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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数（解析版）
1.1 二次函数
【知识重点】
二次函数的定义：一般地，形如（都是常数,）的函数，叫做二次函数．其中，是自变量，分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项．
【经典例题】
【例1】下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、y=3x-1是一次函数，故此选项不合题意；
B、不是二次函数，故此选项不合题意；
C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项符合题意；
D、y=2x3-1不是二次函数，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【例2】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，，-1 B．1，6，1 C．0，-6，1 D．0，6，-1
【答案】A
【解析】二次函数，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-6，-1．
故答案为：A．
【例3】已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．
【答案】解：∵抛物线过点和，∴
解方程组，得
∴抛物线的解析式是．
【例4】如图，矩形绿地的长、宽各增加 ，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．
【答案】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，
∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，
∴ .
【例5】某经销商将温州特产双炊糕加工成礼盒装出售，经调查统计发现，礼盒装每天的销售量y (盒)与每盒售价x(元/盒)之间有如下关系：y=-10x+600．已知礼盒装每盒的成本为20元，设该经销商每天所获利润为w(元)．
（1）求w关于x的函数表达式．
（2）求经销商每天获得的最大利润．
【答案】（1）解：w=(x- 20)(-10x+ 600)= -10x2+800x- 12000．
（2）解：∵w= -10x2+800x- 12000=-10（x-40）2+4000
∴当x=40时，y取到最大值，y最大值=4000 (元)，
答：经销商每天获得的最大利润是4000元．
【例6】如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3），
∴ ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3.
（2）解：∵当y=0时，x2+2x-3=0，
解得：x1=-3，x2=1；
∴A（1，0），B（-3，0），
∴AB=4，
设P（m，n），
∵△ABP的面积为10，
∴ AB |n|=10，
解得：n=±5，
当n=5时，m2+2m-3=5，
解得：m=-4或2，
∴P（-4，5）（2，5）；
当n=-5时，m2+2m-3=-5，
方程无解，
故P（-4，5）（2，5）
【基础训练】
1．已知关于的二次函数解析式为，则（ ）
A．±2 B．1 C．-2 D．±1
【答案】C
【解析】∵关于的二次函数解析式为 ，
∴|m|=2且m-2≠0，
解之：m=±2，m≠2，
∴m=-2.
故答案为：C.
2．若函数是二次函数，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，，
解得．
故答案为：B．
3．下列四个函数中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A．自变量的次数为1，不是二次函数，不符合题意；
B．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意；
C．符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意；
D．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意．
故答案为：C．
4．下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ）
A．①是反比例函数，②是二次函数
B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数
D．①②都是反比例函数
【答案】B
【解析】①∵矩形的周长为20，一边长x
∴另一边长为
∴为二次函数；
②∵矩形的面积为20，矩形的长x
∴是反比例函数．
故答案为：B．
5．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，-6，-1 B．1，6，1 C．0，-6，1 D．0，6，-1
【答案】A
【解析】二次函数，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-6，-1．
故答案为：A．
6．若二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(-2，-3)，则必在该图象上的点还有( )
A．(-3，-2) B．(2，3) C．(2，-3) D．(-2，3)
【答案】C
【解析】∵二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(-2，-3)，
∴4a=-3
解之：，
∴二次函数解析式为，
当x=-3时，故A不符合题意；
当x=2时，故B不符合题意；C符合题意；
当x=-2时，故D不符合题意；
故答案为：C
7．对于二次函数y＝x2－2mx－3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝ ．
【答案】5
【解析】∵当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等，
∴4-4m-3=64-16m-3
解之：m=5
故答案为：5
8．小王想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．则S与x之间的函数关系式是 ．（不用写自变量的取值范围）
【答案】
【解析】∵矩形周长为60米，一边长x米，
∴另一边长为（30－x）米，
∴矩形的面积 ．
故答案为： ．
9．如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为： （化简为一般式）．
【答案】
【解析】根据题意，将阴影部分平移，如图，
则 ．
故答案为： ．
10．已知二次函数的图像经过，，求抛物线的解析式
【答案】解：把（-1，0）、（3，0）代入中
得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
11．若二次函数图像经过，两点，求b、c的值.
【答案】解：将，代入中得，
解得：
∴b=-3，c=-4.
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，请求出△PBQ的面积S与出发时间t的函数解析式及t的取值范围．
【答案】解：由题意得可知：AP＝2t，BQ＝4t，
∵AB＝12mm，
∴BP＝12－2t，
∵∠B＝90°，
（0【培优训练】
13．二次函数的一次项系数是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-5
【答案】D
【解析】y=5x（x-1）=5x2-5x，
∴一次项的系数为-5.
故答案为：D.
14．二次函数的x与y的部分对应值如下表：
-1 0 1 2 3 4
2 1 2 5 10
则的值是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
【答案】C
【解析】有表格可知，当，，当，，
由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为，
∴时的值与时的值相等，
∴时的值为5，即的值为5，
故答案为：C．
15．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m，如图，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设抛物线的解析式为，
由水面宽4m时，拱顶离水面2m，可知点在函数图象上，
将代入中，得，
解得，
故抛物线的解析式为，
故答案为：C．
16．如图所示的抛物线是二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6的图象，那么m的值是 .
【答案】﹣3
【解析】∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6经过（0，0），
∴m2+m﹣6＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣3，
∵抛物线开口向下，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2，
∴m＝﹣3.
故答案为：﹣3.
17．如果函数y=(k-2)+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是 。
【答案】0
【解析】∵ 函数y=(k-2)+kx+1是关于x的二次函数 ，
∴k-2≠0，k2-2k+2=2
解之：k≠2，k1=0，k2=2，
∴k=0.
故答案为：0.
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形．则点的坐标是 ．
【答案】，
【解析】∵ 抛物线与轴正半轴交于点，
∴，
解之：，
∴此函数解析式为，
∵正方形OABC是正方形，
∴OA=OC=3，点D的纵坐标为3，
当y=3时
解之：（舍去），
∴正方形BDEF的边长为，
点E的横坐标为，
∴，
∴点E的坐标为.
故答案为：.
19．退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【解析】根据题意得，矩形的宽为x米，则长为： 米，且
花圃面积为y= ，
故答案为： ．
20．如图，正方形 的边长是 ， 是 上一点， 是 延长线上的一点， ．四边形 是矩形，矩形 的面积 与 的长 的函数关系是 ．
【答案】
【解析】∵正方形 的边长是 ，且
∴矩形 的长 的长为 cm，宽 的长为 cm
∴矩形 的面积为：
故答案为：
21．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，则根据题意列函数关系式为： （要求：将函数解析式化成二次函数一般形式）
【答案】y＝﹣10x2+100x+6000
【解析】y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000．
故答案为：y＝﹣10x2+100x+6000．
22．如图，某校准备用54米的围栏修建一边靠墙的矩形花园，已知墙体的最大可用长度为28米，设AB的长为x米，矩形花园的面积为y平方米．
（1）请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果该矩形花园的面积为360平方米，求AB的长．
【答案】（1）解：∵围栏为54米，宽AB为x米．
∴长为 米
∴ ，即
∵ ，围墙长28米
∴矩形的面积
（2）解：由题意得：
解得： ，
由（1）结论可知：
∴ （舍）
∴AB的长为15米．
23．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润为多少万元
【答案】（1）解：由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），故可设其函数关系式为：S=a（t﹣2）2﹣2.
∵所求函数关系式的图象过（0，0），于是得：a（0﹣2）2﹣2=0，解得：a=，∴所求函数关系式为：S=（t﹣2）2﹣2，即S=t2﹣2t.
答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S=t2﹣2t；
（2）解：把S=30代入S=（t﹣2）2﹣2，得：（t﹣2）2﹣2=30.
解得：t1=10，t2=﹣6（舍去）.
答：截止到10月末公司累积利润可达30万元.
（3）解：把t=7代入关系式，得：S=×72﹣2×7=10.5，把t=8代入关系式，得：S=×82﹣2×8=16，16﹣10.5=5.5.
答：第8个月公司所获利是5.5万元.
24．苍溪独特的土壤、水分、气候组成的生态系统，成为猕猴桃的乐土，被国家誉为“红心猕猴桃第一县、红心猕猴桃之乡”.某水果店销售红心猕猴桃，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，春节临近，为了扩大销售，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱红心猕猴桃每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱.设每箱红心猕猴桃降价x元.
（1）当x＝10时，求销售该红心猕猴桃的总利润；
（2）设每天销售该红心猕猴桃的总利润为w元.
①求w与x之间的函数解析式；
②试判断总利润能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果达不到，求出w的最大值.
【答案】（1）解：根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为60﹣10＝50（元），平均每天可售出120+20× ＝160（箱），
∴总利润为：50×160＝8000（元）；
（2）解：①由题意得w与x之间的函数解析式为w＝（60﹣x）（120+ ×20）＝﹣4x2+120x+7200；
②w不能达到8200元，理由如下：
w＝﹣4x2+120x+7200＝﹣4（x﹣15）2+8100，
∵﹣4＜0，
∴当x＝15时，w取到最大值，最大值为8100，
∵8100＜8200，
∴w不能达到8200元，w的最大值是8100
【直击中考】
25．抛物线 经过点 、 ，且与y轴交于点 ，则当 时，y的值为（ ）
A．-5 B．-3 C．-1 D．5
【答案】A
【解析】∵抛物线 经过点 、 ，且与y轴交于点 ，
∴ ，
解方程组得 ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ．
故选择A．
26．经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
【答案】y=﹣ x2+ x+3
【解析】根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣ ，
则抛物线解析式为y=﹣ （x+2）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3，
故答案为y=﹣ x2+ x+3．
27．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 ．
【答案】y=2x2﹣4x+4
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=2．
∴∠1+∠2=90°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠HEF=90°，EH=EF．
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△AHE与△BEF中，
∵ ，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
∴AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：
EH2=AE2+AH2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4；
即y=2x2﹣4x+4（0＜x＜2），
故答案为：y=2x2﹣4x+4．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数
1.1 二次函数
【知识重点】
二次函数的定义：一般地，形如（都是常数,）的函数，叫做二次函数．其中，是自变量，分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项．
【经典例题】
【例1】下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，，-1 B．1，6，1 C．0，-6，1 D．0，6，-1
【例3】已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．
【例4】如图，矩形绿地的长、宽各增加 ，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．
32．某经销商将温州特产双炊糕加工成礼盒装出售，经调查统计发现，礼盒装每天的销售量y (盒)与每盒售价x(元/盒)之间有如下关系：y=-10x+600．已知礼盒装每盒的成本为20元，设该经销商每天所获利润为w(元)．
（1）求w关于x的函数表达式．
（2）求经销商每天获得的最大利润．
33．如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．
【基础训练】
1．已知关于的二次函数解析式为，则（ ）
A．±2 B．1 C．-2 D．±1
2．若函数是二次函数，则有（ ）
A． B． C． D．
3．下列四个函数中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ）
A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数
5．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，-6，-1 B．1，6，1 C．0，-6，1 D．0，6，-1
6．若二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(-2，-3)，则必在该图象上的点还有( )
A．(-3，-2) B．(2，3) C．(2，-3) D．(-2，3)
7．对于二次函数y＝x2－2mx－3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝ ．
8．小王想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．则S与x之间的函数关系式是 ．（不用写自变量的取值范围）
9．如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为： （化简为一般式）．
10．已知二次函数的图像经过，，求抛物线的解析式
11．若二次函数图像经过，两点，求b、c的值.
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，请求出△PBQ的面积S与出发时间t的函数解析式及t的取值范围．
【培优训练】
13．二次函数的一次项系数是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-5
14．二次函数的x与y的部分对应值如下表：
-1 0 1 2 3 4
2 1 2 5 10
则的值是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
15．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m，如图，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
16．如图所示的抛物线是二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6的图象，那么m的值是 .
17．如果函数y=(k-2)+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是 。
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形．则点的坐标是 ．
19．退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 ．
20．如图，正方形 的边长是 ， 是 上一点， 是 延长线上的一点， ．四边形 是矩形，矩形 的面积 与 的长 的函数关系是 ．
21．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，则根据题意列函数关系式为： （要求：将函数解析式化成二次函数一般形式）
22．如图，某校准备用54米的围栏修建一边靠墙的矩形花园，已知墙体的最大可用长度为28米，设AB的长为x米，矩形花园的面积为y平方米．
（1）请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果该矩形花园的面积为360平方米，求AB的长．
23．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润为多少万元
24．苍溪独特的土壤、水分、气候组成的生态系统，成为猕猴桃的乐土，被国家誉为“红心猕猴桃第一县、红心猕猴桃之乡”.某水果店销售红心猕猴桃，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，春节临近，为了扩大销售，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱红心猕猴桃每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱.设每箱红心猕猴桃降价x元.
（1）当x＝10时，求销售该红心猕猴桃的总利润；
（2）设每天销售该红心猕猴桃的总利润为w元.
①求w与x之间的函数解析式；
②试判断总利润能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果达不到，求出w的最大值.
【直击中考】
25．抛物线 经过点 、 ，且与y轴交于点 ，则当 时，y的值为（ ）
A．-5 B．-3 C．-1 D．5
26．经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
27．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 ．
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