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专题1.3 绝对值
模块1：学习目标
1.能说出一个数的绝对值的几何意义与代数意义；
2.会求已知数的绝对值；能根据绝对值求参数；
3.能根据绝对值的意义化简；能根据绝对值的意义求最值；
模块2：知识梳理
1.绝对值
1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．
3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．
可整理为：，或，或
4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：
2.有理数的比较大小
1）两个负数，绝对值大的反而小．
2）正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
3）利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3.归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ；②绝对值大于它本身的数是： 负数 ；
③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ；④绝对值最小的有理数是： 0 ；
⑤绝对值最小的正整数是： 1 ；⑥绝对值最小的负整数是： -1 ．
模块3：核心考点与典例
考点1、绝对值的意义
例1．（2022·浙江 七年级期中）已知|2x-1|=7，则x的值为（ ）
A．x=4或x=-3 B．x=4 C．x=3或-4 D．x=-3
【答案】A
【分析】根据题意得2x-1=±7，从而解方程即可得出x的值．
【详解】解：∵|2x-1|=7，∴2x-1=±7，
∴当2x-1=7时，x=4; 当2x-1=﹣7时，x=-3．∴x=4或﹣3故选：A．
【点睛】此题考查解含有绝对值的方程，解题的关键是掌握对绝对值的意义．当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；当a是零时，a的绝对值是零．
变式1. （2022·江苏镇江市·七年级期末）若，则 x的值为_______．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义计算．
【详解】解：∵| x|=5，∴|x|=5，∴x=±5，故答案为±5 ．
【点睛】本题考查绝对值的应用，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．
考点2、求一个数的绝对值
例2．（2022·浙江七年级月考）有理数的绝对值为（ ）
A．2022 B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案．
【详解】解：的绝对值是：．故选：B．
【点睛】本题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
变式2. （2022 南岸区七年级期中）3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【分析】根据正数的绝对值等于它的本身即可求解．
【解答】解：∵，∴3的绝对值是3．故选：D．
考点3、绝对值的化简
例3．（2022·河北省衡水中学初一期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】由图得，a+1>0,a<0,a-b<0,b-1<0,
=,选D.
点睛：化简绝对值问题，根据，此时，a可以看做一个式子，a是正数或0，则，把绝对值变成括号，如果a是负数，则绝对值变括号，前面加负号.
变式3.（2022·浙江·七年级期末）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题．
例：三个有理数，，满足，求的值．
解：由题意得，，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当，，都是正数，即，，时，则：，
②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，，
则：．综上，的值为3或-1．
请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知，，且，求的值；
（2）已知，是有理数，当时，求的值．
（3）已知，，是有理数，，，求．
【答案】（1）-2或-4；（2）；（3）1
【分析】（1）根据绝对值的意义和a＜b，确定a、b的值，再计算a+b；
（2）对a、b进行讨论，即a、b同正，a、b同负，根据绝对值的意义进行计算即可；
（3）根据a，b，c是有理数，a+b+c=0，，则，，两正一负，然后进行计算即可．
【详解】解：（1）因为，，且，所以，或，则或．
（2）①当，时，；
②当，时，；综上，的值为．
（3）已知，，是有理数，，．所以，，两正一负，
不妨设，，，所以．
【点睛】考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键；
考点4、绝对值非负性的应用
例4．（2022·广东茂名市·七年级期末）若，则的值为______．
【答案】4
【分析】先利用绝对值的非负性求出x、y的值，代入求解即可．
【详解】∵，∴，，
∴．故答案为：4．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性．
变式4. （2022·浙江·七年级期末）代数式的最小值等于__________．
【答案】2
【分析】根据绝对值的非负性即可得出结论
【详解】解：∵ ；2∴的最小值为2
【点睛】此题考查了绝对值的非负性和绝对值的意义，熟练掌握绝对值的性质是解本题的关键．
考点5、有理数大小比较
例5．（2023·山东潍坊市·九年级一模）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，且原点为，根据图中各点位置，下列数值最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴，确定a,b,c的属性，进行绝对值的化简，利用实数大小比较原则判断即可．
【详解】根据题意，得b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a|＞c＞b，
∵b＜0∴|b|=-b，|a|=a,∴-b＞|c|＞a＞c＞b，∴-b最大，故选D．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，绝对值的化简，有理数的大小比较，熟练掌握绝对值及其化简，灵活运用有理数大小比较的基本原则是解题的关键．
变式5. （2023·临沂七年级月考）比较大小：+_________-； _________
【答案】
【分析】分别对第一组中的两个数化简，然后进行比较即可；第二组数据利用负数的大小的比较的方法进行比较即可．
【详解】，
， ，即；
， ，故答案为：，．
【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，掌握负数的大小的比较方法是关键．
考点6、借助数轴解绝对值综合问题
性质：几何意义：表示x到点a的距离
解题技巧：（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。
注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。
例6．（2023·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意将可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.
【解析】
方法一：代数法（借助零点分类讨论）
当x<-2时，=（-2-x）+（5-x）=3-2x；
当时，=（x+2）+（5-x）=7；
当x>5时，=（x+2）+（x-5）=2x-3；
∴有最小值，最小值为7，此时，故选：D.
方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）
可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，
通过数轴分析反现当时，有最小值，最小值为7。
【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到表示的意义，再利用分类思想解答问题.
变式6. （2022·江苏苏州市·七年级月考）探索性问题：已知点A，B在数轴上分别表示m、n．
（1）填写表：
m 5 5 6 6 10
n 3 0 4 4 2
A，B两点的距离
（2）若A，B两点的距离为d，则d与m、n有何数量关系；
（3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到3和 3的距离之和为6，并求出所有这些整数的和；（4）若点C表示的数为x，当C在什么位置时，取得值最小？
【答案】（1）2；5；10；2；12；（2）d＝|m﹣n|；（3）作图见详解；0；（4）点C在点﹣2和点3之间时，|x+2|+|x﹣3|的值最小，其最小值为5．
【分析】（1）由题意观察数轴，得出A、B两点的距离；
（2）根据题意通过观察表格，进行分析写出一般规律；
（3）由题意充分运用数轴这个工具，由此表示整数点P；
（4）根据题意在（2）（3）的启发下，结合数轴，进行分析即可回答题目的问题．
【详解】解：（1）见表格；
m 5 ﹣5 ﹣6 ﹣6 ﹣10
n 3 0 4 ﹣4 2
A、B两点的距离 2 5 10 2 12
故答案为：2；5；10；2；12；
（2）若A、B两点的距离为d，则d与m、n的数量关系为：d＝|m﹣n|；
（3）符合条件的整数点P有7个，如图；
所有这些整数和为：﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3＝0．
（4）|x+2|表示点C到点﹣2的距离，|x﹣3|表示点C到点3的距离，
当点C在点﹣2和点3之间时，|x+2|+|x﹣3|的值最小，其最小值为：5．
【点睛】本题主要考查数轴，绝对值的性质，数轴上两点间的距离．解题的关键是借助数轴，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·重庆初三模拟）下列命题正确的是（ ）
A．绝对值等于本身的数是正数 B．绝对值等于相反数的数是负数
C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．绝对值相等的两个数互为相反数
【答案】C
【分析】根据绝对值和相反数的概念分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解析】A、绝对值等于本身的数是非负数，原命题是假命题；
B、绝对值等于相反数的数是非正数，原命题是假命题；
C、互为相反数的两个数的绝对值相等，是真命题；
D、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，原命题是假命题；故选：C．
【点睛】此题借助绝对值和相反数的概念考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
2.（2022·辽宁沈阳·七年级期末）的绝对值为（ ）
A．2022 B．2022或 C． D．
【答案】A
【分析】数轴上表示数a的点与原点的距离是数a的绝对值，根据定义直接求解即可.
【详解】解：-2022的绝对值是2022，故A正确．故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的含义，掌握“利用绝对值的含义求解一个数的绝对值”是解本题的关键．
3．（2022·重庆初一月考）下列判断正确的是（ ）
A．若|a|=|b|，则a=b B．若|a|=|b|，则a= -b C．若a=b，则|a|=|b| D．若a=-b，则|a|= -|b|
【答案】C
【解析】试题分析：根据绝对值的性质即可进行判断.
解：若|a|=|b|，则a=±b，选项A、B错误；
若a=b，则|a|=|b|，选项C正确；
D. 若a=-b，则|a|=|b|，选项D错误. 故选C.
4．（2022·黑龙江大庆市·九年级一模）若与互为相反数，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
【答案】B
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后相加即可的解．
【详解】解：∵与互为相反数，∴+＝0，
∴，，解得：，，∴ 故选：B
【点睛】本题考查了相反数的性质和非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
5．（2022·内蒙古自治区初一期末）已知，则的值为( )
A．6 B．-4 C．6或-4 D．-6或4
【答案】C
【分析】本题根据绝对值的定义,由已知,可得a-1= ±5,解这个关于a的方程即可求得a的值.
【解析】因为，
当a-1大于0时，则a-1=5，则a=6，
当a-1小于0时，则a-1= -5，则a= -4, 故选C.
【点睛】此题考查了绝对值的性质，特别注意：互为相反数的两个数的绝对值相等．
6．（2022·黑龙江大庆市·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A． B．若取最小值，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据绝对值的定义和绝对值的非负性逐一分析判定即可．
【详解】解：A．当时，，故该项错误；
B．∵，∴当时取最小值，故该项错误；
C．∵，∴，，∴，故该项错误；
D．∵且，∴，∴，故该项正确；故选：D．
【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键．
7.（2022.浙江七年级期中）下列有理数大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简，再根据有理数大小比较的方法进行比较即可求解．
【详解】解：、，，，，故选项错误；
、∵，，，∴，故正确；
、，，，故选项错误；
、，，，，故选项错误．故选：B．
【点睛】此题考查了有理数大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
8．（2023·呼和浩特市初三二模），则一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．零或负数 D．非负数
【答案】C
【分析】根据绝对值的定义，绝对值等于它的相反数的数是零或负数．
【解析】解：∵，∴a一定是零或负数，a一定是零或负数．故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，属于基础题型．注意不要忽略零．
9．（2022·杭州·七年级期末）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者”，先确定和，得到，再根据法则即可解答．
【详解】解：∵， ∴=，，
∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查了新定义中的有理数的大小比较，解题的关键是理解题中给出的运算法则．
10．（2022·浙江七年级期中）若不等式，对一切实数x都成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得出代数式的意义，从而得出结论．
【详解】解：由数轴知，表示x到4，2，1，0这四个点的距离之和．
当1≤x≤2时，距离之和最小，此时=5，
即不等式≥5对一切数x都成立，∴a≤5，故选B．
【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·吉林吉林市·七年级期末）比较大小：_________
【答案】<．
【分析】分别求出两个数的绝对值，并进行通分，可比较两个正数的大小，再根据两个负数，绝对值大的其值反而小，即可得出结论．
【详解】∵， ，∴，∴，故答案为：<．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较，正确掌握比较方法是解题的关键．
12．（2021 南京七年级期中）﹣（﹣2）＝ ；﹣|﹣2|＝ ．
【思路点拨】根据求一个数的相反数和绝对值的意义化简求解．
【答案】解：﹣（﹣2）＝2；﹣|﹣2|＝﹣2，故答案为：2；﹣2．
【点睛】本题考查求一个数的相反数和绝对值，理解相关概念准确化简是解题关键．
13．（2022 海淀区七年级月考）|﹣8|＝ ，绝对值等于4的数是 ．
【思路点拨】利用绝对值的定义以及相反数的定义分析的分析得出答案．
【答案】解：|﹣8|＝8；绝对值等于4的数是：±4．故答案为：8，±4．
【点睛】此题主要考查了绝对值和相反数，正确掌握相关定义是解题的关键．
14．（2022 郫都区七年级月考）若|x﹣3|+|y+2|＝0，则x＝ ，y＝ ．
【思路点拨】根据非负数的性质列出算式，求出x、y的值即可．
【答案】解：根据题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，
解得x＝3，y＝﹣2，答案为：3，﹣2．
【点睛】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
15.（2022·山东济宁·七年级期末）大家知道，，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是______．
【答案】表示a的点与表示-5的点之间的距离
【分析】利用绝对值的意义即可求解．
【详解】解：因为，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离，
所以式子在数轴上的意义是表示a的点与表示-5的点之间的距离．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键．
16．（2022·泰州初一期中）已知化简：=_______．
【答案】-a-3b-c
【分析】先确定a、b、c的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可.
【解析】∵ ∴a≤0，b＜0，c≥0 ∴a+2b＜0，c-a＞0，-b-a＞0
∴=-（a+2b）-（c-a）+（-b-a）=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c
故答案为-a-3b-c.
【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为其相反数，是解答本题的关键.
17．（2022·江西·峡江县七年级期末）已知m、n是两个非零有理数，则=_________
【答案】0或2或-2
【分析】对m、n是两个非零有理数的正负进行分类讨论，再进行绝对值得化简求值即可．
【详解】解：当，时，；当，时，；
当，时，；当，时，；
综上可知：的值为0或2或-2．故答案为：0或2或-2．
【点睛】本题考查绝对值的化简．对m、n是两个非零有理数的正负进行分类讨论是本题解题的关键．
18.（2022·河南安阳·七年级期末）若x为任意有理数，表示在数轴上x表示的点到原点的距离，表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离，则的最小值为________．
【答案】4
【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，可知当x处于-1和3之间时，|x-3|+|x+1|取得最小值，即为数轴上-1和3之间的距离．
【详解】解：∵|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，
∴|x-3|+|x+1|表示数轴上数x与3和数x与-1对应的点之间的距离之和，
∴当-1≤x≤3时，代数式|x-3|+|x+1|有最小值，最小值为3-x+x+1=4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离，明确|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期末）创建文明城期间，一天上午，志愿者小明从柒悦城出发，乘坐3路公交车，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，3路车为神火大道上南北方向直线上的公交线路，小明坐车范围北起火车站，南至香君路口，途中共设12个上下车站点，如图所示：
下午，小明到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向南为正，向北为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：＋5，－2，＋6，－11，＋8，＋1，－3，－2，－4，＋7；
(1)请通过计算说明A站是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离为0.8千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？
【答案】(1)长江路口 (2)39.2千米
【分析】（1）求出这些数的和，根据和的符号和绝对值即可判断A站的位置；
（2）计算所有站数绝对值的和，再乘以相邻两站之间的平均距离即可．
(1)解：由题意得，
．
柒悦城向南第5站为长江路口，A站是长江路口．
(2)解：由题意得，
（千米）
故这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是39.2千米．
【点睛】本题考查正负数和绝对值的实际应用，读懂题意，理解题中正负号代表的意义是解题的关键．
20．（2022·广东·广州市真光中学七年级期中）如图，点A和B表示的数分别为a和b，若c是绝对值最小的数，d是最大的负整数．（1）在数轴上表示c＝ ，d＝ ．
（2）若|x+3|＝2，则x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．
【答案】（1）0，；（2）或；（3）
【分析】（1）根据c是绝对值最小的数，d是最大的负整数，即可得到，；
（2）由，则，由此求解即可；
（3）根据数轴上的位置可得，则，，，由此进行化简即可．
【详解】解：（1）∵c是绝对值最小的数，d是最大的负整数，
∴，，
故答案为：0，；
（2）∵，
∴，
∴或；
（3）根据数轴上的位置可得，
∵，
∴，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置化简绝对值，解绝对值方程，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的相关方法．
21.（2022·贵州黔东南·七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：．
解：当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解是或．
(1)利用上述方法解方程：．
(2)当满足什么条件时，关于的方程，①无解；②只有一个解；③有两个解．
【答案】(1)或 (2)①当无解时，；②当只有一个解时，；当有两个解时，
【分析】（1）根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后化为一元一次方程即可求得；
（2）根据绝对值的意义，运用分类讨论进行解答．
(1)当3x-2≥0时，原方程可化为：3x-2=4，解得x=2；
当3x-2＜0时，原方程可化为：3x-2=-4，解得．
所以原方程的解是x=2或；
(2)解：∵|x-2|≥0，∴①当b-1＜0，即b＜1时，方程无解；
②当b-1=0，即b=1时，方程只有一个解；
③当b-1＞0，即b＞1时，方程有两个解．
【点睛】此题考查了绝对值方程，正确理解绝对值的意义是解答本题的关键，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
22．（2022·江西宜春市·七年级期末）已知有理数，在数轴上对应的点如图所示．
（1）当，时，求的值；
（2）化简：．
【答案】（1）1；（2）1
【分析】（1）先代入数值，再根据绝对值的代数意义化简求解即可；
（2）根据绝对值的代数意义、去括号、合并即可得到结果．
【详解】（1）当，时
原式
（2）根据如图所示数轴上点的位置可知：，
∴，，，，
原式
【点睛】此题考查了整式的加减、数轴、以及绝对值，解题的关键是熟练掌握各自的定义．
23．（2022·山西晋中·七年级期中）阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的思想解决一些问题例如：数轴上表示5的点与表示2的点之间的距离为|5﹣2|＝3，数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7
[理解]（1）如图，在数轴上，点A表示的数是 ，点B表示的数是 ，A，B两点之间的距离 ．
（2）|﹣8﹣（﹣6）|＝2，它在数轴上的意义为表示 的点与表示 的点之间的距离为2
[归纳]（3）在数轴上，点A表示有理数a，点B表示有理数b，则A，B两点之间的距离可表示为 ．
[应用]（4）若|x﹣2|＋|x＋4|＝10，则满足条件的x的值为 ．
【答案】（1）-3；2；5；（2）-8；-6；（3）；（4）-6或4
【分析】（1）根据数轴上A，B两点表示的数求解即可；
（2）根据绝对值的意义求解即可；
（3）利用数轴上两点之间的距离公式求解即可；
（4）根据绝对值的性质分类讨论即可，分，，计算即可；
【详解】（1）由已知数轴可知，点A表示的数是，点B表示的数是2，A，B两点之间的距离；
故答案是：；2；5；
（2）它在数轴上的意义为表示的点与表示的点之间的距离为2；
故答案是；；
（3）在数轴上，点A表示有理数a，点B表示有理数b，则A，B两点之间的距离可表示为；
故答案是：；
（4）当时，原式，解得；
当时，原式，故不存在；
当时，原式，解得；
满足条件的x的值为-6或4．
【点睛】本题主要考查了数轴上点的表示，绝对值的意义，数轴上两点间的距离，准确分析计算是解题的关键．
24.（2022·安徽安庆市·七年级期末）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题．
例：三个有理数，，满足，求的值．
解：由题意得，，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当，，都是正数，即，，时，则：，
②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，，
则：．综上，的值为3或-1．
请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知，，且，求的值；
（2）已知，是有理数，当时，求的值．
（3）已知，，是有理数，，，求．
【答案】（1）-2或-4；（2）；（3）1
【分析】（1）根据绝对值的意义和a＜b，确定a、b的值，再计算a+b；
（2）对a、b进行讨论，即a、b同正，a、b同负，根据绝对值的意义进行计算即可；
（3）根据a，b，c是有理数，a+b+c=0，，则，，两正一负，然后进行计算即可．
【详解】解：（1）因为，，且，所以，或，则或．
（2）①当，时，；
②当，时，；综上，的值为．
（3）已知，，是有理数，，．所以，，两正一负，
不妨设，，，所以．
【点睛】考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键；
25．（2022·临海市七年级期中）已知： b是最小的正整数，且a、b满足（c－5）2＋|a＋ b|＝ 0请回答问题：
（1）请直接写出a、b、c的值： a＝ ，b＝ ，c＝ ，
（2）数轴上a， b， c所对应的点分别为A，B，C，则 B，C两点间的距离为 ；
（3）在（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动了t秒，
①此时A表示的数为 ；此时B表示的数为 ；此时C表示的数为 ；
②若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC－ AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-1；1；5；（2）4；（3）①-1-t；1+2t；5+5t；②BC-AB值为2，不随着时间t的变化而改变．
【分析】（1）先根据b是最小的正整数，求出b，再根据c2＋|a+b|=0，即可求出a、c；
（2）由（1）得B和C的值，通过数轴可得出B、C的距离；
（3）①在（2）的条件下，通过运动速度和运动时间可表示出A、B、C；
②先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2．
【详解】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．
∵（c-5）2+|a+b|=0，∴a=-1，c=5；故答案为：-1；1；5；
（2）由（1）知，b=1，c=5，b、c在数轴上所对应的点分别为B、C，B、C两点间的距离为4；
（3）①点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，运动了t秒，此时A表示的数为-1-t；
点B以每秒2个单位长度向右运动，运动了t秒，此时B表示的数为1+2t；
点C以5个单位长度的速度向右运动，运动了t秒，此时C表示的数为5+5t．
②BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下：
∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴BC=5+5t –(1+2t)=3t+4，AB=1+2t –(-1-t)=3t+2，
∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
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专题1.3 绝对值
模块1：学习目标
1.能说出一个数的绝对值的几何意义与代数意义；
2.会求已知数的绝对值；能根据绝对值求参数；
3.能根据绝对值的意义化简；能根据绝对值的意义求最值；
模块2：知识梳理
1.绝对值
1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．
3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．
可整理为：，或，或
4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：
2.有理数的比较大小
1）两个负数，绝对值大的反而小．
2）正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
3）利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3.归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ；②绝对值大于它本身的数是： 负数 ；
③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ；④绝对值最小的有理数是： 0 ；
⑤绝对值最小的正整数是： 1 ；⑥绝对值最小的负整数是： -1 ．
模块3：核心考点与典例
考点1、绝对值的意义
例1．（2022·浙江 七年级期中）已知|2x-1|=7，则x的值为（ ）
A．x=4或x=-3 B．x=4 C．x=3或-4 D．x=-3
变式1. （2022·江苏镇江市·七年级期末）若，则 x的值为_______．
考点2、求一个数的绝对值
例2．（2022·浙江七年级月考）有理数的绝对值为（ ）
A．2022 B． C． D．
变式2. （2022 南岸区七年级期中）3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
考点3、绝对值的化简
例3．（2022·河北省衡水中学初一期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
变式3.（2022·浙江·七年级期末）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题．
例：三个有理数，，满足，求的值．
解：由题意得，，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当，，都是正数，即，，时，则：，
②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，，
则：．综上，的值为3或-1．
请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知，，且，求的值；
（2）已知，是有理数，当时，求的值．
（3）已知，，是有理数，，，求．
考点4、绝对值非负性的应用
例4．（2022·广东茂名市·七年级期末）若，则的值为______．
变式4. （2022·浙江·七年级期末）代数式的最小值等于__________．
考点5、有理数大小比较
例5．（2023·山东潍坊市·九年级一模）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，且原点为，根据图中各点位置，下列数值最大的是（ ）
A． B． C． D．
变式5. （2023·临沂七年级月考）比较大小：+_________-； _________
考点6、借助数轴解绝对值综合问题
性质：几何意义：表示x到点a的距离解题技巧：（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。
注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。
例6．（2023·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
变式6. （2022·江苏苏州市·七年级月考）探索性问题：已知点A，B在数轴上分别表示m、n．
（1）填写表：
m 5 5 6 6 10
n 3 0 4 4 2
A，B两点的距离
（2）若A，B两点的距离为d，则d与m、n有何数量关系；
（3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到3和 3的距离之和为6，并求出所有这些整数的和；（4）若点C表示的数为x，当C在什么位置时，取得值最小？
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·重庆初三模拟）下列命题正确的是（ ）
A．绝对值等于本身的数是正数 B．绝对值等于相反数的数是负数
C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．绝对值相等的两个数互为相反数
2.（2022·辽宁沈阳·七年级期末）的绝对值为（ ）
A．2022 B．2022或 C． D．
3．（2022·重庆初一月考）下列判断正确的是（ ）
A．若|a|=|b|，则a=b B．若|a|=|b|，则a= -b C．若a=b，则|a|=|b| D．若a=-b，则|a|= -|b|
4．（2022·黑龙江大庆市·九年级一模）若与互为相反数，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
5．（2022·内蒙古自治区初一期末）已知，则的值为( )
A．6 B．-4 C．6或-4 D．-6或4
6．（2022·黑龙江大庆市·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A． B．若取最小值，则
C．若，则 D．若，则
7.（2022.浙江七年级期中）下列有理数大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·呼和浩特市初三二模），则一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．零或负数 D．非负数
9．（2022·杭州·七年级期末）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·浙江七年级期中）若不等式，对一切实数x都成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·吉林吉林市·七年级期末）比较大小：_________
12．（2021 南京七年级期中）﹣（﹣2）＝ ；﹣|﹣2|＝ ．
13．（2022 海淀区七年级月考）|﹣8|＝ ，绝对值等于4的数是 ．
14．（2022 郫都区七年级月考）若|x﹣3|+|y+2|＝0，则x＝ ，y＝ ．
15.（2022·山东济宁·七年级期末）大家知道，，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是______．
16．（2022·泰州初一期中）已知化简：=_______．
17．（2022·江西·峡江县七年级期末）已知m、n是两个非零有理数，则=_________
18.（2022·河南安阳·七年级期末）若x为任意有理数，表示在数轴上x表示的点到原点的距离，表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离，则的最小值为________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期末）创建文明城期间，一天上午，志愿者小明从柒悦城出发，乘坐3路公交车，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，3路车为神火大道上南北方向直线上的公交线路，小明坐车范围北起火车站，南至香君路口，途中共设12个上下车站点，如图所示：
下午，小明到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向南为正，向北为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：＋5，－2，＋6，－11，＋8，＋1，－3，－2，－4，＋7；
(1)请通过计算说明A站是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离为0.8千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？
20．（2022·广东·广州市真光中学七年级期中）如图，点A和B表示的数分别为a和b，若c是绝对值最小的数，d是最大的负整数．（1）在数轴上表示c＝ ，d＝ ．
（2）若|x+3|＝2，则x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．
21.（2022·贵州黔东南·七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：．
解：当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解是或．
(1)利用上述方法解方程：．
(2)当满足什么条件时，关于的方程，①无解；②只有一个解；③有两个解．
22．（2022·江西宜春市·七年级期末）已知有理数，在数轴上对应的点如图所示．
（1）当，时，求的值；
（2）化简：．
23．（2022·山西晋中·七年级期中）阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的思想解决一些问题例如：数轴上表示5的点与表示2的点之间的距离为|5﹣2|＝3，数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7
[理解]（1）如图，在数轴上，点A表示的数是 ，点B表示的数是 ，A，B两点之间的距离 ．
（2）|﹣8﹣（﹣6）|＝2，它在数轴上的意义为表示 的点与表示 的点之间的距离为2
[归纳]（3）在数轴上，点A表示有理数a，点B表示有理数b，则A，B两点之间的距离可表示为 ．
[应用]（4）若|x﹣2|＋|x＋4|＝10，则满足条件的x的值为 ．
24.（2022·安徽安庆市·七年级期末）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题．
例：三个有理数，，满足，求的值．
解：由题意得，，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当，，都是正数，即，，时，则：，
②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，，
则：．综上，的值为3或-1．
请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知，，且，求的值；
（2）已知，是有理数，当时，求的值．
（3）已知，，是有理数，，，求．
25．（2022·临海市七年级期中）已知： b是最小的正整数，且a、b满足（c－5）2＋|a＋ b|＝ 0请回答问题：
（1）请直接写出a、b、c的值： a＝ ，b＝ ，c＝ ，
（2）数轴上a， b， c所对应的点分别为A，B，C，则 B，C两点间的距离为 ；
（3）在（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动了t秒，
①此时A表示的数为 ；此时B表示的数为 ；此时C表示的数为 ；
②若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC－ AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
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