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新浙教版数学七年级（上）
3.2 实数
(1)能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？
探究：
(2)拼成的这个面积为2dm2的大正方形的边长应该是多少呢？
(3)小正方形的对角线的长是多少呢？
因为 ， ，而1< 2<4，所以 ．
(1) 在哪两个整数之间呢？
(2)你能不能得到 的更精确的范围？
根据是什么？
因为 ， ，而 ，
所以 ．
因为 ， ，
而 ，所以 ．
因为 ， ，
而 ，所以 ．
……
探究：
有多大呢？
你以前见过这种数吗？
探究：
有多大呢？
无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.
它是一个无限不循环小数，许多正有理数的算术平方根(例如 ， ， 等)都是无限不循环小数.
无限不循环小数叫做无理数.
实数的分类：
实数
有理数
无理数
整数
分数
正整数
零
负整数
(可化为有限小数或无限循环小数)
(无限不循环小数)
无理数常有的表现形式:
开方开不尽根的根号式
及
π
新知归纳
把下列各数分别填入相应的集合内：
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
有理数集合
无理数集合
定 义：
有理数和无理数统称为实数
即实数可以分为有理数和无理数
有理数
无理数
实数
无理数和有理数一样，也有正负之分。
如：
是
的，
是
的。
正
负
大于 0 的实数。
包括所有的正有理数和正无理数。
【正数】
【负数】
小于 0 的实数。
包括所有的负有理数和负无理数。
实数
有理数
无理数
正无理数
负无理数
正有理数
0
负有理数
8. 无理数与有理数的积是无理数. ( )
1. 无限小数是无理数. ( )
下列说法正确与否, 若错则举例说明:
×
2. 无理数是无限小数. ( )
√
3. 无理数就是开不尽根的数. ( )
×
4. 带根号的数都是无理数. ( )
×
5. 无理数与无理数的和是无理数. ( )
6. 无理数与有理数的和是无理数. ( )
7. 无理数与无理数的积是无理数. ( )
×
×
×
√
9. 任何无理数的绝对值总是正数. ( )
√
做一做
1.估计 的整数部分是____.
2.估计 的大小范围是( )．
A.7.5～8.0 B.8.0～8.5
C.8.5～9.0 D.9.0～9.5
练习
2
C
二、问题探究，学习新知
(1)你会表示 , 吗？
(2)用计算器求 ， .(结果用科学记数法表示)
你知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度 (单位： )而小于第二宇宙速度 (单位： )． ， 的大小满足 ， ，其中 ，R是地球半径， ．怎样求 ， 呢？
0
1
-1
√2
如图是两个边长1的正方形
拼成的长方形, 其面积是2.
现剪下两个角重新拼成一个
正方形,
新正方形的边长是_____
√2
√2
2
√2
下图数轴中, 正方形的对角线长
为____,
以原点为圆心, 对角线长为
√2
半径画弧截得一点,
该点
与原点的距离是____,
√2
该点表示的数是____.
√2
实数与数轴上的点是一一对应关系.
√2
-
实践探索
实数与数轴上的点的对应关系：
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。
Ａ
-2
-1
0
1
2
实数 a
数=>点
数<=点
4、 把下列实数表示在数轴上, 并比较它们的大小,用＜连接起来.
-1.4, , 3.3, π, - , 1.5
实数的大小比较
在实数范围内，每一个数都可以用数轴的点来表示；反之，数轴上的每一点都表示一个实数，我们说实数和数轴上的点一一对应。
与有理数一样，在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
比较大小: ＿＿
＜
如：
与 互为相反数
与 互为倒数
实数的相关概念
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义 ，和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
，
，
2. a是一个实数,它的相反数是
绝对值是
当a≠０时，它的倒数是
想一想
1. 的绝对值是
议一议
1.你能把下列各数分别填入相应的集合内吗
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
正数集合
负数集合
(1)你能将这个问题转化为数学问题吗？
(3)长方形的长和宽与正方形的边长之间的大小关系是什么？
(2)如何求出长方形的长和宽？
4、 小丽想用一块面积为400cm2为的长方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2．
(4)小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.
根据边长与面积的关系得
3x 2x=300 ，
6x2=300 ，
x2=50，
， 故长方形纸片的长为 ，宽为 ．
因为50＞49，得 ＞7，所以 ＞3×7=21，比原正方形的边长更长，这是不可能的．所以，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
用“﹤” ，“﹥”或数字填空:
(
)
；
个有效数字
(结果保留
)
2
____
3
,
74
.
1
___
3
___
73
.
1
,
74
.
1
___
3
___
73
.
1
2
2
2
≈
\
\
∵
练一练
﹤
﹤
﹤
﹤
的相反数
的绝对值
1. 已知: x = , 求 x 的值.
√2
2. 求 2- 的相反数和绝对值.
√5
3. 根据如图数轴表示, 化简下式:
0
b
a
√2
√3
√2
-
巩固提高
利用如图4×4方格，作出面积为8平方单位的正方形.
作出的正方形的边长是____
思考题
1、无理数与实数:
2、实数与数轴:
每个实数都能在数轴上找到一个对应的点,
无理数的运算适用于有理数的一切运算法则.
无理数与有理数统称为实数.
无限不循环小数叫做无理数.
反之, 数轴上每一个点都对应一个实数.
(一一对应)
3、无理数的运算:
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3.2 实数 （巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、判断下列说法是否正确，并说明理由。
(1) 无理数是循环小数；
(2) 无理数是除有限小数以外的所有小数；
(3) 有理数是除无理数以外的所有小数.
2、下列说法：①无尽小数是无理数；②有理 ( http: / / www.21cnjy.com )数都是有尽小数；③带根号的数都是无理数. 其中正确的有…………………………………………………………………………（ ）
A. 0句 B. 1句 C. 2句 D. 3句
3、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
，0，,…(两个“3”之间依次多一个“1”)，，，，.
4、下列实数中是无理数的是…………………………………………（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
5、在数轴表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＞”连接：
－，－，，0，π
6、.在三个数0.5、、中，最大的数是……………………………（ ）
A. 0.5 B. C. D. 不能确定
第二部分
1. 9的算术平方根是_____________.
2. 如果一个数的平方根是±3，那么这个数是 .
3.请任意写出一个无理数 .
4. 的绝对值是 .
5. 用“＜”、“＞”号或数字填空：
∵ 2.236 2.237
∴ 2.236 2.237
∴ （保留三个有效数字）
6. 比较大小：_________（填：“＜、＞、＝”）。
7.如图，在数轴上，两点之间表示整数的点有 个．
8. 在.中：
属于有理数的有 ；
属于无理数的有 ；
属于正实数的有 ；
属于负实数的有 .
9.在数轴表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＞”连接：.
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )【分析】对于－,可以通过画边长为1的正方形的对角线得到.对于π等无理数,可取适当的近似值,近似地表示在数轴上.21世纪教育网版权所有
解: －，－，，0，π在数轴上表示如图所示.
由图得到: .
6、.在三个数0.5、、中，最大的数是……………………………（ ）
A. 0.5 B. C. D. 不能确定
解析：∵=,0.5=,的整数部分是2, ∴可知最大的数是.
答案：B
第二部分
1. 9的算术平方根是_____________.
答案：3
2. 如果一个数的平方根是±3，那么这个数是 .
答案：9
3.请任意写出一个无理数 .
答案：
4. 的绝对值是 .
答案：
5. 用“＜”、“＞”号或数字填空：
∵ 2.236 2.237
∴ 2.236 2.237
∴ （保留三个有效数字）
答案：< < < < 2.24
6. 比较大小：_________（填：“＜、＞、＝”）。
答案：B
7.如图，在数轴上，两点之间表示整数的点有 个．
解析：符合题意的整数有四个.
答案：4
8. 在.中：
属于有理数的有 ；
属于无理数的有 ；
属于正实数的有 ；
属于负实数的有 .
解：有理数有：
无理数有：
正实数有
负实数有：
9.在数轴表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＞”连接：.
解: 在数轴上表示如图所示.
由图得到: .
Ａ
Ｂ
第7题
Ａ
Ｂ
第7题
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