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新浙教版数学七年级（上）
3.1 平方根
请说一说，你是怎样算出来的？
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
问题1：
若正方形的面积如下，请填表：
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
正方形的边长/dm
问题2：
1
3
4
6
上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，
求这个正数”的问题．
实际上是乘方运算中，已知一个数的指数和它的
幂，求这个数．
问题3：
你能指出问题1与问题2的共同特点吗？
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为“ ”，读作“根号 a ”．
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即 ．
根号
被开方数
平方根的表示：
ɑ(ɑ≥0)的平方根表示为：
读作正、负根号ɑ
则：16的平方根可以写作：______
表示：______________
=±4
3的平方根
想一想:如果一个数的平方等于9，
这个数是多少？
一般地,如果一个数的平方等于ɑ，那么这个数叫做ɑ的平方根（或二次方根）
例如:
根据定义，就能求一个数的平方根
可以合写为:
∵ (____)2 = 16 ， ∴ 16的平方根是_____
∵ (____)2 = 0 ， ∴ 0的平方根是____
∵(______)2 = 0.49 ，∴ 0.49的平方根是_____
±4
±4
±0.7
±0.7
0
0
－4_______平方根. （填“有”或“没有”）
没有
（1）一个正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
思考:
(1)一个正数有 个平方根,它们 .
(2) 0的平方根是 ．
(3)负数 平方根．
互为相反数
两
0
没有
练习一:判断正误,若错误请说明理由
（1）－4的平方根是－2
（ ）
（3）1 的平方根是 1 （ ）
（4）－1 是 1的平方根 （ ）
（2） ( ）
√
×
×
×
◆求一个数的平方根的运算叫做开平方， 平方根是开平方运算的结果.
◆平方运算与开平方运算互为逆运算
（1）49 （2）0.25 （3） （4）
练习二:求下列各数的平方根
2
注意（1）不能出现
（2）求带分数的平方根，先把它化成假分数.
正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根.
一个数ɑ(ɑ≥0)的算术平方根记做
如：9的算术平方根是3，即
0的算术平方根是0，即
考考你（一）:
（2） 的平方根是 （ ）
A、±9 B、9 C、±3 D、3
（1） 81 的算术平方根是 （ ）
A、±9 B、9 C、±3 D、3
C
9
B
的算术平方根是
（1）________的平方根是它本身.
0
0和1
（2）________的算术平方根是它本身.
考考你（二）:
1、求下列各式的值：
±
（3）
解：
（3）
±
=±
跟踪例练
， ， 分别表示什么意义
请你区别：（ ɑ ≥0 ）
ɑ的平方根
ɑ的算术平方根
ɑ的负平方根
说一说:下列式子表示什么意思
你知道它们的值吗
= 0.9
= ±11
1、判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3; ( )
（2）49的平方根是7 ； ( )
（3）（－2）2的平方根是±2 ； （ ）
（4）1 的平方根是 1 ； （ ）
（5）－1 是 1的平方根; （ ）
（6）7的平方根是±49. ( )
（7）若X2 = 16 则X = 4 （ ）
×
×
√
×
√
×
×
的平方根是
当 时，
的算术平方根是
的平方根是
若 ，则
若 ，则
64
5
a
,
,
,
,
,
,
,
.
.
,
,
自我挑战
开平方运算与______运算是互为逆运算,
可以互相检验.
2.ɑ（ɑ≥0）的平方根表示为_____.
算术平方根表示为_____.
3.平方根的性质：…
平方
知识方面：
1.平方根:若x2=ɑ,则____是____的平方根.
思维方面：
x
ɑ
正
0
算术平方根:正数的___平方根和___的平
方根统称为算术平方根.登陆21世纪教育 助您教考全无忧
3.1 平方根 （巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、下列各数有没有平方根？如果有，求出它的平方根与算术平方根，如果没有，请说明理由.
（1）25；（2）0.0081；（3）(－7)2；（4）－0.36.
2、判断下列说法是否正确：
(1)∵(－0.6)2=0.36, ∴－0.6是0.36的一个平方根.……………………………………（ ）
(2)∵0.8＝0.64, ∴0.64的平方根是0.8.……………………………………………（ ）
(3)∵，∴.…………………………………………………………（ ）
(4)∵, ∴.…………………………………………………（ ）
3、计算：
（1）；（2） ；（3）；（4）.
4、下列等式中错误的是………………………………………………………………（ ）
A. B. C. D.
5、求如图1所示的方格中,阴影正方形的面积和边长.
6、依次连接4×4方格各条边中点，得到一个正方形，如图2阴影部分，求这个正方形的面积和边长.
第二部分
1. 要切一个面积为9的正方形钢板，它的边长是 .
2. 数5的平方根可表示为: .
3.的平方根是 .
4. 的算术平方根是_______．
5.如果某数的一个平方根是－6，那么这个数为________．
6. 一个数的平方等于49，则这个数是 .
7. 如果一个数的算术平方根是，则这个数是 ，它的平方根是
8. 若一个正方形的面积为25，求这个正方形周长为多少米？
9. 求下列各数的平方根.
(1)36；(2)；(3)0；(4).
10.计算：
（1）；（2）；（3）；（4）.
.参考答案
( http: / / www.21cnjy.com )4、下列等式中错误的是………………………………………………………………（ ）
A. B. C. D.
答案：A
5、求如图1所示的方格中,阴影正方形的面积和边长.
分析：显然,阴影正方形的面积可看成是大正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形面积减去四个直角三角形的面积.∵正方形的面积是边长的平方, ∴阴影正方形的边长即是它的面积的算术平方根.21世纪教育网版权所有
【解】∵,
∴阴影正方形的边长是.
答：阴影正方形的面积是5,它的边长是.
6、依次连接4×4方格各条边中点，得到一个正方形，如图2阴影部分，求这个正方形的面积和边长.
【解】面积是8,边长是.
第二部分
1. 要切一个面积为9的正方形钢板，它的边长是 .
答案：3m
2. 数5的平方根可表示为: .
答案：
3.的平方根是 .
答案：
4. 的算术平方根是_______．
答案：2
5.如果某数的一个平方根是－6，那么这个数为________．
解析：∵一个正数的平方根有两个,它们互为相反数, ∴这个数为
答案：36
6. 一个数的平方等于49，则这个数是 .
解析：由题意知,这个数是49的平方根, ∴,则这个数为.
答案：
7. 如果一个数的算术平方根是，则这个数是 ，它的平方根是
解析：由平方根的概念知这个数为,故它的平方根是.
答案：5
8. 若一个正方形的面积为25，求这个正方形周长为多少米？
答案：
9. 求下列各数的平方根.
(1)36；(2)；(3)0；(4).
解：(1) ∴36的平方根是, 即；
(2) ∴的平方根是, 即；
(3) 0的平方根是0；
(4)∵,而 ∴的平方根是 ,即.
10.计算：
（1）；（2）；（3）；（4）.
解：(1) =12；(2) ；
(3)；(4)
图1
图2
图1
图2
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