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2022-2023学年浙教版数学八年级下册第四章 平行四边形 单元复习
一、单选题
1．（2023八下·光明期中）一个多边形的内角和与外角和相等，则它是（）
A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不确定
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：A五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，外角和为360°，不符合题意；
B四边形的内角和和外角和都为360°，符合题意；
C三角形的内角和为180°，外角和为360°，不符合题意；
D该说法错误，不符合题意；
故答案为：B。
【分析】利用多边形的内角和与外角和的定理求解即可。
2．（2023八下·长兴期中）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5 cm，b与c间的距离为4 cm，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．1 B．9 C．4或5 D．1或9
【答案】D
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：如图，直线c在直线a、b外，
∵ a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为4cm ，
∴a与c之间的距离为5+4=9（cm）；
如图，直线c在直线a、b之间，
∵ a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为4cm ，
∴a与c之间的距离为5-4=1（cm）；
综上所述，a与c之间的距离为1cm或9cm.
故答案为：D.
【分析】由于直线c的位置不明确，所以分①当直线c在直线a、b外，②当直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解.
3．（2023八下·南宁期中）如图，点是的对角线上一点，连接，，设的面积为，的面积为，则与的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点B、D到直线AC的距离相等，设为h，
∴S1=AP·h，S2=AP·h，
∴S1=S2.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得：点B、D到直线AC的距离相等，设为h，利用三角形的面积公式表示出S1、S2，然后进行判断.
4．（2023八下·瑞安期中）以下是几个银行的图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
5．（2023八下·杭州期中）如图，已知四边形，对角线和相交于，下面选项不能得出四边形
是平行四边形的是（ ）
A．，且 B．，
C．， D．，且
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：A、由AB∥CD，AB=CD，可得四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，又∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵∠DAC=∠BCA，AO=CO，∠DAC=∠BCA，∴△AOD≌△COB，∴BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、由AB∥CD，AD=BC，可得四边形ABCD可能是等腰梯形，所以由AB∥CD及AD=BC不一定能得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断A、B选项；由ASA判断出△AOD≌△COB，得BO=DO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断C选项，由一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形可判断D选项.
6．（2023八下·滨江期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵点Q是CE的中点，
∴CQ=EQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∵∠BQE=∠FQC，EQ=CQ，∠BEQ=∠FCQ，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE=CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=14cm2，
∵AB-BE=CD-CF，即AE=FD，
又∵AE∥FD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴S△PEF=S△APD=3cm2，
∴阴影部分的面积为=S△BEF+S△PEF=17cm2.
故答案为：B.
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，得到BE=CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到SBEF=2S△BQC =14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF=S△APD=3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积.
7．（2023八下·晋安期中）如图，在中，点，分别是，边上的中点，连接，如果，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点，分别是，边上的中点，，
∴，
故答案为：A.
【分析】三角形的中位线平行且等于第三边的一半，据此解答即可.
8．（2023八下·信阳期中）如图，在中，，为中线，延长至点E，使，连接，F为的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，，，，
.
又为中线，
.
为中点，即点是的中点，
是的中位线，则.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理可得AB的值，由直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AB=5，由题意可得BF是△CDE的中位线，则BF=CD，据此计算.
9．（2023八下·信阳期中）如图，平行四边形中，，为锐角.要在对角线上找点N，，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是
C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，故方案丙正确；
故答案为：D.
【分析】方案甲中，连接AC，根据平行四边形的性质可得OB=OD，OA=OC，结合线段的和差关系可得NO=OM，推出四边形ANCM为平行四边形，据此判断；
方案乙中，由平行四边形的性质以及平行线的性质可得∠ABN=∠CDM，∠ANB=∠CMD，利用AAS证明△ABN≌△CDM，得到AN=CM，然后根据平行四边形的判定定理进行判断；
方案丙中，由平行四边形的性质可得∠BAD=∠BCD，AB=CD，根据平行线的性质可得∠ABN=∠CDM，结合角平分线的概念可得∠BAN=∠DCM，利用ASA证明△ABN≌△CDM，得到AN=CM，∠ANB=∠CMD，则∠ANM=∠CMN，推出AN∥CM，然后根据平行四边形的判定定理进行判断.
10．（2023八下·杭州期中）用反证法证明“若实数，满足，则，中至少有一个是”时，应先假设（ ）
A．，中至多有一个是0 B．，中至少有两个是0
C．，中没有一个是0 D．，都等于0
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 用反证法证明“若实数a，b满足ab=0，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设 a、b中没有一个是0.
故答案为：C.
【分析】用反证法证明一个命题，第一步应该先假设命题的结论的反面成立，据此一一判断得出答案.
二、填空题
11．（2023八下·滨江期中）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 .
【答案】4
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为x，由题意，
得（x-2）×180=360，
解得x=4，
∴这个多边形的边数为4.
故答案为：4.
【分析】设这个多边形的边数为x，根据多边形的内角和公式得该多边形的内角和为（x-2）×180°，而任何多边形的外角和为360°，进而根据外角和等于内角和建立方程，求解即可.
12．（2023八下·伊川期中）如图，在中，，，，则 ．
【答案】5
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，BC=AD=4，AD∥BC，BD=6，
∴BO=DO=BD=3，∠ADB=∠DBC=90°，
∴BC2+OB2=OC2，
∴OC2=42+32=25，
∴OC=5.
故答案为：5.
【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO=BD=3，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠ADB=∠DBC=90°，然后在Rt△OBC中，利用勾股定理进行计算.
13．（2023八下·埇桥期中）如图，将边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形的对称中心，则2023个这样的正方形重叠部分的面积和为 ．
【答案】2022
【知识点】中心对称及中心对称图形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：作于，于，如图所示：
，
，
在△和△中，
，
△△，
正方形的边长均为，
四边形的面积四边形的面积，
同理可知，各个重合部分的面积都是1，
个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为，
个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为，
故答案为：2022．
【分析】作于，于，先证出△△，再求出n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为，可得2023个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为。
14．（2023八下·光明期中）如图，中，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于点N，过点C作C1C2//AB，且CC2=，过点C2作C2F⊥AC于点F，交AB于E，C2F的长度即为所求的最小值，
∵C1C2//DE，C1C2=DE，
∴四边形C1DEC2是平行四边形，
∴C1D= C2E，
又∵C，C1关于AB对称，
∴CD= C1D，
∴CD+EF= C2F，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴AC = BC = ，
∴，，
过点C2作C2M⊥AB，则C2M=C1N =CN =，
∴C2M//C1N， C1C2//MN，
∴MN = C1C2 =，
∵∠MEC2 = ∠AEF，∠AFE= ∠C2ME =90°，
∴∠MC2E=∠A=30°，
∴ME=1，C2M=，C2E= 2，
∴AE=AN-MN-ME=3--1=2-，
∴EF=1-，
∴C2F=3-，
即CD+EF的最小值为3-，
故答案为：3-.
【分析】利用平行四边形的判定方法求出四边形C1DEC2是平行四边形，再求出EF=1-，最后计算求解即可。
15．（2023八下·光明期中）如图，在中，点D、E、F分别是边、、上的中点，且，，则四边形的周长等于 ．
【答案】18
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，且AB=8cm，AC= 10cm，
∴，，，，
∴四边形ADEF的周长为：AD+DE+EF+AF=4+5+5+4=18（cm），
故答案为：18.
【分析】根据三角形中位线的性质和中点定义求出AD，DE，AF和EF的值，再求周长即可。
16．（2023八下·瑞安期中）如图，等腰中，，四边形是平行四边形，连结，，，，，则 ．
【答案】60
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC，交BD于点F，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF=CF，BF=DF，
∵BE=DE，
∴EF⊥BD，
∵AE⊥CE，BD=3AE，
设AE=x（x＞0），则BD=3x，AC=2EF，
∴BF=DF=x，AC2=4EF2，
在Rt△BEF中，EF2=BE2-BF2，
在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，
∴AE2+CE2=4(BE2-BF2)，即x2+()2=4[-]，
解得x=（负值已舍），
∴BF=，BD=，
∴EF=，
∴.
故答案为：60.
【分析】连接AC，交BD于点F，连接EF，根据平行四边形的对角线互相平分得AF=CF，BF=DF，格努等腰三角形的三线合一得EF⊥BD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AC=2EF，设AE=x（x＞0），则BD=3x，AC2=4EF2，在Rt△BEF中，由勾股定理得EF2=BE2-BF2，在Rt△ACE中，由勾股定理得AC2=AE2+CE2，从而建立方程求出x的值，此题得解.
三、作图题
17．（2022八下·长春期末）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图．
（1）在图①中，画出一个以AB为边的四边形ABCD，使其是中心对称图形不是轴对称图形且边长均为无理数．
（2）在图②中，画出一个以线段AB为边的四边形ABMN，使其既是轴对称图形又是中心对称图形．
【答案】（1）解：如图①，平行四边形ABCD即为所作，
其中AB＝CD＝，AD＝BC＝，都是无理数；
（2）解：如图②，正方形ABMN即为所作．
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形和轴对称图形的定义作出图形即可；
（2）根据中心对称图形和轴对称图形的定义作出图形即可。
四、解答题
18．（2023八下·大兴期中）如图，平行四边形的对角线、交于点O，点E、F在上，且求证：．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
在△OBE和△ODF中，
，
∴△OBE≌△ODF（SAS），
∴BE=DF．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质求出OB=OD，再利用全等三角形的判定与性质证明即可。
19．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.
【答案】证明：①假设等腰三角形ABC底角∠B、∠都是直角，则
所以
这与三角形内角和等于 矛盾；
②假设等腰三角形ABC的底角 都是钝角，则 ，
所以 ，这与三角形内角和等于 矛盾.
综上所述，①②的假设错误，所以 只能为锐角，
故等腰三角形的底角必为锐角.
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【分析】分两种情况讨论，即 ①假设等腰三角形ABC底角∠B、∠都是直角，②假设等腰三角形ABC的底角 都是钝角， 根据三角形内角和定理分别推出两种情况都不成立，即可得证。
20．（2023八下·双鸭山期中）如图，在中，交于点E，交于点F，连接交于点M，连接交于点N，连接．求证．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，，
∵，
∴，
∴四边形ABEF、四边形ECDF均是平行四边形，
∴，
∴MN是的中位线，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行得AB∥CD，AD∥BC，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ABEF、四边形ECDF均是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线互相平分得点M、N分别是AE、DE的中点，由三角形中位线定理可得MN=AD.
五、综合题
21．（2022八下·卢龙期末）小刚计算一个多边形的内角和求得结果为900°．老师指出他的计算结果不对．小刚重新检查，发现多数了一条边．
（1）你知道这个多边形是几边形吗 你是怎么知道的
（2）这个多边形的内角和与外角和有什么样的数量关系？
【答案】（1）解：这个多边形是六边形，
理由：由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°，
解得：n=7，
由题意得：n-1=6．
所以这个多边形是六边形；
（2）解：由多边形内角和公式得(6-2)×180°=720°，
∵多边形的外角和为360°，
∴这个多边形的内角和是外角和的2倍．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°，据此求出n值，再减1即可；
（2）先求出多边形内角和，由多边形的外角和为360° 即可判断.
22．（2023八下·瑞安期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，在上，点，在上．
（1）若，，求的度数；
（2）若四边形是平行四边形，求证：．
【答案】（1）解：，，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
；
（2）证明：四边形EHFG和四边形ABCD是平行四边形，
，，
，即.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADC=∠ACD=65°，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADC+∠BCD=180°，据此可求出∠BCD的度数；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分得OE=OF，OA=OC，进而根据等量减去等量差相等可得结论.
23．（2023八下·花都期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且a，b满足．动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）直接写出B，C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标．
【答案】（1）B(20，12)，C(16，0)；
（2）解：由题意得： ， ，
则： ， ，
当 时，四边形 是平行四边形，
，
解得： ．
（3）解：当 时，过Q作 ，
，
由题意得： ，
解得： ，
故 ， ，
当 时，过P作 轴，
由题意得： ， ，
，
解得： ，
，
故 ， ， ， ．
综上所述： ， ， 或 ， ， ， ．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的判定；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a-20≥0，20-a≥0，
∴a=20，
∴b=16，
∵AB∥OC，A（0，12），∴c=12，
∴ B(20，12)，C(16，0)；
故答案为： B(20，12)，C(16，0)；
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；
（2）由题意得 ， ，则 ， ，根据平行线的判定知PB=QC，据此列出方程并解之即可；
（3） 分两种情况：①当 时，过Q作 ，利用勾股定理建立方程并解之即可； ②当 时，过P作 轴， 可得QM=CM，据此建立方程并解之即可.
24．（2023八下·涡阳期中） 中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、．
（1）如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若点O恰为和交点，求证：，；
（3）如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：．
【答案】（1）证明：∵D，E分别是 的边 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
同理： ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）证明：取 ， 中点G，F，连接 ， ， ， ，
∴ ， ，
由（1）知，四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ；
（3）证明：在射线 上截取 ，连接 ， ，
∵D，O分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ 即 ，
同理： ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得 ， ， ， ，即得 ， ，根据一组对边平行且相等即证结论；
（2）取 ， 中点G，F，连接 ， ， ， ， 由（1）知，四边形 是平行四边形， 利用平行四边形的性质可得 ， ， 根据线段的中点即可求解；
（3） 在射线 上截取 ，连接 ， ， 利用三角形中位线定理可证四边形 是平行四边形， 利用平行四边形的性质即得结论.
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2022-2023学年浙教版数学八年级下册第四章 平行四边形 单元复习
一、单选题
1．（2023八下·光明期中）一个多边形的内角和与外角和相等，则它是（）
A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不确定
2．（2023八下·长兴期中）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5 cm，b与c间的距离为4 cm，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．1 B．9 C．4或5 D．1或9
3．（2023八下·南宁期中）如图，点是的对角线上一点，连接，，设的面积为，的面积为，则与的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．（2023八下·瑞安期中）以下是几个银行的图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·杭州期中）如图，已知四边形，对角线和相交于，下面选项不能得出四边形
是平行四边形的是（ ）
A．，且 B．，
C．， D．，且
6．（2023八下·滨江期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
7．（2023八下·晋安期中）如图，在中，点，分别是，边上的中点，连接，如果，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·信阳期中）如图，在中，，为中线，延长至点E，使，连接，F为的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八下·信阳期中）如图，平行四边形中，，为锐角.要在对角线上找点N，，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是
C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是
10．（2023八下·杭州期中）用反证法证明“若实数，满足，则，中至少有一个是”时，应先假设（ ）
A．，中至多有一个是0 B．，中至少有两个是0
C．，中没有一个是0 D．，都等于0
二、填空题
11．（2023八下·滨江期中）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 .
12．（2023八下·伊川期中）如图，在中，，，，则 ．
13．（2023八下·埇桥期中）如图，将边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形的对称中心，则2023个这样的正方形重叠部分的面积和为 ．
14．（2023八下·光明期中）如图，中，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为 ．
15．（2023八下·光明期中）如图，在中，点D、E、F分别是边、、上的中点，且，，则四边形的周长等于 ．
16．（2023八下·瑞安期中）如图，等腰中，，四边形是平行四边形，连结，，，，，则 ．
三、作图题
17．（2022八下·长春期末）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图．
（1）在图①中，画出一个以AB为边的四边形ABCD，使其是中心对称图形不是轴对称图形且边长均为无理数．
（2）在图②中，画出一个以线段AB为边的四边形ABMN，使其既是轴对称图形又是中心对称图形．
四、解答题
18．（2023八下·大兴期中）如图，平行四边形的对角线、交于点O，点E、F在上，且求证：．
19．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.
20．（2023八下·双鸭山期中）如图，在中，交于点E，交于点F，连接交于点M，连接交于点N，连接．求证．
五、综合题
21．（2022八下·卢龙期末）小刚计算一个多边形的内角和求得结果为900°．老师指出他的计算结果不对．小刚重新检查，发现多数了一条边．
（1）你知道这个多边形是几边形吗 你是怎么知道的
（2）这个多边形的内角和与外角和有什么样的数量关系？
22．（2023八下·瑞安期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，在上，点，在上．
（1）若，，求的度数；
（2）若四边形是平行四边形，求证：．
23．（2023八下·花都期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且a，b满足．动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）直接写出B，C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标．
24．（2023八下·涡阳期中） 中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、．
（1）如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若点O恰为和交点，求证：，；
（3）如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：A五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，外角和为360°，不符合题意；
B四边形的内角和和外角和都为360°，符合题意；
C三角形的内角和为180°，外角和为360°，不符合题意；
D该说法错误，不符合题意；
故答案为：B。
【分析】利用多边形的内角和与外角和的定理求解即可。
2．【答案】D
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：如图，直线c在直线a、b外，
∵ a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为4cm ，
∴a与c之间的距离为5+4=9（cm）；
如图，直线c在直线a、b之间，
∵ a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为4cm ，
∴a与c之间的距离为5-4=1（cm）；
综上所述，a与c之间的距离为1cm或9cm.
故答案为：D.
【分析】由于直线c的位置不明确，所以分①当直线c在直线a、b外，②当直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解.
3．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点B、D到直线AC的距离相等，设为h，
∴S1=AP·h，S2=AP·h，
∴S1=S2.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得：点B、D到直线AC的距离相等，设为h，利用三角形的面积公式表示出S1、S2，然后进行判断.
4．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：A、由AB∥CD，AB=CD，可得四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，又∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵∠DAC=∠BCA，AO=CO，∠DAC=∠BCA，∴△AOD≌△COB，∴BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、由AB∥CD，AD=BC，可得四边形ABCD可能是等腰梯形，所以由AB∥CD及AD=BC不一定能得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断A、B选项；由ASA判断出△AOD≌△COB，得BO=DO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断C选项，由一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形可判断D选项.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵点Q是CE的中点，
∴CQ=EQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∵∠BQE=∠FQC，EQ=CQ，∠BEQ=∠FCQ，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE=CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=14cm2，
∵AB-BE=CD-CF，即AE=FD，
又∵AE∥FD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴S△PEF=S△APD=3cm2，
∴阴影部分的面积为=S△BEF+S△PEF=17cm2.
故答案为：B.
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，得到BE=CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到SBEF=2S△BQC =14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF=S△APD=3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积.
7．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点，分别是，边上的中点，，
∴，
故答案为：A.
【分析】三角形的中位线平行且等于第三边的一半，据此解答即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，，，，
.
又为中线，
.
为中点，即点是的中点，
是的中位线，则.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理可得AB的值，由直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AB=5，由题意可得BF是△CDE的中位线，则BF=CD，据此计算.
9．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，故方案丙正确；
故答案为：D.
【分析】方案甲中，连接AC，根据平行四边形的性质可得OB=OD，OA=OC，结合线段的和差关系可得NO=OM，推出四边形ANCM为平行四边形，据此判断；
方案乙中，由平行四边形的性质以及平行线的性质可得∠ABN=∠CDM，∠ANB=∠CMD，利用AAS证明△ABN≌△CDM，得到AN=CM，然后根据平行四边形的判定定理进行判断；
方案丙中，由平行四边形的性质可得∠BAD=∠BCD，AB=CD，根据平行线的性质可得∠ABN=∠CDM，结合角平分线的概念可得∠BAN=∠DCM，利用ASA证明△ABN≌△CDM，得到AN=CM，∠ANB=∠CMD，则∠ANM=∠CMN，推出AN∥CM，然后根据平行四边形的判定定理进行判断.
10．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 用反证法证明“若实数a，b满足ab=0，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设 a、b中没有一个是0.
故答案为：C.
【分析】用反证法证明一个命题，第一步应该先假设命题的结论的反面成立，据此一一判断得出答案.
11．【答案】4
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为x，由题意，
得（x-2）×180=360，
解得x=4，
∴这个多边形的边数为4.
故答案为：4.
【分析】设这个多边形的边数为x，根据多边形的内角和公式得该多边形的内角和为（x-2）×180°，而任何多边形的外角和为360°，进而根据外角和等于内角和建立方程，求解即可.
12．【答案】5
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，BC=AD=4，AD∥BC，BD=6，
∴BO=DO=BD=3，∠ADB=∠DBC=90°，
∴BC2+OB2=OC2，
∴OC2=42+32=25，
∴OC=5.
故答案为：5.
【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO=BD=3，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠ADB=∠DBC=90°，然后在Rt△OBC中，利用勾股定理进行计算.
13．【答案】2022
【知识点】中心对称及中心对称图形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：作于，于，如图所示：
，
，
在△和△中，
，
△△，
正方形的边长均为，
四边形的面积四边形的面积，
同理可知，各个重合部分的面积都是1，
个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为，
个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为，
故答案为：2022．
【分析】作于，于，先证出△△，再求出n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为，可得2023个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为。
14．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于点N，过点C作C1C2//AB，且CC2=，过点C2作C2F⊥AC于点F，交AB于E，C2F的长度即为所求的最小值，
∵C1C2//DE，C1C2=DE，
∴四边形C1DEC2是平行四边形，
∴C1D= C2E，
又∵C，C1关于AB对称，
∴CD= C1D，
∴CD+EF= C2F，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴AC = BC = ，
∴，，
过点C2作C2M⊥AB，则C2M=C1N =CN =，
∴C2M//C1N， C1C2//MN，
∴MN = C1C2 =，
∵∠MEC2 = ∠AEF，∠AFE= ∠C2ME =90°，
∴∠MC2E=∠A=30°，
∴ME=1，C2M=，C2E= 2，
∴AE=AN-MN-ME=3--1=2-，
∴EF=1-，
∴C2F=3-，
即CD+EF的最小值为3-，
故答案为：3-.
【分析】利用平行四边形的判定方法求出四边形C1DEC2是平行四边形，再求出EF=1-，最后计算求解即可。
15．【答案】18
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，且AB=8cm，AC= 10cm，
∴，，，，
∴四边形ADEF的周长为：AD+DE+EF+AF=4+5+5+4=18（cm），
故答案为：18.
【分析】根据三角形中位线的性质和中点定义求出AD，DE，AF和EF的值，再求周长即可。
16．【答案】60
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC，交BD于点F，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF=CF，BF=DF，
∵BE=DE，
∴EF⊥BD，
∵AE⊥CE，BD=3AE，
设AE=x（x＞0），则BD=3x，AC=2EF，
∴BF=DF=x，AC2=4EF2，
在Rt△BEF中，EF2=BE2-BF2，
在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，
∴AE2+CE2=4(BE2-BF2)，即x2+()2=4[-]，
解得x=（负值已舍），
∴BF=，BD=，
∴EF=，
∴.
故答案为：60.
【分析】连接AC，交BD于点F，连接EF，根据平行四边形的对角线互相平分得AF=CF，BF=DF，格努等腰三角形的三线合一得EF⊥BD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AC=2EF，设AE=x（x＞0），则BD=3x，AC2=4EF2，在Rt△BEF中，由勾股定理得EF2=BE2-BF2，在Rt△ACE中，由勾股定理得AC2=AE2+CE2，从而建立方程求出x的值，此题得解.
17．【答案】（1）解：如图①，平行四边形ABCD即为所作，
其中AB＝CD＝，AD＝BC＝，都是无理数；
（2）解：如图②，正方形ABMN即为所作．
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形和轴对称图形的定义作出图形即可；
（2）根据中心对称图形和轴对称图形的定义作出图形即可。
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
在△OBE和△ODF中，
，
∴△OBE≌△ODF（SAS），
∴BE=DF．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质求出OB=OD，再利用全等三角形的判定与性质证明即可。
19．【答案】证明：①假设等腰三角形ABC底角∠B、∠都是直角，则
所以
这与三角形内角和等于 矛盾；
②假设等腰三角形ABC的底角 都是钝角，则 ，
所以 ，这与三角形内角和等于 矛盾.
综上所述，①②的假设错误，所以 只能为锐角，
故等腰三角形的底角必为锐角.
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【分析】分两种情况讨论，即 ①假设等腰三角形ABC底角∠B、∠都是直角，②假设等腰三角形ABC的底角 都是钝角， 根据三角形内角和定理分别推出两种情况都不成立，即可得证。
20．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，，
∵，
∴，
∴四边形ABEF、四边形ECDF均是平行四边形，
∴，
∴MN是的中位线，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行得AB∥CD，AD∥BC，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ABEF、四边形ECDF均是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线互相平分得点M、N分别是AE、DE的中点，由三角形中位线定理可得MN=AD.
21．【答案】（1）解：这个多边形是六边形，
理由：由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°，
解得：n=7，
由题意得：n-1=6．
所以这个多边形是六边形；
（2）解：由多边形内角和公式得(6-2)×180°=720°，
∵多边形的外角和为360°，
∴这个多边形的内角和是外角和的2倍．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°，据此求出n值，再减1即可；
（2）先求出多边形内角和，由多边形的外角和为360° 即可判断.
22．【答案】（1）解：，，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
；
（2）证明：四边形EHFG和四边形ABCD是平行四边形，
，，
，即.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADC=∠ACD=65°，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADC+∠BCD=180°，据此可求出∠BCD的度数；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分得OE=OF，OA=OC，进而根据等量减去等量差相等可得结论.
23．【答案】（1）B(20，12)，C(16，0)；
（2）解：由题意得： ， ，
则： ， ，
当 时，四边形 是平行四边形，
，
解得： ．
（3）解：当 时，过Q作 ，
，
由题意得： ，
解得： ，
故 ， ，
当 时，过P作 轴，
由题意得： ， ，
，
解得： ，
，
故 ， ， ， ．
综上所述： ， ， 或 ， ， ， ．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的判定；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a-20≥0，20-a≥0，
∴a=20，
∴b=16，
∵AB∥OC，A（0，12），∴c=12，
∴ B(20，12)，C(16，0)；
故答案为： B(20，12)，C(16，0)；
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；
（2）由题意得 ， ，则 ， ，根据平行线的判定知PB=QC，据此列出方程并解之即可；
（3） 分两种情况：①当 时，过Q作 ，利用勾股定理建立方程并解之即可； ②当 时，过P作 轴， 可得QM=CM，据此建立方程并解之即可.
24．【答案】（1）证明：∵D，E分别是 的边 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
同理： ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）证明：取 ， 中点G，F，连接 ， ， ， ，
∴ ， ，
由（1）知，四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ；
（3）证明：在射线 上截取 ，连接 ， ，
∵D，O分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ 即 ，
同理： ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得 ， ， ， ，即得 ， ，根据一组对边平行且相等即证结论；
（2）取 ， 中点G，F，连接 ， ， ， ， 由（1）知，四边形 是平行四边形， 利用平行四边形的性质可得 ， ， 根据线段的中点即可求解；
（3） 在射线 上截取 ，连接 ， ， 利用三角形中位线定理可证四边形 是平行四边形， 利用平行四边形的性质即得结论.
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