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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数
1.4二次函数的应用（2）
【知识重点】
1．求二次函数y =ax2+bx+c 最值的方法：
(1)用配方法将y =ax2+bx+c 化成y=a（x-h）2+k的形式，当自变量x= h 时，函数y有最大（小）值为 k ；
(2)用公式法，当x= 时，二次函数y有最大（小）值
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因变量，建立 二次函数 模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的 取值范围 。
3．建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：
(1)根据题意建立适当的 平面直角坐标系 ；
(2)把已知条件转化为 点的坐标 ；
(3)合理设出函数 解析式 ；
(4)利用 待定系数 法求出函数解析式；
(5)根据求出的函数解析式进一步分析、判断并进行有关的计算。
【经典例题】
【例1】一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线.求铅球的落地点离运动员有多远（结果保留根号）？
【例2】在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处．小华此次投掷的成绩是多少米？
【例3】如图水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．试求水柱落点距O点4m时的喷头高度．
【例4】如图抛物线形拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽6m，连续降雨后，水面上涨1m，水面宽度减少多少？
【例5】已知将成本为40元的某种商品按50元的定价售出时，能卖出500个，如果该种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，如何定价才能获得最大收益？
【基础训练】
1．某种商品的价格是 元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是 ，经过两次降价后的价格 （单位：元）随每次降价的百分率 的变化而变化，则 关于 的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
2．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（ ）
A．13米 B．14米 C．15米 D．16米
3．在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．14米 B．12米 C．11米 D．10米
4．从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的运动路径长为（ ）
A．15m B．20m C．25m D．30m
5．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 m.
7．如图，一位运动员投篮，球沿y=-0.2x2 +x+ 2.25抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m.
8．某商场经营一种文具，进价为20元/件，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.那么该文具定价为 元时每天的最大销售利润最大.
9．利民商店销售一种进价为50元/件的土特产商品，当售价为60元/件，每周可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖10件．求利民商店将售价上涨多少时每周可获得最大利润？最大利润是多少？
10．体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处点距离地面的高度为，当球运行的水平距离为时，达到最大高度的处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
11．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离．
12．把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2.
（1）经多少秒后足球回到地面？
（2）试问足球的高度能否达到25米？请说明理由.
【培优训练】
13．如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数.现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
14．洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是．（ ）
A． B． C． D．
15．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（ ）
A．16米 B．18米 C．20米 D．24米
16．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负贵处理)．销售中发现当每件产品的售价为99元时，日销售量为200件，当每件产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品的售价为x元，主播每天的利润为w元，则w与x之间的函数解析式为( )
A．w=(99-x)[200+10(x-50)] B．w=(x-50)[200+10(99-x)]
C．w=(x-50)(200+×10) D．w=(x-50)(200+×10)
17．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m. 请根据所给的数据，则支柱MN的长度为 （ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
18．某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足函数关系式，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“L”表示．那么在这次投球过程中，球入筺前L的取值范围是 ．
19．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型.拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，则支柱的长度为 m.
20．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 .
21．竖直向上抛出小球的高度h（米）与抛出的时间t（秒）满足关系式，从地面相隔1秒竖直向上分别抛出的两个小球，当两个小球在空中处于同一个高度时，这个高度离地面 米．
22．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，小武在直线上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）.
（1）当竖直摆放8个圆柱形桶时，网球 （填“能”或“不能”）落入桶内.
（2）当竖直摆放圆柱形桶至少 个时，网球能落入桶内.
23．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨x元（x 为正整数），每个月的销售利润为W 元．求每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
24．“五一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从五月一日开始，该超市对这款商品开展为期一个月的“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（5月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表：
第x天 5 10 15 20
日销售量y（件） 50 60 70 80
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？
（3）销售20天后，由于某种原因，该商品的进价从第21天开始每件下降4元，其他条件保持不变，求超市在这一个月中，该商品的日销售利润不低于3430元的共有多少天？
25．某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型．据此建立平面直角坐标系，如图．若喷出的水柱轨迹上某一点与支柱的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．下面的表中记录了y与x的五组数据：
0 2 6 10
3
根据上述信息，解决以下问题：
（1）求出与之间的函数关系；
（2）求水柱落地点与雕塑的水平距离；
（3）为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状不变的前提下，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在到之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和b的取值范围．
【直击中考】
26．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
27．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
28．端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变.第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元.
（1）求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售.经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋.当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
29．甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 ，桥拱顶点 到水面的距离是 .
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 点 时，桥下水位刚好在 处.有一名身高 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 ，该抛物线在 轴下方部分与桥拱 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移 个单位长度，平移后的函数图象在 时， 的值随 值的增大而减小，结合函数图象，求 的取值范围.
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数（解析版）
1.4二次函数的应用（2）
【知识重点】
1．求二次函数y =ax2+bx+c 最值的方法：
(1)用配方法将y =ax2+bx+c 化成y=a（x-h）2+k的形式，当自变量x= h 时，函数y有最大（小）值为 k ；
(2)用公式法，当x= 时，二次函数y有最大（小）值
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因变量，建立 二次函数 模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的 取值范围 。
3．建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：
(1)根据题意建立适当的 平面直角坐标系 ；
(2)把已知条件转化为 点的坐标 ；
(3)合理设出函数 解析式 ；
(4)利用 待定系数 法求出函数解析式；
(5)根据求出的函数解析式进一步分析、判断并进行有关的计算。
【经典例题】
【例1】一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线.求铅球的落地点离运动员有多远（结果保留根号）？
【答案】解：由题意知，抛物线的顶点坐标为.
设函数表达式为
把点代入，得，
解得.
所以函数表达式为.
当时，，
解得，（舍去），
答：铅球的落地点离运动员.
【例2】在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处．小华此次投掷的成绩是多少米？
【答案】解：建立平面直角坐标系如图所示：
则点A的坐标为（0，），顶点为B（4，3）．
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，
∵点A（0，）在抛物线上，
∴a（0﹣4）2+3＝，
解得a＝﹣
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+3，
令y＝0，则﹣（x﹣4）2+3＝0，
解得x＝10或x＝﹣2（不合实际，舍去）．
即OC＝10．
答：小华此次投掷的成绩是10米．
【例3】如图水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．试求水柱落点距O点4m时的喷头高度．
【答案】解：由题意得，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设，
将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5=0①；
喷头高4m时，可设，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立①②得：，
解得：，
设水柱落点距O点4m时的喷头高度为hm，
∴水柱落点距O点4m时的解析式为，
把点（4，0）代入得：，
解得：h=8，
即水柱落点距O点4m时的喷头高度为8m．
【例4】如图抛物线形拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽6m，连续降雨后，水面上涨1m，水面宽度减少多少？
【答案】解：依题意建立如图所示直角坐标系，
设函数解析式为y=ax2(a≠0)，把B(3，-3)代入得a= ，∴解析式为y= x2．因为水位上升1m，设点D(x1，-2)，把点D代入解析式得x1= ，x2=- (不合题意，舍去)
∴CD =2 m
答：水面宽度减少(6-2 )m
【例5】已知将成本为40元的某种商品按50元的定价售出时，能卖出500个，如果该种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，如何定价才能获得最大收益？
【答案】解：设售价为x元，获得的利润为y元，则销售个数为500﹣20(x﹣50)，
由题意得，
y＝(x﹣40)×(500﹣20x+1000)
＝﹣20(x﹣40)(x﹣75)
＝﹣20(x2﹣115x+3000)
＝﹣20(x﹣57.5)2﹣60000+66125
＝﹣20(x﹣57.5)2+6125
答：当x＝57.5元时得到最大利益6125元．
【基础训练】
1．某种商品的价格是 元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是 ，经过两次降价后的价格 （单位：元）随每次降价的百分率 的变化而变化，则 关于 的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意得y=2（1-x）2，
所以y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2．
故答案为：B.
2．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（ ）
A．13米 B．14米 C．15米 D．16米
【答案】C
【解析】如图，以AB所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
由题意知点B（20，0），顶点D（0，16），
设抛物线的解析式为y=ax2+16，
将（20，0）代入得400a+16=0，解得a=，
∴所求的函数解析式为：y=x2+16，
当x=5时，y=15，
∴与CD距离为15米的景观灯杆MN的高度为15米.
故答案为：C.
3．在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．14米 B．12米 C．11米 D．10米
【答案】B
【解析】当时，则，
解得（舍去）或．
故答案为：B．
4．从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的运动路径长为（ ）
A．15m B．20m C．25m D．30m
【答案】B
【解析】∵小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2，
当t=3时，h＝30×3﹣5×32=90-45=45m，
当t=5时，h＝30×5﹣5×52=150-125=25m，
∴小球从第3s到第5s的运动路径长为45m-25m=20m．
故答案为：B．
5．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0=a（3-1）2+3，
解得：a=-．
∴y=-（x-1）2+3．
∵当x=0时，y=-（0-1）2+3=-+3=，
∴水管应长m．
故答案为：A
6．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 m.
【答案】
【解析】建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线表达式为，
当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面时，水面宽，
在抛物线上，即，解得，
抛物线的表达式为，
当水面下降时，，即，解得或，
当水面下降时，水面的宽度为，
故答案为：.
7．如图，一位运动员投篮，球沿y=-0.2x2 +x+ 2.25抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m.
【答案】4
【解析】∵篮筐的中心离地面的高度为3.05m，
∴当y=3.05时， -0.2x2 +x+ 2.25=3.05，
解之：x1=4，x2=1（舍去）
∴OH=4
故答案为：4
8．某商场经营一种文具，进价为20元/件，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.那么该文具定价为 元时每天的最大销售利润最大.
【答案】35
【解析】设该文具定价为x元，每天的利润为y元，
根据题意得：y＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝35时，y最大，最大值为2250.
故答案为：35.
9．利民商店销售一种进价为50元/件的土特产商品，当售价为60元/件，每周可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖10件．求利民商店将售价上涨多少时每周可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】解：设每件商品的售价上涨x元，利润为y元，则每件商品的利润为元，每周销量为件，
∴，
解得：，
∴．
依题意得：．
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴当每件商品的售价上涨5元时商店每周可获得最大利润2250元．
10．体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处点距离地面的高度为，当球运行的水平距离为时，达到最大高度的处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
【答案】解：以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，则有，如图所示：
设函数解析式为：，则把点A代入得：
，解得：，
∴函数解析式为，
令，则有，解得：（舍），，
所以，该同学把实心球扔出米．
11．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离．
【答案】解：设抛物线的解析式为y=a(x 1) 2+3.
把A(0 ， 2.25)代入解得a= 0.75；
所以y= 0.75 (x 1) 2+3
当y=0时， 0.75 (x 1) 2+3=0
解得x1= 1（舍），x2=3
所以水流的落地点C到水枪底部B的距离为3m.
12．把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2.
（1）经多少秒后足球回到地面？
（2）试问足球的高度能否达到25米？请说明理由.
【答案】（1）解：当h=0时，20t﹣5t2=0，解得：t=0或t=4，
答：经4秒后足球回到地面
（2）解：不能，理由如下：
∵h=20t﹣5t2=﹣5(t﹣2)2+20，
∴由﹣5＜0知，当t=2时，h的最大值为20，不能达到25米，
故足球的高度不能达到25米
【培优训练】
13．如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数.现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以球出发的地方为原点建立直角坐标系，
由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线，
∴设二次函数解析式为，
代入原点得，
解得，
∴，
令得，解得
∴一个球从出发到落地用时2秒，
∵整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），
∴，解得，
故答案为：B.
14．洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，
由题意得：点Q（9，15.5），B（6，16），OH＝6，
设抛物线解析式为 y＝a（x 6）2＋16，
∴15.5＝a（9 6）2＋16，
解之：，
∴抛物线解析式为：
当y＝0时，则，
解之：，（舍去），
所以洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是.
故答案为：D
15．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（ ）
A．16米 B．18米 C．20米 D．24米
【答案】C
【解析】∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，
设抛物线解析式为，将点代入，得
解得
∴抛物线解析式为
令，解得（负值舍去）
即，
米．
故答案为：C
16．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负贵处理)．销售中发现当每件产品的售价为99元时，日销售量为200件，当每件产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品的售价为x元，主播每天的利润为w元，则w与x之间的函数解析式为( )
A．w=(99-x)[200+10(x-50)] B．w=(x-50)[200+10(99-x)]
C．w=(x-50)(200+×10) D．w=(x-50)(200+×10)
【答案】D
【解析】设每件产品的售价为x元，主播每天的利润为w元 ，则每件利润为（x-50）元，每天可销售的数量为件，
由题意可得.
故答案为：D.
17．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m. 请根据所给的数据，则支柱MN的长度为 （ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】C
【解析】建立平面直角坐标系如下，∵拱高6m，跨度20m，
∴点B（0，6），点A（10，0）
设抛物线的解析式为y=ax2+6，
∴100a+6=0
解之：
∴抛物线的解析式为；
∵相邻两支柱间的距离均为5m ，
∴点N的横坐标为5，
∴，
∴MN=10-4.5=5.5.
故答案为：C
18．某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足函数关系式，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“L”表示．那么在这次投球过程中，球入筺前L的取值范围是 ．
【答案】；5≤L≤40
【解析】由题意知，发射点的坐标为（0，10），球筐中心的坐标为（5，35），
将这两点坐标分别代入h=-5t2+mt+n，
得，
解得，
∴ 这次投球过程中球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足的函数关系式为：h=-5t2+30t+10；
∵h=-5t2+30t+10=-5（t-3）2+55，
∴抛物线的顶点坐标为（3，55），
由“投射矩”概念可知，当2≤t≤4时，L最小为55-[-5×（2-3）2+55]=5，
当0≤t≤2时，L最大，最大为[-5×（2-3）2+55]-10=40，
∴球入筐前L的最值范围为：5≤L≤40.
故答案为：h=-5t2+30t+10；5≤L≤40.
19．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型.拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，则支柱的长度为 m.
【答案】
【解析】建立平面直角坐标系，如图，
则
设抛物线的解析式为，
把代入得，
，解得，∴抛物线的解析式为：，
∴当时，，
∴
故答案为：.
20．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 .
【答案】1.6s
【解析】根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为：，
因为抛物线与x轴的一个交点横坐标为0，
所以，抛物线与x轴的另一个交点横坐标为，
所以，足球从踢出到落地所需的时间是1.6s.
故答案为：1.6s.
21．竖直向上抛出小球的高度h（米）与抛出的时间t（秒）满足关系式，从地面相隔1秒竖直向上分别抛出的两个小球，当两个小球在空中处于同一个高度时，这个高度离地面 米．
【答案】29.4
【解析】∵，
∴该函数的对称轴是直线，
∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同，
∴第二个小球抛出秒时，两个小球在空中的高度相同，
把代入得，，
∴这个高度离地面为29.4米，
故答案为：29.4．
22．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，小武在直线上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）.
（1）当竖直摆放8个圆柱形桶时，网球 （填“能”或“不能”）落入桶内.
（2）当竖直摆放圆柱形桶至少 个时，网球能落入桶内.
【答案】（1）不能
（2）5
【解析】（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），
，，，，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点M和点B，
∴，解得，
∴抛物线解析式为：；
∴当时，；当时，，
∴，在抛物线上；
设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，
由题意，得，，
解得：；
∵m为整数，则m可取的值有5，6，7，
∴竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球不能落入桶内.
故答案为：不能；
（2）由（1）知，m可取的值有5，6，7，
∴m的最小整数值为：5，
∴当竖直摆放圆柱形桶至少5个时，网球能落入桶内，
故答案为：5.
23．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨x元（x 为正整数），每个月的销售利润为W 元．求每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
【答案】解：由题意得：
， 且 为整数 ，
，
当 时， 有最大值 ，
，且 为整数，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
24．“五一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从五月一日开始，该超市对这款商品开展为期一个月的“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（5月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表：
第x天 5 10 15 20
日销售量y（件） 50 60 70 80
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？
（3）销售20天后，由于某种原因，该商品的进价从第21天开始每件下降4元，其他条件保持不变，求超市在这一个月中，该商品的日销售利润不低于3430元的共有多少天？
【答案】（1）
（2）解：根据题意可得，
，
∵，，
∴当时，W有最大值为3200元．
即第20天利润最大，最大利润为3200元．
（3）解：根据题意，当时，
，
当时，，
解得，，，
∵，且x为整数，
∴时，，
即从第21天开始到第29天日销售利润不低于3430元．
由（2）知，当时，日销售利润均低于3430元，
∴这一个月中，超市该商品的日销售利润不低于3430元的共有9天．
【解析】（1）∵日销售量y（件）与第x天（1≤x≤31，且x为整数）之间存在一次函数关系，
∴设y=kx+b.
将（5，50）、（10，60）代入可得
解得，
∴ y=2x+40.
25．某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型．据此建立平面直角坐标系，如图．若喷出的水柱轨迹上某一点与支柱的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．下面的表中记录了y与x的五组数据：
0 2 6 10
3
根据上述信息，解决以下问题：
（1）求出与之间的函数关系；
（2）求水柱落地点与雕塑的水平距离；
（3）为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状不变的前提下，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在到之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和b的取值范围．
【答案】（1）解：设与之间的函数关系为，
代入，，，得：
，解得：，
∴设与之间的函数关系为；
（2）解：令，则，即：；
∴，
∴（舍）或，
∴水柱落地点与雕塑的水平距离为
（3）解：由在喷出水柱轨迹的形状不变的前提下，可知：
不变，即，且的位置不变，即，
设，
把代入得，，解得，把代入得，，解得，
∵把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在到之间，
∴，
当最小时，即时，即水柱有最大高度为，
∴水柱的最大高度，的取值范围为．
【直击中考】
26．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
【答案】2
【解析】h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
∵a=-5＜0，抛物线开口向上，
∴当t=2时小球达到最高点.
故答案为：2.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出结果.
27．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
【答案】8
【解析】∵，，
∴当x=8时， y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
28．端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变.第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元.
（1）求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售.经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋.当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，
根据题意得，，
解得，
故种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，
根据题意得，
，
∵，
∴当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元.
29．甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 ，桥拱顶点 到水面的距离是 .
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 点 时，桥下水位刚好在 处.有一名身高 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 ，该抛物线在 轴下方部分与桥拱 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移 个单位长度，平移后的函数图象在 时， 的值随 值的增大而减小，结合函数图象，求 的取值范围.
【答案】（1）解：根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得： ，
∴二次函数的解析式为：y= (x-8)x= x2+2x（0≤x≤8）
（2）解：由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y= x2+2x，得y= ×12+2×1= ＞1.68，
答：他的头顶不会触碰到桥拱
（3）解：由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y= x2-2x，
当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=- x2+2x，
∴新函数表达式为： ，
∵将新函数图象向右平移 个单位长度，
∴ （m，0）， （m+8，0）， （m+4，-4），如图所示，
根据图象可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在 时， 的值随 值的增大而减小.
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