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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数
1.4二次函数的应用（3）
【知识重点】
1．二次函数与一元二次方程
(1)函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况．
①当二次函数的图像与轴有两个交点，，则方程有两个不相等实根；
②当二次函数的图像与轴有且只有一个交点，，则方程有两个相等实根；
③当二次函数的图像与轴没有交点，，则方程没有实根．
2．二次函数与不等式
函数，当即时，代表函数在x轴上方的图像，图像所对应的x的取值范围即为所求，当即时，代表函数在x轴下方的图像，图像所对应的x的取值范围即为所求．
(1)与常数函数：，，即在直线上方所对应的x的取值范围．
(2)与一次函数比较：，，若，则先求出两个函数的交点，比较函数图像的位置，从而求出对应的取值范围．
(3)与二次函数比较：，，若，则先求出两个二次函数的交点，比较函数图像的位置，从而求出对应的取值范围．
3．顶点式：
(1)顶点式是一般式通过配方得来的：得到
(2)对称轴：直线，顶点坐标：
4．交点式：
(1)交点式可以通过一般式因式分解得到，题目中明确了二次函数与x轴交点，用交点式求解析式最合适．
(2)对称轴：直线，顶点坐标：
【经典例题】
【例1】抛物线与直线y＝kx+3的交点为（2，b），求k和b．
【例2】已知二次函数与轴只有1个交点，且经过点，求二次函数的表达式．
【例3】已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．
【例4】如图，抛物线（a，b，c为常数，且）交x轴于，两点，则不等式的解集为 .
【例5】如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 .
【例6】若方程ax2+bx+c=0的解是x1=-2，x2=5，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=
【例7】当时，直线（m为常数）与抛物线在自变量x取值范围内的图象有一个交点，则m的取值范围是 ．
【基础训练】
1．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的图象与轴有两个交点，则满足的条件是（ ）
A． B． C．且 D．
3．已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向下 B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与轴交于点 D．抛物线与轴没有交点
4．一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为( )
A．-4
3或x<-4
5．已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为，若，则a的取值范围是 ．
6．二次函数y＝ax2﹣2ax﹣m的部分图象如图所示，则方程ax2﹣2ax﹣m＝0的根 ．
7．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集是 .
8．抛物线与y轴的交点坐标是 ．
9．已知二次函数的图象和x轴有交点，则m的取值范围是 .
10．写出一个二次函数，满足图象开口向下，顶点在y轴上，且与x轴有两个交点： .
11．已知二次函数y=x2﹣x﹣6.求二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积.
12．已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求m的值；
（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．
13．已知在平面直角坐标系中，二次函数y=(1-m)x2+2x-7(m为常数，且m≠1)与x轴有唯一的交点，一次函数y=kx+7(k为常数，k≠0)的图象经过该二次函数图象的顶点，求m，k的值．
14．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且该抛物线的顶点在直线上．
（1）填空： ， ；
（2）将抛物线沿直线平移，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【培优训练】
15．二次函数的顶点坐标为，其部分图像如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．
B．
C．关于x的方程没有实数根
D．关于x的方程的负实数根取值范围为：
16．在平面直角坐标系中，抛物线上的两点，，若对于，都有，则m的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
17．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表
x -1 0 1 3
y -1 3 5 3
下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小.③3是方程的一个根；④当时，.其中正确的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．②③
18．二次函数与轴的两个交点横坐标，满足．当时，该函数有最大值，则的值为（ ）
A．-4 B．-2 C．1 D．2
19．如图，直线与抛物线交于两点，则关于x的不等式的解集是 .
20．已知抛物线（m是常数，且）经过点．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ；
（2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，且，则的最大值为 ．
21．抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为 （精确到0.1）.
22．已知抛物线y=-x2+bx+c（b、c为常数）．
（1）当c=-4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，则b= ；
（2）当c=2b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为18，则b的值 ．
23．如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点E是线段的中点，连接并延长与抛物线交于点D，求点D的坐标．
24．已知二次函数是常数，且的图象过点．
（1）试判断点是否也在该函数的图象上，并说明理由．
（2）若该二次函数的图象与轴只有一个交点，求该函数的表达式．
（3）已知二次函数的图象过和两点，且当时，始终都有，求的取值范围．
25．在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)．
（1）当a=-1时，
①若该函数图象的对称轴为直线x= =2，且过点(1， 4)，求该函数的表达式．
②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：b+4c≤
（2）已知该函数的图象经过点(m，m)，(n，n) (m≠n)．若b<0，m+n=3，求a的取值范围．
26．已知抛物线.
（1）若抛物线与y轴的交点为，求抛物线的函数表达式和顶点坐标.
（2）已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点.若点，在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值.
27．二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点.
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）已知点，若该函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.
28．已知二次函数y=mx2-4mx-4（m≠0且m为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若m＜-2，判断二次函数图象的顶点位于哪个象限，并说明理由；
（3）若方程mx2-4mx-4=0（m≠0）有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求m的取值范围．
【直击中考】
29．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线.则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则.正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．二次函数 的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．当 时，
C． D．
31．如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
32．已知直线 过一、二、三象限，则直线 与抛物线 的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
33．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
34．在平面直角坐标系 中，若抛物线 与x轴只有一个交点，则 .
35．已知二次函数 .
（1）若 ，且函数图象经过 ， 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与 轴交点及顶点的坐标；
（2）在图①中画出⑴中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 时自变量 的取值范围；
（3）若 且 ，一元二次方程 两根之差等于 ，函数 图象经过 两点，试比较 的大小 .
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数（解析版）
1.4二次函数的应用（3）
【知识重点】
1．二次函数与一元二次方程
(1)函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况．
①当二次函数的图像与轴有两个交点，，则方程有两个不相等实根；
②当二次函数的图像与轴有且只有一个交点，，则方程有两个相等实根；
③当二次函数的图像与轴没有交点，，则方程没有实根．
2．二次函数与不等式
函数，当即时，代表函数在x轴上方的图像，图像所对应的x的取值范围即为所求，当即时，代表函数在x轴下方的图像，图像所对应的x的取值范围即为所求．
(1)与常数函数：，，即在直线上方所对应的x的取值范围．
(2)与一次函数比较：，，若，则先求出两个函数的交点，比较函数图像的位置，从而求出对应的取值范围．
(3)与二次函数比较：，，若，则先求出两个二次函数的交点，比较函数图像的位置，从而求出对应的取值范围．
3．顶点式：
(1)顶点式是一般式通过配方得来的：得到
(2)对称轴：直线，顶点坐标：
4．交点式：
(1)交点式可以通过一般式因式分解得到，题目中明确了二次函数与x轴交点，用交点式求解析式最合适．
(2)对称轴：直线，顶点坐标：
【经典例题】
【例1】抛物线与直线y＝kx+3的交点为（2，b），求k和b．
【答案】解：根据题意，把（2，b）代入中，得b＝3×4＝12；
再把交点（2，12）代入y＝kx+3中，得12＝2k+3，
解得k＝4.5．
【例2】已知二次函数与轴只有1个交点，且经过点，求二次函数的表达式．
【答案】解：二次函数与轴只有1个交点，则，
即，
解得，
∴，
把代入得
∴，
∴．
【例3】已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．
【答案】解：∵抛物线与x轴有交点，
∴方程有两个实数根．
解得.
【例4】如图，抛物线（a，b，c为常数，且）交x轴于，两点，则不等式的解集为 .
【答案】x＜-1或x＞2
【解析】由题意可知：和是方程的两根，
由图象可知：的解集为x＜-1或x＞2，且二次函数的开口向下，
∴的解集为x＜-1或x＞2.
故答案为：x＜-1或x＞2.
【例5】如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】变形得，，即抛物线的图像在直线的图像的下方，
∵抛物线与直线交于两点，，
∴当时，，
故答案为：.
【例6】若方程ax2+bx+c=0的解是x1=-2，x2=5，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=
【答案】
【解析】∵ 方程ax2+bx+c=0的解x1=-2，x2=5是抛物线y=ax2+bx+c与x轴两个交点的横坐标，
∴ 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴直线是，即.
故答案为：.
【例7】当时，直线（m为常数）与抛物线在自变量x取值范围内的图象有一个交点，则m的取值范围是 ．
【答案】-2＜m≤1或m=-3
【解析】∵抛物线y=（x-2）2-3，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）
当x=0时y=1，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），
当y=0时（x-2）2-3=0，
解之：，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，
当x=1时y=-2，当x=4时y=1，
二次函数图象如下
由图象可知直线y=m与抛物线y=（x-2）2-3在1≤x≤4内图象有一个交点，
∴m的取值范围为-2＜m≤1或者m=-3.
故答案为-2＜m≤1或m=-3
【基础训练】
1．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由解析式，令，解得，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是
故答案为：B.
2．二次函数的图象与轴有两个交点，则满足的条件是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【解析】对于二次函数可知，
二次函数的图象与轴有两个交点，
，
且，
故答案为：C.
3．已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向下 B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与轴交于点 D．抛物线与轴没有交点
【答案】C
【解析】A、由知抛物线开口向上，故此选项说法错误，不符合题意；
B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法错误，不符合题意；
C、当时，，故抛物线与轴交于点，此选项说法正确，符合题意；
D、由知抛物线与轴有两个不同交点，故此选项说法错误，不符合题意.
故答案为：C.
4．一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为( )
A．-43或x<-4
【答案】A
【解析】由一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知：
不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为： -4故答案为：A.
5．已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为，若，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵二次函数y=ax2+ bx+c，当x=2时，该函数取最大值12，
∴a<0，该函数解析式可以写成y=a (x-2)2+12，
∵设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1>4，
∴当x=4时，y>0，
即a (4-2)2+12>0，解得，a>-3，
∴a的取值范围是-3故答案为：-36．二次函数y＝ax2﹣2ax﹣m的部分图象如图所示，则方程ax2﹣2ax﹣m＝0的根 ．
【答案】x1＝3，x2＝－1
【解析】 二次函数y＝ax2﹣2ax﹣m的对称轴直线为x=，
∵该函数与x轴一个交点的坐标为（3，0），
∴根据抛物线的对称性可得其与x轴另一个交点坐标为（-1，0），
∴方程ax2﹣2ax﹣m＝0的两个根为 x1＝3，x2＝－1.
故答案为：x1＝3，x2＝－1.
7．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集是 .
【答案】-1＜x＜2
【解析】∵不等式ax2﹣kx＋c＜b可变形为，
∴图象上抛物线在直线下方时对应x的范围即为不等式的解集，
观察函数图象可知：当时，抛物线在直线的下方，
∴不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集为-1＜x＜2，
故答案为：-1＜x＜2.
8．抛物线与y轴的交点坐标是 ．
【答案】(0，3)
【解析】令，
得，
抛物线与y轴的交点坐标是，
故答案为：．
9．已知二次函数的图象和x轴有交点，则m的取值范围是 .
【答案】且
【解析】二次函数的图象和x轴有交点，
；
，又因为二次项系数；
且.
故答案为：且.
10．写出一个二次函数，满足图象开口向下，顶点在y轴上，且与x轴有两个交点： .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】设所求二次函数的解析式为 .
∵图象的开口向下，
∴ ，可取 ；
∵顶点在y轴上，
∴ ，得 ；
∵与x轴有两个交点，
∴ ，可取 ；
∴函数解析式可以为： （答案不唯一）.
故答案为： （答案不唯一）.
11．已知二次函数y=x2﹣x﹣6.求二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积.
【答案】解：二次函数y=x2﹣x﹣6，
当时，，
解得：，，
当时，，
∴二次函数的图象与轴的交点为，
与轴的交点为，
∴二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积为.
12．已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求m的值；
（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．
【答案】（1）将A点坐标（﹣4，0）代入y=x2+3x+m得：16﹣12+m=0，解得：m=﹣4；
（2）当x=0时，则：y=﹣4，∴函数图象与y轴的交点为（0，﹣4）．
令y=0，则x2+3x﹣4=0，解得：x1=1，x2=﹣4，∴函数图象与x轴的另一个交点为（1，0）．
13．已知在平面直角坐标系中，二次函数y=(1-m)x2+2x-7(m为常数，且m≠1)与x轴有唯一的交点，一次函数y=kx+7(k为常数，k≠0)的图象经过该二次函数图象的顶点，求m，k的值．
【答案】解：令(1-m)x2 +2x-7=0，由于二次函数y=(1-m)x2 +2x-7与x轴有唯一的交点，则上述方程有两个相等的实数根，
∴△=22 -4×(1-m)×(-7)=32-28m=0，
解得m=
∴y= x2+2x-7= (x-7)2，
∴抛物线的顶点坐标为(7，0)．
将(7，0)代人y=kx+7，得0=7k+7 ，
解得k=-1.
14．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且该抛物线的顶点在直线上．
（1）填空： ， ；
（2）将抛物线沿直线平移，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【答案】（1）-1；1
（2）解：由（1）知抛物线解析式为，
可设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为，
∵顶点仍在直线上，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交点的纵坐标为q，
∴，
∵，
∴时平移后的抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为．
【解析】（1）∵抛物线y=a(x-1)2+2经过点B（0，1），
∴1=a+2，
∴a=-1，
∴y=-(x-1)2+2，
∴抛物线的顶点坐标为A（1，2）.
∵抛物线的顶点A在直线y=x+m上，
∴2=1+m，
∴m=1.
故答案为：-1，1.
【培优训练】
15．二次函数的顶点坐标为，其部分图像如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．
B．
C．关于x的方程没有实数根
D．关于x的方程的负实数根取值范围为：
【答案】C
【解析】A、∵函数图象开口向上，
∴，
∵函数对称轴在y轴的右侧，
∴，
∵函数图象与y轴相交于负半轴，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
B、由图可知，该函数与x轴有两个交点，
∴，故B正确，不符合题意；
C、∵该函数开口向上，顶点坐标为，
∴当时，函数有最小值，最小值为n，
∴抛物线与直线有交点，
∴方程有实数根，故C不正确，符合题意；
D、∵该函数顶点坐标为，
∴该函数对称轴为直线，
由图可知，图象与x轴正半轴的交点横坐标，
∴图象与x轴另一个交点横坐标，
∴方程的负实数根取值范围为：，故D正确，不符合题意；
故答案为：C.
16．在平面直角坐标系中，抛物线上的两点，，若对于，都有，则m的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【解析】抛物线的对称轴为直线，
∵点P和点Q是抛物线上的两个点， 对于，都有，
∴点P和点Q不是关于对称轴直线对称，
∴x1+x2≠1，
∴x1+x2＞1或x1+x2＜1，
∴m+1+m+3≤1或m+m+2≥1，
解之：或.
故答案为：C
17．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表
x -1 0 1 3
y -1 3 5 3
下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小.③3是方程的一个根；④当时，.其中正确的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．②③
【答案】C
【解析】由表格可得图象过点（0，3），
∴c=3.
根据表格中的数据可得：抛物线开口向下，
∴a<0，
∴ac<0，故①正确；
∵图象过点（0，3）、（3，3），
∴对称轴为直线x=.
∵开口向下，
∴当x≥时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
∵图象过点（3，3），
∴9a+3b+c=3.
∵c=3，
∴9a+3b=0，
∴3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，故③正确；
当x=-1时，ax2+bx+c=-1，
∴当x=-1时，ax2+(b-1)x+c=0.
∵x=3时，ax2+(b-1)x+c=0且函数有最大值，
∴当-10，故④正确.
故答案为：C.
18．二次函数与轴的两个交点横坐标，满足．当时，该函数有最大值，则的值为（ ）
A．-4 B．-2 C．1 D．2
【答案】A
【解析】∵当时，该函数有最大值4，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，至少有一个负数，
当，都小于0时，
，不符合题意，
当，时，
，
∴，
∴，
解得：，
当，时，
，
∴，
∴，
解得：，
综上所述，的值为-4．
故答案为：A．
19．如图，直线与抛物线交于两点，则关于x的不等式的解集是 .
【答案】
【解析】由不等式h＜ax2+(b-k)x+c得kx+h＜ax2+bx+c，
从图象看，不等式kx+h＜ax2+bx+c的解集为-2＜x＜6.
故答案为：-2＜x＜6.
20．已知抛物线（m是常数，且）经过点．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ；
（2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，且，则的最大值为 ．
【答案】（1）（2，9）
（2）9
【解析】【解答】（1）将点代入抛物线，得，
解得，
∴，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：（2，9）；
（2）联立，整理得，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为9，
故答案为：9．
21．抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为 （精确到0.1）.
【答案】0.3或1.7
【解析】∵抛物线与x轴的两个交点分别是、，
又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根，
∴方程的两个近似根是0.3 或1.7.
故答案为：0.3或1.7.
22．已知抛物线y=-x2+bx+c（b、c为常数）．
（1）当c=-4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，则b= ；
（2）当c=2b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为18，则b的值 ．
【答案】（1）±4
（2）或3
【解析】（1）当时，抛物线为
抛物线与x轴有且只有一个交点，
解得：
（2）当时，抛物线为：
抛物线的对称轴为： 而b≤x≤b+3
当时，即时，
则当时取最大值，
解得： 其中不合题意舍去，
当时，即时，
则当时取最大值，
解得： 都不符合题意，舍去，
当时，即，
此时当 函数取最大值，
解得： 其中不合题意，舍去，
综上：或
故答案为：或
23．如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点E是线段的中点，连接并延长与抛物线交于点D，求点D的坐标．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交于点，
，解得，该抛物线的表达式为
（2）解：令，则，
解得，，
，
是的中点，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得或，
．
24．已知二次函数是常数，且的图象过点．
（1）试判断点是否也在该函数的图象上，并说明理由．
（2）若该二次函数的图象与轴只有一个交点，求该函数的表达式．
（3）已知二次函数的图象过和两点，且当时，始终都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：将点代入解析式，得，
，
将点代入，得，
点不在抛物线图象上
（2）解：二次函数的图象与轴只有一个交点，
，
或，
或
（3）解：抛物线对称轴，
当，时，；
当，时，舍去；
当满足所求；
25．在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)．
（1）当a=-1时，
①若该函数图象的对称轴为直线x= =2，且过点(1， 4)，求该函数的表达式．
②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：b+4c≤
（2）已知该函数的图象经过点(m，m)，(n，n) (m≠n)．若b<0，m+n=3，求a的取值范围．
【答案】（1）解：①由题意，得，
解得，
所以该函数的表达式为
②由题意，得，
所以.
所以
因为，
所以
（2）解：由题意，得m＝am2＋bm＋c，①
n＝an2＋bn＋c，②
①－②，得m－n＝a(m＋n)(m－n)＋b(m－n)，
所以(m－n)[a(m＋n)＋b－1]＝0，
因为m≠n，m＋n＝3，
所以3a＋b－1＝0，
所以b＝1－3a，
因为b＜0，
所以1－3a＜0，
所以
26．已知抛物线.
（1）若抛物线与y轴的交点为，求抛物线的函数表达式和顶点坐标.
（2）已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点.若点，在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值.
【答案】（1）解：抛物线与y轴的交点为，
，
抛物线的函数表达式为，
，
顶点坐标为；
（2）解：抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，
，
抛物线与x轴有交点，
有实数解，
，
由图象法解一元二次不等式，得：或（舍），
c的取值范围为，
抛物线，
对称轴为，
点，在抛物线上，
，
，
，
m的最大值为1.
27．二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点.
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）已知点，若该函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.
【答案】（1）证明：∵二次函数 的图象经过点 .
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∵
∴ ，
解得： ，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）解：a的取值范围为 或 或
【解析】（2）解：由（1）抛物线与x轴的交点为 ， ，
当 时， ，
∴抛物线与y轴的交点为 ，
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
当 时， ，
当抛物线的顶点在线段BC上时，如图，
∵点 ，
∴ ，
解得： ；
当 时，如图，
此时有 ，解得： ；
当 时，如图，
此时有 ，解得： ；
综上所述，a的取值范围为 或 或 .
28．已知二次函数y=mx2-4mx-4（m≠0且m为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若m＜-2，判断二次函数图象的顶点位于哪个象限，并说明理由；
（3）若方程mx2-4mx-4=0（m≠0）有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵ 二次函数y=mx2-4mx-4（m≠0且m为常数）与y轴交于点A ，即当x=0时，得到y=-4；
∴A（0，-4）；
∵对称轴x=-=2，
∴B（2，0）；
（2）解：∵y=mx2-4mx-4=m(x-2)2-4m-4.
∴二次函数的顶点坐标是（2，-4m-4），
∵m<-2，
∴-4m＞8，
∴-4m-4>4，
∴二次函数图象的顶点位于第一象限；
（3）解：∵方程mx2-4mx-4=0（m≠0）有两个不相等的实数根， 且两根都在1，3之间（包括1，3） ，
∴ 二次函数y=mx2-4mx-4（m≠0且m为常数） 与x轴有两个交点，交点的横坐标都在1，3之间（包括1，3） ，
∴抛物线开口向下，顶点在第一象限，
∴-4m-4＞0，解得m＜1，
当x=1时，y≤0，即m-4m-4≤0，
解得m≥ ，
综合上述：-≤m＜-1.
【直击中考】
29．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线.则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则.正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】由图象可知，图象开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确，
∵图象与y轴的交点为正半轴，
∴c＞0，则abc＜0，故①错误，
由图象可知当x=1时，函数取最大值，
将x=1，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为（﹣1，0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3，0），
设函数解析式为：，
将交点坐标代入得：，
故化简得：，
将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确，
变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确，
则②③④正确，
故答案为：C.
30．二次函数 的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．当 时，
C． D．
【答案】D
【解析】A、对称轴为：直线 ，故答案为：A正确，不符合题意；
B、由函数图象知，当-1∴当-1C、由图可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴a +c=b，故答案为：C正确，不符合题意；
D、由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0
∴a+b<-c，故答案为：D错误，不符合题意；
故答案为：D.
31．如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】 与 关于y轴对称
抛物线 的对称轴为y轴，
因此抛物线 的图像也关于y轴对称
设 与 交点为 ，则 ，
即在点 之间的函数图象满足题意
的解集为：
故答案为：D.
32．已知直线 过一、二、三象限，则直线 与抛物线 的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】C
【解析】∵直线 过一、二、三象限，
∴ .
由题意得： ，
即 ，
∵△ ，
∴此方程有两个不相等的实数解.
∴直线 与抛物线 的交点个数为2个.
故答案为：C.
33．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
【答案】
【解析】如图，
当y＝0时， x2＋4x＋5＝0，
x1＝ 1，x2＝5，
∴A（ 1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x＋1）（x 5），
即y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5），
当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，
∴1＋b＝0，
解之：b＝ 1；
当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2 4x 5＝ x＋b有相等的实数解，
∴x2-3x-5-b=0
∴9-4（-5-b）=0
解之：
∴当直线y＝ x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜ 1.
故答案为：＜b＜ 1.
34．在平面直角坐标系 中，若抛物线 与x轴只有一个交点，则 .
【答案】1
【解析】【解答】∵抛物线 与x轴只有一个交点，
∴方程 =0根的判别式△=0，即22-4k=0，
解得：k=1，
故答案为：1
35．已知二次函数 .
（1）若 ，且函数图象经过 ， 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与 轴交点及顶点的坐标；
（2）在图①中画出⑴中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 时自变量 的取值范围；
（3）若 且 ，一元二次方程 两根之差等于 ，函数 图象经过 两点，试比较 的大小 .
【答案】（1）解：∵ ，且函数图象经过 ， 两点
∴
解之：
∴二次函数解析式为y=-x2-2x+3.
当y=0时-x2-2x+3=0
解之：x1=-3，x2=1
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0）；
∵y=-（x+1）2-4
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）.
（2）解：图象如下
当y=3时-x2-2x+3=3
解之：x1=0，x2=-2
由图象可知当-2≤x≤0时y≥3.
（3）解：∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，-b=a+c，且一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为x=1，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0两根之差等于a-c，
∵，
∴方程的另一个根为x2=1+c-a，
∴抛物线的对称轴为直线
∴-b=2a+ac-a2，
∴a+c=2a+ac-a2，
∴a+ac-c-a2=0
∴（a-1）（a-c）=0
∴a=1或a=c
∴b=-1-c；
∴y=x2-（1+c）x+c；
∵ 函数 图象经过 两点
∴
∴
∴y1＜y2.
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