2023年浙教版数学九年级上册第一章 二次函数 单元测试（提高版）

2023年浙教版数学九年级上册第一章 二次函数 单元测试（提高版）
一、单选题（每题2分，共20分）
1．（2023九上·诸暨期末）已知关于的二次函数解析式为，则（　　）
A．±2 B．1 C．-2 D．±1
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵关于的二次函数解析式为 ，
∴|m|=2且m-2≠0，
解之：m=±2，m≠2，
∴m=-2.
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数为2，且二次项的系数不为0，可得到关于m的方程和不等式，然后求出m的值.
2．（2022·巴中）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
① ；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；
故答案为：D.
【分析】根据图象与x轴的交点的横坐标可得对称轴，结合对称轴方程可判断①；由图象可得y=ax2+bx+c（a>0）的开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，求出c的值，进而判断②；根据对称轴为直线x=1可得b<0，根据c=-3<0可判断③；设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将（0，3）代入求出a的值，得到抛物线的解析式以及顶点坐标，进而判断④.
3．（2022·禹城模拟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①a＜b＜0；②4a＋2b＋c＞0；③2a＋c＞0；④2a-b＋1＞0，其中符合题意结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①由图象开口向下知a＜0，
由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，
则该抛物线的对称轴为，
即1，
由a＜0，两边都乘以a得：b＞a．
∵a＜0，对称轴x0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0，故符合题意；
②根据题意画大致图象如图所示，
当x＝2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
故②不符合题意；
③由一元二次方程根与系数的关系知，结合a＜0，得2a+c＞0，所以结论符合题意，
④由4a-2b+c＝0得2a-b，而0＜c＜2，
∴，
∴-1＜2a-b＜0，
∴2a-b+1＞0，所以结论符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
4．（2022·石城模拟）若平面直角坐标系内的点 满足横、纵坐标都为整数，则把点 叫做“整点”．例如： 、 都是“整点”．抛物线 与 轴交于A、 两点，若该抛物线在A、 之间的部分与线段 所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】∵y＝mx2-4mx+4m-2＝m(x-2)2-2，且m＞0，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，-2)，对称轴是直线x＝2．
由此可知点(2，0)、点(2，-1)、顶点(2，-2)必在此区域内．
①当该抛物线经过点(1，-1)和(3，-1)时，如图，这两个点符合题意．
将(1，-1)代入y＝mx2-4mx+4m-2得，-1＝m-4m+4m-2，
解得m＝1．
此时抛物线解析式为y＝x2-4x+2．
当 时， ．
∴x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意．
则当m＝1时，恰好有 (1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，-1)、(3，-1)、(2，-1)、(2，-2)这7个整点符合题意．
∴m≤1．（m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大）．
②当该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)时，如图，这两个点符合题意．
此时x轴上的点 (1，0)、(2，0)、(3，0)也符合题意．
将(0，0)代入y＝mx2-4mx+4m-2得到0＝0-4m+0-2．解得 ．
此时抛物线解析式为 ．
当x＝1时，得 ．
∴点(1，-1)符合题意．
当x＝3时，得 ．
∴点(3，-1)符合题意．
综上可知：当 时，点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，-1)、(3，-1)、(2，-2)、(2，-1)都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴ 不符合题．
∴ ．
综合①②可得：当 时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点，
故答案为：B．
【分析】分两种情况：①当该抛物线经过点(1，-1)和(3，-1)时，②当该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)时，再分别求出m的值，即可得到答案。
5．（2022九上·莱州期末）如图，抛物线交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①一元二次方程有两个相等的实数根；②若点，，在该函数图象上，则；③将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是；④在y轴上找一点D，使的面积为1，则D点的坐标为.以上四个结论中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】①方程整理得：，∴，故方程有两个相等的实数根，故①符合题意．
②由图可知，开口朝下且对称轴为，且，
∴，
∵且比离对称轴更远，
∴，
∴，故②符合题意．
③由题意可知：，
∴平移后解析式为：，
∵平移后图象再沿x轴翻折，
∴翻折之后的解析式为：，故③符合题意．
④∵，
∴，
当时，，
∴，
设，则，
∵的面积为1，
∴，即，
∴解得：或，
∴或．故④不符合题意．
正确答案为①②③，
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的图象和性质及函数解析式平移的特征逐项判断即可。
6．（2022九上·杭州期中）已知二次函数y=（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，则（　　）
A．m>1，n<0时，二次函数的最小值大于0
B．m=1，n>0时，二次函数的最小值大于0
C．m<1，n>0时，二次函数的最小值小于0
D．m=1，n<0时，二次函数的最小值小于0
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，
∴当m＝1时，
y＝（x+1）（x-3）+n＝x2-2x-3+n＝（x-1）2-4+n
∴二次函数的最小值为y＝-4+n，
∴①当m＝1，n＞4时，-4+n＞0，
∴B选项不符合题意；
∴②当m＝1，n＜0时，二次函数的最小值为y＝-4+n＜0，
∴D选项符合题意；
当m＞1，n＜0时，
若m＝2，则y＝x（x-2）+n＝x2-2x+n＝（x-1）2-1+n，
∴此时二次函数的最小值为-1+n，小于0，
故A选项不符合题意；
当m＜1，n＞0时，
若m＝0，则y＝（x+2）（x-4）+n＝x2-2x-8+n＝（x-1）2-9+n，
∴此时二次函数的最小值为-9+n，
∴当0＜n＜9时，-9+n＜0，
∴C选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】先取m＝1时，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断B、D选项即可；再取m=2，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断A选项即可；再取m=0，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断D选项即可.
7．（2022九上·萧山月考）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，
即x2﹣4x+3=0，
解得x=1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y=x+m1与C2相切时，
令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1=0，
△=﹣8m1﹣15=0，
解得m1=，
当y=x+m2过点B时，
即0=3+m2，
m2=﹣3，
当时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故答案为：D．
考点：二次函数的图象．
【分析】先求出A、B的坐标，然后根据平移求出C2的解析式，分别求出直线 y=x+m与抛物线C2的相切时m的值以及直线y=x+m过点B时的m值，结合图象即可求解.
8．（2023九下·萧山期中）已知二次函数，与的部分对应值为：
-2 -1 0 1 2
-1 2 3 2 ？
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（　　）
A．当时，函数图象从左到右上升
B．抛物线开口向上
C．方程的一个根在-2与-1之间
D．当时，
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格中的数据可得：x=-1与x=1对应的函数值相等，
∴对称轴为直线x=0，
∴顶点坐标为（0，3），
∴函数在x=0处取得最大值，
∴当x>0时，图象从左向右下降，抛物线开口向下.
∵x=2与x=-2到对称轴的距离相等，
∴x=2与x=-2对应的函数值相等，
∴当x=2时，y=-1.
∵x=-2与x=-1所对应的函数值符号相反，
∴方程ax2+bx+c=0的一个根在-2与-1之间.
故答案为：C.
【分析】由表格中的数据可得：x=-1与x=1对应的函数值相等，则对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，3），函数在x=0处取得最大值，据此可判断A、B；根据对称性可得x=2与x=-2对应的函数值相等，据此可判断D；由表格中的数据可得x=-2与x=-1所对应的函数值符号相反，据此判断C.
9．（2023·济南模拟）已知二次函数与一次函数交于、两点，当时，至少存在一个x使得成立，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数与一次函数y=-x+1交于、两点，
则：，整理得：，
即：，
∴，，
的对称轴为直线，
当时，要使得至少存在一个x使得成立，只需当时，即可，
①当时，即：，则当时，随增大而减小，
∴当时，取最大值，，
可得：，即，
②当时，即：，则当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∴当时，取最大值，，
可得：，即，
③当时，即：，与矛盾，
综上所述：．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数和一次函数的图象与性质判断求解即可。
10．（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为 ,面积为y=x· · = ,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为 ,面积为
y=(4－x)· · = ,
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为 ,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2023·松江模拟）已知一个二次函数的图象经过点，且在轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是　 　（只要写出一个符合要求的解析式）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点，且在轴左侧部分是上升的，
若二次函数的顶点坐标为，且图象开口向下，
∴二次函数解析式的二次项系数，
∴二次函数解析式不唯一，如：
故答案为：（答案不唯一）
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可。
12．（2021九上·东海期末）如图，一段抛物线： ，记为 ，它与x轴交于两点O， ；将 绕 旋转 得到 ，交x轴于 ；将 绕 旋转 得到 ，交x轴于 ，过抛物线 ， 顶点的直线与 、 、 围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为　 　.
【答案】108
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：
因为函数
所以，对称轴： ，则当 时， ，即 ，由题意知 ，
所以，
由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离= = =108
故答案为：108.
【分析】由函数 ，求出 ，再得出 ， ，利用由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离，求解即可.
13．（2021九上·诸暨期末）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于不同两点，与 轴的交点在 轴正半轴，它的对称轴为直线 .有以下结论：① ，② ，③若点 和 在该图象上，则 ，④设 ， 是方程 的两根，若 ，则 .其中正确的结论是　 　（填入正确结论的序号）.
【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在原点的右边，与y轴交于正半轴，
∴a＜0， b＞0，c＞0，
∴abc＜0，
∴结论①错误；
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴ ，
∴b=-2a；
∵ c+a+b＞0，
∴c-a＞0，
∴a-c＜0，
∴结论②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向下，
∵点 和 在该图象上，
∴ 与x=1的距离比 与x=1的距离远；
∴ ，
∴结论③正确；
∵ ， ， 是方程 的两根，
当 时， ；
∴ ；
当p=0时，
当p＜0时，
∴
∴结论④正确；③④
【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可.
14．（2021九上·鄂州期末）已知函数 的图象与函数 的图象恰好有四个交点，则 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】当x≥1时，y= ；
当x＜1时，y= ；
∴ ，
二图象的交点为（1，-6）, y= 的最小值为 ，
画图象如下，
根据图象，可得直线 与 之间的部分有 个交点，
∴b的取值范围为 ＜b＜-6，
故填 ＜b＜-6.
【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图象确定b的范围即可.
15．（2023九下·杭州月考）已知二次函数y＝x2＋bx＋c．当－1≤x≤1时，y的取值范围是－1≤y≤1，该二次函数的对称轴为x＝m，则m的值是　 　.
【答案】 或 -1
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x=m，
∴，
∵1＞0，
∴当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小，
∵当-1≤x≤1时，y的取值范围是-1≤y≤1，
若m≤-1，抛物线经过点（1，1），（-1，-1），
解之：，
此时（舍去）；
若m≥1，抛物线经过点（-1，1），（1，-1），
解之：，
此时（舍去）；
若-1＜m＜1，
当m-（-1）＞1-m时，此时m＞0，
当时y=-1且函数图象经过点（-1，1）
∴
解之：
此时（舍去），
当m-（-1）＜1-m时，此时m＜0，
当时y=-1且函数图象经过点（1，1）
∴
解之：
此时（舍去），
∴m的取值范围为 或 -1.
故答案为： 或 -1
【分析】利用二次函数的对称轴可用含b的代数式表示出m，利用二次函数的增减性，可得到当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小；利用当-1≤x≤1时，y的取值范围是-1≤y≤1，分情况讨论：若m≤-1，抛物线经过点（1，1），（-1，-1），代入可求出b，c的值，即可得到b的值；若m≥1，抛物线经过点（-1，1），（1，-1），代入求出b，c的值，即可得到m的值；若-1＜m＜1，当m-（-1）＞1-m时，此时m＞0，当时y=-1且函数图象经过点（-1，1），代入可求出b，c的值，可得到符合题意的m的值；当m-（-1）＜1-m时，此时m＜0，当时y=-1且函数图象经过点（1，1），代入求出b，c的值，即可得到符合题意的m的值，综上所述可得到m的值.
16．（2021九上·瑞安期中）如图所示，从高为2m的点 处向右上抛一个小球 ，小球路线呈抛物线 形状，小球水平经过2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶B处弹起，已知 m， m， m，若小球弹起形成一条与 形状相同的抛物线，且落点 与 ， 在同一直线上，则小球弹起时的最大高度是　 　m
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
点A（0，2），抛物线的顶点（2，6）
设抛物线的解析式为
代入A点坐标得
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
点B的纵坐标为MN-EF-CD=4-1-1=2，
∴y=2时， ，
解得 ，
∴点B（4，2），
点D的横坐标=4-CB=4-1.2=2.8，点D的纵坐标2+1=3，
点D（2.8，3）
设直线BD解析式为 代入坐标得
解得
直线BD解析式为
当y=0时，
点Q（ ，0）
过B、Q的抛物线解析式为 ，代入坐标得
解得
∴小球弹起时的最大高度是 m.
故答案为 ：.
【分析】以OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，2），顶点坐标为（2，6），设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+6，将点A代入求出a，可得抛物线的解析式，点B的纵坐标为MN-EF-CD=2，令y=2，求出x，可得B（4，2），同理可得D（2.8，3），利用待定系数法求出直线BD的解析式，令y=0，求出x，可得Q（ ，0），过B、Q的抛物线解析式为y=-(x-m)2+n，将点B、Q代入求出m、n，据此解答.
三、作图题（共9分）
17．（2021九上·下城期末）已知二次函数 的图象经过点 .
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程 的解；
②当x满足什么条件时， .
【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴将点 代入的解析式为 ，
得 ，
解得： .
∴抛物线的解析式为： 即： .
（2）解：函数的图象如下图所示：
①方程 ，即：在函数 中y=-3时， ， .
所以方程 的解是 ， ；
②当 时，即函数图象在x轴上面的图象，此时对应自变量的范围： 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把点（2，-3）代入二次函数式进行求解即可；
（2） ① 由（1）及图象直接求解即可； ②根据图象，找出图象 时的部分，读出此时x的范围即可.
四、综合题
18．（2023九下·柯桥月考）瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目.某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为18元.设销售单价x（元），每日销售量y（件）每日的利润w（元）.在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：
（元） 19 20 21 30
（件） 62 60 58 40
（1）根据表中数据的规律，分别写出每日销售量y（件），每日的利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式.（利润＝（销售单价-成本单价）×销售件数）.
（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元，如果公司要获得每日不低于350元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？
【答案】（1）解：观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b.
则，解得，
∴y＝-2x+100，
∴y关于x的函数表达式y＝-2x+100，
∴w＝（x-18） y＝（x-18）（-2x+100）
∴w＝-2x2+136x-1800
（2）解：∵w＝-2x2+136x-1800＝-2（x-34）2+512.
∴当销售单价为34元时，
∴每日能获得最大利润512元
（3）解：当w＝350时，350＝-2x2+136x-1800，
解得x＝25或43，
由题意可得25≤x≤32，
则当x＝32时，18（-2x+100）＝648，
∴制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系， 从而利用待定系数法可求出y关于x的函数关系式；根据总利润=单件商品的利润乘每天的销售数量可得w关于x的函数关系式；
（2）根据（1）所得的w关于x的函数关系式的性质即可解决问题；
（3）将w=350代入（1）所得的w关于x的函数关系式算出x的值，进而根据这种纪念品的销售单价不得高于32元进行检验即可得出答案.
19．如图，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m+1与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，与y轴交于点C，顶点为P．（提示：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根，则x1+x2=﹣ ，x1 x2= ）
（1）求m的取值范围；
（2）若OA=3OB，求抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴PD上，存在点Q使得△BQC的周长最短，试求出点Q的坐标．
【答案】（1）解：令y=0，则有﹣x2﹣2x+m+1=0，即：x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣（m+1）=0，∵抛物线y=﹣x2﹣2x+m+1与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，∴x1 x2=﹣（m+1），x1+x2=﹣2，△=4+4（m+1）＞0，∴m＞﹣2∵x1＜0，x2＞0，
∴x1 x2＜0，
∴﹣（m+1）＜0，∴m＞﹣1，即m＞﹣1
（2）解：∵A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，
∴OA=﹣x1，OB=x2，
∵OA=3OB，
∴﹣x1=3x2，①
由（1）知，x1+x2=﹣2，②
x1 x2=﹣（m+1），③
联立①②③得，x1=﹣3，x2=1，m=2，
∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3
（3）解：存在点Q，
理由：如图，
连接AC交PD于Q，点Q就是使得△BQC的周长最短，（∵点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，）
连接BQ，
由（2）知，抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3；x1=﹣3，
∴抛物线的对称轴PD为x=﹣1，C（0，3），A（﹣3，0），
∴用待定系数法得出，直线AC解析式为y=x+3，
当x=﹣1时，y=2，
∴Q（﹣1，2），
∴点Q（﹣1，2）使得△BQC的周长最短
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）表示出抛物线与x轴的两个交点，利用△＞0，以及两个交点的符号，求出m的范围。
（2）根据OA=3OB以及x1+x2=﹣2，x1 x2=﹣（m+1），解出m的值，表示出函数的解析式。
（3）利用待定系数法，求出直线AC，连接AC交PD于Q，点Q就是使得△BQC的周长最短。
20．（2023·舟山模拟）已知二次函数.
（1）若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式；并根据图象直接写出函数值时自变量x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值.
（3）已知 ，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q.若，求证.
【答案】（1）解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
画出函数图象，如图，
当时，，解得，，
由图象可得：当时，；
（2）解：当时，，
，
，，
∴，，
∴，
①如图，当C在B的左侧时，
∵B，C是线段的三等分点，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
②同理，当C在B的右侧时，，
∴，
综上，m的值为2或8；
（3）证明：由，得，
由题意，得，，
所以
，
由条件，知.所以 ，得证.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）将a的值，点（0，3），（2，-5）代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到二次函数解析式，画出函数图象，利用函数图象，可得到当y≥3时的x的取值范围.
（2）由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标，由此可求出AB的长；再分情况讨论：当C在B的左侧时，利用 B，C是线段AD的三等分点，可证得AC=BC=BD，根据AC=BD=m，可求出M的值；同理，当C在B的右侧时，可求出AB，BC的值都为4，根据m=AB+BC，可求出m的值；综上所述可得到m的值.
（3）利用a，b，c的值，可得到函数解析式，将p，q代入，可得到P+Q关于q的函数解析式，利用二次函数的性质，可证得结论.
21．（2023·金华模拟）在平面直角坐标系中，某个函数图象上任意两点的坐标分别为和（其中t为常数且），将的部分沿直线翻折，翻折后的图象记为；将的部分沿直线翻折，翻折后的图象记为，将和及原函数图象剩余的部分组成新的图象G.
例如：如图，当时，原函数，图象G所对应的函数关系式为.
（1）当时，原函数为，图象G与坐标轴的交点坐标是　 　.
（2）对应函数（n为常数）.
①时，若图象G与直线恰好有两个交点，求t的取值范围.
②当时，若图象G在上的函数值y随x的增大而减小，直接写出n的取值范围.
【答案】（1）（2，0），(0，1)
（2）解：①时，
当时，
解得：，
∴若图象与直线恰好有两个交点，则；
②或或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）当时，，
当时，翻折后函数的表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：翻折后函数的表达式为：
当时，，即函数与x轴交点坐标为：
同理沿翻折后函数的表达式为：，
函数G与轴交点坐标为：，
∴图象G与坐标轴的交点坐标是：，.
(2)②函数的对称轴为直线，
令，则，
当时，点A、B、C的横坐标分别为：、、，
当在y轴左侧时，
此时原函数与x轴的交点坐标在的左侧，
如下图所示：
则函数在段和点C右侧，
故：或，即：或，
解得：或，即：或；
当在轴右侧时，，
同上可求得：或；
当时，，图象G在上的函数值y随x的增大而减小，
综上所述：或或.
【分析】（1）求出翻折点的坐标，求出函数解析式即可解决此题；
（2）①将n=-1与y=2同时代入y=x2-2nx+n2-3可求出x的值，从而即可得出t的取值范围；
②函数的对称轴为直线x=n，令y=x2-2nx+n2-3中的y=0算出对应的x的值为，当t=2时，点A、B、C的横坐标分别为：-2、n、2，然后分当x=n在y轴的左侧，与x=n在y轴的右侧两种情况两种情况求解即可.
22．（2023·杭州模拟）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于另一点D，直线与相交于点M.
（1）已知点C的坐标是，点B的坐标是，求此抛物线的解析式；
（2）若，求证：；
（3）如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线上一点，是否存在这样的点P，使得是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把，代入得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）证明：
∵，
∴抛物线解析式为，
令，则，
解得或，
∴，
∴抛物线对称轴为直线，
∵轴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线与y轴交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）如图所示，连接，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，，
∴，
解得（负值舍去）；
当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，
同理可得 ，
∴，
∴，，
∴，
解得（负值舍去）；
综上所述，或..
【分析】（1）将点B，C的坐标代入函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到抛物线的函数解析式.
（2）将b代入函数解析式，可得到 ，由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标，同时可求出抛物线的对称轴，利用CD∥x轴，可表示出点D的坐标；设AD的函数解析式为y=k（x+2），将点D的坐标代入求出k的值，即可得到直线AD的函数解析式；设直线AD与y轴交于点E，利用函数解析式求出点E的坐标，可得到OA=OE，OB=OC去证明∠AMB=90°，利用垂直的定义可证得结论.
（3）连接AC、PQ，将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，同时可求出OA，OC的长，可证得∠GQP=∠OCA；再利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；设，分情况讨论：当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，利用余角的性质可证得∠MQG=∠NGP，可证得△QMC∽△GNP，利用相似三角形的对应边成比例，可求出t的值；当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，同理可得 ，由此可得到关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到符合题意的t的值.
23．（2022九上·桐乡市期中）嘉兴某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品.该产品销售量y（万件）与售价x（元/件）之间存在图1（一条线段）所示的变化趋势，总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在图2所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）若销售量不超过10万件时，利润为45万元.求此时的售价为多少元/件？
（3）当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润＝销售总额－总成本）
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
根据图象可把点和点代入，得：，
解得.
即y与x之间的函数关系式为；
（2）解：当时，设，
根据图象可把点和点代入，得：，
解得.
∴，
设利润为W，
则，
解得（舍去），.
故此时的售价为15元/件.
（3）解：由（2）可知当时，，
当时，最大，最大值为49；
当时，
将代入，即
解得，
∴，
∴此时.
∵对称轴，
∴当时，最大，此时，
综上，当售价为17元/件时，利润最大，最大值是49万元.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用待定系数法求出当6≤y＜10时，p与y的函数关系式， 设利润为W ，根据总售价-总成本=总利润建立出w与x的函数关系式，令w=45代入所求的函数解析式，求解即可得出答案；
（3）当6≤y＜10时，将（2）所得函数解析式配成顶点式，由二次函数的性质即可得出答案；当10≤y＜16时，将点（10，100）代入 算出m的值，再根据总售价-总成本=总利润建立出w与x的函数关系式，利用对称轴直线公式算出对称轴直线，进而根据二次函数的性质即可得出答案.
24．（2022九上·南湖期中）某水产养殖户，一次性收购了小龙虾，计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）.
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批小龙虾放养t天后的质量为m（），销售单价为y元/.根据以往经验可知：m与t的函数关系式为，y与t的函数关系如图所示
①求y与t的函数关系式；
②设将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值.（利润=销售总额－总成本）
【答案】（1）解：由题意，得
解得
∴a的值为0.04，b的值为30
（2）解：①当0≤t≤50时， 设y与t的函数关系式为，
∵过点(0，15)和(50，25)，
∴
解得
∴y与t的函数关系式为
当50＜t≤100时， 设y与t的函数关系式为，
∵过点(50，25)和(100，20)，
∴
解得
∴y与t的函数关系式为
∴y与t的函数关系式为
②当0≤t≤50时，.
∵3600＞0，
∴当时，w最大值=180000；
当50＜t≤100时，
∵-10＜0，
∴当时，w最大值=180250.
综上所述，当t为55天时，w最大，最大值为180250元.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1） 设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元 ，根据放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元 ，列出方程组，求解即可；
（2）①分当0≤t≤50时与当50＜t≤100时两种情况 ，利用待定系数法求出y关于t的函数关系式；②根据利润=销售总额－总成本分当0≤t≤50时与当50＜t≤100时两种情况建立函数关系式，求解即可.
25．（2022九上·义乌期中）阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”.例如，y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝时，y＝＝ a2，所以y＝x2是“对称函数”.
（1）函数对称函数（填“是”或“不是”）.当x≥0时，的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，的图象.
（2）函数的图象如图2所示，当它与直线y＝－x+n恰有3个交点时，求n的值.
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0），B（2，0），C（2，－3），D（－3，－3），当二次函数（b>0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围.
【答案】（1）解：在实数范围内任取x＝a时，；当x＝时，，所以是“对称函数”.
画图如下，
（2）解：当直线过点时，得
当直线与函数图象相切时，方程只有一个解，
，
，
得
（3）解：当，函数与x轴相切时，得，
当，函数与直线相切时，得，
当，函数经过点时，.
∴当或时，函数与矩形的边恰好有4个交点
【知识点】矩形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用“对称函数”的定义，仿照题干提供的方法解答即可，进而根据对称性画出函数图象；
（2）利用分类讨论的方法结合图象解答，①当直线y＝ x＋n经过点（0，1）时，利用待定系数法解答即可；②当直线y＝ x＋n与函数y＝x2 2|x|＋1的图象的右半侧相切时，利用根的判别式列出等式即可求解；
（3）利用分类讨论的方法求出二次函数y＝x2 b|x|＋1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时的临界值，结合图象即可求解．
1 / 12023年浙教版数学九年级上册第一章 二次函数 单元测试（提高版）
一、单选题（每题2分，共20分）
1．（2023九上·诸暨期末）已知关于的二次函数解析式为，则（　　）
A．±2 B．1 C．-2 D．±1
2．（2022·巴中）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
① ；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
3．（2022·禹城模拟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①a＜b＜0；②4a＋2b＋c＞0；③2a＋c＞0；④2a-b＋1＞0，其中符合题意结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2022·石城模拟）若平面直角坐标系内的点 满足横、纵坐标都为整数，则把点 叫做“整点”．例如： 、 都是“整点”．抛物线 与 轴交于A、 两点，若该抛物线在A、 之间的部分与线段 所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022九上·莱州期末）如图，抛物线交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①一元二次方程有两个相等的实数根；②若点，，在该函数图象上，则；③将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是；④在y轴上找一点D，使的面积为1，则D点的坐标为.以上四个结论中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022九上·杭州期中）已知二次函数y=（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，则（　　）
A．m>1，n<0时，二次函数的最小值大于0
B．m=1，n>0时，二次函数的最小值大于0
C．m<1，n>0时，二次函数的最小值小于0
D．m=1，n<0时，二次函数的最小值小于0
7．（2022九上·萧山月考）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023九下·萧山期中）已知二次函数，与的部分对应值为：
-2 -1 0 1 2
-1 2 3 2 ？
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（　　）
A．当时，函数图象从左到右上升
B．抛物线开口向上
C．方程的一个根在-2与-1之间
D．当时，
9．（2023·济南模拟）已知二次函数与一次函数交于、两点，当时，至少存在一个x使得成立，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2023·松江模拟）已知一个二次函数的图象经过点，且在轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是　 　（只要写出一个符合要求的解析式）．
12．（2021九上·东海期末）如图，一段抛物线： ，记为 ，它与x轴交于两点O， ；将 绕 旋转 得到 ，交x轴于 ；将 绕 旋转 得到 ，交x轴于 ，过抛物线 ， 顶点的直线与 、 、 围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为　 　.
13．（2021九上·诸暨期末）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于不同两点，与 轴的交点在 轴正半轴，它的对称轴为直线 .有以下结论：① ，② ，③若点 和 在该图象上，则 ，④设 ， 是方程 的两根，若 ，则 .其中正确的结论是　 　（填入正确结论的序号）.
14．（2021九上·鄂州期末）已知函数 的图象与函数 的图象恰好有四个交点，则 的取值范围是　 　.
15．（2023九下·杭州月考）已知二次函数y＝x2＋bx＋c．当－1≤x≤1时，y的取值范围是－1≤y≤1，该二次函数的对称轴为x＝m，则m的值是　 　.
16．（2021九上·瑞安期中）如图所示，从高为2m的点 处向右上抛一个小球 ，小球路线呈抛物线 形状，小球水平经过2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶B处弹起，已知 m， m， m，若小球弹起形成一条与 形状相同的抛物线，且落点 与 ， 在同一直线上，则小球弹起时的最大高度是　 　m
三、作图题（共9分）
17．（2021九上·下城期末）已知二次函数 的图象经过点 .
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程 的解；
②当x满足什么条件时， .
四、综合题
18．（2023九下·柯桥月考）瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目.某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为18元.设销售单价x（元），每日销售量y（件）每日的利润w（元）.在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：
（元） 19 20 21 30
（件） 62 60 58 40
（1）根据表中数据的规律，分别写出每日销售量y（件），每日的利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式.（利润＝（销售单价-成本单价）×销售件数）.
（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元，如果公司要获得每日不低于350元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？
19．如图，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m+1与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，与y轴交于点C，顶点为P．（提示：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根，则x1+x2=﹣ ，x1 x2= ）
（1）求m的取值范围；
（2）若OA=3OB，求抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴PD上，存在点Q使得△BQC的周长最短，试求出点Q的坐标．
20．（2023·舟山模拟）已知二次函数.
（1）若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式；并根据图象直接写出函数值时自变量x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值.
（3）已知 ，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q.若，求证.
21．（2023·金华模拟）在平面直角坐标系中，某个函数图象上任意两点的坐标分别为和（其中t为常数且），将的部分沿直线翻折，翻折后的图象记为；将的部分沿直线翻折，翻折后的图象记为，将和及原函数图象剩余的部分组成新的图象G.
例如：如图，当时，原函数，图象G所对应的函数关系式为.
（1）当时，原函数为，图象G与坐标轴的交点坐标是　 　.
（2）对应函数（n为常数）.
①时，若图象G与直线恰好有两个交点，求t的取值范围.
②当时，若图象G在上的函数值y随x的增大而减小，直接写出n的取值范围.
22．（2023·杭州模拟）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于另一点D，直线与相交于点M.
（1）已知点C的坐标是，点B的坐标是，求此抛物线的解析式；
（2）若，求证：；
（3）如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线上一点，是否存在这样的点P，使得是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.
23．（2022九上·桐乡市期中）嘉兴某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品.该产品销售量y（万件）与售价x（元/件）之间存在图1（一条线段）所示的变化趋势，总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在图2所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）若销售量不超过10万件时，利润为45万元.求此时的售价为多少元/件？
（3）当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润＝销售总额－总成本）
24．（2022九上·南湖期中）某水产养殖户，一次性收购了小龙虾，计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）.
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批小龙虾放养t天后的质量为m（），销售单价为y元/.根据以往经验可知：m与t的函数关系式为，y与t的函数关系如图所示
①求y与t的函数关系式；
②设将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值.（利润=销售总额－总成本）
25．（2022九上·义乌期中）阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”.例如，y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝时，y＝＝ a2，所以y＝x2是“对称函数”.
（1）函数对称函数（填“是”或“不是”）.当x≥0时，的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，的图象.
（2）函数的图象如图2所示，当它与直线y＝－x+n恰有3个交点时，求n的值.
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0），B（2，0），C（2，－3），D（－3，－3），当二次函数（b>0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵关于的二次函数解析式为 ，
∴|m|=2且m-2≠0，
解之：m=±2，m≠2，
∴m=-2.
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数为2，且二次项的系数不为0，可得到关于m的方程和不等式，然后求出m的值.
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；
故答案为：D.
【分析】根据图象与x轴的交点的横坐标可得对称轴，结合对称轴方程可判断①；由图象可得y=ax2+bx+c（a>0）的开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，求出c的值，进而判断②；根据对称轴为直线x=1可得b<0，根据c=-3<0可判断③；设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将（0，3）代入求出a的值，得到抛物线的解析式以及顶点坐标，进而判断④.
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①由图象开口向下知a＜0，
由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，
则该抛物线的对称轴为，
即1，
由a＜0，两边都乘以a得：b＞a．
∵a＜0，对称轴x0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0，故符合题意；
②根据题意画大致图象如图所示，
当x＝2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
故②不符合题意；
③由一元二次方程根与系数的关系知，结合a＜0，得2a+c＞0，所以结论符合题意，
④由4a-2b+c＝0得2a-b，而0＜c＜2，
∴，
∴-1＜2a-b＜0，
∴2a-b+1＞0，所以结论符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】∵y＝mx2-4mx+4m-2＝m(x-2)2-2，且m＞0，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，-2)，对称轴是直线x＝2．
由此可知点(2，0)、点(2，-1)、顶点(2，-2)必在此区域内．
①当该抛物线经过点(1，-1)和(3，-1)时，如图，这两个点符合题意．
将(1，-1)代入y＝mx2-4mx+4m-2得，-1＝m-4m+4m-2，
解得m＝1．
此时抛物线解析式为y＝x2-4x+2．
当 时， ．
∴x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意．
则当m＝1时，恰好有 (1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，-1)、(3，-1)、(2，-1)、(2，-2)这7个整点符合题意．
∴m≤1．（m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大）．
②当该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)时，如图，这两个点符合题意．
此时x轴上的点 (1，0)、(2，0)、(3，0)也符合题意．
将(0，0)代入y＝mx2-4mx+4m-2得到0＝0-4m+0-2．解得 ．
此时抛物线解析式为 ．
当x＝1时，得 ．
∴点(1，-1)符合题意．
当x＝3时，得 ．
∴点(3，-1)符合题意．
综上可知：当 时，点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，-1)、(3，-1)、(2，-2)、(2，-1)都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴ 不符合题．
∴ ．
综合①②可得：当 时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点，
故答案为：B．
【分析】分两种情况：①当该抛物线经过点(1，-1)和(3，-1)时，②当该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)时，再分别求出m的值，即可得到答案。
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】①方程整理得：，∴，故方程有两个相等的实数根，故①符合题意．
②由图可知，开口朝下且对称轴为，且，
∴，
∵且比离对称轴更远，
∴，
∴，故②符合题意．
③由题意可知：，
∴平移后解析式为：，
∵平移后图象再沿x轴翻折，
∴翻折之后的解析式为：，故③符合题意．
④∵，
∴，
当时，，
∴，
设，则，
∵的面积为1，
∴，即，
∴解得：或，
∴或．故④不符合题意．
正确答案为①②③，
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的图象和性质及函数解析式平移的特征逐项判断即可。
6．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，
∴当m＝1时，
y＝（x+1）（x-3）+n＝x2-2x-3+n＝（x-1）2-4+n
∴二次函数的最小值为y＝-4+n，
∴①当m＝1，n＞4时，-4+n＞0，
∴B选项不符合题意；
∴②当m＝1，n＜0时，二次函数的最小值为y＝-4+n＜0，
∴D选项符合题意；
当m＞1，n＜0时，
若m＝2，则y＝x（x-2）+n＝x2-2x+n＝（x-1）2-1+n，
∴此时二次函数的最小值为-1+n，小于0，
故A选项不符合题意；
当m＜1，n＞0时，
若m＝0，则y＝（x+2）（x-4）+n＝x2-2x-8+n＝（x-1）2-9+n，
∴此时二次函数的最小值为-9+n，
∴当0＜n＜9时，-9+n＜0，
∴C选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】先取m＝1时，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断B、D选项即可；再取m=2，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断A选项即可；再取m=0，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断D选项即可.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，
即x2﹣4x+3=0，
解得x=1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y=x+m1与C2相切时，
令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1=0，
△=﹣8m1﹣15=0，
解得m1=，
当y=x+m2过点B时，
即0=3+m2，
m2=﹣3，
当时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故答案为：D．
考点：二次函数的图象．
【分析】先求出A、B的坐标，然后根据平移求出C2的解析式，分别求出直线 y=x+m与抛物线C2的相切时m的值以及直线y=x+m过点B时的m值，结合图象即可求解.
8．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格中的数据可得：x=-1与x=1对应的函数值相等，
∴对称轴为直线x=0，
∴顶点坐标为（0，3），
∴函数在x=0处取得最大值，
∴当x>0时，图象从左向右下降，抛物线开口向下.
∵x=2与x=-2到对称轴的距离相等，
∴x=2与x=-2对应的函数值相等，
∴当x=2时，y=-1.
∵x=-2与x=-1所对应的函数值符号相反，
∴方程ax2+bx+c=0的一个根在-2与-1之间.
故答案为：C.
【分析】由表格中的数据可得：x=-1与x=1对应的函数值相等，则对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，3），函数在x=0处取得最大值，据此可判断A、B；根据对称性可得x=2与x=-2对应的函数值相等，据此可判断D；由表格中的数据可得x=-2与x=-1所对应的函数值符号相反，据此判断C.
9．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数与一次函数y=-x+1交于、两点，
则：，整理得：，
即：，
∴，，
的对称轴为直线，
当时，要使得至少存在一个x使得成立，只需当时，即可，
①当时，即：，则当时，随增大而减小，
∴当时，取最大值，，
可得：，即，
②当时，即：，则当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∴当时，取最大值，，
可得：，即，
③当时，即：，与矛盾，
综上所述：．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数和一次函数的图象与性质判断求解即可。
10．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为 ,面积为y=x· · = ,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为 ,面积为
y=(4－x)· · = ,
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为 ,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点，且在轴左侧部分是上升的，
若二次函数的顶点坐标为，且图象开口向下，
∴二次函数解析式的二次项系数，
∴二次函数解析式不唯一，如：
故答案为：（答案不唯一）
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可。
12．【答案】108
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：
因为函数
所以，对称轴： ，则当 时， ，即 ，由题意知 ，
所以，
由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离= = =108
故答案为：108.
【分析】由函数 ，求出 ，再得出 ， ，利用由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离，求解即可.
13．【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在原点的右边，与y轴交于正半轴，
∴a＜0， b＞0，c＞0，
∴abc＜0，
∴结论①错误；
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴ ，
∴b=-2a；
∵ c+a+b＞0，
∴c-a＞0，
∴a-c＜0，
∴结论②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向下，
∵点 和 在该图象上，
∴ 与x=1的距离比 与x=1的距离远；
∴ ，
∴结论③正确；
∵ ， ， 是方程 的两根，
当 时， ；
∴ ；
当p=0时，
当p＜0时，
∴
∴结论④正确；③④
【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】当x≥1时，y= ；
当x＜1时，y= ；
∴ ，
二图象的交点为（1，-6）, y= 的最小值为 ，
画图象如下，
根据图象，可得直线 与 之间的部分有 个交点，
∴b的取值范围为 ＜b＜-6，
故填 ＜b＜-6.
【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图象确定b的范围即可.
15．【答案】 或 -1
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x=m，
∴，
∵1＞0，
∴当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小，
∵当-1≤x≤1时，y的取值范围是-1≤y≤1，
若m≤-1，抛物线经过点（1，1），（-1，-1），
解之：，
此时（舍去）；
若m≥1，抛物线经过点（-1，1），（1，-1），
解之：，
此时（舍去）；
若-1＜m＜1，
当m-（-1）＞1-m时，此时m＞0，
当时y=-1且函数图象经过点（-1，1）
∴
解之：
此时（舍去），
当m-（-1）＜1-m时，此时m＜0，
当时y=-1且函数图象经过点（1，1）
∴
解之：
此时（舍去），
∴m的取值范围为 或 -1.
故答案为： 或 -1
【分析】利用二次函数的对称轴可用含b的代数式表示出m，利用二次函数的增减性，可得到当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小；利用当-1≤x≤1时，y的取值范围是-1≤y≤1，分情况讨论：若m≤-1，抛物线经过点（1，1），（-1，-1），代入可求出b，c的值，即可得到b的值；若m≥1，抛物线经过点（-1，1），（1，-1），代入求出b，c的值，即可得到m的值；若-1＜m＜1，当m-（-1）＞1-m时，此时m＞0，当时y=-1且函数图象经过点（-1，1），代入可求出b，c的值，可得到符合题意的m的值；当m-（-1）＜1-m时，此时m＜0，当时y=-1且函数图象经过点（1，1），代入求出b，c的值，即可得到符合题意的m的值，综上所述可得到m的值.
16．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
点A（0，2），抛物线的顶点（2，6）
设抛物线的解析式为
代入A点坐标得
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
点B的纵坐标为MN-EF-CD=4-1-1=2，
∴y=2时， ，
解得 ，
∴点B（4，2），
点D的横坐标=4-CB=4-1.2=2.8，点D的纵坐标2+1=3，
点D（2.8，3）
设直线BD解析式为 代入坐标得
解得
直线BD解析式为
当y=0时，
点Q（ ，0）
过B、Q的抛物线解析式为 ，代入坐标得
解得
∴小球弹起时的最大高度是 m.
故答案为 ：.
【分析】以OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，2），顶点坐标为（2，6），设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+6，将点A代入求出a，可得抛物线的解析式，点B的纵坐标为MN-EF-CD=2，令y=2，求出x，可得B（4，2），同理可得D（2.8，3），利用待定系数法求出直线BD的解析式，令y=0，求出x，可得Q（ ，0），过B、Q的抛物线解析式为y=-(x-m)2+n，将点B、Q代入求出m、n，据此解答.
17．【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴将点 代入的解析式为 ，
得 ，
解得： .
∴抛物线的解析式为： 即： .
（2）解：函数的图象如下图所示：
①方程 ，即：在函数 中y=-3时， ， .
所以方程 的解是 ， ；
②当 时，即函数图象在x轴上面的图象，此时对应自变量的范围： 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把点（2，-3）代入二次函数式进行求解即可；
（2） ① 由（1）及图象直接求解即可； ②根据图象，找出图象 时的部分，读出此时x的范围即可.
18．【答案】（1）解：观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b.
则，解得，
∴y＝-2x+100，
∴y关于x的函数表达式y＝-2x+100，
∴w＝（x-18） y＝（x-18）（-2x+100）
∴w＝-2x2+136x-1800
（2）解：∵w＝-2x2+136x-1800＝-2（x-34）2+512.
∴当销售单价为34元时，
∴每日能获得最大利润512元
（3）解：当w＝350时，350＝-2x2+136x-1800，
解得x＝25或43，
由题意可得25≤x≤32，
则当x＝32时，18（-2x+100）＝648，
∴制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系， 从而利用待定系数法可求出y关于x的函数关系式；根据总利润=单件商品的利润乘每天的销售数量可得w关于x的函数关系式；
（2）根据（1）所得的w关于x的函数关系式的性质即可解决问题；
（3）将w=350代入（1）所得的w关于x的函数关系式算出x的值，进而根据这种纪念品的销售单价不得高于32元进行检验即可得出答案.
19．【答案】（1）解：令y=0，则有﹣x2﹣2x+m+1=0，即：x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣（m+1）=0，∵抛物线y=﹣x2﹣2x+m+1与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，∴x1 x2=﹣（m+1），x1+x2=﹣2，△=4+4（m+1）＞0，∴m＞﹣2∵x1＜0，x2＞0，
∴x1 x2＜0，
∴﹣（m+1）＜0，∴m＞﹣1，即m＞﹣1
（2）解：∵A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，
∴OA=﹣x1，OB=x2，
∵OA=3OB，
∴﹣x1=3x2，①
由（1）知，x1+x2=﹣2，②
x1 x2=﹣（m+1），③
联立①②③得，x1=﹣3，x2=1，m=2，
∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3
（3）解：存在点Q，
理由：如图，
连接AC交PD于Q，点Q就是使得△BQC的周长最短，（∵点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，）
连接BQ，
由（2）知，抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3；x1=﹣3，
∴抛物线的对称轴PD为x=﹣1，C（0，3），A（﹣3，0），
∴用待定系数法得出，直线AC解析式为y=x+3，
当x=﹣1时，y=2，
∴Q（﹣1，2），
∴点Q（﹣1，2）使得△BQC的周长最短
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）表示出抛物线与x轴的两个交点，利用△＞0，以及两个交点的符号，求出m的范围。
（2）根据OA=3OB以及x1+x2=﹣2，x1 x2=﹣（m+1），解出m的值，表示出函数的解析式。
（3）利用待定系数法，求出直线AC，连接AC交PD于Q，点Q就是使得△BQC的周长最短。
20．【答案】（1）解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
画出函数图象，如图，
当时，，解得，，
由图象可得：当时，；
（2）解：当时，，
，
，，
∴，，
∴，
①如图，当C在B的左侧时，
∵B，C是线段的三等分点，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
②同理，当C在B的右侧时，，
∴，
综上，m的值为2或8；
（3）证明：由，得，
由题意，得，，
所以
，
由条件，知.所以 ，得证.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）将a的值，点（0，3），（2，-5）代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到二次函数解析式，画出函数图象，利用函数图象，可得到当y≥3时的x的取值范围.
（2）由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标，由此可求出AB的长；再分情况讨论：当C在B的左侧时，利用 B，C是线段AD的三等分点，可证得AC=BC=BD，根据AC=BD=m，可求出M的值；同理，当C在B的右侧时，可求出AB，BC的值都为4，根据m=AB+BC，可求出m的值；综上所述可得到m的值.
（3）利用a，b，c的值，可得到函数解析式，将p，q代入，可得到P+Q关于q的函数解析式，利用二次函数的性质，可证得结论.
21．【答案】（1）（2，0），(0，1)
（2）解：①时，
当时，
解得：，
∴若图象与直线恰好有两个交点，则；
②或或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）当时，，
当时，翻折后函数的表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：翻折后函数的表达式为：
当时，，即函数与x轴交点坐标为：
同理沿翻折后函数的表达式为：，
函数G与轴交点坐标为：，
∴图象G与坐标轴的交点坐标是：，.
(2)②函数的对称轴为直线，
令，则，
当时，点A、B、C的横坐标分别为：、、，
当在y轴左侧时，
此时原函数与x轴的交点坐标在的左侧，
如下图所示：
则函数在段和点C右侧，
故：或，即：或，
解得：或，即：或；
当在轴右侧时，，
同上可求得：或；
当时，，图象G在上的函数值y随x的增大而减小，
综上所述：或或.
【分析】（1）求出翻折点的坐标，求出函数解析式即可解决此题；
（2）①将n=-1与y=2同时代入y=x2-2nx+n2-3可求出x的值，从而即可得出t的取值范围；
②函数的对称轴为直线x=n，令y=x2-2nx+n2-3中的y=0算出对应的x的值为，当t=2时，点A、B、C的横坐标分别为：-2、n、2，然后分当x=n在y轴的左侧，与x=n在y轴的右侧两种情况两种情况求解即可.
22．【答案】（1）解：把，代入得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）证明：
∵，
∴抛物线解析式为，
令，则，
解得或，
∴，
∴抛物线对称轴为直线，
∵轴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线与y轴交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）如图所示，连接，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，，
∴，
解得（负值舍去）；
当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，
同理可得 ，
∴，
∴，，
∴，
解得（负值舍去）；
综上所述，或..
【分析】（1）将点B，C的坐标代入函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到抛物线的函数解析式.
（2）将b代入函数解析式，可得到 ，由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标，同时可求出抛物线的对称轴，利用CD∥x轴，可表示出点D的坐标；设AD的函数解析式为y=k（x+2），将点D的坐标代入求出k的值，即可得到直线AD的函数解析式；设直线AD与y轴交于点E，利用函数解析式求出点E的坐标，可得到OA=OE，OB=OC去证明∠AMB=90°，利用垂直的定义可证得结论.
（3）连接AC、PQ，将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，同时可求出OA，OC的长，可证得∠GQP=∠OCA；再利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；设，分情况讨论：当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，利用余角的性质可证得∠MQG=∠NGP，可证得△QMC∽△GNP，利用相似三角形的对应边成比例，可求出t的值；当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，同理可得 ，由此可得到关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到符合题意的t的值.
23．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
根据图象可把点和点代入，得：，
解得.
即y与x之间的函数关系式为；
（2）解：当时，设，
根据图象可把点和点代入，得：，
解得.
∴，
设利润为W，
则，
解得（舍去），.
故此时的售价为15元/件.
（3）解：由（2）可知当时，，
当时，最大，最大值为49；
当时，
将代入，即
解得，
∴，
∴此时.
∵对称轴，
∴当时，最大，此时，
综上，当售价为17元/件时，利润最大，最大值是49万元.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用待定系数法求出当6≤y＜10时，p与y的函数关系式， 设利润为W ，根据总售价-总成本=总利润建立出w与x的函数关系式，令w=45代入所求的函数解析式，求解即可得出答案；
（3）当6≤y＜10时，将（2）所得函数解析式配成顶点式，由二次函数的性质即可得出答案；当10≤y＜16时，将点（10，100）代入 算出m的值，再根据总售价-总成本=总利润建立出w与x的函数关系式，利用对称轴直线公式算出对称轴直线，进而根据二次函数的性质即可得出答案.
24．【答案】（1）解：由题意，得
解得
∴a的值为0.04，b的值为30
（2）解：①当0≤t≤50时， 设y与t的函数关系式为，
∵过点(0，15)和(50，25)，
∴
解得
∴y与t的函数关系式为
当50＜t≤100时， 设y与t的函数关系式为，
∵过点(50，25)和(100，20)，
∴
解得
∴y与t的函数关系式为
∴y与t的函数关系式为
②当0≤t≤50时，.
∵3600＞0，
∴当时，w最大值=180000；
当50＜t≤100时，
∵-10＜0，
∴当时，w最大值=180250.
综上所述，当t为55天时，w最大，最大值为180250元.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1） 设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元 ，根据放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元 ，列出方程组，求解即可；
（2）①分当0≤t≤50时与当50＜t≤100时两种情况 ，利用待定系数法求出y关于t的函数关系式；②根据利润=销售总额－总成本分当0≤t≤50时与当50＜t≤100时两种情况建立函数关系式，求解即可.
25．【答案】（1）解：在实数范围内任取x＝a时，；当x＝时，，所以是“对称函数”.
画图如下，
（2）解：当直线过点时，得
当直线与函数图象相切时，方程只有一个解，
，
，
得
（3）解：当，函数与x轴相切时，得，
当，函数与直线相切时，得，
当，函数经过点时，.
∴当或时，函数与矩形的边恰好有4个交点
【知识点】矩形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用“对称函数”的定义，仿照题干提供的方法解答即可，进而根据对称性画出函数图象；
（2）利用分类讨论的方法结合图象解答，①当直线y＝ x＋n经过点（0，1）时，利用待定系数法解答即可；②当直线y＝ x＋n与函数y＝x2 2|x|＋1的图象的右半侧相切时，利用根的判别式列出等式即可求解；
（3）利用分类讨论的方法求出二次函数y＝x2 b|x|＋1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时的临界值，结合图象即可求解．
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