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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数（解析版）
1.2 二次函数的图像（1）
【知识重点】
1．二次函数y= ax2 的图象是一条 抛物线 ，其对称轴为 y 轴，顶点坐标为 原点 。
2．抛物线y= ax2 与y= - ax2 关于 x 轴对称。抛物线y= ax2 ，当a>0时，开口向 上 ，顶点是它的最 低 点；当a<0时，开口向 下 ，顶点是它的最 高 点。 随着的增大，开口越来越 小 。
【经典例题】
【例1】对于下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点为 D．随增大而减小
【答案】D
【解析】中，开口向下，A正确，不符合题意；
对称轴为直线，B正确，不符合题意；
顶点为，C正确，不符合题意；
当时随着的增大而增大，D错误，符合题意，
故答案为：D.
【例2】下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．它的图象的对称轴是直线x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0
【答案】B
【解析】【解答】A将代入求得，故不符合题意；
B根据函数的性质，当时，y随x的增大而减小，故符合题意；
C图像的对称轴是直线，故不符合题意；
D当时，取最小值0，故不符合题意；
故答案为：B．
【例3】同一坐标系中作的图像，它们的共同特点是（ ）
A．关于y轴对称，抛物线开口向上
B．关于y轴对称，抛物线开口向下
C．关于y轴对称，抛物线的顶点在原点
D．关于x轴对称，抛物线的顶点在原点
【答案】C
【解析】因为都符合形式，
形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，
所以它们的共同特点是：关于y轴对称，抛物线的顶点在原点．
故答案为：C．
【例4】在同一个平面直角坐标系中，二次函数，，的图象如图2所示，则，，的大小关系为 ．
【答案】a3＞a2＞a1
【解析】由函数图象可知：a3＞a2＞a1.
故答案为：a3＞a2＞a1.
【例5】如图抛物线y=ax2与反比例函数交于点C（1，2），不等式的解集是 ．
【答案】x＞1或x＜0
【解析】从图象得出当或时，二次函数y=ax2的图象在双曲线的上方，
∴不等式的解集为x＞1或x＜0．
故答案为：x＞1或x＜0
【基础训练】
1．若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（2，﹣1） B．（2，1）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）
【答案】A
【解析】∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，
∴点（﹣2，﹣1）关于对称轴的对称点为（2，﹣1），
∴点（2，﹣1）必在该图象上，
故答案为：A.
2．已知抛物线的开口向下，则a的值可能为（ ）
A．-2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】抛物线y=ax2（a≠0）的开口向下，
∴a＜0，
故只有A选项符合题意.
故答案为：A.
3．在同一平面直角坐标系中作出，，的图象，它们的共同点是（ ）
A．关于y轴对称，抛物线的开口向上
B．关于y轴对称，抛物线的开口向下
C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
D．当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】∵函数，，中，a取值范围分别为：，，，
∴抛物线的开口方向分别为：向下、向下、向上，即开口方向不同；
由函数，，的解析式可知：顶点坐标都为；
∴他们共同的特点是都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．
故答案为：C．
4．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（－1，－2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当－12时，y有最大值为8，最小值为0
【答案】D
【解析】二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A不合题意；
二次函数y=2x2的图象的对称轴是y轴，故选项B不合题意；
该函数开口向上，对称轴是y轴，所以当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不合题意；
二次函数y=2x2，在-1≤x≤2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，y有最小值为0，故选项D符合题意.
故答案为：D.
5．已知抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，
∴抛物线开口向上，
∴，
故答案为：．
6．二次函数y＝2x2的图象开口方向是 .
【答案】向上
【解析】∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，
∴开口向上，
故答案为：向上.
7．抛物线的图象的对称轴是 ．
【答案】y轴
【解析】∵二次函数的对称轴为直线，，，
∴，即二次函数的对称轴为y轴．
故答案为：y轴
8．已知点，在抛物线上，如果，那么 ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜
【解析】∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：＜
9．在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=﹣3x2的图象，并比较两者的异同．
【答案】解：如图所示：两图象开口大小形状相同，但是开口方向不同．
10．已知 是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大.
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴.
【答案】（1）解：由y＝（k＋2） 是二次函数，且当x＞0时，
y随x的增大而增大，得
解得k＝2；
（2）解：y＝4x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.
11．已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3.
（1）求当x＝﹣2时，y的值.
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
【答案】（1）解：∵二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
∴当 时， ；
（2）解：∵二次函数的解析式为 ， ，
∴二次函数的开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴.
12．已知函数 是关于x的二次函数.
（1）求m的值.
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？
【答案】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数，
∴m2＋3m 2＝2，m＋3≠0，
解得：m1＝ 4，m2＝1；
（2）解：∵函数图象的开口向下，
∴m＋3＜0，
∴m＜ 3，
∴当m＝ 4时，该函数图象的开口向下；
（3）解：∵m＝ 4或1，
∵当m＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，
∴m＞ 3，
∵m＝ 4或1，
∴当m＝1时，函数为 ，该函数有最小值，最小值为0.
【培优训练】
13．如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，
∵直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，
∴，
故答案为：B.
14．二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由一次函数 可知，一次函数的图象与 轴交于点 ，排除 ；当 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除 ；
故答案为： ．
15．如图，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则（ ）
A．-2 B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，过点B作轴于D，
∵四边形是边长为1的正方形，
∴，，.
∵与轴正半轴的夹角为，
∴.
在中，，.
∵点B在第四象限，
∴点B的坐标为（，），
将点B的坐标代入中，得
解得：
故答案为：C．
16．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 ，与二次函数 ， 分别交于A、B和C、D，若 ，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】如图，设直线AB交y轴于点E，
∵直线 与二次函数 交于A、B，
∴当 时， ，得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴CD=4 ，
由二次函数的对称性可得CE=DE=2 ，
∴D（2 ，2），
将点D的坐标代入 ，得8a=2，
解得a= ，
故答案为：B．
17．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】设点B（x，y）
∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴AC=BO，+x=6，
解得（舍去），
∴B（2，4），
∴BO==，
∴AC=，
故答案为：C．
18．如图，点A（a，b）是抛物线y＝x2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac＝﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
OB⊥OA
即
即
故②符合题意
，，
故①符合题意
A（a，b），B（c，d）在抛物线y＝x2上
设直线的解析式为
将A（a，），B（c，）代入得
直线AB必过一定点故④符合题意
，不为定值
故③不符合题意．
故答案为：B
19．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．点C、D为线段AB的三等分点，分别过点C、D作x轴的垂线，交抛物线于点E、F，连接EF．若CE=16，则线段EF的长为 ．
【答案】
【解析】设， 与 轴的交点为H，
根据题意可得，
C的纵坐标为
则，解得
故答案为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】a＞2或
【解析】点M在抛物线上时，将代入得，
时，抛物线开口变小，符合题意，
点N在抛物线上时，将代入得，
解得，
时，抛物线开口变大，符合题意．
结合，可知a的取值范围是或
故答案为：a＞2或．
21．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．
（1）求这个函数的解析式；
（2）画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2经过点A（2，1），
∴4a=1，解得a=，
∴这个函数的解析式为y=x2；
（2）解：∵点A（2，1），关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同，
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（-2，1）
（3）解：如图：
∵点A（2，1），B（-2，1），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，S△OAB=×4×1=2，
假设存在点C，且点C到AB的距离为h，
则S△ABC= AB h=×4h，
∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半，
∴×4h=×2，解得h=，
①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为，
此时，解得，，
则此时C的坐标为（，）或（，），
②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为，
此时，解得，，
则此时C的坐标为（，）或（，），
综上，存在点C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面积等于△OAB面积的一半．
22．阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，.这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题.
已知：二次函数的函数图象上分别有A，B两点，其中，A，B分别在对称轴的异侧，C是中点，D是中点.利用阅读材料解决如下问题：
（1） 概念理解：
如图1，若，求出C，D的坐标.
（2） 解决问题：
如图2，点A是B关于y轴的对称点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.试判断F是否在x轴上，并说明理由.
（3） 拓展探究：
如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.
①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
②在①条件下，y轴上一点，抛物线上任意一点H，连接，，直接写出的最小值.
【答案】（1）解：∵，，C是中点，
∴，，
；
，，D是中点
，，
；
（2）解：F是在x轴上，理由如下：
，点A是B关于y轴的对称点，
，
是中点，D是中点，
，则；
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，，
，，
轴，且，
是在x轴上；
（3）解：①，，C是中点，
；
是中点，
；
轴交抛物线于点E，
，
把代入得，，
轴交抛物线于点E.延长至F，使得，
，，
，即，
，，
，
点在上，，
，
轴，，
即，，，
综上是一个定值；
②
【解析】（3）②∵是y轴上一点，H是抛物线上任意一点，，
∴当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度，
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最小，最小值为，
此时，最小为，
故的最小值为.
23．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0
（1）若抛物线经过点A（－1，2），求此抛物线的解析式
（2）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB＝90°.求证：CO＝ ；
（3）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C.求证：AC＝BC.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2经过点A（－1，2），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
（2）证明：设A（b，ab2），B（c，ac2），
∵∠AOB＝90°，
∴AB2＝AO2＋BO2，
∴（b c）2＋（ab2 ac2）2＝b2＋a2b4＋c2＋a2c4，
2bc 2a2b2c2＝0，
1＋a2bc＝0，
∴bc＝ ，
设直线AB的解析式为：y＝mx＋n，
则 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为：y＝a（b＋c）x abc，
当x＝0时，y＝OC＝ abc＝ a （ ）＝ ；
（3）证明：如图2，过A作AD⊥y轴于D，
设直线AB的解析式为：y＝kx＋b，
当y＝0时，kx＋b＝0，
∴x＝ ，
∴OC＝ ，
∵过点A的直线AB恰好与此抛物线仅有一个交点，
∴ax2＝kx＋b，
∴ax2 kx b＝0，
△＝k2＋4ab＝0，
∴b＝ ，OC＝ ，
∴x＝ ，
∵a＞0，k＞0，
∴AD＝ ，
∵AD∥OC，
∴ ，
∴ ，
∴AB＝2BC，
∴AC＝BC.
【直击中考】
24．二次函数 的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）.
【答案】向上
【解析】∵二次函数 ，a=1＞0，
∴二次函数 的图象开口方向向上，
故答案是：向上.
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数
1.2 二次函数的图像（1）
【知识重点】
1．二次函数y= ax2 的图象是一条 抛物线 ，其对称轴为 y 轴，顶点坐标为 原点 。
2．抛物线y= ax2 与y= - ax2 关于 x 轴对称。抛物线y= ax2 ，当a>0时，开口向 上 ，顶点是它的最 低 点；当a<0时，开口向 下 ，顶点是它的最 高 点。 随着的增大，开口越来越 小 。
【经典例题】
【例1】对于下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点为 D．随增大而减小
【例2】下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．它的图象的对称轴是直线x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0
【例3】同一坐标系中作的图像，它们的共同特点是（ ）
A．关于y轴对称，抛物线开口向上
B．关于y轴对称，抛物线开口向下
C．关于y轴对称，抛物线的顶点在原点
D．关于x轴对称，抛物线的顶点在原点
【例4】在同一个平面直角坐标系中，二次函数，，的图象如图2所示，则，，的大小关系为 ．
【例5】如图抛物线y=ax2与反比例函数交于点C（1，2），不等式的解集是 ．
【基础训练】
1．若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（2，﹣1） B．（2，1）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）
2．已知抛物线的开口向下，则a的值可能为（ ）
A．-2 B． C．1 D．
3．在同一平面直角坐标系中作出，，的图象，它们的共同点是（ ）
A．关于y轴对称，抛物线的开口向上
B．关于y轴对称，抛物线的开口向下
C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
D．当时，y随x的增大而减小
4．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（－1，－2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当－12时，y有最大值为8，最小值为0
5．已知抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是 ．
6．二次函数y＝2x2的图象开口方向是 .
7．抛物线的图象的对称轴是 ．
8．已知点，在抛物线上，如果，那么 ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
9．在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=﹣3x2的图象，并比较两者的异同．
10．已知 是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大.
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴.
11．已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3.
（1）求当x＝﹣2时，y的值.
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
12．已知函数 是关于x的二次函数.
（1）求m的值.
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？
【培优训练】
13．如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
14．二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
15．如图，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则（ ）
A．-2 B． C． D．
16．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 ，与二次函数 ， 分别交于A、B和C、D，若 ，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
17．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）
A．2 B． C． D．
18．如图，点A（a，b）是抛物线y＝x2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac＝﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
19．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．点C、D为线段AB的三等分点，分别过点C、D作x轴的垂线，交抛物线于点E、F，连接EF．若CE=16，则线段EF的长为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是 ．
21．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．
（1）求这个函数的解析式；
（2）画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，.这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题.
已知：二次函数的函数图象上分别有A，B两点，其中，A，B分别在对称轴的异侧，C是中点，D是中点.利用阅读材料解决如下问题：
（1） 概念理解：
如图1，若，求出C，D的坐标.
（2） 解决问题：
如图2，点A是B关于y轴的对称点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.试判断F是否在x轴上，并说明理由.
（3） 拓展探究：
如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.
①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
②在①条件下，y轴上一点，抛物线上任意一点H，连接，，直接写出的最小值.
23．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0
（1）若抛物线经过点A（－1，2），求此抛物线的解析式
（2）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB＝90°.求证：CO＝ ；
（3）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C.求证：AC＝BC.
【直击中考】
24．二次函数 的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）.
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