2023年浙教版数学八年级上册1.1认识三角形 同步测试
一、单选题
1．（2022八上·蚌山期中）在中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2022八上·游仙期中）三角形是指（ ）
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
3．（2022八上·乌鲁木齐月考）观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八上·韩城期末）两根长度分别为2，10的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是（ ）
A．13 B．10 C．7 D．6
5．（2022八上·上杭期中）能把一个三角形的面积分成相等的两部分的线是这个三角形的（ ）
A．一条高 B．一条中线
C．一条角平分线 D．一边上的中垂线
6．（2022八上·黔东南期中）如图，D、E分别是BC、AC的中点，，则的面积为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
7．（2023八上·宁波期末）若三角形三个内角度数比为，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
8．（2021八上·南关期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022八上·顺义期末）利用直角三角板，作的高线，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022八上·乐清期中）用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2023八上·金东期末）如图，的三条中线AD，BE，CF交于点O，若的面积为20，那么阴影部分的面积之和为 .
12．（2023八上·凤凰期末）三角形的两边长分别是10和8，则第三边的x取值范围是 .
13．（2023八上·温州期末）若一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是 三角形(填“锐角”、“直角”或“钝角”) ．
14．（2022八上·顺义期末）如图，，，点B在射线上，若为钝角三角形，则线段长的取值范围是 .
15．（2022八上·乌鲁木齐月考）如图，以点A为顶点的三角形有 个，它们分别是 ．
16．（2019八上·长安月考）如图所示，∠ADC= °．
三、作图题
17．（2023八上·金东期末）在如图所示的方格纸中，
⑴在中，作BC边上的高AD.
⑵作AC边上的中线BE.
⑶求的面积.
四、解答题
18．（2023八上·韩城期末）如图所示，在中，平分交于点E，交于点D，，，求的度数.
19．（2022八上·右玉期末）先化简，再求值：，其中a，2，4为的三边长，且a为整数．
20．（2023八上·平桂期末）如图：已知在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E，∠B＝38°，∠C＝70°，求∠DAE的度数.
五、综合题
21．（2023八上·桂平期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
（1）如图1，在中，，，，，，则的长为： .
（2）如图2，在中，，，则的高与的比是： .
（3）如图3，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E，F.若，求的值.
22．（2022八上·西城期末）如图，在四边形中，，平分，．
（1）画出的高；
（2）的面积等于 ．
23．（2022八上·淮南期末）如图
（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C直角顶点X在△ABC内部，若∠A=30 ，则∠ABC+∠ACB= ，∠XBC+∠XCB=
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点X还在△ABC内部，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化 若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
24．（2022八上·安次期末）在中，，．
（1）若是整数，求的长．
（2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
25．（2022八上·南昌期中）在中，，．
（1）求，，的度数；
（2）按边分类，属于 三角形，按角分类，属于 三角形．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：在 中，
设，则，
，即
°，
解得，
，
是锐角三角形．
故答案为：A．
【分析】设，则，根据三角形的内角和可得，再求出x的值，即可得到，从而可得答案。
2．【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形.
故答案为：C.
【分析】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形为三角形，据此判断.
3．【答案】B
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：因为由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，
所以A，C，D错误，只有B符合.
故答案为：B.
【分析】由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，据此判断.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长度为x，
则，
即，
则符合题意，
故答案为：B.
【分析】设第三边的长度为x，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式组，求解可得x的取值范围，从而一一判断即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：能把一个三角形的面积分成相等的两部分的线是这个三角形的一条中线.
故答案为：B.
【分析】根据等底等高的两个三角形的面积相等可知：能把一个三角形的面积分成相等的两部分的线是这个三角形的一条中线.
6．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴AD，DE分别为△ABC和△ADC的中线，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】由题意可得AD，DE分别为△ABC和△ADC的中线，则S△ADC=2S△CDE，S△ABC=2S△ADC，据此计算.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵三角形三个内角度数比为 ，
∴设这个三角形的三个内角的度数分别为3x，4x，5x，
∴3x+4x+5x=180°，
解之：x=15°，
∴3x=45°，4x=60°，5x=75°，
∴此三角形是锐角三角形.
故答案为：A
【分析】利用已知条件设这个三角形的三个内角的度数分别为3x，4x，5x，利用三角形的内角和定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出三角形的三个内角的度数，可得答案.
8．【答案】C
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，
∴点P是∠ABC的平分线与AC的交点，
故答案为：C．
【分析】根据 在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等， 求解即可。
9．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由三角形的高线的定义可知：
A、作法不符合题意，不符合题意；
B、作法不符合题意，不符合题意；
C、作法符合题意，符合题意；
D、作法不符合题意，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据高线的定义逐项判断即可。
10．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，
∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x，
∴x＜6，y＜6，x+y＞6
又∵x，y是整数，
∴同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：
2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5，
∴第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2，
∴三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，
∴能摆出不同的三角形的个数是3．
故答案为：C．
【分析】设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，由三角形的三边关系定理得到x、y的不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解即可．
11．【答案】10
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：，，是的中线，
，，，
阴影部分面积之和.
故答案为：10.
【分析】根据三角形中线的概念以及三角形的面积公式可得S△AOF=S△BOF，S△BOD=S△COD，S△AOE=S△COE，推出S阴影=S△ABC，据此计算.
12．【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系：10 8＜x＜10＋8，
解得：2＜x＜18.
故答案为：2＜x＜18.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解.
13．【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ 一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，
∴设该三角形三内角度数分别为x、2x、3x，
∴x+2x+3X=180，
解得x=30，
∴最大内角的度数为90°，
故该三角形是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】由已知可设该三角形三内角度数分别为x、2x、3x，根据三角形的内角和定理建立方程求解可得x的值，从而求出最大内角为90°，进而根据直角三角形的定义即可得出结论.
14．【答案】或
【知识点】三角形三边关系；三角形相关概念
【解析】【解答】解：依题意，，，
当时，且，
，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴当时，，
综 上 所 述 ， 或，
故答案为或.
【分析】分类讨论：①当时，②当时，再分别画出图象并求解即可。
15．【答案】4；△ABC，△ADC，△ABE，△ADE
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：以点A为顶点的三角形有4个，它们分别是△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．
故答案为：4，△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．
【分析】三条线段首尾依次相连得到的封闭图形叫做三角形，据此解答.
16．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】由图可知：∠C=90°，∠ABC=50°，
∴∠BAC=40°，
根据作图得出：∠CAD=∠BAD= ∠CAB=20°，
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=50°+20°=70°，
故答案为：70°.
【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC的度数，根据作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，即可计算出∠BAD的度数，再利用三角形外角的性质计算∠ADC的度数.
17．【答案】解：⑴如图所示AD即为所求.
⑵如图所示BE即为所求.
⑶，，
，
为边上中线，
，
即面积为4.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线的作法进行作图；
（2）找出线段AC的中点E，然后连接BE即可；
（3）根据中线的概念结合三角形的面积公式可得S△ABE=S△ABC，据此计算.
18．【答案】解：∵，
∴
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】根据垂直的定义得∠ADC=90°，根据角平分线的定义得∠CAE=40°，由角的和差可得∠CAD=30°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠C与∠B的度数.
19．【答案】解：原式
且、、、
即
又因为a，2，4为的三边长，
，
当
所以：
原式
【知识点】分式的化简求值；三角形三边关系
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出a的值取值范围，最后将a的值代入计算即可。
20．【答案】解：∵∠B＝38°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°-38°-70°＝72°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝36°
∵AE⊥BC，
∴∠BEA＝90°.
∵∠B＝38°，
∴∠BAE＝180°-90°-38°＝52°
∴∠DAE＝∠BAE-∠BAD＝52°-36°＝16°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数，根据角平分线的定义算出∠BAD的度数，根据垂直的定义及直角三角形两锐角互余可得∠BAE的度数，进而根据∠DAE＝∠BAE-∠BAD 可得答案.
21．【答案】（1）
（2）1：2
（3）解：，，，
，
，
又，
，
即.
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图2中，
，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）根据即可求解；
（2）根据即可求解；
（3）由，即得，结合BP=AP，代入相应数据即可求解.
22．【答案】（1）解：如图所示，高即为所求；
（2）3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】（1）根据要求作出高即可；
（2）利用三角形的面积公式求解即可。
23．【答案】（1）150；90
（2）解：不发生变化．
∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=150°，（三角形内角和180°）
∵∠YXZ=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，（三角形内角和180°）
∴∠ABX+∠ACX=150°-90°=60°.
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-30°=150°，
同理可得：∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°，
故答案为：150°，90°
【分析】（1）利用三角形的内角和求出答案即可；
（2）方法同（1），利用三角形的内角和求出答案即可。
24．【答案】（1）解：由三角形三边关系可得，在中，，，
则，即
又∵是整数，
∴，
（2）解：∵是的中线，
∴，
由的周长为10可得，，则，
三角形的周长，
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）利用三角形三边的关系可得，再结合是整数，可得；
（2）根据中线的性质可得BD=CD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得三角形的周长。
25．【答案】（1）解：在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）等腰；直角
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，
∴按边分类，属于等腰三角形；
∵，
∴按角分类，属于直角三角形；
故答案为：等腰，直角．
【分析】（1）利用三角形的内角和及，，求出，，的度数即可；
（2）根据三角形的定义求解即可。
1 / 12023年浙教版数学八年级上册1.1认识三角形 同步测试
一、单选题
1．（2022八上·蚌山期中）在中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：在 中，
设，则，
，即
°，
解得，
，
是锐角三角形．
故答案为：A．
【分析】设，则，根据三角形的内角和可得，再求出x的值，即可得到，从而可得答案。
2．（2022八上·游仙期中）三角形是指（ ）
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形.
故答案为：C.
【分析】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形为三角形，据此判断.
3．（2022八上·乌鲁木齐月考）观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：因为由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，
所以A，C，D错误，只有B符合.
故答案为：B.
【分析】由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，据此判断.
4．（2023八上·韩城期末）两根长度分别为2，10的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是（ ）
A．13 B．10 C．7 D．6
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长度为x，
则，
即，
则符合题意，
故答案为：B.
【分析】设第三边的长度为x，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式组，求解可得x的取值范围，从而一一判断即可得出答案.
5．（2022八上·上杭期中）能把一个三角形的面积分成相等的两部分的线是这个三角形的（ ）
A．一条高 B．一条中线
C．一条角平分线 D．一边上的中垂线
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：能把一个三角形的面积分成相等的两部分的线是这个三角形的一条中线.
故答案为：B.
【分析】根据等底等高的两个三角形的面积相等可知：能把一个三角形的面积分成相等的两部分的线是这个三角形的一条中线.
6．（2022八上·黔东南期中）如图，D、E分别是BC、AC的中点，，则的面积为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴AD，DE分别为△ABC和△ADC的中线，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】由题意可得AD，DE分别为△ABC和△ADC的中线，则S△ADC=2S△CDE，S△ABC=2S△ADC，据此计算.
7．（2023八上·宁波期末）若三角形三个内角度数比为，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵三角形三个内角度数比为 ，
∴设这个三角形的三个内角的度数分别为3x，4x，5x，
∴3x+4x+5x=180°，
解之：x=15°，
∴3x=45°，4x=60°，5x=75°，
∴此三角形是锐角三角形.
故答案为：A
【分析】利用已知条件设这个三角形的三个内角的度数分别为3x，4x，5x，利用三角形的内角和定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出三角形的三个内角的度数，可得答案.
8．（2021八上·南关期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，
∴点P是∠ABC的平分线与AC的交点，
故答案为：C．
【分析】根据 在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等， 求解即可。
9．（2022八上·顺义期末）利用直角三角板，作的高线，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由三角形的高线的定义可知：
A、作法不符合题意，不符合题意；
B、作法不符合题意，不符合题意；
C、作法符合题意，符合题意；
D、作法不符合题意，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据高线的定义逐项判断即可。
10．（2022八上·乐清期中）用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，
∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x，
∴x＜6，y＜6，x+y＞6
又∵x，y是整数，
∴同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：
2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5，
∴第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2，
∴三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，
∴能摆出不同的三角形的个数是3．
故答案为：C．
【分析】设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，由三角形的三边关系定理得到x、y的不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解即可．
二、填空题
11．（2023八上·金东期末）如图，的三条中线AD，BE，CF交于点O，若的面积为20，那么阴影部分的面积之和为 .
【答案】10
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：，，是的中线，
，，，
阴影部分面积之和.
故答案为：10.
【分析】根据三角形中线的概念以及三角形的面积公式可得S△AOF=S△BOF，S△BOD=S△COD，S△AOE=S△COE，推出S阴影=S△ABC，据此计算.
12．（2023八上·凤凰期末）三角形的两边长分别是10和8，则第三边的x取值范围是 .
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系：10 8＜x＜10＋8，
解得：2＜x＜18.
故答案为：2＜x＜18.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解.
13．（2023八上·温州期末）若一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是 三角形(填“锐角”、“直角”或“钝角”) ．
【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ 一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，
∴设该三角形三内角度数分别为x、2x、3x，
∴x+2x+3X=180，
解得x=30，
∴最大内角的度数为90°，
故该三角形是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】由已知可设该三角形三内角度数分别为x、2x、3x，根据三角形的内角和定理建立方程求解可得x的值，从而求出最大内角为90°，进而根据直角三角形的定义即可得出结论.
14．（2022八上·顺义期末）如图，，，点B在射线上，若为钝角三角形，则线段长的取值范围是 .
【答案】或
【知识点】三角形三边关系；三角形相关概念
【解析】【解答】解：依题意，，，
当时，且，
，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴当时，，
综 上 所 述 ， 或，
故答案为或.
【分析】分类讨论：①当时，②当时，再分别画出图象并求解即可。
15．（2022八上·乌鲁木齐月考）如图，以点A为顶点的三角形有 个，它们分别是 ．
【答案】4；△ABC，△ADC，△ABE，△ADE
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：以点A为顶点的三角形有4个，它们分别是△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．
故答案为：4，△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．
【分析】三条线段首尾依次相连得到的封闭图形叫做三角形，据此解答.
16．（2019八上·长安月考）如图所示，∠ADC= °．
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】由图可知：∠C=90°，∠ABC=50°，
∴∠BAC=40°，
根据作图得出：∠CAD=∠BAD= ∠CAB=20°，
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=50°+20°=70°，
故答案为：70°.
【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC的度数，根据作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，即可计算出∠BAD的度数，再利用三角形外角的性质计算∠ADC的度数.
三、作图题
17．（2023八上·金东期末）在如图所示的方格纸中，
⑴在中，作BC边上的高AD.
⑵作AC边上的中线BE.
⑶求的面积.
【答案】解：⑴如图所示AD即为所求.
⑵如图所示BE即为所求.
⑶，，
，
为边上中线，
，
即面积为4.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线的作法进行作图；
（2）找出线段AC的中点E，然后连接BE即可；
（3）根据中线的概念结合三角形的面积公式可得S△ABE=S△ABC，据此计算.
四、解答题
18．（2023八上·韩城期末）如图所示，在中，平分交于点E，交于点D，，，求的度数.
【答案】解：∵，
∴
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】根据垂直的定义得∠ADC=90°，根据角平分线的定义得∠CAE=40°，由角的和差可得∠CAD=30°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠C与∠B的度数.
19．（2022八上·右玉期末）先化简，再求值：，其中a，2，4为的三边长，且a为整数．
【答案】解：原式
且、、、
即
又因为a，2，4为的三边长，
，
当
所以：
原式
【知识点】分式的化简求值；三角形三边关系
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出a的值取值范围，最后将a的值代入计算即可。
20．（2023八上·平桂期末）如图：已知在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E，∠B＝38°，∠C＝70°，求∠DAE的度数.
【答案】解：∵∠B＝38°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°-38°-70°＝72°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝36°
∵AE⊥BC，
∴∠BEA＝90°.
∵∠B＝38°，
∴∠BAE＝180°-90°-38°＝52°
∴∠DAE＝∠BAE-∠BAD＝52°-36°＝16°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数，根据角平分线的定义算出∠BAD的度数，根据垂直的定义及直角三角形两锐角互余可得∠BAE的度数，进而根据∠DAE＝∠BAE-∠BAD 可得答案.
五、综合题
21．（2023八上·桂平期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
（1）如图1，在中，，，，，，则的长为： .
（2）如图2，在中，，，则的高与的比是： .
（3）如图3，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E，F.若，求的值.
【答案】（1）
（2）1：2
（3）解：，，，
，
，
又，
，
即.
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图2中，
，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）根据即可求解；
（2）根据即可求解；
（3）由，即得，结合BP=AP，代入相应数据即可求解.
22．（2022八上·西城期末）如图，在四边形中，，平分，．
（1）画出的高；
（2）的面积等于 ．
【答案】（1）解：如图所示，高即为所求；
（2）3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】（1）根据要求作出高即可；
（2）利用三角形的面积公式求解即可。
23．（2022八上·淮南期末）如图
（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C直角顶点X在△ABC内部，若∠A=30 ，则∠ABC+∠ACB= ，∠XBC+∠XCB=
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点X还在△ABC内部，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化 若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
【答案】（1）150；90
（2）解：不发生变化．
∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=150°，（三角形内角和180°）
∵∠YXZ=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，（三角形内角和180°）
∴∠ABX+∠ACX=150°-90°=60°.
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-30°=150°，
同理可得：∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°，
故答案为：150°，90°
【分析】（1）利用三角形的内角和求出答案即可；
（2）方法同（1），利用三角形的内角和求出答案即可。
24．（2022八上·安次期末）在中，，．
（1）若是整数，求的长．
（2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
【答案】（1）解：由三角形三边关系可得，在中，，，
则，即
又∵是整数，
∴，
（2）解：∵是的中线，
∴，
由的周长为10可得，，则，
三角形的周长，
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）利用三角形三边的关系可得，再结合是整数，可得；
（2）根据中线的性质可得BD=CD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得三角形的周长。
25．（2022八上·南昌期中）在中，，．
（1）求，，的度数；
（2）按边分类，属于 三角形，按角分类，属于 三角形．
【答案】（1）解：在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）等腰；直角
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，
∴按边分类，属于等腰三角形；
∵，
∴按角分类，属于直角三角形；
故答案为：等腰，直角．
【分析】（1）利用三角形的内角和及，，求出，，的度数即可；
（2）根据三角形的定义求解即可。
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