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专题1.1 从自然数到有理数（正数和负数、有理数分类）
模块1：学习目标
通过生活实例认识正数和负数；
2. 会用正数、负数表示相反意义的量；
3. 知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；
4. 会对有理数进行分类。
模块2：知识梳理
1.正数与负数
1）正数：像，，这样大于的数叫做正数．正数都大于．
2）负数：像，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数．负数都小于．
3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．负数前面的“” 号不可省略．
注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。
2.用正数和负数表示具有相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然．
比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为．
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量．
3.“0”的特殊性
1）既不是正数，也不是负数；2）是正数与负数的分界；3）是自然数；
4）的意义：有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；有时是一个数，比如是一个确定的温度；有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度．
4.常见名词：非负数：正数和零统称为非负数；非正数：负数和零统称为非正数；
5.有理数的相关概念
1）整数：正整数、、负整数统称为整数．
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．
2）分数：正分数、负分数统称为分数．
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．
3）有理数：整数和分数统称为有理数．
4）有理数的分类：
（1）（2）
5）常用数学概念的含义
1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数
3）正分数：既是整数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数
5）非正数：负数和0 6）非负数：正数和0
7）非正整数：负整数和0 8）非负整数：正整数和0
模块3：核心考点与典例
考点1、正数、负数的概念辨析
例1．（2022·浙江七年级月考）下列说法错误的是（ ）
A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数
C．是零上温度和零下温度的分界线 D．海拔高度是0米表示没有高度
【答案】D
【分析】根据有理数0的特殊性质解答．
【详解】解：A、0是最小的自然数，正确，故本选项不符合题意，
B、0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意；
C、0℃是零上温度和零下温度的分界线，正确，故本选项不符合题意，
D、海拔高度为0米表示高度和参考高度相等，故本选项符合题意，故选：D．
【点睛】本题主要考查0这个数的知识点，①既不是正数，也还是负数；②是整数；③是最小的自然数；④是正数和负数分界．
变式1.（2022·武汉市七年级期中）下列结论正确的是（ ）
A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数
【答案】D
【分析】根据0的概念逐项判断即可得．
【详解】A、既不是正数，也不是负数，则此项错误；B、不是正数，则此项错误；
C、整数包括负整数、和正整数，且没有最小的整数，则此项错误；
D、既不是正数也不是负数，则此项正确；故选：D．
【点睛】本题考查了0的概念，掌握理解0的概念是解题关键．
考点2、正数、负数的分类
例2．（2022.绵阳市七年级月考）判断下列各数哪些是正数，哪些是负数.
，，0，，204，，，，，，3.14，2019.
正数：________________________________；
负数：________________________________.
【答案】，，204，，3.14，2019； -2，-0.02，，，.
【分析】根据正数和负数的定义进行分类即可.
【详解】解：大于0的数是正数，∴正数有：，，204，，3.14，2019；
小于0的数是负数。∴负数有：-2，-0.02，，，.
【点睛】本题考查了正数和负数的定义，正确掌握正负数的定义是解题的关键.
变式2. （2022.重庆市七年级专项）在数－8，＋4.3，0，－，3中负整数是_____，正分数是_____，即不是正数也不是负数的是_____．
【答案】－8 ＋4.3 0
【分析】本题为简单的有理数分类题目，根据定义进行分类即可．
【详解】根据有理数的分类，结果如下：
负整数是－8，正分数是＋4.3，即不是正数也不是负数的是0．
故答案为：－8；+4.3；0．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
考点3、正数、负数表示相反意义的量
例3．（2022·浙江杭州市·七年级期中）下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．胜2局与负3局 B．前进与后退
C．盈利3万元与支出3万元 D．向东行30米与向北行30米
【答案】A
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【详解】解：A、胜2局与负3局具有相反意义的量，符合题意；
B、前进与后退具有相反意义，但没有量，故不符合题意；
C、盈利与支出不具有相反意义，故不符合题意；
D、东和北不具有相反意义，故不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量．
变式3.（2021·湖北宜昌市·中考真题）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，攀登后，气温下降__________．
【答案】12
【分析】根据题意知，气温变化量为乘以攀登高度，即可求解．
【详解】根据 “每登高气温的变化量为”知：
攀登后,气温变化量为：
降为负：所以下降12故答案为：12．
【点睛】本题考查了分析信息的能力，正负数的意义，有理数的计算，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键．
考点4、正数、负数在生活实际中的运用
例4．（2022·成都市·七年级期末）大米包装袋上有的标识，则下面几袋大米重量合格的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正负数的意义求出质量合格的取值范围，然后判断即可．
【详解】解：∵10-0.2=9.8，10+0.2=10.2，∴质量合格的取值范围是9.8kg～10.2kg．
所以，四个选项中只有10.2kg合格．故选：C．
【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
变式4. （2022·福建·七年级期末）小明练习跳绳，以1分钟跳165个为目标，并把5次1分钟跳绳的数量记录如下（超过165个的部分记为“＋”，少于165个的部分记为“－”）：
－11，－6，－2，＋4，＋10
（1）小明在这5次跳绳练习中，1分钟最多跳多少个？
（2）小明在这5次跳绳练习中，1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？
（3）小明在这5次跳绳练习中，累计跳绳多少个？
【答案】（1）175个；（2）21个；（3）820个．
【分析】（1）用165加上超过的最大的数字+10，即可解题；
（2）用超过的最大数字+10，减去少于165最多的数字-11即可；
（3）先用，再将超过和不足165的所有数字相加计算即可．
【详解】解：（1）（个） 答：1分钟最多跳175个．
（2）10－（－11）＝21（个） 答：1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多21个．
（3）（个） 答：累计跳绳820个．
【点睛】本题考查正、负数的实际应用，涉及有理数的加减法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
考点5、有理数的概念辨析
例5．（2022·遂宁市七年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．整数分为正整数和负整数 B．正分数、负分数统称有理数
C．零既可以是正整数，也可以是负分数 D．所有的分数都是有理数
【答案】D
【分析】按有理数的分类解答即可．
【详解】解：、正整数、0、负整数统称为整数，故本选项错误；
、正分数、负分数统称为分数，故本选项错误；、零既不是正数也不是负数，故本选项错误；
、所有的分数都是有理数，故本选项正确；故选：D．
【点睛】此题考查了有理数，掌握有理数的分类是本题的关键，是一道基础题．
变式5. （2022·浙江七年级期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案．
【详解】解：①、0是最小的整数，说法错误，因为整数有正、负、0之分；
②、一个有理数不是正数就是负数，说法错误，0既不是正数也不是负数；
③、非负数指的是正数和0，说法错误；④、整数和分数统称有理数，说法正确；故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的分类以及正数负数的有关概念，正确理解有理数的分类是解题的关键．
考点6、有理数的分类
例6．（2022·重庆市璧山区七年级月考）把下列各数填在相应的集合里：
1，，，0.5，，，，0，2014，20%，
正数集合： 负数集合：
整数集合： 正分数集合：
有理数集合：
【答案】，，，，，；，，，；，，，，；，，；，，，，，，，，，
【分析】根据有理数的分类进行解答的即可得解．
【详解】解：正数集合：负数集合：
整数集合： 正分数集合：
有理数集合：
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各类数的概念、界定范围是解题的关键．
变式6. （2022·绵阳市七年级期中）把下列各数填在相应的集合内：
100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，，6，，﹣0.3，1.020020002…
【答案】见解析．
【分析】根据有理数的分类，可得答案．
【详解】如图
．
【点睛】本题考查了有理数，熟记有理数的分类是解题关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·山西临汾市·九年级二模）在人类生活中，早就存在着收入与支出，盈利与亏本等具有相反意义的现象，可以用正负数表示这些相反意义的量．我国古代数学名著《九章算术》一书中也明确提出“正负术”．最早使用负数的国家是（ ）
A．印度 B．法国 C．阿拉伯 D．中国
【答案】D
【分析】根据负数的使用历史进行解答即可．
【详解】最早使用负数的国家是中国．故选：D．
【点睛】本题考查的是正数和负数，关键是了解掌握负数的使用历史．
2．（2022·河南南阳市·七年级期中）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3，．．．；为了表示“没有”引入了数0古希腊著名数学家毕达哥拉斯相信“哪里有数，那里就有美”．数仅仅因为它的寓意，就可以给人以丰富的美感．正是由于这种美感，才使人们在各种场合有选择性的使用数．一个数字既表示万物之始，又表示一个整体，这个数字是（ ）
A．10 B．100 C．1 D．9
【答案】C
【分析】依据题意，为了表示“没有”引入了数0，与一个数字既表示万物之始，又表示一个整体，这两句话，可得答案
【详解】解：依据题意：0表示“没有” 而这个数字又既表示万物之始，又表示一个整体，
即这个数是题意中数的开始，又可以表示一个整体可得该数为1故答案为：C
【点睛】本题实际考查自然数的定义，准确理解题意是解题的关键
3．（2022·河北沧州市·七年级期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）
A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm
【答案】A
【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．
【详解】解：∵30+0.03=30.03，30-0.02=29.98，
∴零件的直径的合格范围是：29.98mm≤零件的直径≤30.03mm．
∵29.8mm不在该范围之内，∴不合格的是A．故选：A．
【点睛】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键．
4．（2023·云南昆明市·九年级二模）2020年一季度，受新冠肺炎疫情影响，云南省外贸进出口总值466.5亿元，较上年同期下降6.3%．2021年一季度，云南省外贸进出口总值达742.1亿元，同比增长59.7%．若下降6.3%，记作，则增长59.7%应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正数和负数的意义解答即可．
【详解】解：增长59.7%应记作，故选：A．
【点睛】本题考查正数和负数的意义，理解正数和负数可以表示相反意义的量是解答的关键．
5. （2022·广东·七年级期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．0既不是正数也不是负数 B．整数包括正整数和负整数
C．非负数包括正数和0 D．整数和分数统称为有理数
【答案】B
【分析】根据有理数、整数的含义和分类，逐项判断即可．
【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，说法正确；
B、整数包括正整数、0和负整数，原来的说法不正确；
C、非负数包括正数和0，说法正确；D、整数和分数统称为有理数，说法正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查有理数和整数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键.
6．（2022·江苏·七年级期中）在下列各数中，负分数有（ ）
，，2，，13，0，，，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据负分数的意义，可得答案．
【详解】解：负分数有：，，，共3个，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数，熟记有理数的分类是解题关键．
7．（2022·浙江杭州市·七年级期中）下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．胜2局与负3局 B．前进与后退 C．盈利3万元与支出3万元 D．向东行30米与向北行30米
【答案】A
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【详解】解：A、胜2局与负3局具有相反意义的量，符合题意；
B、前进与后退具有相反意义，但没有量，故不符合题意；
C、盈利与支出不具有相反意义，故不符合题意；
D、东和北不具有相反意义，故不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量．
8.（2022 浙江七年级期中）如图所示的是某用户微信支付情况，﹣100表示的意思是（ ）
A．发出100元红包 B．收入100元 C．余额100元 D．抢到100元红包
【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解答即可．
【解答】解：由题意可知，﹣100表示的意思是发出100元红包．故选：A．
【点评】考查用负数表示相反意义的量，理解正负数的意义是解决问题的前提．
9．（2022 河北七年级月考）下列说法不正确的是（ ）
A．﹣3.14既是负数、分数，也是有理数 B．0既不是正数，也不是负数，但是整数
C．﹣2019是负整数，但不是有理数 D．0是正数和负数的分界
【思路点拨】依据有理数分类、正负数分类逐项判断即可．
【答案】解：A、﹣3.14属于负数，分数，有理数，故A不符合题意；
B、0不属于正数，也不属于负数，属于整数，故B不符合题意；
C、﹣2019属于有理数，故C符合题意；
D、0为正数和负数的分界，故D符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的分类，正数、负数的分类，掌握数的分类是解题关键．
10．（2022 晋安区七年级校级月考）在数学课上，甲、乙、丙、丁四名同学分别对“0”作了如下描述：
甲：“0”可以表示“没有”； 乙：“0”可以表示特定的意义，比如“0℃”；
丙：0既不是正数，也不是负数；丁：0是正数和负数的分界．
其中描述正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】由正数是大于零的数，负数是小于零的数，即可得答案．
【答案】解：“0”可以表示“没有”，故甲描述正确；
“0”也可以表示特定意义，表示温度，如“0℃”，故乙描述正确；
0既不是正数，也不是负数，故丙描述正确；
0是正数和负数的分界．故丁描述正确．故一共4个正确．故选：D．
【点睛】本题考查了正数和负数，熟记0的意义是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏镇江市·七年级期末）下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有_____个．
【答案】4．
【分析】根据有理数的定义逐一判断即可．
【详解】解：在所列实数中，有理数有﹣1、0、、3.14，故答案为：4．
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键．
12.（2022 青羊区校级月考）某圆形零件的直径要求是50±0.2mm，下表是6个已生产出来的零件圆孔直径检测结果（以50mm为标准则）则在这6个产品中合格的有 个。
序号 1 2 3 4 5 6
误差（mm） ﹣0.3 ﹣0.5 0 +0.1 ﹣0.05 +0.12
【分析】根据直径要求是50±0.2mm，产品若要合格，则|误差|≤0.2，据表格可知|0|＜0.2；|+0.1|＜0.2；|﹣0.05|＜0.2；|+0.12|＜0.2，所以3号、4号、5号、6号产品合格．
【解答】解：根据直径要求是50±0.2mm，即49.8mm～50.2mm都合格，误差±0.2mm内也都合格，
∴有4个．
【点评】考查了正数和负数的应用，学生在平时学习中要联系实际，灵活应用知识点．
13．（2022 城厢区期末）2020年11月19日，由我国自主研制的“大国重器”﹣﹣“奋斗者”号载人潜水器成功坐底马里亚纳海沟，坐底深度10909米，创造了中国载人深潜新纪录，也是世界上首次同时将3人带到海洋最深处，假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，那么“奋斗者”号坐底深度10909米处，该处的高度可记为
米．
【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【答案】解：假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，那么“奋斗者”号坐底深度10909米处，该处的高度可记为﹣10909米．故答案为：﹣10909．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
14．（2022·山东七年级期中）举出一个数字“”表示正负之间分界点的实际例子，如__________．
【答案】0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）
【分析】根据数学中0表示数的意义解答即可．
【解析】在实际中，数字“0”表示正负之间分界点，如：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）．
故答案为：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了正数和负数的意义，熟练掌握既不是正数，也不是负数的0的意义是解本题的关键．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
15．（2022 黄岛区七年级月考）下表列出国外几个城市与北京的时差：（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数）
城市 东京 巴黎 纽约 芝加哥
时差（时） +1 ﹣7 ﹣13 ﹣14
如果现在时间是北京时间2020年10月9日上午8：30，那么现在的纽约时间是10月 日 点．
【分析】用北京时间+时差＝所求的当地时间，如果结果是负数，表明在前一天，正数为当天．
【解答】解：8：30+（﹣13）＝﹣4：30，24﹣4.30＝19.30，
即纽约的时间是8日19：30，故答案为：8；19：30．
【点睛】此题考查有理数的加减混合运算，注意搞清正负数的意义．
16．（2022 回民区期中）在﹣3.5，0，﹣π，1.，﹣3，0.161661666…，中，整数是 ，负数是 ，负分数是 ．（填具体数字）
【思路点拨】按照有理数的分类：有理数．
【答案】解：整数有：0、﹣3；负数有：﹣3.5，﹣π，﹣3；负分数有：﹣3.5；
故答案为：0、﹣3；﹣3.5，﹣π，﹣3；﹣3.5．
【点睛】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点；注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
17. （2022 江苏七年级月考）关于负数有下列4种说法：①在某个数的前面加上符号“-”得到的数；②不大于0的数；③除去正数的其他数；④在正数的前面加上符号“-”得到的数.其中正确的是_______(填序号).
【答案】④
【分析】根据负数的定义，负数的性质来判断即可.
【详解】解：有理数分为正数、0、负数，负数是在正数前面加上一个“-”得到的数；负数是小于0的数；所以①②③表述错误，④正确；故答案为：④.
【点睛】本题考查了有理数的分类以及负数的定义，解题的关键是准确的认识负数的定义.
18. （2022·湖北·七年级期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④不仅是有理数，而且是分数；⑤是无限不循环小数，所以不是有理数；⑥无限小数不都是有理数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为_________个．
【答案】5
【分析】根据有理数的分类作出判断，即可得出答案．
【详解】解：①没有最小的整数，故该项说法错误；
②有理数包括正数、0和负数，故该项说法错误；
③非负数就是正数和0，故该项说法错误；
④是无理数，故该项说法错误；
⑤是无限循环小数，所以是有理数，故该项说法错误；
⑥无限小数不都是有理数，故该项说法正确；
⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，，故该项说法正确；
所以其中错误的说法的个数为5个，故答案为：5．
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏七年级月考）如图，每个椭圆表示一个数集，请在每个椭圆内填上6个数，其中三个写在重叠部分，
【答案】见解析
【分析】根据负数与整数集合重叠部分为负整数，列举出几个即可；根据正数与分数集合重叠部分为正分数，列举出几个即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握整数，分数与正、负数的定义是解本题的关键．
20.（2022 浙江七年级期中）把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内：
﹣11，，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%．
（1）整数集合：{ …}；
（2）分数集合：{ …}；
（3）非负整数集合：{ …}；
（4）负有理数集合：{ …}．
【分析】根据有理数的分类解答即可．
【解答】解：（1）整数集合：{﹣11，﹣9，0，+12…}；（2）分数集合：{，﹣6.4，﹣4%…}；
（3）非负整数集合：{0，+12…}；（4）负有理数集合：{﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%…}．
故答案为：（1）﹣11，﹣9，0，+12；（2），﹣6.4，﹣4%；
（3）0，+12；（4）﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%．
【点评】本题考查有理数的分类，记住有理数的两种分类方法是解决问题的关键．
21．（2022·贵阳市七年级月考）一次体育课，老师对七年级女生进行了仰卧起坐的测试，以做36个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，第一小组8人的成绩如下：2，－3，4，0，1，－1，－5，0.（1）这8名同学实际各做了多少次仰卧起坐？ （2）这个小组的达标率是多少？
【答案】（1）这8名同学实际做仰卧起坐的次数分别为：38，33，40，36，37，35，31，36；（2）62.5%
【分析】（1）用36加上每人记录的成绩即得每人实际成绩；
（2）用记录成绩中的非负数个数除以小组总人数再化成百分数即可得到解答．
【详解】解：（1）这8名同学实际做仰卧起坐的次数分别为：38，33，40，36，37，35，31，36．
（2）因为有5人达标，所以达标率为：5÷8=0.625=62.5%．
【点睛】本题考查正负数在生活中的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键 ．
22.（2022 清涧县七年级期末）下表是国外几个城市与北京的时差：（“+”表示早于北京时间，“﹣”表示迟于北京时间）
城市 悉尼 莫斯科 伦敦 温哥华
时差（时） +2 ﹣5 ﹣8 ﹣16
如果现在是北京时间2021年1月10日下午5：00．（1）现在悉尼时间是多少？伦敦时间是多少？
（2）此时在北京的小明想给在温哥华出差的妈妈打电话，你认为合适吗？请说明理由．
【分析】（1）根据有理数加减法的计算法则，直接计算可求解；
（2）合不合适主要是看时间是不是正好在休息时间，由此判断即可．
【解答】解：（1）∵北京时间2021年1月10日下午5：00，
∴5+2＝7，即悉尼时间为2021年1月10日下午7：00；
17﹣8＝9，即伦敦时间为2021年1月10日上午9：00；
（2）17﹣16＝1，此时温哥华时间为凌晨1：00，不适合打电话．
【点评】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．
23.（2022 山西月考）如图1，一只甲虫在5×5的方格（每一格的边长均为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负，例如，从A到B记为A→B（+1，+4）；从C到D记为C→D（+1，﹣2）（其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向）．
（1）填空：A→D（ ， ）；C→B（ ， ）；
（2）若甲虫的行走路线为A→B→C→D→A，甲虫每秒钟行走2个单位长度，请计算甲虫行走的时间．
（3）若这只甲虫去P处的行走路线为A→E（+2.0），E→F（+2，+1），F→M（﹣1，+2），M→P（﹣2，+1）．请依次在图2上标出点E、F、M、P的位置．
【分析】（1）根据题意，向上向右为正，向下向左为负，进而得出答案；（2）根据甲虫的行走路线，借助网格求出总路程即可；（3）结合各点变化得出其位置，进而得出答案．
【解答】解：（1）根据题意，得出A→D（+4，+1）；C→B（﹣2，+1）；故答案为：+4，+1，﹣2，+1；
（2）甲虫行走的时间是：8秒；（3）点E．F．M．P的位置如图所示．
【点评】此题主要考查了正数和负数，利用定义得出各点变化规律求出是解题关键．
24.（2022 盐都区七年级月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
居民每月用电量 单价（元/度）
不超过50度的部分 0.5
超过50度但不超过200度的部分 0.6
超过200度的部分 0.8
已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）
一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份
﹣50 +30 ﹣26 ﹣45 +36 +25
根据上述数据，解答下列问题：（1）小智家用电量最多的是 月份，该月份应交纳电费 元；
（2）若小智家七月份应交纳的电费204.6元，则他家七月份的用电量是多少？
【分析】（1）根据超出的多少得出答案，根据用电量分段计算电费；
（2）估算出用电量超过200度，设未知数列方程求解即可．
【解答】解：（1）五月份超过200度36度，是最多的，共用电236度，
应缴纳电费0.5×50+0.6×（200﹣50）+0.8×36＝143.8（元），故答案为：五，143.8；
（2）∵204.6＞0.5×50+0.6×150，∴用电量大于200度，设用电量为x度，
由题意得，0.5×50+0.6×（200﹣50）+0.8（x﹣200）＝204.6，解得，x＝312，
答：他家七月份的用电量是312度．
【点评】考查正数、负数的意义，理解分段计费的含义是正确解答的关键．
25．（2022 孝义市期中）如图是李阿姨10月23日至10月25日微信零钱明细（不完整），其中正数表示收款，负数表示付款．
（1）图中“﹣42.00”和“+200”分别表示什么意思？
（2）图中”是李阿姨已删除的一条明细，李阿姨只能记得这条明细是10月24日扫二维码付款37元，忘记了当时的余额，请你帮助李阿姨计算出付款37元后的余额为多少？
【分析】（1）根据“正数表示收款，负数表示付款”解答即可；（2）根据题意列式计算即可求解．
【解答】解：（1）图中“﹣42.00”表示付款42元；“+200”表示收款200元；
（2）239.18﹣37＝202.18（元）．答：付款37元后的余额为202.18元．
【点睛】此题主要考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
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专题1.1 从自然数到有理数（正数和负数、有理数分类）
模块1：学习目标
通过生活实例认识正数和负数；
2. 会用正数、负数表示相反意义的量；
3. 知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；
4. 会对有理数进行分类。
模块2：知识梳理
1.正数与负数
1）正数：像，，这样大于的数叫做正数．正数都大于．
2）负数：像，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数．负数都小于．
3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．负数前面的“” 号不可省略．
注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。
2.用正数和负数表示具有相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然．
比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为．
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量．
3.“0”的特殊性
1）既不是正数，也不是负数；2）是正数与负数的分界；3）是自然数；
4）的意义：有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；有时是一个数，比如是一个确定的温度；有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度．
4.常见名词：非负数：正数和零统称为非负数；非正数：负数和零统称为非正数；
5.有理数的相关概念
1）整数：正整数、、负整数统称为整数．
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．
2）分数：正分数、负分数统称为分数．
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．
3）有理数：整数和分数统称为有理数．
4）有理数的分类：
（1）（2）
5）常用数学概念的含义
1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数
3）正分数：既是整数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数
5）非正数：负数和0 6）非负数：正数和0
7）非正整数：负整数和0 8）非负整数：正整数和0
模块3：核心考点与典例
考点1、正数、负数的概念辨析
例1．（2022·浙江七年级月考）下列说法错误的是（ ）
A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数
C．是零上温度和零下温度的分界线 D．海拔高度是0米表示没有高度
变式1.（2022·武汉市七年级期中）下列结论正确的是（ ）
A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数
考点2、正数、负数的分类
例2．（2022.绵阳市七年级月考）判断下列各数哪些是正数，哪些是负数.
，，0，，204，，，，，，3.14，2019.
正数：________________________________；负数：________________________________.
变式2. （2022.重庆市七年级专项）在数－8，＋4.3，0，－，3中负整数是_____，正分数是_____，即不是正数也不是负数的是_____．
考点3、正数、负数表示相反意义的量
例3．（2022·浙江杭州市·七年级期中）下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．胜2局与负3局 B．前进与后退
C．盈利3万元与支出3万元 D．向东行30米与向北行30米
变式3.（2021·湖北宜昌市·中考真题）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，攀登后，气温下降__________．
考点4、正数、负数在生活实际中的运用
例4．（2022·成都市·七年级期末）大米包装袋上有的标识，则下面几袋大米重量合格的是（ ）
A． B． C． D．
变式4. （2022·福建·七年级期末）小明练习跳绳，以1分钟跳165个为目标，并把5次1分钟跳绳的数量记录如下（超过165个的部分记为“＋”，少于165个的部分记为“－”）：
－11，－6，－2，＋4，＋10
（1）小明在这5次跳绳练习中，1分钟最多跳多少个？（2）小明在这5次跳绳练习中，1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？（3）小明在这5次跳绳练习中，累计跳绳多少个？
考点5、有理数的概念辨析
例5．（2022·遂宁市七年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．整数分为正整数和负整数 B．正分数、负分数统称有理数
C．零既可以是正整数，也可以是负分数 D．所有的分数都是有理数
变式5. （2022·浙江七年级期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
考点6、有理数的分类
例6．（2022·重庆市璧山区七年级月考）把下列各数填在相应的集合里：
1，，，0.5，，，，0，2014，20%，
正数集合： 负数集合：
整数集合： 正分数集合：
有理数集合：
变式6. （2022·绵阳市七年级期中）把下列各数填在相应的集合内：
100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，，6，，﹣0.3，1.020020002…
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·山西临汾市·九年级二模）在人类生活中，早就存在着收入与支出，盈利与亏本等具有相反意义的现象，可以用正负数表示这些相反意义的量．我国古代数学名著《九章算术》一书中也明确提出“正负术”．最早使用负数的国家是（ ）
A．印度 B．法国 C．阿拉伯 D．中国
2．（2022·河南南阳市·七年级期中）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3，．．．；为了表示“没有”引入了数0古希腊著名数学家毕达哥拉斯相信“哪里有数，那里就有美”．数仅仅因为它的寓意，就可以给人以丰富的美感．正是由于这种美感，才使人们在各种场合有选择性的使用数．一个数字既表示万物之始，又表示一个整体，这个数字是（ ）
A．10 B．100 C．1 D．9
3．（2022·河北沧州市·七年级期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）
A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm
4．（2023·云南昆明市·九年级二模）2020年一季度，受新冠肺炎疫情影响，云南省外贸进出口总值466.5亿元，较上年同期下降6.3%．2021年一季度，云南省外贸进出口总值达742.1亿元，同比增长59.7%．若下降6.3%，记作，则增长59.7%应记作（ ）
A． B． C． D．
5. （2022·广东·七年级期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．0既不是正数也不是负数 B．整数包括正整数和负整数
C．非负数包括正数和0 D．整数和分数统称为有理数
6．（2022·江苏·七年级期中）在下列各数中，负分数有（ ）
，，2，，13，0，，，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022·浙江杭州市·七年级期中）下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．胜2局与负3局 B．前进与后退
C．盈利3万元与支出3万元 D．向东行30米与向北行30米
8.（2022 浙江七年级期中）如图所示的是某用户微信支付情况，﹣100表示的意思是（ ）
A．发出100元红包 B．收入100元 C．余额100元 D．抢到100元红包
9．（2022 河北七年级月考）下列说法不正确的是（ ）
A．﹣3.14既是负数、分数，也是有理数 B．0既不是正数，也不是负数，但是整数
C．﹣2019是负整数，但不是有理数 D．0是正数和负数的分界
10．（2022 晋安区七年级校级月考）在数学课上，甲、乙、丙、丁四名同学分别对“0”作了如下描述：
甲：“0”可以表示“没有”； 乙：“0”可以表示特定的意义，比如“0℃”；
丙：0既不是正数，也不是负数；丁：0是正数和负数的分界．
其中描述正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏镇江市·七年级期末）下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有_____个．
12.（2022 青羊区校级月考）某圆形零件的直径要求是50±0.2mm，下表是6个已生产出来的零件圆孔直径检测结果（以50mm为标准则）则在这6个产品中合格的有 个。
序号 1 2 3 4 5 6
误差（mm） ﹣0.3 ﹣0.5 0 +0.1 ﹣0.05 +0.12
13．（2022 城厢区期末）2020年11月19日，由我国自主研制的“大国重器”﹣﹣“奋斗者”号载人潜水器成功坐底马里亚纳海沟，坐底深度10909米，创造了中国载人深潜新纪录，也是世界上首次同时将3人带到海洋最深处，假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，那么“奋斗者”号坐底深度10909米处，该处的高度可记为
米．
14．（2022·山东七年级期中）举出一个数字“”表示正负之间分界点的实际例子，如__________．
15．（2022 黄岛区七年级月考）下表列出国外几个城市与北京的时差：（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数）
城市 东京 巴黎 纽约 芝加哥
时差（时） +1 ﹣7 ﹣13 ﹣14
如果现在时间是北京时间2020年10月9日上午8：30，那么现在的纽约时间是10月 日 点．
16．（2022 回民区期中）在﹣3.5，0，﹣π，1.，﹣3，0.161661666…，中，整数是 ，负数是 ，负分数是 ．（填具体数字）
17. （2022 江苏七年级月考）关于负数有下列4种说法：①在某个数的前面加上符号“-”得到的数；②不大于0的数；③除去正数的其他数；④在正数的前面加上符号“-”得到的数.其中正确的是_______(填序号).
18. （2022·湖北·七年级期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④不仅是有理数，而且是分数；⑤是无限不循环小数，所以不是有理数；⑥无限小数不都是有理数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为_________个．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏七年级月考）如图，每个椭圆表示一个数集，请在每个椭圆内填上6个数，其中三个写在重叠部分，
20.（2022 浙江七年级期中）把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内：
﹣11，，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%．
（1）整数集合：{ …}；
（2）分数集合：{ …}；
（3）非负整数集合：{ …}；
（4）负有理数集合：{ …}．
21．（2022·贵阳市七年级月考）一次体育课，老师对七年级女生进行了仰卧起坐的测试，以做36个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，第一小组8人的成绩如下：2，－3，4，0，1，－1，－5，0.（1）这8名同学实际各做了多少次仰卧起坐？ （2）这个小组的达标率是多少？
22.（2022 清涧县七年级期末）下表是国外几个城市与北京的时差：（“+”表示早于北京时间，“﹣”表示迟于北京时间）
城市 悉尼 莫斯科 伦敦 温哥华
时差（时） +2 ﹣5 ﹣8 ﹣16
如果现在是北京时间2021年1月10日下午5：00．（1）现在悉尼时间是多少？伦敦时间是多少？
（2）此时在北京的小明想给在温哥华出差的妈妈打电话，你认为合适吗？请说明理由．
23.（2022 山西月考）如图1，一只甲虫在5×5的方格（每一格的边长均为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负，例如，从A到B记为A→B（+1，+4）；从C到D记为C→D（+1，﹣2）（其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向）．
（1）填空：A→D（ ， ）；C→B（ ， ）；
（2）若甲虫的行走路线为A→B→C→D→A，甲虫每秒钟行走2个单位长度，请计算甲虫行走的时间．
（3）若这只甲虫去P处的行走路线为A→E（+2.0），E→F（+2，+1），F→M（﹣1，+2），M→P（﹣2，+1）．请依次在图2上标出点E、F、M、P的位置．
24.（2022 盐都区七年级月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
居民每月用电量 单价（元/度）
不超过50度的部分 0.5
超过50度但不超过200度的部分 0.6
超过200度的部分 0.8
已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）
一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份
﹣50 +30 ﹣26 ﹣45 +36 +25
根据上述数据，解答下列问题：（1）小智家用电量最多的是 月份，该月份应交纳电费 元；
（2）若小智家七月份应交纳的电费204.6元，则他家七月份的用电量是多少？
25．（2022 孝义市期中）如图是李阿姨10月23日至10月25日微信零钱明细（不完整），其中正数表示收款，负数表示付款．
（1）图中“﹣42.00”和“+200”分别表示什么意思？
（2）图中”是李阿姨已删除的一条明细，李阿姨只能记得这条明细是10月24日扫二维码付款37元，忘记了当时的余额，请你帮助李阿姨计算出付款37元后的余额为多少？
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