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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数（解析版）
1.4 二次函数的应用（1）
【知识重点】
1．求二次函数y =ax2+bx+c 最值的方法：
(1)用配方法将y =ax2+bx+c 化成y=a（x-h）2+k的形式，当自变量x= h 时，函数y有最大（小）值为 k ；
(2)用公式法，当x= 时，二次函数y有最大（小）值
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因变量，建立 二次函数 模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的 取值范围 。
3．建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：
(1)根据题意建立适当的 平面直角坐标系 ；
(2)把已知条件转化为 点的坐标 ；
(3)合理设出函数 解析式 ；
(4)利用 待定系数 法求出函数解析式；
(5)根据求出的函数解析式进一步分析、判断并进行有关的计算。
【经典例题】
【例1】如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形的面积为．问长为多少时S最大，并求最大面积．
【答案】解：设，
，
由题意得；
，
当时，有最大值，，
时S最大，．
【例2】如图，矩形绿地的长、宽各增加 ，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．
【答案】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，
∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，
∴ .
【例3】如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．
【答案】（1）解：∵大长方形的周长为6m，宽为xm，
∴长为 m，
∴y=x =- （0＜x＜2）
（2）解：由（1）可知：y和x是二次函数关系，
a=- ＜0，
∴函数有最大值，
当x=- 时，y最大= m2．
答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．
【例4】如图，四边形 的两条对角线 、 互相垂直， ，当 、 的长是多少时，四边形 的面积最大？
【答案】解：设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=10-x，
则： ，
∴当x=5时，S最大= ，
所以当AC=BD=5时，四边形ABCD的面积最大.
【例5】如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）．
（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；
（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．
【答案】（1）解: 设剪掉的正方形的边长为x cm，
则（40﹣2x）2＝900，
即40﹣2x＝±30，
解得x1＝35（不合题意，舍去），x2＝5；
答：剪掉的正方形边长为5cm；
（2）解: 设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，
则y与x的函数关系式为y＝4（40﹣2x）x，
即y＝﹣8x2+160x，
y＝﹣8（x﹣10）2+800，
∵﹣8＜0，
∴y有最大值，
∴当x＝10时，y最大＝800；
答：折成的长方体盒子的侧面积有最大值，这个最大值是800cm2．
【例6】为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测.某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为）的矩形，内部分成两个区，区为登记区，区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为1米.设，矩形的面积为.
（1）可表示为 ；
（2）当为何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）所围成矩形的面积能否达到96平方米？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由.
【答案】（1）36-3x
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值是108
（3）解：能
∵，
∴，
∴，
∴或，
答：能围成96平方米的面积，此时的长为4米或8米.
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，
∴，
∴米，
则可表示为：36-3x，
故答案为：36-3x；
【基础训练】
1．如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．S=4x+6 B．S=4x-6 C．S=x2+3x D．S=x2-3x
【答案】C
【解析】设矩形的宽为xcm，则长为（x+3）cm
由题意得：S=x（x+3）=x2+3x.
故答案为：C.
2．空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S.下列说法错误的是（ ）
A．若a＝16，S＝196，则有一种围法
B．若a＝20，S＝198，则有两种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法
D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
【答案】A
【解析】设矩形菜园的宽为x米，则长为 米，
∴
当 时，采用图1围法，则此时
当 时，
解得：
此时都不符合题意，
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为 米，
结合 可得
∴
解得： 经检验不符合题意，
综上：若a＝16，S＝196，则没有围法，故A符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为 米，
∴
当 时，采用图1围法，则此时
当 时，
解得： 经检验 符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为 米，
结合 可得
∴
解得： 经检验 符合题意，
综上：若a＝20，S＝198，则有两种围法，故B不符合题意；
同理可得：C不符合题意，D不符合题意；
故答案为：A.
3．用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系 B．二次函数关系
C．反比例函数关系 D．正比例函数关系
【答案】B
【解析】∵矩形周长为10 m，一边长为x m，
∴另一边长为：（10-2x）÷2=5-x （m），
∴S=x（5-x）=-x2+5x.
故答案为：B.
4．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m.若饲养室长为xm，占地面积为y ，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣ x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣ x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣ x2+27x﹣52（2≤x＜52）
【答案】A
【解析】y关于x的函数表达式为：y （50+2﹣x）x
x2+26x（2≤x＜52）.
故答案为：A.
5．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
【答案】10
【解析】设P（x，x2﹣x﹣4），
四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．
故答案为：10．
6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，请求出△PBQ的面积S与出发时间t的函数解析式及t的取值范围．
【答案】解：由题意得可知：AP＝2t，BQ＝4t，
∵AB＝12mm，
∴BP＝12－2t，
∵∠B＝90°，
（07．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD的面积最大时AB的长．
【答案】解：设AB＝xm，矩形ABCD的面积设为y（平方米），
则AB＋EF＋CD＝3x，
∴AD＝BC＝ ．
∴y＝ ＝ ．
由于二次项系数小于0，所以y有最大值，
∴当AB=x＝ ＝ ＝150时，函数y取得最大值．
当AB=150m，矩形ABCD的面积最大
8．如图，用6米的铝合金型材做个如图所示的“日”字形矩形窗框，应做成长，宽各多少米时，才能使做成的矩形窗框透光面积S（平方米）最大，最大透光面积是多少？设矩形窗框的宽为x 米（铝合金型材宽度不计）.
【答案】解：长为1.5米,宽为1米时,最大面积为1.5平方米.
【解析】 设矩形窗框的宽为x 米 ，则长为米。根据题意得
即S=-1.5x2+3x=-1.5（x-1）2+1.5
∵a=-1.5＜0
∴当x=1时，S的最大值是1.5，此时
∴矩形窗框的长为1.5米,宽为1米时,最大面积为1.5平方米。
9．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2 ， 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，BC=x
∴AB= ．
根据题意得： ，因为墙长25米，所以 ．
10．如图，某校准备用54米的围栏修建一边靠墙的矩形花园，已知墙体的最大可用长度为28米，设AB的长为x米，矩形花园的面积为y平方米．
（1）请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果该矩形花园的面积为360平方米，求AB的长．
【答案】（1）解：∵围栏为54米，宽AB为x米．
∴长为 米
∴ ，即
∵ ，围墙长28米
∴矩形的面积
（2）解：由题意得：
解得： ，
由（1）结论可知：
∴ （舍）
∴AB的长为15米．
11．开发商在新建的某小区划出一个长为90米，宽为60米的矩形场地，计划在其中修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽为x米，纵向宽为2x米的鹅卵石健身道如图所示．已知修建1平方米的休闲区需要费用100元，修建1平方米的鹅卵石健身道需要费用200元，开发商投入的资金是y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）若开发商预计投入的资金为元，求x的值．
【答案】（1）解：∵余下的空地修建成横向宽为x米，纵向宽为2x米的鹅卵石健身道，
∴四个休闲区的长为米，宽为米，
∴四个休闲区的总面积为：（平方米），
∴鹅卵石健身道的面积为：（平方米），
∵修建平方米的休闲区需要费用元，修建平方米的鹅卵石健身道需要费用元，
∴开发商投入的资金为：，
整理，得：，
∵四个休闲区的长和宽都大于0，
∴，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：．x的取值范围为；
（2）解：把代入中，
可得：，
即，
整理，得：，
解得：，，
∵，
∴（不符合题意，舍去），
∴，
∴x的值是2．
12．如图，点E，F，G，H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面积为y．
（1）当a＝2，y＝3时，求x的值；
（2）当x为何值时，y的值最小？最小值是多少？
【答案】（1）解：设正方形ABCD的边长为a，AE＝x，则BE＝a﹣x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF，∠HEF＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BEF，
在△AHE和△BEF中， ，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，
∴AE＝BF＝CG＝DH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝a﹣x
∴EF2＝BE2+BF2＝（a﹣x）2+x2＝2x2﹣2ax+a2，
∴正方形EFGH的面积y＝EF2＝2x2﹣2ax+a2，
当a＝2，y＝3时，2x2﹣4x+4＝3，
解得：x＝ ；
（2）解：∵y＝2x2﹣2ax+a2＝2（x﹣ a）2+ a2，
即：当x＝ a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为 a2．
【培优训练】
13．用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（ ）
A．6米 B．8米 C．12米 D．米
【答案】A
【解析】设AB的长为x米，则AD的长为米，
由矩形面积公式得：S矩形ABCD＝AD AB＝x×＝﹣2x2+24x＝﹣2（x﹣6）2+72，
∵48﹣4x＞0，
∴x＜12，
∴0＜x＜12，
∵﹣2＜0，
∴当x＝6时，矩形的面积有最大值.
故答案为：A.
14．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S△BDE的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】是等腰直角三角形，，
是等腰直角三角形，
设，则，
，
，
时，最大，最大值是4，
故答案为：B.
15．已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四边上，则矩形PMNQ的最大面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】如图：
连接AC，BD交于点O，AC分别交PQ，MN于点E，F．
∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠ABD＝30°，
∴AC＝AB＝6．
∵矩形MNQP，
∴PQ∥BD，PM＝EF，PQ⊥AC．
∴∠APE＝∠ABD＝30°，
设AP＝a，AE＝CFa，
∴EF＝PM＝6﹣a．
由勾股定理得：PE．
∴PQ＝2PEa．
∴S矩形PMNQ＝PM PQa×（6﹣a）（﹣a2+6a）
（a﹣3）2+9．
∵0，
∴当a＝3时，矩形面积有最大值9．
故答案为：D．
16．如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝ x2﹣1上的任意一点，PA⊥x轴于点A．则OP﹣PA值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设P点坐标为（a， a2﹣1），则OA＝a，PA＝ a2﹣1，
∴ ，
∴OP﹣PA＝ a2+1﹣（ a2﹣1）＝2．
故答案为：B．
17．如图，在平面直角坐标系中，点和点在y轴上，点M在x轴负半轴上，．当线段OM最长时，点M的坐标为 ．
【答案】（-6，0）
【解析】∵点 和点 在y轴上，点 在点 的上方，
∴ ，
∴当 时， 取得最小值 ，
当 最小时，则OM最长，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵点M在x轴负半轴上，
∴ ，
故答案为：（-6，0）．
18．如图，已知△ABC中，BC=3 ，AC=2 ，∠ACB=60°，D为AB边上一个动点(不点A，B重合)，作CD为腰的等腰直角三角形DEC，连接BE，当BDE 的面积最大时，BD的值是
【答案】
【解析】过点E作EM⊥BA交BA的延长线于M，过C作CN⊥AM，过点A作AH⊥BC垂足为H，
∵AC＝2 ，∠ACB＝60°，AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴，
∴，
∴AH=3
在Rt△ABH中，
；
∵，
∴；
在Rt△ACN中，
，
，
设BD＝x，，
∵DE＝DC，∠EDC＝∠EMD＝∠DNC＝90°，
∴∠EDC＋∠ADC＝90°，∠ADC＋∠DCN＝90°，
∴∠EDN＝∠DCN，
∴△EMD≌△DNC（AAS），
∴EM＝，
∴
∵ ＜0，
∴抛物线开口向下
∴当x=时，△BDE的面积最大.
∴BD=.
故答案为：.
19．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为），设花圃的宽为，面积为.
（1）求与的函数关系式及值的取值范围；
（2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？
（3）当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
【答案】（1）解：∵四边形是长方形，四边形是长方形，四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
解得，
∴，值的取值范围是；
（2）解：根据题意，得，
解得，，
∵，
∴舍去，
∴米
（3）解：∵，
∴对称轴为直线，抛物线开口向下，
∵，且在对称轴右侧y随x的增大而减小，在对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴当时，S有最大值.
∴当米时，S的最大值为，
即当的长是4米时，围成的花圃的面积最大.
20．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为，计划中的建筑材料总长，设两间饲养室的宽度为，总占地面积为.
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）求饲养室的宽度为多少时，饲养室最大面积多少？
（3）若要使两间饲养室合计占地总面积不低于，求饲养室的宽度的范围.
【答案】（1）解：设两间饲养室的宽度为，则长为
∵
∴
由矩形的面积可得：
∴
（2）解：∵，
∴函数图象开口向下
∴当时，饲养室的宽度为时，饲养室最大面积
（3）解：令可得：，解得：或
∴要使两间饲养室合计占地总面积不低于，x的取值范围为
21．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知，米，米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2），点E在线段BC的延长线上．
（1）当点D在线段AB上时，
①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；
②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；
（2）DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大 最大面积为多少平方米
【答案】（1）解：①设DF的长为x米，
∵点D在线段AB上，
∴米，
②∵，
∴，即，
∴；
设DF的长为x米，根据题意得：，
解得：，（此时点不在线段上，舍去），
∴，
答：饲养场的长DF为4米；
（2）解：设饲养场DBEF的面积为S，DF的长为x米，
①点D在15段AB上，由（1）知此时，
则，
∵，抛物线对称轴是直线，
∴在对称轴右侧，随的增大而减小，
∴时，有最大值，（平方米）；
②点D在线段BA的延长线上，此时，
则，
∵，，
∴时，有最大值，，
∴时，（平方米）；
∵，
∴饲养场的宽为3米时，饲养场的面积最大，最大面积为平方米．
答：饲养场的宽DF为3米时，饲养场的面积最大，最大面积为平方米．
22．卡塔尔世界杯期间，主办方向中国某企业订购1万幅边长为4米的正方形作品，其设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲；中心区是正方形，用材料乙）.在厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表
材料 甲 乙
价格（元/米2） 60 30
设矩形的较短边的长为x米，制作一幅作品的材料费用为y元.
（1）的长为 米（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用吗？通过运算，请写出你的理由.
【答案】（1）(4-2x)
（2）解：每个矩形阴影部分面积为，
中心区正方形的面积为，
，
由题可知，，解得，
（3）解：够用，理由如下，
，对称轴为，
中心区的边长不小于3，
，
，
当时，y随x增大而增大，
即时，，
1万幅作品消耗的费用为690万；
，
当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用.
【解析】【解答】（1），，四个阴影部分是四个全等的矩形，
，，
，
故答案为：(4-2x)；
【直击中考】
23．如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】过O点作OM⊥AB于M，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90°-60°=30°，
∴AB＝2BC=8，
，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝AC＝，
∴，
∴；
设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB AM BE＝8 3 x＝5 x，
∵OE2＝OM2＋EM2，
∴y＝（x 5）2＋3，
∵0≤x≤8，当x＝8时y＝12，
符合解析式的图象为C.
故答案为：C.
24．矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 ．
【答案】100
【解析】设矩形的长为a，则宽为（20-a）,设矩形的面积为S，
根据题意得S=a（20-a）=-a2+20a=-(a-10)2+100,
所以当a=10的时候，S最大为100。
故答案为：100。
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第1章二次函数
1.4 二次函数的应用（1）
【知识重点】
1．求二次函数y =ax2+bx+c 最值的方法：
(1)用配方法将y =ax2+bx+c 化成y=a（x-h）2+k的形式，当自变量x= h 时，函数y有最大（小）值为 k ；
(2)用公式法，当x= 时，二次函数y有最大（小）值
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因变量，建立 二次函数 模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的 取值范围 。
3．建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：
(1)根据题意建立适当的 平面直角坐标系 ；
(2)把已知条件转化为 点的坐标 ；
(3)合理设出函数 解析式 ；
(4)利用 待定系数 法求出函数解析式；
(5)根据求出的函数解析式进一步分析、判断并进行有关的计算。
【经典例题】
【例1】如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形的面积为．问长为多少时S最大，并求最大面积．
【例2】如图，矩形绿地的长、宽各增加 ，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．
【例3】如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．
【例4】如图，四边形 的两条对角线 、 互相垂直， ，当 、 的长是多少时，四边形 的面积最大？
【例5】如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）．
（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；
（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．
【例6】为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测.某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为）的矩形，内部分成两个区，区为登记区，区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为1米.设，矩形的面积为.
（1）可表示为 ；
（2）当为何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）所围成矩形的面积能否达到96平方米？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由.
【基础训练】
1．如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．S=4x+6 B．S=4x-6 C．S=x2+3x D．S=x2-3x
2．空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S.下列说法错误的是（ ）
A．若a＝16，S＝196，则有一种围法
B．若a＝20，S＝198，则有两种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法
D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
3．用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系 B．二次函数关系
C．反比例函数关系 D．正比例函数关系
4．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m.若饲养室长为xm，占地面积为y ，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣ x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣ x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣ x2+27x﹣52（2≤x＜52）
5．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，请求出△PBQ的面积S与出发时间t的函数解析式及t的取值范围．
7．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD的面积最大时AB的长．
8．如图，用6米的铝合金型材做个如图所示的“日”字形矩形窗框，应做成长，宽各多少米时，才能使做成的矩形窗框透光面积S（平方米）最大，最大透光面积是多少？设矩形窗框的宽为x 米（铝合金型材宽度不计）.
9．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2 ， 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
10．如图，某校准备用54米的围栏修建一边靠墙的矩形花园，已知墙体的最大可用长度为28米，设AB的长为x米，矩形花园的面积为y平方米．
（1）请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果该矩形花园的面积为360平方米，求AB的长．
11．开发商在新建的某小区划出一个长为90米，宽为60米的矩形场地，计划在其中修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽为x米，纵向宽为2x米的鹅卵石健身道如图所示．已知修建1平方米的休闲区需要费用100元，修建1平方米的鹅卵石健身道需要费用200元，开发商投入的资金是y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）若开发商预计投入的资金为元，求x的值．
12．如图，点E，F，G，H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面积为y．
（1）当a＝2，y＝3时，求x的值；
（2）当x为何值时，y的值最小？最小值是多少？
【培优训练】
13．用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（ ）
A．6米 B．8米 C．12米 D．米
14．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S△BDE的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四边上，则矩形PMNQ的最大面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
16．如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝ x2﹣1上的任意一点，PA⊥x轴于点A．则OP﹣PA值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．如图，在平面直角坐标系中，点和点在y轴上，点M在x轴负半轴上，．当线段OM最长时，点M的坐标为 ．
18．如图，已知△ABC中，BC=3 ，AC=2 ，∠ACB=60°，D为AB边上一个动点(不点A，B重合)，作CD为腰的等腰直角三角形DEC，连接BE，当BDE 的面积最大时，BD的值是
19．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为），设花圃的宽为，面积为.
（1）求与的函数关系式及值的取值范围；
（2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？
（3）当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
20．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为，计划中的建筑材料总长，设两间饲养室的宽度为，总占地面积为.
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）求饲养室的宽度为多少时，饲养室最大面积多少？
（3）若要使两间饲养室合计占地总面积不低于，求饲养室的宽度的范围.
21．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知，米，米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2），点E在线段BC的延长线上．
（1）当点D在线段AB上时，
①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；
②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；
（2）DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大 最大面积为多少平方米
22．卡塔尔世界杯期间，主办方向中国某企业订购1万幅边长为4米的正方形作品，其设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲；中心区是正方形，用材料乙）.在厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表
材料 甲 乙
价格（元/米2） 60 30
设矩形的较短边的长为x米，制作一幅作品的材料费用为y元.
（1）的长为 米（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用吗？通过运算，请写出你的理由.
【直击中考】
23．如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
24．矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 ．
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