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2023年浙教版数学九年级上册1.3二次函数的性质 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·富阳期末）已知点，在二次函数的图像上，若，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵
∴，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向上，则离对称轴越远，函数值越大，据此判断.
2．（2023九上·滨江期末）二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数，且，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足的任意一个的值，都有，
则有，解得，
对于该函数图象的对称轴，
的值越小，其对称轴越靠左，如下图，
结合图像可知，的值越小，满足的的值越小，
∴当取的最大值，即时，令，
解得，，
∴满足的的最大值为，
即的最大值为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得：函数图象的开口方向向下，对称轴为x=，该函数有最大值，其最大值为y=1-，易得1-≤2，求出a的范围，画出函数的图象，结合图象可知，a的值越小，满足y≥-2的x的值越小，故a=-4时，令y=-4x2+4x+1=-2，求出x的值，进而可得m的最大值.
3．（2023九上·江北期末）已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2，二次函数经过点（0，5）、（2，-4a+5）、（4，5），然后分04．（2023九上·余姚期末）如图，抛物线y=x2+bx+c (b， c为常数)经过点A (1，0)，点B (0，3)，点P在该抛物线上，其横坐标为m，若该抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2-m．则m的值为（ ）
A．m=3 B．m=
C．m= D．m=3或m=
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：解：将（1，0），（0，3）分别代入y＝x2＋bx＋c得，
解得
∴y＝x2 4x＋3，
∵y＝x2 4x＋3＝（x 2）2 1，
∴抛物线顶点坐标为（2， 1），对称轴为直线x＝2，
当m＞2时，抛物线顶点为最低点，
∴ 1＝2 m，
解得m＝3，
当m≤2时，点P为最低点，
将x＝m代入y＝x2 4x＋3得y＝m2 4m＋3，
∴m2 4m＋3＝2 m，
解得（舍），，
∴m=3或.
故答案为：D.
【分析】首先通过待定系数法求该抛物线的解析式及顶点坐标，再分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值即可．
5．（2022九上·榆树期末）已知二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么该二次函数有（ ）
A．最小值-7 B．最大值-7 C．最小值3 D．最大值3
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴二次函数的最大值为y=-7．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可。
6．（2022九上·余杭月考）已知二次函数y＝x2+bx+c，当m≤x≤m+1时，此函数最大值与最小值的差（ ）
A．与m，b，c的值都有关
B．与m，b，c的值都无关
C．与m，b的值都有关，与c的值无关
D．与b，c的值都有关，与m的值无关
【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y＝x2+bx+c＝（x+ ）2﹣ +c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣ ，函数最小值为﹣ +c，
将x＝m代入y＝x2+bx+c得y＝m2+bm+c，
将x＝m+1代入y＝x2+bx+c得y＝（m+1）2+b（m+1）+c，
当m+1＜﹣ 时，x＝m时y取最大值，x＝m+1时y取最小值，
当m＞﹣ 时，x＝m+1时y取最大值，x＝m时y取最小值，
∵m2+bm+c，（m+1）2+b（m+1）+c，﹣ +c都含有c项，
∴函数最大值与最小值的差与m，b的值都有关，与c的值无关.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向上，对称轴为直线x＝-，函数最小值为-+c，分别将x=m、m+1代入解析式中表示出y，由二次函数的性质可得当m+1＜-时，x＝m时y取最大值，x＝m+1时y取最小值，当m＞-时，x＝m+1时y取最大值，x＝m时y取最小值，据此判断.
7．（2023九上·嵊州期末）二次函数均为常数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为，，
∴函数图象开口向下，对称轴为，
∴，，到对称轴的距离分别为：3，1，2.
∵函数图象开口向下，
∴图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小，即函数值越小，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向下，对称轴为直线x=-2，然后根据距离对称轴越远的点，对应的函数值越小进行比较.
8．（2023九上·诸暨期末）二次函数中当时随的增大而增大，则一次项系数满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数中当时随的增大而增大，
∴抛物线的对称轴为直线，
b≥-2.
故答案为：B
【分析】利用函数解析式可知抛物线的开口向上，再根据当x＞1时y随x的增大而增大，可得到抛物线的对称轴x≤2，据此可得到关于b的不等式，然后求出不等式的解集.
9．（2023九上·泰兴期末）已知二次函数，对于其图像和性质，下列说法错误的是（ ）
A．图像开口向下
B．图像经过原点
C．当时，y随x的增大而减小，则
D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴是直线，选项A正确，不符合题意；
∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大，选项C错误，符合题意，选项D正确，不符合题意；
把代入，得，
∴抛物线经过，该函数图象经过原点，选项B正确，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】将抛物线解析式化为顶点式可得y=-(x-m)2+m2，则a=-1<0，进而判断A；将x=0代入求出y的值，据此判断B；根据二次函数的性质可得x>m时，y随x增大而减小，x10．（2022九上·长清期末）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
故①符合题意；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故②符合题意；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，
故③符合题意；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④符合题意，
故答案为：D
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·鄞州期末）当时，函数的最小值为4，则a的值为 .
【答案】a=3或a=-2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当时，有，
解得：.
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)，
当x<1时，y随x的增大而减少，当x>1时，y随x的增大而增大，
∵当时，函数有最小值4，分两种情况讨论：
若时，当x=a时，y的最小值是4，
∴
若时，当x=a+1时，y的最小值是4，
∴，
解得a=-2，
∴a=3或a=-2 ，
故答案为：a=3或a=-2.
【分析】将y=4代入抛物线的解析式算出对应的自变量的值为x=-1或x=3，将抛物线的解析式配成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)，当x<1时，y随x的增大而减少，当x>1时，y随x的增大而增大，故此题需要分类讨论：①若1＜a＜x＜a+1，当x=a时，有最小值是4，②当a＜x≤a+1＜1时，当x=a+1时，y有最小值是4.
12．（2022九上·海淀期末）对于二次函数，与的部分对应值如表所示．在某一范围内，随的增大而减小，写出一个符合条件的的取值范围 ．
… -1 0 1 2 3 …
… -3 1 3 3 1 …
【答案】x＞2（答案不唯一，满足即可）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：把，；，；，分别代入，得
，解得：，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴当x＞2时，随的增大而减小，
故答案为：x＞2（答案不唯一，满足即可）．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
13．（2022九上·长春期末）已知，，都在二次函数的图象上，则、、从小到大排序为 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数，则，开口向下，对称轴为，
则二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小，
，，到对称轴的距离分别为、、
∵，
∴
故答案为：
【分析】利用二次函数的性质求解即可。
14．（2022九上·杭州月考）已知两点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点.若，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，点抛物线的顶点，
∴抛物线开口向下，
当时，点A与点B为对称点，此时，抛物线的对称轴为直线，
要使，点A到对称轴的距离比点B到对称轴的距离近，
∴.
故答案为：.
【分析】由题意可得抛物线开口向下，当y1=y2时，点A与点B为对称点，此时抛物线的对称轴为直线x=-2，要使y0≥y1≥y2，则点A到对称轴的距离比点B到对称轴的距离近，据此可得x0的范围.
15．（2022九上·杭州月考）二次函数，当时，y的取值范围是 .
【答案】-7≤y≤-3
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=-x2+2x-4，
=-（x2-2x+4）
=-（x-1）2-3，
∴二次函数的对称轴为直线x=1，
∴时，x=1取得最大值为-3，
x=-1时，y=（-1）2+2×（-1）-4=-7，
x=2时，y=-4+4-4=-4，
∴y的取值范围是-7≤y≤-3.
故答案为：-7≤y≤-3.
【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，可得图象开口向下，对称轴为直线x=1，则在x=1处取得最大值，然后求出x=-1、x=2对应的y的值，进而可得y的范围.
16．（2023九上·海曙期末）已知点在二次函数的图象上，则的最大值等于 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：把代入，则
∴
∵
∴当时，有最大值，最大值为
故答案为：.
【分析】将P（m，n）代入y=x2+4中可得n=m2+4，则m-n=-(m-)2-，然后根据二次函数的性质可得最大值.
三、解答题（共6题，共66分）
17．（2022九上·中山期末）求函数的最值，并说明是最大值还是最小值．
【答案】解：在本函数中
抛物线开口向下，有最大值，
将 进行配方，
得 ，
当 时，
，为最大值．
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可。
18．（2021九上·富县月考）若点 ， ， 在抛物线 的图象上，请判断 ， ， 的大小关系，并说明理由.
【答案】解： .
理由： 抛物线 中 ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 .
点 关于对称轴的对称点为 ，且 ，对称轴右侧的抛物线函数值随自变量增大而减小，
.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再根据二次函数图象的对称关系得出点 关于对称轴的对称点为 ，然后根据二次函数的增减趋势解答即可.
19．（2023九上·杭州期末）已知二次函数经过（0，）和（1，）．
（1）求该二次函数的表达式和对称轴.
（2）当时，求该二次函数的最大值和最小值.
【答案】（1）解：将点（0，-2）与（1，-2）分别代入y=x2+bx+c
得
解得：
所以所求的函数解析式为：y=x2-x-2 ，
对称轴直线为：；
（2）解：∵函数y=x2-x-2 中，二次项系数为1＞0，对称轴直线是x=，
∴抛物线的开口向上，当x=时，函数有最小值y= ，
又-1≤x≤3，故当x=3时，有最大值y=4，
∴当-1≤x≤3时，函数的最大值是4，最小值是.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（0，-2）与（1，-2）分别代入y=x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而即可求出抛物线的解析式，进而根据抛物线的对称轴直线公式求出其对称轴直线；
（2）二次项系数为1＞0，对称轴直线是x=，抛物线的开口向上，当x=时，函数有最小值y= ，进而将x=3代入算出其最大值即可.
20．（2022九上·密云期末）已知抛物线．
（1）若抛物线经过点，求抛物线的对称轴；
（2）已知抛物线上有四个点，且．比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
即，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线
（2）解：，理由如下
∵，抛物线过原点O(0，0)，
E(m，0)在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为，
∵
∴，
又∵，，，
∴
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入可得，再利用抛物线的对称轴公式求解即可；
（2）找出对称轴，由已知开口向上，利用抛物线的对称性，只需比较与其它三点横坐标间的距离远近，即可得出答案。
21．（2022九上·西湖月考）二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如表：
-1 0 3 4
0 4 0
（1）直接写出的值，并求该二次函数的解析式；
（2）当时，求函数值的取值范围．
【答案】（1）解： ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
即 ；
当x=3时，m=-9+9+4=4.
（2）解： ，
当 时， 有最大值 ，
当 时， ，
当 时，函数值 的取值范围为 ．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用表中数据，可得到抛物线与x轴的两个交点坐标，因此设函数解析式为交点式，再将点（0，4）代入，可求出函数解析式；然后将x=3代入函数解析式求出m的值.
（2）将函数解析式转化为顶点式，可得到y的最大值；将x=5代入函数解析式求出对应的x的值，即可得到当1＜x＜5时的y的取值范围.
22．（2022九上·门头沟期末）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中，设抛物线的对称轴为．
（1）当时，如果，直接写出，的值；
（2）当，时，总有，求t的取值范围．
【答案】（1）解：，
（2）解：根据题意可知，当时，，
∵，
∴图象开口向下，满足，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴设抛物线对称轴为，
∴
∴点关于对称轴对称的点为，
∵，图象开口向下，，，
∴解得，
∴．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）解：根据题意，当时，，
∵抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴对称的点的坐标为，
∵，且，
∴，
【分析】（1）利用轴对称的性质求解即可；
（2）设抛物线对称轴为，则点关于对称轴对称的点为，再根据题意可得，求出，即可得到。
23．（2022九上·杭州月考）设二次函数（是常数，）
（1）若，求该函数图象的顶点坐标.
（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式.
（3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求证：
【答案】（1）解：当时，二次函数
顶点坐标为；
（2）解：当时，，因此不过点，
当时，，因此不过点，
故抛物线过点，代入得，
，
，
抛物线的关系式为
（3）解：二次函数是常数，的图象与轴交于点，，，
函数图象的对称轴为直线，
当时，函数图象开口向上，
当，时，，
，
，
解得，舍去；
当时，函数图象开口向下，
时，，
，
，，
，
，
故.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将a=1代入可得y=(x+1)(x+4)，将解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标；
（2）当x=-1时，y=0≠1；当x=-2时，y=-2≠3，则抛物线过点（0，-2），代入求解可得a的值，据此可得抛物线的解析式；
（3） 根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=，当a>0时，函数图象开口向上，根据距离对称轴越远的点对应的函数值越大结合题意可得，代入求解可得a的范围；当a<0时，同理可得，求解即可.
24．（2023九上·嵊州期末）设二次函数（，是常数）的图像与轴交于，两点.
（1）若，两点的坐标分别为，，求该二次函数的表达式.
（2）若函数的表达式可以写成（是常数）的形式，求的最大值.
（3）设一次函数（是常数），若二次函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值.
【答案】（1）解：依题意，，
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵函数的表达式可以写成
，
∴，
∴，
∴的最大值为4；
（3）解：∵，，
∴
，
∵函数的图像经过点，
∴，
∴或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得二次函数的表达式；
（2）由题意可得b=2h，c=-h2+3，则c-b=-(h+1)2+4，结合二次函数的性质可得c-b的最大值；
（3）易得q=y-p=-(x-m)(x-m+2)，将（x0，0）代入可得-(x0-m)(x0-m+2)=0，据此解答.
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2023年浙教版数学九年级上册1.3二次函数的性质 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·富阳期末）已知点，在二次函数的图像上，若，则必有（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·滨江期末）二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2023九上·江北期末）已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·余姚期末）如图，抛物线y=x2+bx+c (b， c为常数)经过点A (1，0)，点B (0，3)，点P在该抛物线上，其横坐标为m，若该抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2-m．则m的值为（ ）
A．m=3 B．m=
C．m= D．m=3或m=
5．（2022九上·榆树期末）已知二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么该二次函数有（ ）
A．最小值-7 B．最大值-7 C．最小值3 D．最大值3
6．（2022九上·余杭月考）已知二次函数y＝x2+bx+c，当m≤x≤m+1时，此函数最大值与最小值的差（ ）
A．与m，b，c的值都有关
B．与m，b，c的值都无关
C．与m，b的值都有关，与c的值无关
D．与b，c的值都有关，与m的值无关
7．（2023九上·嵊州期末）二次函数均为常数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·诸暨期末）二次函数中当时随的增大而增大，则一次项系数满足（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·泰兴期末）已知二次函数，对于其图像和性质，下列说法错误的是（ ）
A．图像开口向下
B．图像经过原点
C．当时，y随x的增大而减小，则
D．当时，y随x的增大而增大
10．（2022九上·长清期末）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·鄞州期末）当时，函数的最小值为4，则a的值为 .
12．（2022九上·海淀期末）对于二次函数，与的部分对应值如表所示．在某一范围内，随的增大而减小，写出一个符合条件的的取值范围 ．
… -1 0 1 2 3 …
… -3 1 3 3 1 …
13．（2022九上·长春期末）已知，，都在二次函数的图象上，则、、从小到大排序为 ．
14．（2022九上·杭州月考）已知两点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点.若，则的取值范围是 .
15．（2022九上·杭州月考）二次函数，当时，y的取值范围是 .
16．（2023九上·海曙期末）已知点在二次函数的图象上，则的最大值等于 .
三、解答题（共6题，共66分）
17．（2022九上·中山期末）求函数的最值，并说明是最大值还是最小值．
18．（2021九上·富县月考）若点 ， ， 在抛物线 的图象上，请判断 ， ， 的大小关系，并说明理由.
19．（2023九上·杭州期末）已知二次函数经过（0，）和（1，）．
（1）求该二次函数的表达式和对称轴.
（2）当时，求该二次函数的最大值和最小值.
20．（2022九上·密云期末）已知抛物线．
（1）若抛物线经过点，求抛物线的对称轴；
（2）已知抛物线上有四个点，且．比较的大小，并说明理由．
21．（2022九上·西湖月考）二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如表：
-1 0 3 4
0 4 0
（1）直接写出的值，并求该二次函数的解析式；
（2）当时，求函数值的取值范围．
22．（2022九上·门头沟期末）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中，设抛物线的对称轴为．
（1）当时，如果，直接写出，的值；
（2）当，时，总有，求t的取值范围．
23．（2022九上·杭州月考）设二次函数（是常数，）
（1）若，求该函数图象的顶点坐标.
（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式.
（3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求证：
24．（2023九上·嵊州期末）设二次函数（，是常数）的图像与轴交于，两点.
（1）若，两点的坐标分别为，，求该二次函数的表达式.
（2）若函数的表达式可以写成（是常数）的形式，求的最大值.
（3）设一次函数（是常数），若二次函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵
∴，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向上，则离对称轴越远，函数值越大，据此判断.
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数，且，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足的任意一个的值，都有，
则有，解得，
对于该函数图象的对称轴，
的值越小，其对称轴越靠左，如下图，
结合图像可知，的值越小，满足的的值越小，
∴当取的最大值，即时，令，
解得，，
∴满足的的最大值为，
即的最大值为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得：函数图象的开口方向向下，对称轴为x=，该函数有最大值，其最大值为y=1-，易得1-≤2，求出a的范围，画出函数的图象，结合图象可知，a的值越小，满足y≥-2的x的值越小，故a=-4时，令y=-4x2+4x+1=-2，求出x的值，进而可得m的最大值.
3．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2，二次函数经过点（0，5）、（2，-4a+5）、（4，5），然后分04．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：解：将（1，0），（0，3）分别代入y＝x2＋bx＋c得，
解得
∴y＝x2 4x＋3，
∵y＝x2 4x＋3＝（x 2）2 1，
∴抛物线顶点坐标为（2， 1），对称轴为直线x＝2，
当m＞2时，抛物线顶点为最低点，
∴ 1＝2 m，
解得m＝3，
当m≤2时，点P为最低点，
将x＝m代入y＝x2 4x＋3得y＝m2 4m＋3，
∴m2 4m＋3＝2 m，
解得（舍），，
∴m=3或.
故答案为：D.
【分析】首先通过待定系数法求该抛物线的解析式及顶点坐标，再分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值即可．
5．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴二次函数的最大值为y=-7．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可。
6．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y＝x2+bx+c＝（x+ ）2﹣ +c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣ ，函数最小值为﹣ +c，
将x＝m代入y＝x2+bx+c得y＝m2+bm+c，
将x＝m+1代入y＝x2+bx+c得y＝（m+1）2+b（m+1）+c，
当m+1＜﹣ 时，x＝m时y取最大值，x＝m+1时y取最小值，
当m＞﹣ 时，x＝m+1时y取最大值，x＝m时y取最小值，
∵m2+bm+c，（m+1）2+b（m+1）+c，﹣ +c都含有c项，
∴函数最大值与最小值的差与m，b的值都有关，与c的值无关.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向上，对称轴为直线x＝-，函数最小值为-+c，分别将x=m、m+1代入解析式中表示出y，由二次函数的性质可得当m+1＜-时，x＝m时y取最大值，x＝m+1时y取最小值，当m＞-时，x＝m+1时y取最大值，x＝m时y取最小值，据此判断.
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为，，
∴函数图象开口向下，对称轴为，
∴，，到对称轴的距离分别为：3，1，2.
∵函数图象开口向下，
∴图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小，即函数值越小，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向下，对称轴为直线x=-2，然后根据距离对称轴越远的点，对应的函数值越小进行比较.
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数中当时随的增大而增大，
∴抛物线的对称轴为直线，
b≥-2.
故答案为：B
【分析】利用函数解析式可知抛物线的开口向上，再根据当x＞1时y随x的增大而增大，可得到抛物线的对称轴x≤2，据此可得到关于b的不等式，然后求出不等式的解集.
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴是直线，选项A正确，不符合题意；
∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大，选项C错误，符合题意，选项D正确，不符合题意；
把代入，得，
∴抛物线经过，该函数图象经过原点，选项B正确，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】将抛物线解析式化为顶点式可得y=-(x-m)2+m2，则a=-1<0，进而判断A；将x=0代入求出y的值，据此判断B；根据二次函数的性质可得x>m时，y随x增大而减小，x10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
故①符合题意；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故②符合题意；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，
故③符合题意；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④符合题意，
故答案为：D
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
11．【答案】a=3或a=-2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当时，有，
解得：.
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)，
当x<1时，y随x的增大而减少，当x>1时，y随x的增大而增大，
∵当时，函数有最小值4，分两种情况讨论：
若时，当x=a时，y的最小值是4，
∴
若时，当x=a+1时，y的最小值是4，
∴，
解得a=-2，
∴a=3或a=-2 ，
故答案为：a=3或a=-2.
【分析】将y=4代入抛物线的解析式算出对应的自变量的值为x=-1或x=3，将抛物线的解析式配成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)，当x<1时，y随x的增大而减少，当x>1时，y随x的增大而增大，故此题需要分类讨论：①若1＜a＜x＜a+1，当x=a时，有最小值是4，②当a＜x≤a+1＜1时，当x=a+1时，y有最小值是4.
12．【答案】x＞2（答案不唯一，满足即可）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：把，；，；，分别代入，得
，解得：，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴当x＞2时，随的增大而减小，
故答案为：x＞2（答案不唯一，满足即可）．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
13．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数，则，开口向下，对称轴为，
则二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小，
，，到对称轴的距离分别为、、
∵，
∴
故答案为：
【分析】利用二次函数的性质求解即可。
14．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，点抛物线的顶点，
∴抛物线开口向下，
当时，点A与点B为对称点，此时，抛物线的对称轴为直线，
要使，点A到对称轴的距离比点B到对称轴的距离近，
∴.
故答案为：.
【分析】由题意可得抛物线开口向下，当y1=y2时，点A与点B为对称点，此时抛物线的对称轴为直线x=-2，要使y0≥y1≥y2，则点A到对称轴的距离比点B到对称轴的距离近，据此可得x0的范围.
15．【答案】-7≤y≤-3
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=-x2+2x-4，
=-（x2-2x+4）
=-（x-1）2-3，
∴二次函数的对称轴为直线x=1，
∴时，x=1取得最大值为-3，
x=-1时，y=（-1）2+2×（-1）-4=-7，
x=2时，y=-4+4-4=-4，
∴y的取值范围是-7≤y≤-3.
故答案为：-7≤y≤-3.
【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，可得图象开口向下，对称轴为直线x=1，则在x=1处取得最大值，然后求出x=-1、x=2对应的y的值，进而可得y的范围.
16．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：把代入，则
∴
∵
∴当时，有最大值，最大值为
故答案为：.
【分析】将P（m，n）代入y=x2+4中可得n=m2+4，则m-n=-(m-)2-，然后根据二次函数的性质可得最大值.
17．【答案】解：在本函数中
抛物线开口向下，有最大值，
将 进行配方，
得 ，
当 时，
，为最大值．
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可。
18．【答案】解： .
理由： 抛物线 中 ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 .
点 关于对称轴的对称点为 ，且 ，对称轴右侧的抛物线函数值随自变量增大而减小，
.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再根据二次函数图象的对称关系得出点 关于对称轴的对称点为 ，然后根据二次函数的增减趋势解答即可.
19．【答案】（1）解：将点（0，-2）与（1，-2）分别代入y=x2+bx+c
得
解得：
所以所求的函数解析式为：y=x2-x-2 ，
对称轴直线为：；
（2）解：∵函数y=x2-x-2 中，二次项系数为1＞0，对称轴直线是x=，
∴抛物线的开口向上，当x=时，函数有最小值y= ，
又-1≤x≤3，故当x=3时，有最大值y=4，
∴当-1≤x≤3时，函数的最大值是4，最小值是.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（0，-2）与（1，-2）分别代入y=x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而即可求出抛物线的解析式，进而根据抛物线的对称轴直线公式求出其对称轴直线；
（2）二次项系数为1＞0，对称轴直线是x=，抛物线的开口向上，当x=时，函数有最小值y= ，进而将x=3代入算出其最大值即可.
20．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
即，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线
（2）解：，理由如下
∵，抛物线过原点O(0，0)，
E(m，0)在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为，
∵
∴，
又∵，，，
∴
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入可得，再利用抛物线的对称轴公式求解即可；
（2）找出对称轴，由已知开口向上，利用抛物线的对称性，只需比较与其它三点横坐标间的距离远近，即可得出答案。
21．【答案】（1）解： ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
即 ；
当x=3时，m=-9+9+4=4.
（2）解： ，
当 时， 有最大值 ，
当 时， ，
当 时，函数值 的取值范围为 ．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用表中数据，可得到抛物线与x轴的两个交点坐标，因此设函数解析式为交点式，再将点（0，4）代入，可求出函数解析式；然后将x=3代入函数解析式求出m的值.
（2）将函数解析式转化为顶点式，可得到y的最大值；将x=5代入函数解析式求出对应的x的值，即可得到当1＜x＜5时的y的取值范围.
22．【答案】（1）解：，
（2）解：根据题意可知，当时，，
∵，
∴图象开口向下，满足，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴设抛物线对称轴为，
∴
∴点关于对称轴对称的点为，
∵，图象开口向下，，，
∴解得，
∴．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）解：根据题意，当时，，
∵抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴对称的点的坐标为，
∵，且，
∴，
【分析】（1）利用轴对称的性质求解即可；
（2）设抛物线对称轴为，则点关于对称轴对称的点为，再根据题意可得，求出，即可得到。
23．【答案】（1）解：当时，二次函数
顶点坐标为；
（2）解：当时，，因此不过点，
当时，，因此不过点，
故抛物线过点，代入得，
，
，
抛物线的关系式为
（3）解：二次函数是常数，的图象与轴交于点，，，
函数图象的对称轴为直线，
当时，函数图象开口向上，
当，时，，
，
，
解得，舍去；
当时，函数图象开口向下，
时，，
，
，，
，
，
故.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将a=1代入可得y=(x+1)(x+4)，将解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标；
（2）当x=-1时，y=0≠1；当x=-2时，y=-2≠3，则抛物线过点（0，-2），代入求解可得a的值，据此可得抛物线的解析式；
（3） 根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=，当a>0时，函数图象开口向上，根据距离对称轴越远的点对应的函数值越大结合题意可得，代入求解可得a的范围；当a<0时，同理可得，求解即可.
24．【答案】（1）解：依题意，，
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵函数的表达式可以写成
，
∴，
∴，
∴的最大值为4；
（3）解：∵，，
∴
，
∵函数的图像经过点，
∴，
∴或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得二次函数的表达式；
（2）由题意可得b=2h，c=-h2+3，则c-b=-(h+1)2+4，结合二次函数的性质可得c-b的最大值；
（3）易得q=y-p=-(x-m)(x-m+2)，将（x0，0）代入可得-(x0-m)(x0-m+2)=0，据此解答.
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