
∴
【解析】（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，当时，函数有最小值，
∵，
∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，
当时，，当时，，
∴当时，；
21．如图，抛物线经过点A，B，C，点A的坐标为．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当时，求y的最大值与最小值的差；
（3）若点P的坐标为，连接，并将线段向上平移个单位得到线段，若线段与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）解：将A点代入，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴顶点为；
（2）解：当时，，
∴当时，y的最大值为，最小值为0，
∴y的最大值与最小值的差为；
（3）解：或时，线段与抛物线只有一个交点．
【解析】(3)∵线段向上平移个单位得到线段，
∴，，
当在抛物线上时，，
解得：，
∴时，线段与抛物线只有一个交点；
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴，解得，
当时，，
解得：，
此时直线与抛物线交点的横坐标为，正好在线段上，
∴当时，线段与抛物线也只有一个交点；
综上所述：或时，线段与抛物线只有一个交点．
22．已知二次函数为常数，．
（1）若点，在该二次函数的图象上．①求的值：②当时，该二次函数值取得的最大值为，求的值；
（2）若点，是该函数图象上一点，当时，，求的取值范围．
【答案】（1）解：①∵点在二次函数的图像上，
∴，整理得，
解得或，
∵，
∴；
②由①得，
∴抛物线的对称轴为，顶点，
当时，，
解得或，
∵当时，的最大值为18，
∴；
（2）解：∵二次函数，
∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵，
∴对称轴，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴当时，，即，
∵，
∴．
【直击中考】
23．已知二次函数 ，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大.
故答案为：B.
24．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【答案】D
【解析】y＝a（x 1）2 a
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1， a），
当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a，
∵y的最小值为 4，
∴ a＝ 4，
∴a＝4；
当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a a＝ 4，
解得a＝ ；
综上所述：a的值为4或 .
故答案为：D.
25．若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】∵二次函数的图象经过P（1，3），
∴，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过Q（m，n），
∴即，
∴
，
∵，
∴的最小值为1，
故答案为：A．
26．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
【答案】1≤n＜10
【解析】点P到y轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为1≤n＜10.
故答案为：1≤n＜10.
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数
1.3 二次函数的性质
【知识重点】
二次函数图像与性质：
函数 二次函数（都是常数，）
图像
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大． 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．
最大/小值 抛物线有最低点， 当时，y有最小值， 抛物线有最高点， 当时，y有最大值，
【经典例题】
【例1】求函数的最值，并说明是最大值还是最小值．
【例2】已知二次函数，当-1≤x≤1时，求函数y的最小值和最大值．
当时，则. 当时，则 所以函数的最小值为2，最大值为4
彤彤的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答.
【例3】二次函数.当，函数值y的最大值为 ，最小值为 .
【例4】在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点.
（1）求的值.
（2）若二次函数的顶点为，求的最大值.
【例5】已知函数（b，c为常数）的图像经过点，.
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值.
【基础训练】
1．关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，是抛物线上的三点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数，当时，的（ ）
A．最小值是1 B．最小值是0 C．最小值是-1 D．最小值是-2
4．下列对抛物线性质的描写中，正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．函数y有最小值
5．抛物线y＝x2+2x﹣1的对称轴是 ．
6．二次函数的对称轴是直线x= ，最值为 .
7．二次函数y=﹣x2+2x+7的最大值为 ．
8．指出抛物线的开口方向：写出抛物线的顶点坐标、对称轴方程；当x满足什么条件时，y随x的增大而增大大？当x满足什么条件时，y取最小值多少？当x满足什么条件时，？当x满足什么条件时，？
9．已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值.小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝2时，则y＝4；
所以函数y的最小值为1，最大值为4
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程.
10．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且该抛物线的顶点在直线上．
（1）填空： ， ；
（2）将抛物线沿直线平移，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【培优训练】
11．已知二次函数（其中x是自变量），当时，y随x的增大而增大，且当时，y的最大值为10，则a的值为（ ）
A．1 B．或 C．2.5 D．1或
12．在平面直角坐标系中，抛物线上的两点，，若对于，都有，则m的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
13．若抛物线M：与抛物线：关于直线对称，则m，n的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
14．已知实数，满足，则代数式的最小值是 ．
15．已知二次函数当时，的取值范围是，该二次函数的对称轴为，则的取值范围是 ．
16．已知函数（m为常数）的图形经过点．
（1）m= ．
（2）当时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值 ．
17．在平面直角坐标系中，若点，在二次函数的图像上，且总满足，则m的取值范围是 ．
18．设二次函数有最大值-2，求实数的值.
19．已知实数a，b满足a﹣b＝1，a2﹣ab+1＞0，当2≤x≤3时，二次函数y＝a（x﹣1）2+1（a≠0）的最大值是3，求a的值．
20．已知抛物线（b是常数）经过点.
（1）求该抛物线解析式；
（2）直接写出当时，y的取值范围.
（3）若为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为，当点落在该抛物线上时，求m的值.
21．如图，抛物线经过点A，B，C，点A的坐标为．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当时，求y的最大值与最小值的差；
（3）若点P的坐标为，连接，并将线段向上平移个单位得到线段，若线段与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
22．已知二次函数为常数，．
（1）若点，在该二次函数的图象上．①求的值：②当时，该二次函数值取得的最大值为，求的值；
（2）若点，是该函数图象上一点，当时，，求的取值范围．
【直击中考】
23．已知二次函数 ，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
25．若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
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