2023年浙教版数学八年级上册第一章 三角形的初步认识 单元测试（提高版）
一、单选题
1．（2021八上·林口期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（ ）.
A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边BC， AD中点，
，
，
∵F是EC的中点，
，
，
△ABC的面积等于4cm2，
∴S△BEF=1cm2，
即阴影部分的面积为1cm2，
故答案为：A．
【分析】由D，E分别为边BC， AD中点，可得，从而得出，由F是EC的中点可得，从而得出，继而得解.
2．（2021八上·温岭竞赛）五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝（ ）
A．3厘米 B．4厘米 C．3或4厘米 D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，
∵a1＜a2＜a3＜a4＜a5，则a2≥2；
若a1，a2，a3不能构成三角形，则a3 a2≥1，
∴a3≥3；
若a3，a4，a5不能构成三角形，则a5 a4≥a3，即a4≤a5 a3＝6；
若a2，a3，a4不能构成三角形，则a2＋a3≤a4，即a3≤a4 a2＝4；
此时a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，故排除；
∴a3＝3．
故答案为：A.
【分析】利用三角形三边关系定理，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，结合已知可得到a2≥2；分情况讨论：若a1，a2，a3不能构成三角形，可得到a3≥3；若a3，a4，a5不能构成三角形；若a2，a3，a4不能构成三角形；可推出a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，由此可得到a3的值.
3．（2023·交城模拟）下列说法正确的是（ ）
A．有两边及一边的对角分别相等的两个三角形全等
B．有两边相等的两个直角三角形全等
C．有两个角及第三个角的对边分别相等的两个三角形全等
D．有两个角及一边相等的两个三角形全等
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、有两边及一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，说法不符合题意，不符合题意；
B、有两边相等的两个直角三角形不一定全等，没有说明对应边关系，说法不符合题意，不符合题意；
C、有两个角及第三个角的对边分别相等的两个三角形全等，即两角及两角的夹边相等，符合题意；
D、有两个角及一边相等的两个三角形不一定全等，没有说明边的对应关系，
例如：如图，，，则不符合原说法，
故说法不符合题意，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可。
4．（2022七下·偃师期末）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；
B．面积相等的两个图形是全等图形；
C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关；
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等；
【答案】B
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；
B、面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误，符合题意；
C、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；
D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意.
故答案为：B.
【分析】如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，故图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，所以全等图形的对应边、对应角一定相等，据此可判断A、C、D；能完全重合的两个图形是全等形，全等图形的面积一定相等，但面积相等的图形，不一定全等，据此可判断B.
5．（2021八上·铁锋期末）如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（ ）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∴运动时间（秒）；
②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，只要厘米，厘米即可．
∴点P，Q运动的时间（秒），
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，再利用全等三角形的性质求解即可。
6．（2019·安次模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中不正确是（ ）
A．∠CAD＝40° B．∠ACD＝70°
C．点D为△ABC的外心 D．∠ACB＝90°
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，
∵∠B＝20°，
∴∠B＝∠BCD＝20°，
∴∠CDA＝20°+20°＝40°．
∵CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD＝ ＝70°，
∴A符合题意，B不符合题意；
∵CD＝AD，BD＝CD，
∴CD＝AD＝BD，
∴点D为△ABC的外心，故C不符合题意；
∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°，
∴∠ACB＝70°+20°＝90°，故D不符合题意．
故答案为：A
【分析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论
7．（2023八下·西安月考）如图，的角平分线，交于点，，的面积为16，四边形的面积为5，则的面积为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，如图所示：
∵，为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理得：，
∴，，
∴，故B正确.
故答案为：B.
【分析】过点P作PF⊥BC于点F，过点P作PG⊥AC于点G，过点P作PH⊥AB于点H，由角平分线的性质可得PF=PG=PH，根据内角和定理可得∠ABC+∠ACB=120°，结合角平分线的概念可得∠PBF+∠PCF=(∠ABC+∠ACB)=60°，则∠BPC=120°，易得∠EPH=∠DPG，利用AAS证明△PEH≌△PDG，得到S△PEH=S△PDG，推出S四边形AEPD=S四边形AHPG=5，则S△PBH+S△PBF+S△PCF+S△PCG=S△ABC-S四边形AHPG=11，利用HL证明△CPF≌△CPG，得到S△BPH=S△BPF，S△CPF=S△CPG，据此计算.
8．（2022八上·台州月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，
∵2∠OBC+2∠OCB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A；
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+∠A=90°+∠A，故①正确；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，
∵∠AEF=∠EOB+∠EBO=2∠EBO
∴∠EBO=∠AEF，故②正确；
∵OD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DOC+∠OCB=90°，故③正确；
连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，
∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m
∴S，故④正确；
∴正确结论有4个.
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，利用三角形的内角和定理可推出∠OBC+∠OCB=90°-∠A；再利用三角形的内角和定理可得到∠BOC和∠A的数量关系，可对①作出判断；利用平行线的性质去证明∠EOB=∠OBC=∠EBO，利用三角形的外角的性质可证得∠EBO和∠AEF的数量关系，可对②作出判断；利用垂直的定义可证得∠ODC=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠DOC+∠OCB=90°，可对③作出判断；易证OA平分∠BAC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得OG=OD=m，然后三角形的面积公式表示出△AEF的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．（2023八上·岳池期末）如图，在等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件中的一个，不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AD=AE B．∠DCB=∠EBC C．∠ADC=∠AEB D．BE=CD
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、因为AB=AC，∠BAE=∠CAD，添加AD=AE，可以根据SAS判断△ABE≌△ACD，故此选项不符合题意；
B、∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠DCB=∠EBC，∴∠ABE=∠ACD，又∠BAE=∠CAD，利用ASA判断△ABE≌△ACD，故此选项不符合题意；
C、因为∠ADC=∠AEB，又∠BAE=∠CAD，AB=AC，所以利用AAS判断△ABE≌△ACD，故此选项不符合题意；
D、因为∠BAE=∠CAD，AB=AC，添加BE=CD，三条件满足SSA，不能判断△ABE≌△ACD，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】题干给出了∠BAE=∠CAD，AB=AC，如果利用SAS判断△ABE≌△ACD，可以添加AD=AE；如果利用AAS判断△ABE≌△ACD，可以添加∠ADC=∠AEB；如果利用ASA判断△ABE≌△ACD，可以添加能证出∠ABE=∠ACD即可，从而一一判断得出答案.
10．（2022八上·宝安期末）如图，在Rt和Rt中，，，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，．有下列结论：①；②；③；④≌．其中正确结论的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠EAC=∠FAB，
∴∠EAB=∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B=∠C．AE=AF，故①符合题意；
连接AD，如图，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴DE=DF，故②符合题意．
在Rt△ACF中，AC>CF，
∵BE=CF，
∴AC>BE，
故③不符合题意；
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④符合题意）；
综上所述，正确的结论是①②④，共有3个．
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
二、填空题
11．（2021八上·交城期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是 边形．
【答案】五或六或七
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设内角和为 的多边形的边数是 ，
，
解得： ，
包装盒的底面是六边形，
如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形；
如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形；
如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形．
故答案为：五或六或七．
【分析】根据多边形的内角和定理求出多边形的边的数量，继而判断得到答案即可。
12．（2021八上·诸暨月考）若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有 种．
【答案】5
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13-c>c≥，
∴≤c<，
∴c=5或6，
当①当c=5时， b=4 ， a=4或b=3 ， a=5 ；
②当c=6时，b=4，a=3或b=6，a=1或b=5 ， a=2 ；
∴满足条件的三角形的个数为5.
故答案为：5.
【分析】在三角形的三边中，除等边三角形三边相等外，必有一边是最长边；先确定最长边的取值范围，然后分类讨论，结合三角形的三边关系，即可解答.
13．（2020八上·昌黎期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ,BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
【答案】4或6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，P点的速度为4，则BC=16
∴BP=4t，PPC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，点D为AB的中点
∴BD=AB=12
∵∠B=∠C
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6
【分析】根据题意，设Q点的运动速度为x，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可。
14．（2022·惠民模拟）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若，则的度数是 ．
【答案】72°
【知识点】三角形的外角性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC，
∵∠C=36°，
∴∠B=∠BAC=，
∵根据题意可知AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAC=，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠B=∠BAC=，再利用角平分线的定义可得∠DAC=∠BAC=，最后利用角的运算可得∠ADB=∠DAC+∠C=。
15．（2022八上·平谷期末）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列四个结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是： ．
【答案】①②③
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由图中尺规作图痕迹可知， 为的平分线，为线段的垂直平分线．
由垂直平分线的性质可得，
故①正确，不符合题意；
∵为线段的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴
故②正确，不符合题意；
由图中尺规作图痕迹可知， 为线段的垂直平分线，
∴
故③正确，不符合题意；
∵F是的垂直平分线与的平分线的交点，
∴根据已知条件不能得出平分，
∴与不一定相等，
故④不一定正确，符合题意．
故答案为：①②③．
【分析】利用角平分线和线段垂直平分线的性质逐项判断即可。
16．（2022八上·余姚期中）如图，点D是等腰的边BC上的一点，过点B作于点E，连接CE，若，则的值是 ．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点C作于点F，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】过点C作CF⊥AD于点F，根据同角的余角相等得∠CAF=∠ABE，用AAS判断△AEB≌△CFA，根据全等三角形的对应边相等得CF=AE=2，进而根据三角形面积计算公式即可算出答案.
三、作图题
17．（2020八下·北京期末）尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
（1）（作图原理）在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．
①过一点作一条直线．（ ）
②过两点作一条直线．（ ）
③画一条长为3㎝的线段．（ ）
④以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．（ ）
（2）（回顾思考）还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作： 使
作法：
①如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
②画一条射线 ，以点 为圆心，OC长为半径画弧，交 于点 ；
③以点 为圆心， ；
（3）过点 画射线 ，则 ．
说理：由作法得已知：
求证：
证明：
( )
所以 ( )
（4）（小试牛刀）请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线 与直线外一点A．
求作：过点A的直线 ，使得 ．
（5）（创新应用）现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．
【答案】（1）√|√|×|√
（2）以CD为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于
（3）SSS；全等三角形对应角相等
（4）解：如图，直线l′即为所求（方法不唯一），
（5）解：如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SSS）；作图-角
【解析】【解答】解：[作图原理]：①过一点作一条直线．可以求作；②过两点作一条直线．可以求作；③画一条长为3cm的线段．不可以求作；④以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；
故答案为：√，√，×，√；
[回顾思考]：作法：①如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O A ，以点O 为圆心，OC长为半径画弧，交O A 于点C ；③以点C 为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；④过点D 画射线O B ，则∠A O B ＝∠AOB．
说理：由作法得已知：OC＝O C ，OD＝O D ，CD＝C D ，
求证：∠A O B ＝∠AOB．
证明：在△OCD和△O C D 中 ，
∴△OCD≌△O C D （SSS），
∴∠A O B ＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），
故答案为：以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′，SSS，全等三角形的对应角相等；
【分析】[作图原理]根据五种基本作图判断即可；
[回顾思考]利用全等三角形的判定解决问题即可；
[小试牛刀]利用同位角相等两直线平行解决问题即可；
[创新应用]答案不唯一，画出图形，说明设计意图即可．
18．（2023八下·宿州月考）如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求：
①到两工厂的距离相等；
②在内，且到两条公路的距离相等．
你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，点F为仓库的位置．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】①根据题意作图即可；
②根据 在内，且到两条公路的距离相等，作图即可。
19．（2023·衢州模拟）如图，在11×7的长方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段DE和三角形ABC的顶点都在格点上.根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
⑴△ABC的面积为 ▲；
⑵在DE的右侧找一点F，使得△DEF与△ABC全等；
⑶画△ABC中BC边上的高AH.
【答案】解：⑴8
⑵如图，点F即为所求；
⑶如图，线段AH即为所求.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；作图-垂线
【解析】【解答】解：（1）△ABC的面积＝3×6- ×1×6- ×2×4- ×2×3＝8，
故答案为：8；
【分析】（1）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积；
（2）根据全等三角形的性质：三边对应相等进行作图；
（3）根据高线的作法进行作图.
四、综合题
20．（2023七下·松江期中）如图，已知的面积是，请完成下列问题：
（1）如图，中，若是边上的中线，则的面积 的面积填“”、“”或“”；
（2）如图，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：
连接，由得，
同理，可得．
设，，则，．
由题意得，．
可列方程组，解得 ，
通过解这个方程组可得四边形的面积为 ；
（3）如图，，，请直接写出四边形的面积 不用书写过程
【答案】（1）=
（2）；
（3）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）如图所示：过点A作AH⊥BC于点H，
∵是边上的中线，
∴BD=CD，
∴S△ABD=，S△ACD=，
∴S△ABD=S△ACD，
即△ABD=△ACD的面积，
故答案为：=；
（2）由方程组 ， 可得：，
∴S△AOD=S△AOE=10，
∴S四边形ADOE=S△AOD+S△AOE=20，
故答案为：；20.
【分析】（1）根据中线先求出BD=CD，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）利用加减消元法解方程组求出，再求解即可；
（3）利用三角形的面积公式，结合题意求解即可。
21．（2023七下·瑞安期中）如图，已知四边形，在E在的延长线上，连接交于点F，连结，已知．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，BD平分，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵BD平分，
∴．
∵，
∴．
设．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由∠ABD=∠EBC，可证得∠ABE=∠CBD=∠ADB，利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠DBE=∠ABE，设∠CBD=∠DBE=∠ABE=x，利用平行线的性质可表示出∠E，∠DFE，∠C的度数，然后利用三角形的内角和定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠C的度数.
22．（2022七下·长春期末）【问题呈现】如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点．求证：∠P＝∠A．
（1）证明：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝ ▲ ，
∵∠PCD＝ ▲ ＋∠P，
∴∠P＝∠PCD﹣ ▲ ，
＝（∠ACD﹣∠ABC
＝ ▲ ．
（2）【拓展应用】四边形MBCN中，内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而成的锐角记为∠P，设∠A＋∠D＝α．
如图②，若α＝225°，求∠P的度数．
（3）若α＜180°，请利用图③画图探索，则∠P的大小为 度．（用含α的代数式表示）
【答案】（1）证明：如图1，
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝ ∠ACD，
∵∠PCD＝ ∠PBC ＋∠P，
∴∠P＝∠PCD﹣ ∠PBC ，
＝（∠ACD﹣∠ABC）
＝ ∠A ．
（2）解：如图4，延长BA交CD的延长线于F，
∵∠A＋∠D＝α，α＝225°，
∴
，
∵由【问题呈现】可得，，
∴；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】（3）如图3，延长A B交DC的延长线于F，
∵，，
∴，
故答案为．
【分析】（1）根据三角形外角的性质，借助三角形角平分线的概念即可；
（2）延长BA、交CD延长线于点F，构造图1模型；
（3）方法同（2），构造图1模型。
23．（2021八上·沭阳月考）如图，在 中， cm， ， cm，点F从点B出发，沿线段 以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段 以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动， 与 交于点D，设点E的运动时间为t（秒）
（1）分别写出当 和 时线段 的长度（用含t的代数式表示）
（2）当 时，求t的值；
（3）当 时，直接写出所有满足条件的 值.
【答案】（1）解：∵BC=8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，
∴当 时，点F是从B向C运动，当 ，F是从C向B运动，
∴当 时， ，当 时， ；
（2）解：由题意得： ，
∵ ，
∴当 ， 解得 不符合题意；
当 时， ，解得 ，
∴当 ， ；
（3）所有满足条件的 值是 或4
【知识点】三角形全等及其性质；用字母表示数；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（3）∵ ，
∴AE=CF，
∵当 时， ，当 时， ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴当 ， 解得 ；
当 时， ，解得 ，
∴当 时， 或 .
【分析】（1）由题意可得：当0（2）由题意得：AE=2tcm，然后分当 及当 时两种情况，根据AE=BF进行求解；
（3）由全等三角形的性质可得AE=CF，当024．（2022八上·吴兴期中）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
（1）【问题解决】
如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；
（3）【延伸推广】
在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）解：如图②所示，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°，
∴∠BDC的度数为95°或110°.
（2）解：∵BP、CP分别是邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
又∵∠BPC=140°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=40°，
∴∠ABC+∠ACB=40°，
∴∠ABC+∠ACB=120°
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-120°=60°.
（3）解：情况一：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠B）=m°；
情况二：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠B）=m°；
情况三：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=∠ACD-∠B=m°+18°；
情况四：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=∠ACD-∠B=m°-18°，
综上所述：∠BPC的度数为m°或m°或m°+18°或m°-18°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据∠B的三分线BD交AC于点D，分两种情况，即当BD是“邻AB三分线”时和当BD是“邻BC三分线”时，再分别通过外角定理计算∠BDC的度数即可；
（2）根据BP、CP分别是邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，可得∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，利用三角形内角和定理得∠PBC+∠PCB=40°，得∠ABC+∠ACB=40°，求得∠ABC+∠ACB=120°，再利用三角形内角和定理求得∠A的度数即可；
（3）分四种情况画图计算，即情况一：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，然后根据角三分线性质及三角形外角定理，分别列式计算即可.
25．（2022八上·海曙期中）
（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．
【答案】（1）2＜AD＜11
（2）解：延长AD至点E，使DG＝AD，连接BG，
∵ AE＝4，EC＝3
∴AC=AE+CE=7；
∵AD是中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC=BG=7，∠G=∠DAC，
∵∠FAE＝∠AFE=∠BFG，
∴∠G=∠BFG，
∴BF=BG=7
（3）证明：延长ED使DG=ED，连接FG，CG，
∵FD⊥ED，
∴FD垂直平分EG，
∴EF=FG，
在△BED和△CGD中
∴△BED≌△CGD（SAS），
∴BE=CG，
在△CFG中
CG+CF＞FG即BE+CF＞EF
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=9，
在△ABE中
AB-BE＜AE＜AB+BE即13-9＜2AD＜13+9
解之：2＜AD＜11.
故答案为：2＜AD＜11
【分析】（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，利用三角形的中线的定义可证得BD=CD，利用SAS证明△ADC≌△EDB，可求出BE的长；然后在△ABE中，利用三角形的三边关系定理，可求出AD的长取值范围.
（2）延长AD至点E，使DG＝AD，连接BG，可求出AC的长；利用三角形中线的定义可证得BD=CD，利用SAS证明△ADC≌△GDB，利用全等三角形的性质可得到AC=BG=7，∠G=∠DAC；再证明∠G=∠BFG，利用等角对等边可求出BF的长.
（3）延长ED使DG=ED，连接FG，CG，易证FD垂直平分EG，利用垂直平分线的性质可证得EF=FG；利用SAS证明△BED≌△CGD，利用全等三角形的性质可得到BE=CG；然后在△CFG中，利用三角形的三边关系定理可证得结论.
26．（2022八上·青田月考）如图在和中， ，，．
（1）当点D在AC上时，如图（1），求证：．
（2）将图（1）中的绕点A顺时针旋转角（），如图（2），线段BD、CE仍相等吗？请说明理由．
（3）
在图（2）中线段BD、CE有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】（1）证明：在△ADB和△ACE中
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD=CE
（2）结论：BD=CE
证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ADB和△ACE中
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD=CE
（3）结论：BD⊥CE
证明：延长BD交CE于点F，
∵△ABD≌△AEC，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠DBC+∠BCF=90°，
∴∠BFC=180°-（∠DBC+∠BCF）=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE
【知识点】垂线；三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 （1）利用SAS证明△ABD≌△AEC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）由∠BAC=∠DAE=90°，可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△ABD≌△AEC，再利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（3）延长BD交CE于点F，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠ABD=∠ACE，利用三角形的内角和定理可证得∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，由此可推出∠DBC+∠BCF=90°；然后利用三角形的内角和定理可求出∠BFC=90°，利用垂直的定义可证得结论.
27．（2021八上·柯桥期中）如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=4，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD．
（1）如图1，若AB=1，BP=3，求CD的长．
（2）如图2，若DP平分∠ADC，
①试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；
②若△ADP的面积为5，求四边形ABCD的面积．
（3）如图3，已知点E是网格中的格点，若三角形ADE是以AD为底边的等腰三角形，那么这样的E点共有 个．
【答案】（1）解：∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，
∴∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，
∴∠APB+∠DPC＝90°，∠DPC+∠PDC＝90°，
∴∠APB＝∠PDC，
∵BC＝4，PB＝3，
∴AB＝PC＝1，
∴△ABP≌△PCD（AAS），
∴CD＝BP＝3．
（2）解：①PB＝PC；理由如下：
延长线段AP、DC交于点E，如图2，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠EDP，
∵DP⊥AP，
∴∠DPA＝∠DPE＝90°，
∴△DPA≌△DPE（ASA），
∴PA＝PE，
∵AB⊥BP，CM⊥CP，
∴∠ABP＝∠ECP＝90°，
又∵∠APB=∠EPC，
∴△APB≌△EPC（AAS），
∴PB＝PC．
②∵△DPA≌△DPE，△ADP的面积为5，
∴S△ADE=2S△ADP=10，
∵△APB≌△EPC，
∴S四边形ABCD=S△ADE=10；
（3）3
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）解：如图，点E1、E2、E3为所作；
故答案为：3．
【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，利用余角的性质可得到∠APB＝∠PDC；再证明AB=CP，利用AAS证明△ABP≌△PCD，利用全等三角形的性质可求出CD的长.
（2）①延长线段AP、DC交于点E，利用角平分线的定义可证得∠ADP＝∠EDP，利用ASA证明△DPA≌△DPE，利用垂直的定义可证得PA=PE；再利用AAS证明△APB≌△EPC，利用全等三角形的性质可证得结论；②利用全等三角形的性质可证得S△ADE=2S△ADP=10；再利用△APB≌△EPC，可求出四边形ABCD的面积.
（3）利用等腰三角形的定义，可得到符合题意的点E的坐标.
1 / 12023年浙教版数学八年级上册第一章 三角形的初步认识 单元测试（提高版）
一、单选题
1．（2021八上·林口期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（ ）.
A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2
2．（2021八上·温岭竞赛）五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝（ ）
A．3厘米 B．4厘米 C．3或4厘米 D．不能确定
3．（2023·交城模拟）下列说法正确的是（ ）
A．有两边及一边的对角分别相等的两个三角形全等
B．有两边相等的两个直角三角形全等
C．有两个角及第三个角的对边分别相等的两个三角形全等
D．有两个角及一边相等的两个三角形全等
4．（2022七下·偃师期末）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；
B．面积相等的两个图形是全等图形；
C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关；
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等；
5．（2021八上·铁锋期末）如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（ ）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
6．（2019·安次模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中不正确是（ ）
A．∠CAD＝40° B．∠ACD＝70°
C．点D为△ABC的外心 D．∠ACB＝90°
7．（2023八下·西安月考）如图，的角平分线，交于点，，的面积为16，四边形的面积为5，则的面积为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
8．（2022八上·台州月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023八上·岳池期末）如图，在等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件中的一个，不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AD=AE B．∠DCB=∠EBC C．∠ADC=∠AEB D．BE=CD
10．（2022八上·宝安期末）如图，在Rt和Rt中，，，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，．有下列结论：①；②；③；④≌．其中正确结论的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2021八上·交城期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是 边形．
12．（2021八上·诸暨月考）若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有 种．
13．（2020八上·昌黎期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ,BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
14．（2022·惠民模拟）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若，则的度数是 ．
15．（2022八上·平谷期末）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列四个结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是： ．
16．（2022八上·余姚期中）如图，点D是等腰的边BC上的一点，过点B作于点E，连接CE，若，则的值是 ．
三、作图题
17．（2020八下·北京期末）尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
（1）（作图原理）在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．
①过一点作一条直线．（ ）
②过两点作一条直线．（ ）
③画一条长为3㎝的线段．（ ）
④以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．（ ）
（2）（回顾思考）还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作： 使
作法：
①如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
②画一条射线 ，以点 为圆心，OC长为半径画弧，交 于点 ；
③以点 为圆心， ；
（3）过点 画射线 ，则 ．
说理：由作法得已知：
求证：
证明：
( )
所以 ( )
（4）（小试牛刀）请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线 与直线外一点A．
求作：过点A的直线 ，使得 ．
（5）（创新应用）现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．
18．（2023八下·宿州月考）如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求：
①到两工厂的距离相等；
②在内，且到两条公路的距离相等．
你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法）
19．（2023·衢州模拟）如图，在11×7的长方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段DE和三角形ABC的顶点都在格点上.根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
⑴△ABC的面积为 ▲；
⑵在DE的右侧找一点F，使得△DEF与△ABC全等；
⑶画△ABC中BC边上的高AH.
四、综合题
20．（2023七下·松江期中）如图，已知的面积是，请完成下列问题：
（1）如图，中，若是边上的中线，则的面积 的面积填“”、“”或“”；
（2）如图，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：
连接，由得，
同理，可得．
设，，则，．
由题意得，．
可列方程组，解得 ，
通过解这个方程组可得四边形的面积为 ；
（3）如图，，，请直接写出四边形的面积 不用书写过程
21．（2023七下·瑞安期中）如图，已知四边形，在E在的延长线上，连接交于点F，连结，已知．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，BD平分，求的度数．
22．（2022七下·长春期末）【问题呈现】如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点．求证：∠P＝∠A．
（1）证明：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝ ▲ ，
∵∠PCD＝ ▲ ＋∠P，
∴∠P＝∠PCD﹣ ▲ ，
＝（∠ACD﹣∠ABC
＝ ▲ ．
（2）【拓展应用】四边形MBCN中，内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而成的锐角记为∠P，设∠A＋∠D＝α．
如图②，若α＝225°，求∠P的度数．
（3）若α＜180°，请利用图③画图探索，则∠P的大小为 度．（用含α的代数式表示）
23．（2021八上·沭阳月考）如图，在 中， cm， ， cm，点F从点B出发，沿线段 以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段 以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动， 与 交于点D，设点E的运动时间为t（秒）
（1）分别写出当 和 时线段 的长度（用含t的代数式表示）
（2）当 时，求t的值；
（3）当 时，直接写出所有满足条件的 值.
24．（2022八上·吴兴期中）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
（1）【问题解决】
如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；
（3）【延伸推广】
在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
25．（2022八上·海曙期中）
（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．
26．（2022八上·青田月考）如图在和中， ，，．
（1）当点D在AC上时，如图（1），求证：．
（2）将图（1）中的绕点A顺时针旋转角（），如图（2），线段BD、CE仍相等吗？请说明理由．
（3）
在图（2）中线段BD、CE有怎样的位置关系？请说明理由．
27．（2021八上·柯桥期中）如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=4，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD．
（1）如图1，若AB=1，BP=3，求CD的长．
（2）如图2，若DP平分∠ADC，
①试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；
②若△ADP的面积为5，求四边形ABCD的面积．
（3）如图3，已知点E是网格中的格点，若三角形ADE是以AD为底边的等腰三角形，那么这样的E点共有 个．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边BC， AD中点，
，
，
∵F是EC的中点，
，
，
△ABC的面积等于4cm2，
∴S△BEF=1cm2，
即阴影部分的面积为1cm2，
故答案为：A．
【分析】由D，E分别为边BC， AD中点，可得，从而得出，由F是EC的中点可得，从而得出，继而得解.
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，
∵a1＜a2＜a3＜a4＜a5，则a2≥2；
若a1，a2，a3不能构成三角形，则a3 a2≥1，
∴a3≥3；
若a3，a4，a5不能构成三角形，则a5 a4≥a3，即a4≤a5 a3＝6；
若a2，a3，a4不能构成三角形，则a2＋a3≤a4，即a3≤a4 a2＝4；
此时a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，故排除；
∴a3＝3．
故答案为：A.
【分析】利用三角形三边关系定理，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，结合已知可得到a2≥2；分情况讨论：若a1，a2，a3不能构成三角形，可得到a3≥3；若a3，a4，a5不能构成三角形；若a2，a3，a4不能构成三角形；可推出a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，由此可得到a3的值.
3．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、有两边及一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，说法不符合题意，不符合题意；
B、有两边相等的两个直角三角形不一定全等，没有说明对应边关系，说法不符合题意，不符合题意；
C、有两个角及第三个角的对边分别相等的两个三角形全等，即两角及两角的夹边相等，符合题意；
D、有两个角及一边相等的两个三角形不一定全等，没有说明边的对应关系，
例如：如图，，，则不符合原说法，
故说法不符合题意，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；
B、面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误，符合题意；
C、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；
D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意.
故答案为：B.
【分析】如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，故图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，所以全等图形的对应边、对应角一定相等，据此可判断A、C、D；能完全重合的两个图形是全等形，全等图形的面积一定相等，但面积相等的图形，不一定全等，据此可判断B.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∴运动时间（秒）；
②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，只要厘米，厘米即可．
∴点P，Q运动的时间（秒），
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，再利用全等三角形的性质求解即可。
6．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，
∵∠B＝20°，
∴∠B＝∠BCD＝20°，
∴∠CDA＝20°+20°＝40°．
∵CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD＝ ＝70°，
∴A符合题意，B不符合题意；
∵CD＝AD，BD＝CD，
∴CD＝AD＝BD，
∴点D为△ABC的外心，故C不符合题意；
∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°，
∴∠ACB＝70°+20°＝90°，故D不符合题意．
故答案为：A
【分析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，如图所示：
∵，为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理得：，
∴，，
∴，故B正确.
故答案为：B.
【分析】过点P作PF⊥BC于点F，过点P作PG⊥AC于点G，过点P作PH⊥AB于点H，由角平分线的性质可得PF=PG=PH，根据内角和定理可得∠ABC+∠ACB=120°，结合角平分线的概念可得∠PBF+∠PCF=(∠ABC+∠ACB)=60°，则∠BPC=120°，易得∠EPH=∠DPG，利用AAS证明△PEH≌△PDG，得到S△PEH=S△PDG，推出S四边形AEPD=S四边形AHPG=5，则S△PBH+S△PBF+S△PCF+S△PCG=S△ABC-S四边形AHPG=11，利用HL证明△CPF≌△CPG，得到S△BPH=S△BPF，S△CPF=S△CPG，据此计算.
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，
∵2∠OBC+2∠OCB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A；
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+∠A=90°+∠A，故①正确；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，
∵∠AEF=∠EOB+∠EBO=2∠EBO
∴∠EBO=∠AEF，故②正确；
∵OD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DOC+∠OCB=90°，故③正确；
连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，
∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m
∴S，故④正确；
∴正确结论有4个.
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，利用三角形的内角和定理可推出∠OBC+∠OCB=90°-∠A；再利用三角形的内角和定理可得到∠BOC和∠A的数量关系，可对①作出判断；利用平行线的性质去证明∠EOB=∠OBC=∠EBO，利用三角形的外角的性质可证得∠EBO和∠AEF的数量关系，可对②作出判断；利用垂直的定义可证得∠ODC=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠DOC+∠OCB=90°，可对③作出判断；易证OA平分∠BAC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得OG=OD=m，然后三角形的面积公式表示出△AEF的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、因为AB=AC，∠BAE=∠CAD，添加AD=AE，可以根据SAS判断△ABE≌△ACD，故此选项不符合题意；
B、∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠DCB=∠EBC，∴∠ABE=∠ACD，又∠BAE=∠CAD，利用ASA判断△ABE≌△ACD，故此选项不符合题意；
C、因为∠ADC=∠AEB，又∠BAE=∠CAD，AB=AC，所以利用AAS判断△ABE≌△ACD，故此选项不符合题意；
D、因为∠BAE=∠CAD，AB=AC，添加BE=CD，三条件满足SSA，不能判断△ABE≌△ACD，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】题干给出了∠BAE=∠CAD，AB=AC，如果利用SAS判断△ABE≌△ACD，可以添加AD=AE；如果利用AAS判断△ABE≌△ACD，可以添加∠ADC=∠AEB；如果利用ASA判断△ABE≌△ACD，可以添加能证出∠ABE=∠ACD即可，从而一一判断得出答案.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠EAC=∠FAB，
∴∠EAB=∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B=∠C．AE=AF，故①符合题意；
连接AD，如图，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴DE=DF，故②符合题意．
在Rt△ACF中，AC>CF，
∵BE=CF，
∴AC>BE，
故③不符合题意；
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④符合题意）；
综上所述，正确的结论是①②④，共有3个．
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
11．【答案】五或六或七
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设内角和为 的多边形的边数是 ，
，
解得： ，
包装盒的底面是六边形，
如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形；
如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形；
如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形．
故答案为：五或六或七．
【分析】根据多边形的内角和定理求出多边形的边的数量，继而判断得到答案即可。
12．【答案】5
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13-c>c≥，
∴≤c<，
∴c=5或6，
当①当c=5时， b=4 ， a=4或b=3 ， a=5 ；
②当c=6时，b=4，a=3或b=6，a=1或b=5 ， a=2 ；
∴满足条件的三角形的个数为5.
故答案为：5.
【分析】在三角形的三边中，除等边三角形三边相等外，必有一边是最长边；先确定最长边的取值范围，然后分类讨论，结合三角形的三边关系，即可解答.
13．【答案】4或6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，P点的速度为4，则BC=16
∴BP=4t，PPC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，点D为AB的中点
∴BD=AB=12
∵∠B=∠C
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6
【分析】根据题意，设Q点的运动速度为x，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可。
14．【答案】72°
【知识点】三角形的外角性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC，
∵∠C=36°，
∴∠B=∠BAC=，
∵根据题意可知AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAC=，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠B=∠BAC=，再利用角平分线的定义可得∠DAC=∠BAC=，最后利用角的运算可得∠ADB=∠DAC+∠C=。
15．【答案】①②③
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由图中尺规作图痕迹可知， 为的平分线，为线段的垂直平分线．
由垂直平分线的性质可得，
故①正确，不符合题意；
∵为线段的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴
故②正确，不符合题意；
由图中尺规作图痕迹可知， 为线段的垂直平分线，
∴
故③正确，不符合题意；
∵F是的垂直平分线与的平分线的交点，
∴根据已知条件不能得出平分，
∴与不一定相等，
故④不一定正确，符合题意．
故答案为：①②③．
【分析】利用角平分线和线段垂直平分线的性质逐项判断即可。
16．【答案】2
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点C作于点F，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】过点C作CF⊥AD于点F，根据同角的余角相等得∠CAF=∠ABE，用AAS判断△AEB≌△CFA，根据全等三角形的对应边相等得CF=AE=2，进而根据三角形面积计算公式即可算出答案.
17．【答案】（1）√|√|×|√
（2）以CD为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于
（3）SSS；全等三角形对应角相等
（4）解：如图，直线l′即为所求（方法不唯一），
（5）解：如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SSS）；作图-角
【解析】【解答】解：[作图原理]：①过一点作一条直线．可以求作；②过两点作一条直线．可以求作；③画一条长为3cm的线段．不可以求作；④以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；
故答案为：√，√，×，√；
[回顾思考]：作法：①如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O A ，以点O 为圆心，OC长为半径画弧，交O A 于点C ；③以点C 为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；④过点D 画射线O B ，则∠A O B ＝∠AOB．
说理：由作法得已知：OC＝O C ，OD＝O D ，CD＝C D ，
求证：∠A O B ＝∠AOB．
证明：在△OCD和△O C D 中 ，
∴△OCD≌△O C D （SSS），
∴∠A O B ＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），
故答案为：以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′，SSS，全等三角形的对应角相等；
【分析】[作图原理]根据五种基本作图判断即可；
[回顾思考]利用全等三角形的判定解决问题即可；
[小试牛刀]利用同位角相等两直线平行解决问题即可；
[创新应用]答案不唯一，画出图形，说明设计意图即可．
18．【答案】解：如图，点F为仓库的位置．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】①根据题意作图即可；
②根据 在内，且到两条公路的距离相等，作图即可。
19．【答案】解：⑴8
⑵如图，点F即为所求；
⑶如图，线段AH即为所求.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；作图-垂线
【解析】【解答】解：（1）△ABC的面积＝3×6- ×1×6- ×2×4- ×2×3＝8，
故答案为：8；
【分析】（1）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积；
（2）根据全等三角形的性质：三边对应相等进行作图；
（3）根据高线的作法进行作图.
20．【答案】（1）=
（2）；
（3）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）如图所示：过点A作AH⊥BC于点H，
∵是边上的中线，
∴BD=CD，
∴S△ABD=，S△ACD=，
∴S△ABD=S△ACD，
即△ABD=△ACD的面积，
故答案为：=；
（2）由方程组 ， 可得：，
∴S△AOD=S△AOE=10，
∴S四边形ADOE=S△AOD+S△AOE=20，
故答案为：；20.
【分析】（1）根据中线先求出BD=CD，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）利用加减消元法解方程组求出，再求解即可；
（3）利用三角形的面积公式，结合题意求解即可。
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵BD平分，
∴．
∵，
∴．
设．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由∠ABD=∠EBC，可证得∠ABE=∠CBD=∠ADB，利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠DBE=∠ABE，设∠CBD=∠DBE=∠ABE=x，利用平行线的性质可表示出∠E，∠DFE，∠C的度数，然后利用三角形的内角和定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠C的度数.
22．【答案】（1）证明：如图1，
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝ ∠ACD，
∵∠PCD＝ ∠PBC ＋∠P，
∴∠P＝∠PCD﹣ ∠PBC ，
＝（∠ACD﹣∠ABC）
＝ ∠A ．
（2）解：如图4，延长BA交CD的延长线于F，
∵∠A＋∠D＝α，α＝225°，
∴
，
∵由【问题呈现】可得，，
∴；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】（3）如图3，延长A B交DC的延长线于F，
∵，，
∴，
故答案为．
【分析】（1）根据三角形外角的性质，借助三角形角平分线的概念即可；
（2）延长BA、交CD延长线于点F，构造图1模型；
（3）方法同（2），构造图1模型。
23．【答案】（1）解：∵BC=8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，
∴当 时，点F是从B向C运动，当 ，F是从C向B运动，
∴当 时， ，当 时， ；
（2）解：由题意得： ，
∵ ，
∴当 ， 解得 不符合题意；
当 时， ，解得 ，
∴当 ， ；
（3）所有满足条件的 值是 或4
【知识点】三角形全等及其性质；用字母表示数；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（3）∵ ，
∴AE=CF，
∵当 时， ，当 时， ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴当 ， 解得 ；
当 时， ，解得 ，
∴当 时， 或 .
【分析】（1）由题意可得：当0（2）由题意得：AE=2tcm，然后分当 及当 时两种情况，根据AE=BF进行求解；
（3）由全等三角形的性质可得AE=CF，当024．【答案】（1）解：如图②所示，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°，
∴∠BDC的度数为95°或110°.
（2）解：∵BP、CP分别是邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
又∵∠BPC=140°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=40°，
∴∠ABC+∠ACB=40°，
∴∠ABC+∠ACB=120°
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-120°=60°.
（3）解：情况一：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠B）=m°；
情况二：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠B）=m°；
情况三：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=∠ACD-∠B=m°+18°；
情况四：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=∠ACD-∠B=m°-18°，
综上所述：∠BPC的度数为m°或m°或m°+18°或m°-18°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据∠B的三分线BD交AC于点D，分两种情况，即当BD是“邻AB三分线”时和当BD是“邻BC三分线”时，再分别通过外角定理计算∠BDC的度数即可；
（2）根据BP、CP分别是邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，可得∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，利用三角形内角和定理得∠PBC+∠PCB=40°，得∠ABC+∠ACB=40°，求得∠ABC+∠ACB=120°，再利用三角形内角和定理求得∠A的度数即可；
（3）分四种情况画图计算，即情况一：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，然后根据角三分线性质及三角形外角定理，分别列式计算即可.
25．【答案】（1）2＜AD＜11
（2）解：延长AD至点E，使DG＝AD，连接BG，
∵ AE＝4，EC＝3
∴AC=AE+CE=7；
∵AD是中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC=BG=7，∠G=∠DAC，
∵∠FAE＝∠AFE=∠BFG，
∴∠G=∠BFG，
∴BF=BG=7
（3）证明：延长ED使DG=ED，连接FG，CG，
∵FD⊥ED，
∴FD垂直平分EG，
∴EF=FG，
在△BED和△CGD中
∴△BED≌△CGD（SAS），
∴BE=CG，
在△CFG中
CG+CF＞FG即BE+CF＞EF
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=9，
在△ABE中
AB-BE＜AE＜AB+BE即13-9＜2AD＜13+9
解之：2＜AD＜11.
故答案为：2＜AD＜11
【分析】（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，利用三角形的中线的定义可证得BD=CD，利用SAS证明△ADC≌△EDB，可求出BE的长；然后在△ABE中，利用三角形的三边关系定理，可求出AD的长取值范围.
（2）延长AD至点E，使DG＝AD，连接BG，可求出AC的长；利用三角形中线的定义可证得BD=CD，利用SAS证明△ADC≌△GDB，利用全等三角形的性质可得到AC=BG=7，∠G=∠DAC；再证明∠G=∠BFG，利用等角对等边可求出BF的长.
（3）延长ED使DG=ED，连接FG，CG，易证FD垂直平分EG，利用垂直平分线的性质可证得EF=FG；利用SAS证明△BED≌△CGD，利用全等三角形的性质可得到BE=CG；然后在△CFG中，利用三角形的三边关系定理可证得结论.
26．【答案】（1）证明：在△ADB和△ACE中
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD=CE
（2）结论：BD=CE
证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ADB和△ACE中
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD=CE
（3）结论：BD⊥CE
证明：延长BD交CE于点F，
∵△ABD≌△AEC，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠DBC+∠BCF=90°，
∴∠BFC=180°-（∠DBC+∠BCF）=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE
【知识点】垂线；三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 （1）利用SAS证明△ABD≌△AEC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）由∠BAC=∠DAE=90°，可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△ABD≌△AEC，再利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（3）延长BD交CE于点F，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠ABD=∠ACE，利用三角形的内角和定理可证得∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，由此可推出∠DBC+∠BCF=90°；然后利用三角形的内角和定理可求出∠BFC=90°，利用垂直的定义可证得结论.
27．【答案】（1）解：∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，
∴∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，
∴∠APB+∠DPC＝90°，∠DPC+∠PDC＝90°，
∴∠APB＝∠PDC，
∵BC＝4，PB＝3，
∴AB＝PC＝1，
∴△ABP≌△PCD（AAS），
∴CD＝BP＝3．
（2）解：①PB＝PC；理由如下：
延长线段AP、DC交于点E，如图2，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠EDP，
∵DP⊥AP，
∴∠DPA＝∠DPE＝90°，
∴△DPA≌△DPE（ASA），
∴PA＝PE，
∵AB⊥BP，CM⊥CP，
∴∠ABP＝∠ECP＝90°，
又∵∠APB=∠EPC，
∴△APB≌△EPC（AAS），
∴PB＝PC．
②∵△DPA≌△DPE，△ADP的面积为5，
∴S△ADE=2S△ADP=10，
∵△APB≌△EPC，
∴S四边形ABCD=S△ADE=10；
（3）3
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）解：如图，点E1、E2、E3为所作；
故答案为：3．
【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，利用余角的性质可得到∠APB＝∠PDC；再证明AB=CP，利用AAS证明△ABP≌△PCD，利用全等三角形的性质可求出CD的长.
（2）①延长线段AP、DC交于点E，利用角平分线的定义可证得∠ADP＝∠EDP，利用ASA证明△DPA≌△DPE，利用垂直的定义可证得PA=PE；再利用AAS证明△APB≌△EPC，利用全等三角形的性质可证得结论；②利用全等三角形的性质可证得S△ADE=2S△ADP=10；再利用△APB≌△EPC，可求出四边形ABCD的面积.
（3）利用等腰三角形的定义，可得到符合题意的点E的坐标.
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