2023年浙教版数学八年级上册1.3 证明 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·拱墅月考）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过C作EF AB
B．过AB上一点D作DE BC，DF AC
C．延长AC到F，过C作CE AB
D．作CD⊥AB于点D
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：A、由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B，
由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故选项A不符合题意；
B、由DF∥AC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB，
由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，
那么∠C＝∠EDF，
由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故选项B不符合题意；
C、由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE，
由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故选项C不符合题意；
D、由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由平行线的性质得∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B，然后结合∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°可判断A；由平行线的性质得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB，∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，则∠C＝∠EDF，然后结合∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°可判断B；由平行线的性质可得∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE，然后结合∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°可判断C；由垂线定义得∠ADC＝∠CDB＝90°，据此判断D.
2．（2022七下·浉河期末）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（ ）
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C，求证：AB∥CD． 证明：延长BE交（※）于点F，则∠BEC＝（⊙）+∠C． 又∵∠BEC＝∠B+∠C， ∴∠B＝（▲） ∴AB∥CD（（□）相等，两直线平行）
A．⊙代表∠FEC B．□代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，延长BE交DC于点F，
∴∠BEC＝∠EFC+∠C，
又∵∠BEC＝∠B+∠C，
∴∠B＝∠EFC，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） ，
∴▲代表∠EFC，符合题意.
故答案为：C.
【分析】如图，延长BE交DC于点F，易得∠BEC＝∠EFC+∠C， 再结合∠BEC＝∠B+∠C， 等量代换可得∠B＝∠EFC，再由内错角相等，两直线平行，即可判定AB∥CD.
3．（2023八上·蜀山期末）图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，，，则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵是的外角，，，
∴，
故答案为：C
【分析】利用三角形外角的性质求出即可。
4．（2022八上·沈阳期末）如图，是的一个外角，E是边AB上一点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：A、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＞∠A，不符合题意．
B、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠1是△BEC的一个外角，∠BCD与∠1无法比较大小，符合题意．
C、∠2是△AEC的一个外角，则∠2＞∠3，不符合题意．
D、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＝∠A＋∠B，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用三角形外角的性质逐项判断即可。
5．（2022八上·电白期末）下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：A.如图：
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠1+∠3，
∵ab，
∴∠ACD=∠2，
∴∠2=∠1+∠3，故A不符合题意；
B.如图：延长AD交BF于点C，
∵ab，
∴∠1=∠ACF，
∵∠ACF=∠3+∠2，
∴∠1=∠3+∠2，故B符合题意；
C.如图：过点A作ABa，
∴∠2+∠CAB=180°，
∵ab，
∴ABb，
∴∠1+∠BAD=180°，
∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°，故C不符合题意；
D.如图：延长DA交直线b于点C，
∵ab，
∴∠2=∠DCB，
∵∠3=∠1+∠DCB，
∴∠3=∠1+∠2，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质分别求出各图形中∠1、∠2、∠3的关系，即可判断.
6．（2023八上·宁波期末）如图，在中，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，
∴.
∵是的高，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴的度数为
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE=∠ABC=40°，由三角形高线的概念可得∠ADB=90°，利用内角和定理求出∠ABD的度数，然后根据∠DBE=∠ABE-∠ABD进行计算.
7．（2022八上·安徽期末）如图，是的外角的平分线，若，，则（ ）
A．35° B．40° C．45° D．55°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵是的外角的平分线，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义可得，再利用三角形外角的性质求出即可。
8．（2022八上·游仙期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠BAF＝∠CAF
C．∠B＋∠BAD＝90° D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理；线段的中点；角平分线的定义
【解析】【解答】解： AF是中线
故A选项正确，不符合题意；
同高
故D选项正确，不符合题意；
AE是角平分线
∠BAE＝∠CAE
故B选项错误，符合题意；
AD是高
∠B＋∠BAD＝90°
故C选项正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据中线的概念可得BF=CF，据此判断A；根据同高的三角形面积之比等于底之比可判断D；根据角平分线的概念可判断B；根据高线的概念可得∠ADC=90°，结合内角和定理可判断C.
9．（2022八上·路南期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于点G，则下列结论 ①∠CEG = 2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC =∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD
∵ ，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①符合题意；
∵∠A=90°，CG⊥EG， ，
∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，
∴∠GCD+∠BCD=90°，
又∵∠BCD=∠ACD，
∴∠ADC=∠GDC，故③符合题意；
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴ ，
∴ ，
∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，
∴ ，故④符合题意；
∵∠BFC=135°，
∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤符合题意；
根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的定义，平行线的性质及角的运算逐项判断即可。
10．（2021八上·诸暨月考）如图，对任意的五角星，结论正确的是（ ）
A．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝90° B．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°
C．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝270° D．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝360°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，取F、G点，
∵∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠AFG+∠AGF=180° .
故答案为：B.
【分析】取F、G点，然后根据三角形外角的性质分别得到∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D，再利用三角形内角和定理，即可解答.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023八上·绍兴期末）如图，已知，则的度数为 .
【答案】110
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长BD与AC交于点E，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：110.
【分析】延长BD与AC交于点E，根据三角形外角性质得∠DEC=∠BDC-∠C，∠A=∠DEC-∠B，再分别代入即可算出答案.
12．（2022八上·黄冈月考）如图，在中，平分，点在射线上，于，，，则的度数为 .
【答案】34°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：，，
，
平分，
，
，
在中，，
故答案为：34°.
【分析】根据三角形外角性质可得∠BAC=∠ACE-∠B=32°，根据角平分线的定义得∠BAD=16°，再根据三角形外角的性质可得∠ADC的度数，进而根据直角三角形的两锐角互余即可得出答案.
13．（2022八上·江干期中）在中，，CD平分交AB于D点，，交BC的延长线于点E，已知，则 度.
【答案】72
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠E=36°，AE∥DC，
∴∠E=∠BCD=36°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=72°，
∴∠B=∠ACB=72°，
故答案为：72.
【分析】根据二直线平行，同位角相等得∠E=∠BCD=36°，再根据角平分线的定义得∠ACB=2∠BCD，据此就不难得出答案了.
14．（2020八上·朝阳月考）在你所学过的几何知识中，可以证明两个角相等定理有 （写出三个定理即可）
【答案】对顶角相等；两直线平行，同位角相等；同角或等角的余角相等
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】判断角相等的定理有：对顶角相等；两直线平行，同位角相等；同角或等角的余角相等；
故答案为：对顶角相等；两直线平行，同位角相等；同角或等角的余角相等．
【分析】判断角相等的定理有很多，如：全等三角形的对应角相等；对顶角相等；两直线平行，同位角相等；同角或等角的余角相等；等等．
15．（2022八上·青田期中）如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF；则以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；其中正确的结论有 .
【答案】①②③
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，
∴②正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF＝2∠DCF，
∵∠ACB+∠ACF＝180°，∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴2∠ABD+2∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠ADC＝90°，故③正确；
故答案为：①②③.
【分析】由角平分线的定义可得∠EAC＝2∠EAD，由三角形外角的性质可得∠EAC＝∠ABC+∠ACB，从而推出∠EAD＝∠ABC，根据平行线的判定可得AD∥BC，利用平行线的性质及角平分线的定义可推∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，据此判断①②；由AD∥BC可得∠ADC＝∠DCF，由CD平分∠ACF可得∠ACF＝2∠DCF，利用补角的定义可得∠ACB+∠ACF=2∠ABD+2∠ADC＝180°，据此即可判断③.
16．（2023八上·达州期末）如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数为 ．
【答案】105°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠D=90°，∠CAB=30°，∠DAC=45°，
∴∠DAE=∠DAC-∠CAB=45°-30°=15°，
∴∠α=∠D+∠DAE=90°+15°=105°.
故答案为：105°
【分析】利用∠DAE=∠DAC-∠CAB，代入计算求出∠DAE的度数；再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可求出α的度数.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022八上·余杭月考）证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题．
已知：
求证：
证明：
【答案】解：已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：过点A作EF//BC，
所以∠1=∠B，∠2=∠C，
所以∠BAC+∠B+∠C=180°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】由命题可知题设和结论，然后画出△ABC，根据图形写出已知和求证；过点A作EF//BC，利用两直线平行，内错角相等，可证得∠1=∠B，∠2=∠C；然后利用平角的定义，可证得结论.
18．（2022八上·成武期中）把下面的证明过程补充完整：
已知：如图，，．
求证：．
证明：∵（已知），
∴ ▲ （ ），
∴（ ），
∵（ ），
∴ ▲ （ ），
∴（ ），
∴（ ）．
【答案】解：∵（已知），
∴（同旁内角互补两直线平行），
∴（两直线平行同位角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等两直线平行），
∴（两直线平行内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质求解即可。
19．（2023八上·西安期末）叙述并证明三角形内角和定理.
【答案】解：定理：三角形的内角和为；
已知：的三个内角分别为、、；
求证：.
证明：如图：延长到D，过点C作，
，，
，
.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】延长BC到D，过点C作CE∥BA，由平行线的性质可得∠A=∠1，∠B=∠2，根据平角的概念可得∠BCA+∠1+∠2=180°，据此证明.
20．（2022八上·郑州开学考）如图，，求证：，请完成证明过程及理由填写．
证明：（已知），
（ ）
（等量代换）．
▲ （ ）
▲ （ ）
（ ），
（ ）
（ ）
【答案】证明：（已知），
（对顶角相等），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】由已知条件可知∠1+∠2=180°，根据对顶角的性质可得∠2=∠4，则∠1+∠4=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，推出AB∥DF，由两直线平行，同位角相等，可得∠B=∠FDH，由已知条件可知∠3=∠B，则∠3=∠FDH，然后根据内错角相等，两直线平行，进行证明.
21．（2022八上·越城期末）在探索并证明三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”时，圆圆同学添加的辅助线为“过点A作直线DE // BC”.请写出“已知”、“求证”，并补全证明.
已知：
求证：
证明：过点A作直线DE // BC.
【答案】解：已知：如图， .
求证： .
证明：如图，过点A作直线DE // BC.
∵DE // BC，
∴ ， （两直线平行，内错角相等）.
∵ （平角定义），
∴ .
即三角形内角和为 .
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】此题是一道文字证明题，命题的已知是三角形，结论是其内角和为180°；证明过程的分析如下： 过点A作直线DE // BC ，根据二直线平行，内错角相等得∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，根据平角的定义得∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，再等量代换即可得出答案.
22．（2023八上·达州期末）已知：如图，直线BD分别交射线AE、CF于点B、D，连接A、D和B、C，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF，求证：
（1）AD∥BC；
（2）BC平分∠DBE．
【答案】（1）证明：∵∠2+∠BDC＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠BDC，
∴AB∥CF，
∴∠C＝∠EBC，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠EBC，
∴AD∥BC；
（2）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠FDA＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠FDA＝∠C，∠ADB＝∠DBC，
∵∠C＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠DBC，
∴BC平分∠DBE．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用补角的性质可证得∠1=∠BDC，利用平行线的性质可证得∠C=∠EBC，从而可证得∠A=∠EBC，利用同位角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）利用角平分线的定义可证得∠FDA＝∠ADB；再利用平行线的性质可知∠FDA＝∠C，∠ADB＝∠DBC，可推出∠EBC=∠DBC，利用角平分线的定义可证得结论.
23．（2021八上·信宜期末）如图：已知，，，于点，于点，
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：∵，，
∴．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
（2）证明：∵．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，，
∴，（垂直的定义）．
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明可得AD//BC；
（2）先证明可得，再结合可得。
24．（2020八上·青岛期末）如图，在 中，点 、 在 边上，点 在 边上，点 在 边上， 与 的延长线交于点 ， ， ．求证：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）证明：
；
（2）证明：由（1）知
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明DG//AB，得出∠1=∠BAD，则∠BAD+∠FEA=180°，再根据平行线的判定即可得出结论；
（2）根据平行线的性质得出∠1=∠H，即可得出结论。
1 / 12023年浙教版数学八年级上册1.3 证明 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·拱墅月考）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过C作EF AB
B．过AB上一点D作DE BC，DF AC
C．延长AC到F，过C作CE AB
D．作CD⊥AB于点D
2．（2022七下·浉河期末）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（ ）
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C，求证：AB∥CD． 证明：延长BE交（※）于点F，则∠BEC＝（⊙）+∠C． 又∵∠BEC＝∠B+∠C， ∴∠B＝（▲） ∴AB∥CD（（□）相等，两直线平行）
A．⊙代表∠FEC B．□代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
3．（2023八上·蜀山期末）图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，，，则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·沈阳期末）如图，是的一个外角，E是边AB上一点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022八上·电白期末）下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八上·宁波期末）如图，在中，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022八上·安徽期末）如图，是的外角的平分线，若，，则（ ）
A．35° B．40° C．45° D．55°
8．（2022八上·游仙期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠BAF＝∠CAF
C．∠B＋∠BAD＝90° D．
9．（2022八上·路南期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于点G，则下列结论 ①∠CEG = 2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC =∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
10．（2021八上·诸暨月考）如图，对任意的五角星，结论正确的是（ ）
A．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝90° B．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°
C．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝270° D．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝360°
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023八上·绍兴期末）如图，已知，则的度数为 .
12．（2022八上·黄冈月考）如图，在中，平分，点在射线上，于，，，则的度数为 .
13．（2022八上·江干期中）在中，，CD平分交AB于D点，，交BC的延长线于点E，已知，则 度.
14．（2020八上·朝阳月考）在你所学过的几何知识中，可以证明两个角相等定理有 （写出三个定理即可）
15．（2022八上·青田期中）如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF；则以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；其中正确的结论有 .
16．（2023八上·达州期末）如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022八上·余杭月考）证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题．
已知：
求证：
证明：
18．（2022八上·成武期中）把下面的证明过程补充完整：
已知：如图，，．
求证：．
证明：∵（已知），
∴ ▲ （ ），
∴（ ），
∵（ ），
∴ ▲ （ ），
∴（ ），
∴（ ）．
19．（2023八上·西安期末）叙述并证明三角形内角和定理.
20．（2022八上·郑州开学考）如图，，求证：，请完成证明过程及理由填写．
证明：（已知），
（ ）
（等量代换）．
▲ （ ）
▲ （ ）
（ ），
（ ）
（ ）
21．（2022八上·越城期末）在探索并证明三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”时，圆圆同学添加的辅助线为“过点A作直线DE // BC”.请写出“已知”、“求证”，并补全证明.
已知：
求证：
证明：过点A作直线DE // BC.
22．（2023八上·达州期末）已知：如图，直线BD分别交射线AE、CF于点B、D，连接A、D和B、C，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF，求证：
（1）AD∥BC；
（2）BC平分∠DBE．
23．（2021八上·信宜期末）如图：已知，，，于点，于点，
求证：
（1）；
（2）．
24．（2020八上·青岛期末）如图，在 中，点 、 在 边上，点 在 边上，点 在 边上， 与 的延长线交于点 ， ， ．求证：
（1） ；
（2） ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：A、由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B，
由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故选项A不符合题意；
B、由DF∥AC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB，
由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，
那么∠C＝∠EDF，
由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故选项B不符合题意；
C、由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE，
由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故选项C不符合题意；
D、由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由平行线的性质得∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B，然后结合∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°可判断A；由平行线的性质得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB，∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，则∠C＝∠EDF，然后结合∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°可判断B；由平行线的性质可得∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE，然后结合∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°可判断C；由垂线定义得∠ADC＝∠CDB＝90°，据此判断D.
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，延长BE交DC于点F，
∴∠BEC＝∠EFC+∠C，
又∵∠BEC＝∠B+∠C，
∴∠B＝∠EFC，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） ，
∴▲代表∠EFC，符合题意.
故答案为：C.
【分析】如图，延长BE交DC于点F，易得∠BEC＝∠EFC+∠C， 再结合∠BEC＝∠B+∠C， 等量代换可得∠B＝∠EFC，再由内错角相等，两直线平行，即可判定AB∥CD.
3．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵是的外角，，，
∴，
故答案为：C
【分析】利用三角形外角的性质求出即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：A、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＞∠A，不符合题意．
B、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠1是△BEC的一个外角，∠BCD与∠1无法比较大小，符合题意．
C、∠2是△AEC的一个外角，则∠2＞∠3，不符合题意．
D、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＝∠A＋∠B，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用三角形外角的性质逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：A.如图：
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠1+∠3，
∵ab，
∴∠ACD=∠2，
∴∠2=∠1+∠3，故A不符合题意；
B.如图：延长AD交BF于点C，
∵ab，
∴∠1=∠ACF，
∵∠ACF=∠3+∠2，
∴∠1=∠3+∠2，故B符合题意；
C.如图：过点A作ABa，
∴∠2+∠CAB=180°，
∵ab，
∴ABb，
∴∠1+∠BAD=180°，
∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°，故C不符合题意；
D.如图：延长DA交直线b于点C，
∵ab，
∴∠2=∠DCB，
∵∠3=∠1+∠DCB，
∴∠3=∠1+∠2，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质分别求出各图形中∠1、∠2、∠3的关系，即可判断.
6．【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，
∴.
∵是的高，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴的度数为
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE=∠ABC=40°，由三角形高线的概念可得∠ADB=90°，利用内角和定理求出∠ABD的度数，然后根据∠DBE=∠ABE-∠ABD进行计算.
7．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵是的外角的平分线，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义可得，再利用三角形外角的性质求出即可。
8．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理；线段的中点；角平分线的定义
【解析】【解答】解： AF是中线
故A选项正确，不符合题意；
同高
故D选项正确，不符合题意；
AE是角平分线
∠BAE＝∠CAE
故B选项错误，符合题意；
AD是高
∠B＋∠BAD＝90°
故C选项正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据中线的概念可得BF=CF，据此判断A；根据同高的三角形面积之比等于底之比可判断D；根据角平分线的概念可判断B；根据高线的概念可得∠ADC=90°，结合内角和定理可判断C.
9．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD
∵ ，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①符合题意；
∵∠A=90°，CG⊥EG， ，
∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，
∴∠GCD+∠BCD=90°，
又∵∠BCD=∠ACD，
∴∠ADC=∠GDC，故③符合题意；
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴ ，
∴ ，
∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，
∴ ，故④符合题意；
∵∠BFC=135°，
∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤符合题意；
根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的定义，平行线的性质及角的运算逐项判断即可。
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，取F、G点，
∵∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠AFG+∠AGF=180° .
故答案为：B.
【分析】取F、G点，然后根据三角形外角的性质分别得到∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D，再利用三角形内角和定理，即可解答.
11．【答案】110
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长BD与AC交于点E，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：110.
【分析】延长BD与AC交于点E，根据三角形外角性质得∠DEC=∠BDC-∠C，∠A=∠DEC-∠B，再分别代入即可算出答案.
12．【答案】34°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：，，
，
平分，
，
，
在中，，
故答案为：34°.
【分析】根据三角形外角性质可得∠BAC=∠ACE-∠B=32°，根据角平分线的定义得∠BAD=16°，再根据三角形外角的性质可得∠ADC的度数，进而根据直角三角形的两锐角互余即可得出答案.
13．【答案】72
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠E=36°，AE∥DC，
∴∠E=∠BCD=36°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=72°，
∴∠B=∠ACB=72°，
故答案为：72.
【分析】根据二直线平行，同位角相等得∠E=∠BCD=36°，再根据角平分线的定义得∠ACB=2∠BCD，据此就不难得出答案了.
14．【答案】对顶角相等；两直线平行，同位角相等；同角或等角的余角相等
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】判断角相等的定理有：对顶角相等；两直线平行，同位角相等；同角或等角的余角相等；
故答案为：对顶角相等；两直线平行，同位角相等；同角或等角的余角相等．
【分析】判断角相等的定理有很多，如：全等三角形的对应角相等；对顶角相等；两直线平行，同位角相等；同角或等角的余角相等；等等．
15．【答案】①②③
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，
∴②正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF＝2∠DCF，
∵∠ACB+∠ACF＝180°，∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴2∠ABD+2∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠ADC＝90°，故③正确；
故答案为：①②③.
【分析】由角平分线的定义可得∠EAC＝2∠EAD，由三角形外角的性质可得∠EAC＝∠ABC+∠ACB，从而推出∠EAD＝∠ABC，根据平行线的判定可得AD∥BC，利用平行线的性质及角平分线的定义可推∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，据此判断①②；由AD∥BC可得∠ADC＝∠DCF，由CD平分∠ACF可得∠ACF＝2∠DCF，利用补角的定义可得∠ACB+∠ACF=2∠ABD+2∠ADC＝180°，据此即可判断③.
16．【答案】105°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠D=90°，∠CAB=30°，∠DAC=45°，
∴∠DAE=∠DAC-∠CAB=45°-30°=15°，
∴∠α=∠D+∠DAE=90°+15°=105°.
故答案为：105°
【分析】利用∠DAE=∠DAC-∠CAB，代入计算求出∠DAE的度数；再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可求出α的度数.
17．【答案】解：已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：过点A作EF//BC，
所以∠1=∠B，∠2=∠C，
所以∠BAC+∠B+∠C=180°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】由命题可知题设和结论，然后画出△ABC，根据图形写出已知和求证；过点A作EF//BC，利用两直线平行，内错角相等，可证得∠1=∠B，∠2=∠C；然后利用平角的定义，可证得结论.
18．【答案】解：∵（已知），
∴（同旁内角互补两直线平行），
∴（两直线平行同位角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等两直线平行），
∴（两直线平行内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质求解即可。
19．【答案】解：定理：三角形的内角和为；
已知：的三个内角分别为、、；
求证：.
证明：如图：延长到D，过点C作，
，，
，
.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】延长BC到D，过点C作CE∥BA，由平行线的性质可得∠A=∠1，∠B=∠2，根据平角的概念可得∠BCA+∠1+∠2=180°，据此证明.
20．【答案】证明：（已知），
（对顶角相等），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】由已知条件可知∠1+∠2=180°，根据对顶角的性质可得∠2=∠4，则∠1+∠4=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，推出AB∥DF，由两直线平行，同位角相等，可得∠B=∠FDH，由已知条件可知∠3=∠B，则∠3=∠FDH，然后根据内错角相等，两直线平行，进行证明.
21．【答案】解：已知：如图， .
求证： .
证明：如图，过点A作直线DE // BC.
∵DE // BC，
∴ ， （两直线平行，内错角相等）.
∵ （平角定义），
∴ .
即三角形内角和为 .
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】此题是一道文字证明题，命题的已知是三角形，结论是其内角和为180°；证明过程的分析如下： 过点A作直线DE // BC ，根据二直线平行，内错角相等得∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，根据平角的定义得∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，再等量代换即可得出答案.
22．【答案】（1）证明：∵∠2+∠BDC＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠BDC，
∴AB∥CF，
∴∠C＝∠EBC，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠EBC，
∴AD∥BC；
（2）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠FDA＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠FDA＝∠C，∠ADB＝∠DBC，
∵∠C＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠DBC，
∴BC平分∠DBE．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用补角的性质可证得∠1=∠BDC，利用平行线的性质可证得∠C=∠EBC，从而可证得∠A=∠EBC，利用同位角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）利用角平分线的定义可证得∠FDA＝∠ADB；再利用平行线的性质可知∠FDA＝∠C，∠ADB＝∠DBC，可推出∠EBC=∠DBC，利用角平分线的定义可证得结论.
23．【答案】（1）证明：∵，，
∴．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
（2）证明：∵．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，，
∴，（垂直的定义）．
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明可得AD//BC；
（2）先证明可得，再结合可得。
24．【答案】（1）证明：
；
（2）证明：由（1）知
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明DG//AB，得出∠1=∠BAD，则∠BAD+∠FEA=180°，再根据平行线的判定即可得出结论；
（2）根据平行线的性质得出∠1=∠H，即可得出结论。
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