登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2023年浙教版数学八年级上册1.5.3 全等三角形的判定——ASA 同步测试
一、单选题
1．（2023八上·临湘期末）如图，将两块大小相同的三角板（∠B=∠C=30°的直角三角形）按图中所示的位置摆放.若BE交CF于点D交AC于点M，AB交CF于点N，则下列结论：①∠EAM=∠FAN；②△ACN≌△ABM；③∠EAF+∠BAC=120°；④EM=FN；⑤CF⊥BE中，正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．（2021八上·蓬江期末）如图，点、在上，，，，，，则的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
3．（2022八上·广安月考）如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=6，则CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4.5 D．3
4．（2022八上·江油月考）如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BD，CD并延长交AC，AB于E，F点，则此图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．（2022八上·长顺期中）如图，在中，于点，与点，与交于点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2
6．（2022八上·冠县期中）如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是（ ）
A．只带①去 B．带②③去 C．只带④去 D．带①③去
7．（2022八上·老河口期中）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于 AD，垂足为M，若BC＝7，则DE的长是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．5
8．（2022八上·威远期中）如图，是的高线，与相交于点．若，且的面积为12，则的长度为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1.5
二、填空题
9．（2022八上·温州期中）如图，已知，请你添加一个条件，能运用直接说明≌，你添加的条件是 不添加任何字母和辅助线
10．（2023八上·平昌期末）如图，已知 AB//CF，E为DF的中点，若AB=13cm，CF=7cm，则BD= cm .
11．（2022八上·临清期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交与点E，．若，，则的长为 ．
12．（2022八上·南昌期中）如图，在中，H是高和的交点，且，已知，则的长为 ．
三、综合题
13．（2023八上·宁波期末）如图，四边形的对角线与相交于点，，
求证：．
14．（2023八上·义乌期末）如图，已知在和中，.求证：.
15．（2023八上·余姚期末）如图，在四边形中，P为边上的一点，.、分别是、的角平分线.
（1）若，则的度数为 ，的度数为 ；
（2）求证：；
（3）设，，过点P作一条直线，分别与，所在直线交于点E、F，若，直接写出的长（用含a的代数式表示）
16．（2023八上·永城期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得.
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长.
17．（2022八上·淮北月考）如图，在中，点D是延长线上一点，过点D作于点F，延长交于点E，交的平分线于点N，点M为与的交点，，.
（1）求的度数；
（2）证明：.
18．（2022八上·泌阳期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，AD、CE交于点F，CD＝CG，连结FG.
（1）求证：FD＝FG；
（2）线段FG与FE之间有怎样的数量关系，请说明理由；
（3）若∠B≠60°，其他条件不变，则（1）和（2）中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：①
故①正确；
②
故②正确；
③
故③正确；
④由①知，
又
故④正确；
⑤在四边形中，
不一定垂直
故⑤错误，
故正确的结论有：①②③④
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质可得∠EAB=∠FAB，然后根据角的和差关系可判断①；由全等三角形的性质可得AB=AC，∠B=∠C，然后根据全等三角形的判定定理可判断②；由全等三角形的性质可得∠B=∠C，则∠EAB=∠FAC=60°，然后根据∠EAF+∠BAC=∠EAB+∠CAF求出相应的度数，进而判断③；由①知∠EAM=∠FAN，利用ASA证明△EAM≌△FAN，据此判断④；根据四边形内角和为360°可得∠EAF+∠EDF=180°，由∠EAF≥90°可得∠EDF≤90°，据此判断⑤.
2．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴=，
故答案为：D．
【分析】先证明，可得，再利用线段的和差求出。
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EFD中，
∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠F，
∴△ABC≌△EFD（ASA），
∴AC=ED=6，
∴AD=AE-ED=10-6=4，
∴CD=AC-AD=6-4=2.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质可得∠A=∠E，由已知条件可知AB=EF，∠B=∠F，利用ASA证明△ABC≌△EFD，得到AC=ED=6，然后根据AD=AE-ED，CD=AC-AD进行计算.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，
又∠EDB＝∠FDC，
∴∠ADE＝∠ADF，
∴△AED≌△AFD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE.
∴△AED≌△AFD，△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE，共4对.
故答案为：C.
【分析】用SAS判断△ABD≌△ACD，得BD＝CD，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，结合对顶角相等及等式的性质可得∠ADE＝∠ADF，从而利用ASA判断出△AED≌△AFD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE，据此即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：，，
，
，，，
，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】由等角的余角相等可得∠DAC=∠DBF，结合已知用角边角可证△BDF≌△ADC，再根据全等三角形的性质可得DF=Cd，结合线段的构成AF+DF=AD可求解.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的，故A不符合题意；
第②③块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的，故B不符合题意；
第④块不仅保留了原来三角形的两个角，还保留了一边，则可根据ASA来配一块与原来一样的玻璃，故C符合题意；
第①③块保留了原三角形的部分和一角，根据这两块不能配一块与原来完全一样的，故D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】利用“ASA”证明三角形全等即可。
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵的平分线垂直于，垂足为点N，
∴，，
在与中，
∵，
∴，
∴，
同理可证，，
∴.
∵△ABC的周长为19，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：D.
【分析】利用ASA判断出△BNA≌△BNE，根据全等三角形对应边相等得BA=BE，同理可得AC=DC，根据三角形周长的计算方法及等量代换可算出DE的长.
8．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AD，BE是△ABC的高线，
∴∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，
∴∠FBD+∠C=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠FBD=∠DAC，
在△BDF和△ADC中
∴△BDF≌△ADC（ASA）
∴DF=DC，
∵S△ACD=12，
∴即
解之：CD=DF=4，
∴AF=AD-DF=6-4=2.
故答案为：C
【分析】利用三角形的高的定义可证得∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，利用直角三角形的两锐角互余及余角的性质可证得∠FBD=∠DAC，利用ASA证明△BDF≌△ADC，利用全等三角形的性质可得到DF=DC；再利用三角形的面积公式求出CD的长，根据AF=AD-DF，代入计算求出AF的长.
9．【答案】∠ADC=∠AEB
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：添加条件，理由如下：
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC和△AEB（ASA），
故答案为：∠ADC=∠AEB.
【分析】题干已经给出了AD=AE，图形中有公共角∠DAC=∠EAB，要使用ASA判断△ADC和△AEB全等，只需要添加∠ADC=∠AEB.
10．【答案】6
【知识点】平行线的性质；线段的中点；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ABCF，
∴∠ADE=∠CFE，
∵E为DF的中点，
∴DE=EF，
在△ADE和△CFE中，
∵，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD=CF=7cm，
∵AB=13cm，
∴BD=13-7=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据平行线的性质可得∠ADE=∠CFE，由中点的概念可得DE=EF，利用ASA证明△ADE≌△CFE，得到AD=CF=7cm，然后根据BD=AB-AD进行计算.
11．【答案】
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
故答案为：．
【分析】先利用“ASA”证明，可得，，再利用线段的和差求出，最后求出即可。
12．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵H是高和的交点，
∴，，
∴，．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】利用“ASA”证明，所以，再利用线段的和差可得。
13．【答案】证明：在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（ASA）
∴AB=AD
∵∠1=∠2
∴OB=OD
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】利用ASA证明△ABC≌△ADC，利用全等三角形的性质可证得AB=AD，利用等腰三角形三线合一的性质可证得结论.
14．【答案】证明：
∵，
∴，
即.
在和中，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据∠1=∠2结合角的和差关系可得∠ABC=∠DBE，由已知条件可知AB=DB，∠A=∠D，利用ASA证明△ABC≌△DBE，据此可得结论.
15．【答案】（1）55°；90°
（2）证明：如图1，延长交的延长线于点，
由（1）得，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴
（3）解：或
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵、分别是、的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：55°，90°
（3）解：或，
分两种情况讨论，
①将沿向右平移到，且经过点P，交于点E，交的延长线与点F，则，
由（2）的证明过程，同理可证，
∴，
∴，
∵，，，
∴在中，，
解得，，
由（2）可知，，
∴；
②如图3，若点F在上，，过点P作与点N，与点M.
由角平分线性质定理可得，
在中，，
∴，
则，
在和
∵，，，
由勾股定理可得出，，
∴.
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，根据角平分线的概念可得∠ABP=∠ABC，∠BAP=∠BAD=35°，则∠ABP+∠BAP=(∠ABC+∠BAD)=90°，由内角和定理可得∠APB=90°，然后根据∠ABP=90°-∠BAP进行计算；
（2）延长BP交AD的延长线于点G，由（1）得∠APB=90°，利用ASA证明△ABP≌△AGP，得到BA=GA，BP=GP，由平行线的性质可得∠CBP=∠DGP，证明△BCP≌△GDP，得到BC=GD，据此解答；
（3）①将AB沿AD向右平移到EF，且经过点P，交AD于点E，交BC的延长线与点F，则BF=AE，由（2）可得AE=BF=EG，由勾股定理可得AB=5a，由（2）可知AG=AB=5a，据此求解；②若点F在BC上，EF=AB，过点P作PN⊥AD与点N，PM⊥AB与点M，由角平分线性质定理可得PM=PN，根据等面积法可得PM，由勾股定理可得AN、EN，然后根据AE=AN+EN进行解答.
16．【答案】（1）证明：，
，
在与中
≌；
（2）解：≌，
，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得∠ABC=∠DEF，从而利用ASA判断出△ABC≌△DEF；
（2）根据全等三角形的对应边相等得BC=EF，根据等式的性质可得BF=EC，最后根据FC=BE-BF-CE即可算出答案.
17．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可；
（2）先利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得。
18．【答案】（1）证明：∵EC平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠FCG，
∵CG＝CD，CF＝CF，
∴△CFD≌△CFG（SAS），
∴FD＝FG.
（2）解：结论：FG＝FE.
理由：∵∠B＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，
∴∠ACF+∠FAC＝（∠BCA+∠BAC）＝60°，
∴∠AFC＝120°，∠CFD＝∠AFE＝60°，
∵△CFD≌△CFG，
∴∠CFD＝∠CFG＝60°，
∴∠AFG＝∠AFE＝60°，
∵AF＝AF，∠FAG＝∠FAE，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴FG＝FE.
（3）解：结论：（1）中结论成立.（2）中结论不成立.
理由：①同法可证△CFD≌△CFG（SAS），
∴FD＝FG.
②∵∠B≠60°，
∴无法证明∠AFG＝∠AFE，
∴不能判断△AFG≌△AFE，
∴（2）中结论不成立.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用SAS证△CFD≌△CFG ，根据全等三角形的对应边相等即可得出FD=FG；
（2）根据三角形的内角和定理得 ∠BAC+∠BCA＝120°， 进而根据角平分线的定义及三角形的内角和定理得 ∠AFC＝120°，根据邻补角定义得∠CFD＝∠AFE＝60°， 进而根据全等三角形的对应角相等及角的和差得 ∠AFG＝∠AFE＝60°， 可以用ASA判断出△AFG≌△AFE ，根据全等三角形的对应边相等得FG=FE；
（3） 结论：（1）中结论成立；（2）中结论不成立.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2023年浙教版数学八年级上册1.5.3 全等三角形的判定——ASA 同步测试
一、单选题
1．（2023八上·临湘期末）如图，将两块大小相同的三角板（∠B=∠C=30°的直角三角形）按图中所示的位置摆放.若BE交CF于点D交AC于点M，AB交CF于点N，则下列结论：①∠EAM=∠FAN；②△ACN≌△ABM；③∠EAF+∠BAC=120°；④EM=FN；⑤CF⊥BE中，正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：①
故①正确；
②
故②正确；
③
故③正确；
④由①知，
又
故④正确；
⑤在四边形中，
不一定垂直
故⑤错误，
故正确的结论有：①②③④
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质可得∠EAB=∠FAB，然后根据角的和差关系可判断①；由全等三角形的性质可得AB=AC，∠B=∠C，然后根据全等三角形的判定定理可判断②；由全等三角形的性质可得∠B=∠C，则∠EAB=∠FAC=60°，然后根据∠EAF+∠BAC=∠EAB+∠CAF求出相应的度数，进而判断③；由①知∠EAM=∠FAN，利用ASA证明△EAM≌△FAN，据此判断④；根据四边形内角和为360°可得∠EAF+∠EDF=180°，由∠EAF≥90°可得∠EDF≤90°，据此判断⑤.
2．（2021八上·蓬江期末）如图，点、在上，，，，，，则的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴=，
故答案为：D．
【分析】先证明，可得，再利用线段的和差求出。
3．（2022八上·广安月考）如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=6，则CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4.5 D．3
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EFD中，
∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠F，
∴△ABC≌△EFD（ASA），
∴AC=ED=6，
∴AD=AE-ED=10-6=4，
∴CD=AC-AD=6-4=2.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质可得∠A=∠E，由已知条件可知AB=EF，∠B=∠F，利用ASA证明△ABC≌△EFD，得到AC=ED=6，然后根据AD=AE-ED，CD=AC-AD进行计算.
4．（2022八上·江油月考）如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BD，CD并延长交AC，AB于E，F点，则此图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，
又∠EDB＝∠FDC，
∴∠ADE＝∠ADF，
∴△AED≌△AFD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE.
∴△AED≌△AFD，△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE，共4对.
故答案为：C.
【分析】用SAS判断△ABD≌△ACD，得BD＝CD，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，结合对顶角相等及等式的性质可得∠ADE＝∠ADF，从而利用ASA判断出△AED≌△AFD，△BDE≌△CDF，△ABF≌△ACE，据此即可得出答案.
5．（2022八上·长顺期中）如图，在中，于点，与点，与交于点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：，，
，
，，，
，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】由等角的余角相等可得∠DAC=∠DBF，结合已知用角边角可证△BDF≌△ADC，再根据全等三角形的性质可得DF=Cd，结合线段的构成AF+DF=AD可求解.
6．（2022八上·冠县期中）如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是（ ）
A．只带①去 B．带②③去 C．只带④去 D．带①③去
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的，故A不符合题意；
第②③块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的，故B不符合题意；
第④块不仅保留了原来三角形的两个角，还保留了一边，则可根据ASA来配一块与原来一样的玻璃，故C符合题意；
第①③块保留了原三角形的部分和一角，根据这两块不能配一块与原来完全一样的，故D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】利用“ASA”证明三角形全等即可。
7．（2022八上·老河口期中）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于 AD，垂足为M，若BC＝7，则DE的长是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．5
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵的平分线垂直于，垂足为点N，
∴，，
在与中，
∵，
∴，
∴，
同理可证，，
∴.
∵△ABC的周长为19，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：D.
【分析】利用ASA判断出△BNA≌△BNE，根据全等三角形对应边相等得BA=BE，同理可得AC=DC，根据三角形周长的计算方法及等量代换可算出DE的长.
8．（2022八上·威远期中）如图，是的高线，与相交于点．若，且的面积为12，则的长度为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1.5
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AD，BE是△ABC的高线，
∴∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，
∴∠FBD+∠C=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠FBD=∠DAC，
在△BDF和△ADC中
∴△BDF≌△ADC（ASA）
∴DF=DC，
∵S△ACD=12，
∴即
解之：CD=DF=4，
∴AF=AD-DF=6-4=2.
故答案为：C
【分析】利用三角形的高的定义可证得∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，利用直角三角形的两锐角互余及余角的性质可证得∠FBD=∠DAC，利用ASA证明△BDF≌△ADC，利用全等三角形的性质可得到DF=DC；再利用三角形的面积公式求出CD的长，根据AF=AD-DF，代入计算求出AF的长.
二、填空题
9．（2022八上·温州期中）如图，已知，请你添加一个条件，能运用直接说明≌，你添加的条件是 不添加任何字母和辅助线
【答案】∠ADC=∠AEB
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：添加条件，理由如下：
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC和△AEB（ASA），
故答案为：∠ADC=∠AEB.
【分析】题干已经给出了AD=AE，图形中有公共角∠DAC=∠EAB，要使用ASA判断△ADC和△AEB全等，只需要添加∠ADC=∠AEB.
10．（2023八上·平昌期末）如图，已知 AB//CF，E为DF的中点，若AB=13cm，CF=7cm，则BD= cm .
【答案】6
【知识点】平行线的性质；线段的中点；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ABCF，
∴∠ADE=∠CFE，
∵E为DF的中点，
∴DE=EF，
在△ADE和△CFE中，
∵，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD=CF=7cm，
∵AB=13cm，
∴BD=13-7=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据平行线的性质可得∠ADE=∠CFE，由中点的概念可得DE=EF，利用ASA证明△ADE≌△CFE，得到AD=CF=7cm，然后根据BD=AB-AD进行计算.
11．（2022八上·临清期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交与点E，．若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
故答案为：．
【分析】先利用“ASA”证明，可得，，再利用线段的和差求出，最后求出即可。
12．（2022八上·南昌期中）如图，在中，H是高和的交点，且，已知，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵H是高和的交点，
∴，，
∴，．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】利用“ASA”证明，所以，再利用线段的和差可得。
三、综合题
13．（2023八上·宁波期末）如图，四边形的对角线与相交于点，，
求证：．
【答案】证明：在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（ASA）
∴AB=AD
∵∠1=∠2
∴OB=OD
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】利用ASA证明△ABC≌△ADC，利用全等三角形的性质可证得AB=AD，利用等腰三角形三线合一的性质可证得结论.
14．（2023八上·义乌期末）如图，已知在和中，.求证：.
【答案】证明：
∵，
∴，
即.
在和中，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据∠1=∠2结合角的和差关系可得∠ABC=∠DBE，由已知条件可知AB=DB，∠A=∠D，利用ASA证明△ABC≌△DBE，据此可得结论.
15．（2023八上·余姚期末）如图，在四边形中，P为边上的一点，.、分别是、的角平分线.
（1）若，则的度数为 ，的度数为 ；
（2）求证：；
（3）设，，过点P作一条直线，分别与，所在直线交于点E、F，若，直接写出的长（用含a的代数式表示）
【答案】（1）55°；90°
（2）证明：如图1，延长交的延长线于点，
由（1）得，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴
（3）解：或
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵、分别是、的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：55°，90°
（3）解：或，
分两种情况讨论，
①将沿向右平移到，且经过点P，交于点E，交的延长线与点F，则，
由（2）的证明过程，同理可证，
∴，
∴，
∵，，，
∴在中，，
解得，，
由（2）可知，，
∴；
②如图3，若点F在上，，过点P作与点N，与点M.
由角平分线性质定理可得，
在中，，
∴，
则，
在和
∵，，，
由勾股定理可得出，，
∴.
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，根据角平分线的概念可得∠ABP=∠ABC，∠BAP=∠BAD=35°，则∠ABP+∠BAP=(∠ABC+∠BAD)=90°，由内角和定理可得∠APB=90°，然后根据∠ABP=90°-∠BAP进行计算；
（2）延长BP交AD的延长线于点G，由（1）得∠APB=90°，利用ASA证明△ABP≌△AGP，得到BA=GA，BP=GP，由平行线的性质可得∠CBP=∠DGP，证明△BCP≌△GDP，得到BC=GD，据此解答；
（3）①将AB沿AD向右平移到EF，且经过点P，交AD于点E，交BC的延长线与点F，则BF=AE，由（2）可得AE=BF=EG，由勾股定理可得AB=5a，由（2）可知AG=AB=5a，据此求解；②若点F在BC上，EF=AB，过点P作PN⊥AD与点N，PM⊥AB与点M，由角平分线性质定理可得PM=PN，根据等面积法可得PM，由勾股定理可得AN、EN，然后根据AE=AN+EN进行解答.
16．（2023八上·永城期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得.
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：，
，
在与中
≌；
（2）解：≌，
，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得∠ABC=∠DEF，从而利用ASA判断出△ABC≌△DEF；
（2）根据全等三角形的对应边相等得BC=EF，根据等式的性质可得BF=EC，最后根据FC=BE-BF-CE即可算出答案.
17．（2022八上·淮北月考）如图，在中，点D是延长线上一点，过点D作于点F，延长交于点E，交的平分线于点N，点M为与的交点，，.
（1）求的度数；
（2）证明：.
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可；
（2）先利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得。
18．（2022八上·泌阳期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，AD、CE交于点F，CD＝CG，连结FG.
（1）求证：FD＝FG；
（2）线段FG与FE之间有怎样的数量关系，请说明理由；
（3）若∠B≠60°，其他条件不变，则（1）和（2）中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理由.
【答案】（1）证明：∵EC平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠FCG，
∵CG＝CD，CF＝CF，
∴△CFD≌△CFG（SAS），
∴FD＝FG.
（2）解：结论：FG＝FE.
理由：∵∠B＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，
∴∠ACF+∠FAC＝（∠BCA+∠BAC）＝60°，
∴∠AFC＝120°，∠CFD＝∠AFE＝60°，
∵△CFD≌△CFG，
∴∠CFD＝∠CFG＝60°，
∴∠AFG＝∠AFE＝60°，
∵AF＝AF，∠FAG＝∠FAE，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴FG＝FE.
（3）解：结论：（1）中结论成立.（2）中结论不成立.
理由：①同法可证△CFD≌△CFG（SAS），
∴FD＝FG.
②∵∠B≠60°，
∴无法证明∠AFG＝∠AFE，
∴不能判断△AFG≌△AFE，
∴（2）中结论不成立.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用SAS证△CFD≌△CFG ，根据全等三角形的对应边相等即可得出FD=FG；
（2）根据三角形的内角和定理得 ∠BAC+∠BCA＝120°， 进而根据角平分线的定义及三角形的内角和定理得 ∠AFC＝120°，根据邻补角定义得∠CFD＝∠AFE＝60°， 进而根据全等三角形的对应角相等及角的和差得 ∠AFG＝∠AFE＝60°， 可以用ASA判断出△AFG≌△AFE ，根据全等三角形的对应边相等得FG=FE；
（3） 结论：（1）中结论成立；（2）中结论不成立.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
