2023年浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·宁波期末）二次函数的图象与轴有两个交点，则满足的条件是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：对于二次函数可知，
二次函数的图象与轴有两个交点，
，
且，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点，可得k≠0且b2-4ac＞0，据此列出不等式组，求解即可.
2．（2023九上·南宁期末）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由解析式，令，解得，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是
故答案为：B.
【分析】由，求出x=0时y值，即可得解.
3．（2022九上·南宁月考）如表是二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的取值范围是（ ）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 …
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵时，；
时，；
∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，
∴方程有一个根在之间.
故答案为：A.
【分析】根据表格中数据可得抛物线与x轴的一个交点在和点之间，根据抛物线与x轴的交点问题可得方程有一个根的范围.
4．（2022九上·杭州月考）已知抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，则关于x的不等式x2+bx＜﹣8的取值范围是（ ）
A．1＜x＜5 B．2＜x＜4 C．0＜x＜6 D．﹣1＜x＜7
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，
∴=3，
∴b=-6，
∴抛物线的解析式为y＝x2-6x，
当y=-8时，x2-6x=-8，
解得x=2或x=4，
∵抛物线的开口向上，
∴不等式x2+bx＜-8的取值范围是2＜x＜4.
故答案为：2＜x＜4.
【分析】先求出抛物线的解析式，再求出当y=-8时x=2或x=4，结合二次函数的图象即可得出答案.
5．（2023九上·温州期末）二次函数图象与一次函数只有一交点，则的值为（ ）
A． B．或或
C． D．或
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令 （x b）2＋4b＋1＝ x＋5，整理得x2 （2b＋1）x＋b2 4b＋4＝0，
∴Δ＝（2b＋1）2 4（b2 4b＋4）＝0，
解得b＝，
把x＝ 1代入y＝ x＋5得y＝6，
把x＝5代入y＝ x＋5得y＝0，
把x＝ 1代入y＝ （x b）2＋4b＋1得y＝ （1＋b）2＋4b＋1，
∴6≥ （1＋b）2＋4b＋1，
把x＝5代入y＝ （x b）2＋4b＋1得y＝ （5 b）2＋4b＋1＞0，
解得2＜b＜12，
当b＞5时，抛物线经过（5，0）满足题意，
∴ （5 b）2＋4b＋1＝0，
解得b＝12或b＝2（舍），
∴2＜b≤12．
∴2＜b≤12或b＝．
故答案为：D.
【分析】分类讨论：①抛物线与直线相切，联立两函数解析式并整理得x2 （2b＋1）x＋b2 4b＋4＝0，根据两函数图象只有一个交点，则该方程根的判别式的值等于0，据此建立方程求解可得b的值；②抛物线与线段只有一个交点，将x=-1与x=5分别代入两函数解析式，算出对应的函数值，由两函数只有一个交点可得关于字母b的不等式组，求解即可.
6．（2022九上·温州开学考）用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（ ）
A．6米 B．8米 C．12米 D．米
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB的长为x米，则AD的长为米，
由矩形面积公式得：S矩形ABCD＝AD AB＝x×＝﹣2x2+24x＝﹣2（x﹣6）2+72，
∵48﹣4x＞0，
∴x＜12，
∴0＜x＜12，
∵﹣2＜0，
∴当x＝6时，矩形的面积有最大值.
故答案为：A.
【分析】设AB=x米，则AD=米，根据矩形的面积公式建立函数关系，根据AD>0可得x的范围，然后利用二次函数的性质进行解答.
7．（2021九上·交城期中）如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊥BD，CE= BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： AB=AD，△ABD的周长为20cm，设
故答案为：C
【分析】用含x的表示方法表示出再利用三角形的面积公式列出方程即可。
8．（2022九上·霍邱月考）将进货单价为30元的某种商品按零售价100元1件卖出时，每天能卖出20件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大的利润，则应降价（ ）
A．5元 B．15元 C．25元 D．35元
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设应降价x元，
由题意可得：（20+x）（100-x-30）=-x2+50x+1400=-（x-25）2+2025，
∵-1＜0，
∴当x=25时，其最大利润为2025，
∴应降价25元，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出（20+x）（100-x-30）=-x2+50x+1400=-（x-25）2+2025，再求解即可。
9．（2022九上·龙港期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A．y＝（x-35）（200-5x） B．y＝（x+40）（200 10x）
C．y＝（x+5）（200-5x） D．y＝（x+5）（200 10x）
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x-35）（200-5x）＝（x+5）（200-5x），
故答案为：C.
【分析】每件商品的利润为（40+x-35）元，销售的数量为（200-5x）个，根据单件商品的利润×销售商品的数量=总利润可建立出y与x的函数关系式.
10．（2022九上·大连期末）如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮筐底的距离是（ ）
A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：球的运动路线是抛物线的一部分，篮圈中心在轴的右侧，高度为3.05m，
令，则，
解得：，
篮圈中心在轴的右侧，
，
，
小强与篮筐底的距离为：m，
故答案为：D．
【分析】将代入可得，求出x的值，再求出答案即可。
二、填空题（每空4分，共20分）
11．（2023九上·慈溪期末）写出一个二次函数，满足图象开口向下，顶点在y轴上，且与x轴有两个交点： .
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：设所求二次函数的解析式为 .
∵图象的开口向下，
∴ ，可取 ；
∵顶点在y轴上，
∴ ，得 ；
∵与x轴有两个交点，
∴ ，可取 ；
∴函数解析式可以为： （答案不唯一）.
故答案为： （答案不唯一）.
【分析】设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由开口向下可得a<0，取a=-1，根据顶点在y轴上可得b=0，由与x轴有两个交点可得c>0，取c=2，据此可得函数解析式.
12．（2023九上·崇左期末）抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为 （精确到0.1）.
【答案】0.3或1.7
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别是、，
又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根，
∴方程的两个近似根是0.3 或1.7.
故答案为：0.3或1.7.
【分析】根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答.
13．（2023九上·金东期末） 经过点，则不等式的解集是 ．
【答案】x＞4或x＜0
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 经过点，
-3＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴不等式的解集为x＞4或x＜0.
故答案为：x＞4或x＜0
【分析】利用函数解析式可知抛物线的开口向下，利用点A，B的纵坐标都为2，可得到不等式-3x2+bx+c＜2的解集.
14．（2023九上·长兴期末）如图，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是 .
【答案】-6＜m＜-2
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，当时，，解得，，则，，
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，
即，
当直线经过点时，，解得；
当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得，
所以当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围为-6＜m＜-2.
故答案为：-6＜m＜-2.
【分析】令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(x+2)(x-3)，当直线经过点A时，代入求出m的值，即为m的最大值；当直线与抛物线y=(x+2)(x-3)有唯一公共点时，方程x2-x-6=-x+m有相等的实数解，求出m的值，即为m的最小值，据此不难得到m的范围.
15．（2022九上·沈阳期末）从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是.小球运动到 时，达到最大高度．
【答案】6
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：，
∴对称轴为，抛物线开口向下，
在对称轴的左边，随的增大而增大，
∵
∴当时，达到最大高度，
故答案为：6．
【分析】将变形为=，再利用二次函数的性质求解即可。
三、解答题（共8题，共70分）
16．（2023九上·富阳期末）一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线.求铅球的落地点离运动员有多远（结果保留根号）？
【答案】解：由题意知，抛物线的顶点坐标为.
设函数表达式为
把点代入，得，
解得.
所以函数表达式为.
当时，，
解得，（舍去），
答：铅球的落地点离运动员.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】由题意知：抛物线的顶点坐标为（4，3），设函数表达式为y=a(x-4)2+3，将（0，1.5）代入求出a的值，得到对应的函数表达式，令y=0，求出x的值，据此解答.
17．（2022九上·中山期末）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形的面积为．问长为多少时S最大，并求最大面积．
【答案】解：设，
，
由题意得；
，
当时，有最大值，，
时S最大，．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意设，得出AB，由题意得；当时，有最大值，，时S最大，。
18．（2021九上·原州月考）已知二次函数y=x2﹣x﹣6.求二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积.
【答案】解：二次函数y=x2﹣x﹣6，
当时，，
解得：，，
当时，，
∴二次函数的图象与轴的交点为，
与轴的交点为，
∴二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积为.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】设y=0，解关于x的一元二次方程求出二次函数的图象与x轴的交点坐标，然后求出两交点间的距离，再设x=0，求出抛物线与y轴的交点坐标，最后计算三角形的面积即可.
19．（2022九上·怀宁月考）利民商店销售一种进价为50元/件的土特产商品，当售价为60元/件，每周可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖10件．求利民商店将售价上涨多少时每周可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】解：设每件商品的售价上涨x元，利润为y元，则每件商品的利润为元，每周销量为件，
∴，
解得：，
∴．
依题意得：．
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴当每件商品的售价上涨5元时商店每周可获得最大利润2250元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每件商品的售价上涨x元，利润为y元，则每件商品的利润为元，每周销量为件， 根据利润=每件的利润×销售量，列出函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可.
20．（2023九上·东阳期末）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：，
故y与x的函数关系式为y＝-20x+500；
（2）解：设每天销售这种商品所获的利润为w，
∵y＝-20x+500，
∴w＝（x-13）y＝（x-13）（-20x+500）
＝-20x2+760x-6500
＝-20（x-19）2+720，
∵-20＜0，
∴当x＜19时，w随x的增大而增大，
∵13≤x≤18，
∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，
∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据图象提供的数据，利用待定系数法可求出y与x的函数关系式；
（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，根据单件商品的利润乘以销售数量=总利润建立出w与x的函数关系式，进而根据所得函数的性质并结合自变量的取值范围即可得出答案.
21．（2023九上·江北期末）用长为8米的铝合金条制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米.
（1）请用含的代数式表示的长.
（2）设矩形的面积为，出于实际考虑，我们要求窗框的高度()至少为1米，宽度()至少为1.5米，则当取何值时，透光面积最大，并求出面积的最大值.
【答案】（1）解：设，则，
∴
解得：
∴
（2）解：
，
解得
∵对称轴为直线，
∴当时，随增大而减小，
∴当时，
答：当时，透光面积最大，最大面积为.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设AE=a，则DE=2a，由题意可得8a+3x=8，表示出a，进而可得AD；
（2）根据矩形的面积公式可得y与x的关系式，由题意可得x≥1.5且y≥1，联立求出x的范围，然后利用二次函数的性质进行解答.
22．（2021九上·斗门期末）如图二次函数的图象与x轴交于点、，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根；
（2）当x为何值时，？当x为何值时，？
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：二次函数的图象与x轴交于、，
的根为：，；
（2）解：二次函数的图象与x轴交于、
观察图象可知：当时，图象总在x轴的上方．
不等式的解集为：．
观察图象可知：当或时，图象总在x轴的下方．
当或时，，
（3）解：二次函数的图象与x轴交于、，
该图象的对称轴为直线，
图象开口向下，
当时，y随x的增大而减小．
即y随x的增大而减少时．
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与不等式（组）的综合应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴交于、，即可得出方程的两个根；
（2）观察图象可知：当时，图象总在x轴的上方．当或时，图象总在x轴的下方．由此分别得出x的范围；
（3）二次函数的图象与x轴交于、，得出该图象的对称轴，再根据图象开口向下，得出当时，y随x的增大而减小．由此得出结论。
23．（2023九上·吴兴期末）“中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱.自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如下表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈项客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（，且x为整数）成一次函数关系，当时，，当时，.已知该纪念品成本价为20元/件.
（1）求y关于x的函数表达式，及z与x之间的函数关系式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值.
【答案】（1）解：由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得是的一次函数，
设，把，，，代入可得：
，解得：，
∴y关于x的函数表达式为；
设，当时，，当时，，
∴，解得：，
∴z与x之间的函数关系式为：
（2）解：设总利润为元，则
；
当时，取得最大值，
所以，第15天利润最大，最大值为：（元）.
（3）解：由题意可得：第20天开始每件商品的单价为元，每件商品的利润为：元，
设此时利润为：元，则
当时，取得最大值，
最大值为：；
当最大值为时，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）
综上：第天时，取得最大值，当利润为元时，.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意可得y是x的一次函数，设y=kx+b，将x=1、y=220；x=2、y=240代入求出k、b的值，可得y与x的关系式；设z=mx+n，将x=1、z=98；x=2、z=96代入求出m、n的值，可得z与x之间的函数关系式；
（2）设总利润为w元，根据(售价-成本价)×销售量可得w与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答；
（3）由题意可得：第20天开始每件商品的单价为(-2x+100-a)元，每件商品的利润为(-2x+80-a)元，设此时利润为w1元，根据每件的利润×销售量=总利润可得w1与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·宁波期末）二次函数的图象与轴有两个交点，则满足的条件是（ ）
A． B． C．且 D．
2．（2023九上·南宁期末）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·南宁月考）如表是二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的取值范围是（ ）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 …
A． B． C． D．
4．（2022九上·杭州月考）已知抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，则关于x的不等式x2+bx＜﹣8的取值范围是（ ）
A．1＜x＜5 B．2＜x＜4 C．0＜x＜6 D．﹣1＜x＜7
5．（2023九上·温州期末）二次函数图象与一次函数只有一交点，则的值为（ ）
A． B．或或
C． D．或
6．（2022九上·温州开学考）用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（ ）
A．6米 B．8米 C．12米 D．米
7．（2021九上·交城期中）如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊥BD，CE= BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022九上·霍邱月考）将进货单价为30元的某种商品按零售价100元1件卖出时，每天能卖出20件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大的利润，则应降价（ ）
A．5元 B．15元 C．25元 D．35元
9．（2022九上·龙港期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A．y＝（x-35）（200-5x） B．y＝（x+40）（200 10x）
C．y＝（x+5）（200-5x） D．y＝（x+5）（200 10x）
10．（2022九上·大连期末）如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮筐底的距离是（ ）
A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m
二、填空题（每空4分，共20分）
11．（2023九上·慈溪期末）写出一个二次函数，满足图象开口向下，顶点在y轴上，且与x轴有两个交点： .
12．（2023九上·崇左期末）抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为 （精确到0.1）.
13．（2023九上·金东期末） 经过点，则不等式的解集是 ．
14．（2023九上·长兴期末）如图，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是 .
15．（2022九上·沈阳期末）从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是.小球运动到 时，达到最大高度．
三、解答题（共8题，共70分）
16．（2023九上·富阳期末）一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线.求铅球的落地点离运动员有多远（结果保留根号）？
17．（2022九上·中山期末）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形的面积为．问长为多少时S最大，并求最大面积．
18．（2021九上·原州月考）已知二次函数y=x2﹣x﹣6.求二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积.
19．（2022九上·怀宁月考）利民商店销售一种进价为50元/件的土特产商品，当售价为60元/件，每周可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖10件．求利民商店将售价上涨多少时每周可获得最大利润？最大利润是多少？
20．（2023九上·东阳期末）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
21．（2023九上·江北期末）用长为8米的铝合金条制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米.
（1）请用含的代数式表示的长.
（2）设矩形的面积为，出于实际考虑，我们要求窗框的高度()至少为1米，宽度()至少为1.5米，则当取何值时，透光面积最大，并求出面积的最大值.
22．（2021九上·斗门期末）如图二次函数的图象与x轴交于点、，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根；
（2）当x为何值时，？当x为何值时，？
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
23．（2023九上·吴兴期末）“中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱.自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如下表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈项客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（，且x为整数）成一次函数关系，当时，，当时，.已知该纪念品成本价为20元/件.
（1）求y关于x的函数表达式，及z与x之间的函数关系式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：对于二次函数可知，
二次函数的图象与轴有两个交点，
，
且，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点，可得k≠0且b2-4ac＞0，据此列出不等式组，求解即可.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由解析式，令，解得，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是
故答案为：B.
【分析】由，求出x=0时y值，即可得解.
3．【答案】A
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵时，；
时，；
∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，
∴方程有一个根在之间.
故答案为：A.
【分析】根据表格中数据可得抛物线与x轴的一个交点在和点之间，根据抛物线与x轴的交点问题可得方程有一个根的范围.
4．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，
∴=3，
∴b=-6，
∴抛物线的解析式为y＝x2-6x，
当y=-8时，x2-6x=-8，
解得x=2或x=4，
∵抛物线的开口向上，
∴不等式x2+bx＜-8的取值范围是2＜x＜4.
故答案为：2＜x＜4.
【分析】先求出抛物线的解析式，再求出当y=-8时x=2或x=4，结合二次函数的图象即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令 （x b）2＋4b＋1＝ x＋5，整理得x2 （2b＋1）x＋b2 4b＋4＝0，
∴Δ＝（2b＋1）2 4（b2 4b＋4）＝0，
解得b＝，
把x＝ 1代入y＝ x＋5得y＝6，
把x＝5代入y＝ x＋5得y＝0，
把x＝ 1代入y＝ （x b）2＋4b＋1得y＝ （1＋b）2＋4b＋1，
∴6≥ （1＋b）2＋4b＋1，
把x＝5代入y＝ （x b）2＋4b＋1得y＝ （5 b）2＋4b＋1＞0，
解得2＜b＜12，
当b＞5时，抛物线经过（5，0）满足题意，
∴ （5 b）2＋4b＋1＝0，
解得b＝12或b＝2（舍），
∴2＜b≤12．
∴2＜b≤12或b＝．
故答案为：D.
【分析】分类讨论：①抛物线与直线相切，联立两函数解析式并整理得x2 （2b＋1）x＋b2 4b＋4＝0，根据两函数图象只有一个交点，则该方程根的判别式的值等于0，据此建立方程求解可得b的值；②抛物线与线段只有一个交点，将x=-1与x=5分别代入两函数解析式，算出对应的函数值，由两函数只有一个交点可得关于字母b的不等式组，求解即可.
6．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB的长为x米，则AD的长为米，
由矩形面积公式得：S矩形ABCD＝AD AB＝x×＝﹣2x2+24x＝﹣2（x﹣6）2+72，
∵48﹣4x＞0，
∴x＜12，
∴0＜x＜12，
∵﹣2＜0，
∴当x＝6时，矩形的面积有最大值.
故答案为：A.
【分析】设AB=x米，则AD=米，根据矩形的面积公式建立函数关系，根据AD>0可得x的范围，然后利用二次函数的性质进行解答.
7．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： AB=AD，△ABD的周长为20cm，设
故答案为：C
【分析】用含x的表示方法表示出再利用三角形的面积公式列出方程即可。
8．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设应降价x元，
由题意可得：（20+x）（100-x-30）=-x2+50x+1400=-（x-25）2+2025，
∵-1＜0，
∴当x=25时，其最大利润为2025，
∴应降价25元，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出（20+x）（100-x-30）=-x2+50x+1400=-（x-25）2+2025，再求解即可。
9．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x-35）（200-5x）＝（x+5）（200-5x），
故答案为：C.
【分析】每件商品的利润为（40+x-35）元，销售的数量为（200-5x）个，根据单件商品的利润×销售商品的数量=总利润可建立出y与x的函数关系式.
10．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：球的运动路线是抛物线的一部分，篮圈中心在轴的右侧，高度为3.05m，
令，则，
解得：，
篮圈中心在轴的右侧，
，
，
小强与篮筐底的距离为：m，
故答案为：D．
【分析】将代入可得，求出x的值，再求出答案即可。
11．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：设所求二次函数的解析式为 .
∵图象的开口向下，
∴ ，可取 ；
∵顶点在y轴上，
∴ ，得 ；
∵与x轴有两个交点，
∴ ，可取 ；
∴函数解析式可以为： （答案不唯一）.
故答案为： （答案不唯一）.
【分析】设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由开口向下可得a<0，取a=-1，根据顶点在y轴上可得b=0，由与x轴有两个交点可得c>0，取c=2，据此可得函数解析式.
12．【答案】0.3或1.7
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别是、，
又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根，
∴方程的两个近似根是0.3 或1.7.
故答案为：0.3或1.7.
【分析】根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答.
13．【答案】x＞4或x＜0
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 经过点，
-3＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴不等式的解集为x＞4或x＜0.
故答案为：x＞4或x＜0
【分析】利用函数解析式可知抛物线的开口向下，利用点A，B的纵坐标都为2，可得到不等式-3x2+bx+c＜2的解集.
14．【答案】-6＜m＜-2
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，当时，，解得，，则，，
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，
即，
当直线经过点时，，解得；
当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得，
所以当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围为-6＜m＜-2.
故答案为：-6＜m＜-2.
【分析】令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(x+2)(x-3)，当直线经过点A时，代入求出m的值，即为m的最大值；当直线与抛物线y=(x+2)(x-3)有唯一公共点时，方程x2-x-6=-x+m有相等的实数解，求出m的值，即为m的最小值，据此不难得到m的范围.
15．【答案】6
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：，
∴对称轴为，抛物线开口向下，
在对称轴的左边，随的增大而增大，
∵
∴当时，达到最大高度，
故答案为：6．
【分析】将变形为=，再利用二次函数的性质求解即可。
16．【答案】解：由题意知，抛物线的顶点坐标为.
设函数表达式为
把点代入，得，
解得.
所以函数表达式为.
当时，，
解得，（舍去），
答：铅球的落地点离运动员.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】由题意知：抛物线的顶点坐标为（4，3），设函数表达式为y=a(x-4)2+3，将（0，1.5）代入求出a的值，得到对应的函数表达式，令y=0，求出x的值，据此解答.
17．【答案】解：设，
，
由题意得；
，
当时，有最大值，，
时S最大，．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意设，得出AB，由题意得；当时，有最大值，，时S最大，。
18．【答案】解：二次函数y=x2﹣x﹣6，
当时，，
解得：，，
当时，，
∴二次函数的图象与轴的交点为，
与轴的交点为，
∴二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积为.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】设y=0，解关于x的一元二次方程求出二次函数的图象与x轴的交点坐标，然后求出两交点间的距离，再设x=0，求出抛物线与y轴的交点坐标，最后计算三角形的面积即可.
19．【答案】解：设每件商品的售价上涨x元，利润为y元，则每件商品的利润为元，每周销量为件，
∴，
解得：，
∴．
依题意得：．
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴当每件商品的售价上涨5元时商店每周可获得最大利润2250元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每件商品的售价上涨x元，利润为y元，则每件商品的利润为元，每周销量为件， 根据利润=每件的利润×销售量，列出函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可.
20．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：，
故y与x的函数关系式为y＝-20x+500；
（2）解：设每天销售这种商品所获的利润为w，
∵y＝-20x+500，
∴w＝（x-13）y＝（x-13）（-20x+500）
＝-20x2+760x-6500
＝-20（x-19）2+720，
∵-20＜0，
∴当x＜19时，w随x的增大而增大，
∵13≤x≤18，
∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，
∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据图象提供的数据，利用待定系数法可求出y与x的函数关系式；
（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，根据单件商品的利润乘以销售数量=总利润建立出w与x的函数关系式，进而根据所得函数的性质并结合自变量的取值范围即可得出答案.
21．【答案】（1）解：设，则，
∴
解得：
∴
（2）解：
，
解得
∵对称轴为直线，
∴当时，随增大而减小，
∴当时，
答：当时，透光面积最大，最大面积为.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设AE=a，则DE=2a，由题意可得8a+3x=8，表示出a，进而可得AD；
（2）根据矩形的面积公式可得y与x的关系式，由题意可得x≥1.5且y≥1，联立求出x的范围，然后利用二次函数的性质进行解答.
22．【答案】（1）解：二次函数的图象与x轴交于、，
的根为：，；
（2）解：二次函数的图象与x轴交于、
观察图象可知：当时，图象总在x轴的上方．
不等式的解集为：．
观察图象可知：当或时，图象总在x轴的下方．
当或时，，
（3）解：二次函数的图象与x轴交于、，
该图象的对称轴为直线，
图象开口向下，
当时，y随x的增大而减小．
即y随x的增大而减少时．
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与不等式（组）的综合应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴交于、，即可得出方程的两个根；
（2）观察图象可知：当时，图象总在x轴的上方．当或时，图象总在x轴的下方．由此分别得出x的范围；
（3）二次函数的图象与x轴交于、，得出该图象的对称轴，再根据图象开口向下，得出当时，y随x的增大而减小．由此得出结论。
23．【答案】（1）解：由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得是的一次函数，
设，把，，，代入可得：
，解得：，
∴y关于x的函数表达式为；
设，当时，，当时，，
∴，解得：，
∴z与x之间的函数关系式为：
（2）解：设总利润为元，则
；
当时，取得最大值，
所以，第15天利润最大，最大值为：（元）.
（3）解：由题意可得：第20天开始每件商品的单价为元，每件商品的利润为：元，
设此时利润为：元，则
当时，取得最大值，
最大值为：；
当最大值为时，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）
综上：第天时，取得最大值，当利润为元时，.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意可得y是x的一次函数，设y=kx+b，将x=1、y=220；x=2、y=240代入求出k、b的值，可得y与x的关系式；设z=mx+n，将x=1、z=98；x=2、z=96代入求出m、n的值，可得z与x之间的函数关系式；
（2）设总利润为w元，根据(售价-成本价)×销售量可得w与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答；
（3）由题意可得：第20天开始每件商品的单价为(-2x+100-a)元，每件商品的利润为(-2x+80-a)元，设此时利润为w1元，根据每件的利润×销售量=总利润可得w1与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答.
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