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专题1.4 有理数的大小比较
模块1：学习目标
1. 能利用法则或数轴比较有理数（字母）的大小；
2. 能利用有理数的大小比较解决实际问题。
模块2：知识梳理
有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小．
如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号 同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
－数为0 正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：
（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
模块3：核心考点与典例
考点1、利用法则比较有理数的大小
例1 ．（2022·广东汕头市·七年级期末）在，-3，0，5这四个数中，最小的数是（ ）
A． B．-3 C．0 D．5
【答案】B
【分析】根据比较有理数大小的方法，可得答案．
【详解】解：－3＜﹣＜0＜5.故最小的数是－3．故选B．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，掌握正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
变式1．（2022·临沂七年级月考）比较大小：+_________-； _________
【答案】
【分析】分别对第一组中的两个数化简，然后进行比较即可；第二组数据利用负数的大小的比较的方法进行比较即可．
【详解】，
， ，即；
， ，故答案为：，．
【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，掌握负数的大小的比较方法是关键．
考点2、利用数轴比较有理数的大小
例2．（2022·广西贺州市·七年级期末）将下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接起来．
2，－1.5，－2，3，0，4.5
【答案】数轴见解析，
【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”连接起来即可；
【详解】解：如图所示：
－2＜－1.5＜0＜2＜3＜4.5 ．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较，还考查了在数轴上表示数的方法，要熟练掌握；
变式2．（2022·四川石室初中七年级月考）把下列各数在数轴上表示出来，并用“”号把它们连接起来，，，，．
【答案】数轴图见解析，．
【分析】由于原点把数轴上的数进行分类，原点左边为负，右边为正，根据给出的数的性质分类，负的向原点左边找，正的向原点右边去找，把各数在数轴上表示出来，利用数轴的性质，右边点表示的数总比左边点表示的数大，从小到大依次写出，用<号连接即可．
【详解】是负数，从原点向左个单位；在原点；是正数，从原点向右4个单位；－3是负数，从原点向左3个单位；是正数，从原点向右2.5个单位
故．
【点睛】本题考查在数轴上表示数和利用数轴用“<”连接各数问题，掌握数轴的性质与三要素，利用原点把数进行分类，会在数轴上找数，会用用数轴的性质比较大小，按要求结合数轴，依次写出各数，
再用不等号连接是关键．
考点3、利用数轴比较有理数的大小（含字母）
例3．（2022·河北望都初一期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【答案】A
【分析】根据数轴左边的点所表示的数小于右边的点所表示的数解答即可．
【解析】由数轴得：a＞b＞c，故选：A．
【点睛】本题考查数轴和有理数的大小比较，熟练掌握数轴上的点所表示的数的大小关系是解题关键．
变式3．（2022·江苏常州市·七年级月考）已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到大排列正确的一组是（ ）
A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a
【答案】D
【分析】根据相反数的几何意义将-a、-b表示在数轴上，继而可从小到大排列．
【详解】如图所示：，
把a、b、﹣a、﹣b从小到大排列为：a＜﹣b＜b＜﹣a．故选：D．
【点睛】本题考查了数轴、有理数的大小比较，解答本题的关键是结合数轴求解．
考点4、利用特殊值比较有理数的大小
例4．（2022·河南新乡·七年级校考期中）若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】采取取特殊值法解决本题较为方便，比如取，再求出和的值，进而比较即可．
【详解】解：，取，，，
∵，∴，∴D选项符合题意，A，B，C选项均不符合题意，故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较的应用，熟练掌握倒数和乘方运算并能选择适当的方法比较大小是解此题的关键．
变式4．（2023秋·广东云浮·七年级统考期末）有一负数a，它的值介于和0之间，写出数a的可能取值为__________（写出一个即可）；则a，，的大小关系为__________．（用“＜”连接）．
【答案】 (答案不唯一）
【分析】根据负数的大小比较原则计算比较即可．
【详解】∵,∴；∴，，
∵，∴．故答案为：，．
【点睛】本题考查了负数大小的比较，熟练掌握有理数大小比较的原则是解题的关键．
考点5、有理数大小比较中的新定义问题
例5．（2022·浙江杭州市·七年级期中）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者”，先确定和，得到，再根据法则即可解答．
【详解】解：∵， ∴=，，
∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查了新定义中的有理数的大小比较，解题的关键是理解题中给出的运算法则．
变式5．（2022秋·山东菏泽·七年级统考期中）用表示，两数中较大的一个数，用，表示，两数中较小的一个数，，的值为 _____．
【答案】
【分析】根据题中给出的条件进行计算即可．
【详解】解：表示，两数中较大的一个数，用，表示，两数中较小的一个数，
，．故答案为：．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，根据题意得出和，的值是解题的关键．
考点6、生活中的有理数大小比较
例6．（2023·福建三明·校考一模）下表是我国几个城市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的城市是（ ）
城市 北京 武汉 泉州 哈尔滨
平均气温（单位：）
A．北京 B．武汉 C．泉州 D．哈尔滨
【答案】D
【分析】根据有理数大小比较的法则进行判断即可．
【详解】解：∵，∴平均气温最低的城市是哈尔滨．故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的法则是解本题的关键．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的反而小．
变式6．（2022秋·河南鹤壁·七年级校考期中）几种气体的固化温度（标准大气压）如下表：
气体 氧气 氮气 二氧化碳 氢气
固化温度/℃
其中固化温度最高的气体是（ ）．
A．氧气 B．氮气 C．二氧化碳 D．氢气
【答案】C
【分析】根据两个负数比大小，绝对值大的反而小，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，∴固化温度最高的气体是二氧化碳．故选∶C
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握两个负数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）下列各数中最小的负整数是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据负整数的定义以及有理数大小比较方法即可判定选择项．
【详解】解：∵，
∴所给的各数中，最小的负整数是，故选：A．
【点睛】此题主要考查了有理数大小的比较方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．（2023·广东广州·统考一模）下列实数中，比小的数是（ ）．
A． B．4 C． D．1
【答案】C
【分析】正数大于负数，两个负数比较大小时，绝对值大的反而小，由此可得答案．
【详解】解：，，，，比小的数是，故选C．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握：正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小时，绝对值大的反而小．
3．（2023·山西晋城·统考一模）下列各数中，绝对值最小的数是( )
A． B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
【详解】解：∵，，，
，∴绝对值最小的数是0，故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值及有理数大小比较，正确求出各数的绝对值是解题的关键．
4．（2023·山西晋中·校考模拟预测）1月24日，北方13个省会城市气温创今冬以米新低．其中，长春，沈阳，呼和浩特，太原．四个城市中，气温最低的是（ ）
A．长春 B．沈阳 C．呼和浩特 D．太原
【答案】C
【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小比较即可．
【详解】解：∵，
∴，∴呼和浩特的气温最低．故选C．
【点睛】本题考查了有理数大小比较的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法，特别是两个负数的大小比较．
5．（2022秋·福建厦门·七年级校考期中）下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数），则最迟出现日出的城市为（ ）
城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥
时差/时
A．纽约 B．巴黎 C．东京 D．芝加哥
【答案】D
【分析】找出四个时数中，最小的即可得．
【详解】解：，
最迟出现日出的城市为芝加哥，故选：D．
【点睛】本题考查了正负数的应用、有理数的大小比较，理解题意，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．
6．（2022秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）下列有理数的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先分别化简各选项需要化简的各数，再根据正数大于0，负数小于0，两个负数绝对值大的反而小进行大小比较即可．
【详解】解：，，∴，故A不符合题意；
，，∴，故B不符合题意；
，∴，故C不符合题意；
，，而，∴，故D符合题意；故选D．
【点睛】本题考查的是化简绝对值，有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较的方法是解本题关键．
7．（2022·山西临汾·七年级校考期中）如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据题目所跟的条件确定a、b的正负，以及绝对值的大小，再分别判断之间的关系．
【详解】∵，，∴a为正数，b为负数，
∵，∴a的绝对值较大，∴，∴故选：B
【点睛】此题考查有理数大小比较，解题关键在于确定a与b的绝对值的大小．
8．（2022·天津河北初一期中）下列叙述中，不正确的是（ ）
A．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示
B．在数轴上，表示互为相反数的两个点与原点距离相等
C．在数轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越大
D．在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大
【答案】C
【分析】根据数轴的特点进行判断，结合实数与数轴上点的一一对应关系进行分析判断即可．
【解析】∵实数与数轴上的点一一对应，故答案A正确；
∵两个互为相反数的数绝对值相等，∴表示互为相反数的两个点与原点距离相等，故答案B正确；
∵在数轴的负半轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越小，故答案C错误；
∵通常以向右的方向表示数轴的正方向，∴右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大，故答案D正确．故选：C．
【点睛】本题考查数轴的概念及数轴与实数的对应关系，把握数轴上点的分布规律是判断选项的关键．
9.（2022春·内蒙古·七年级校考期中）已知a在数轴上的位置如图所示，则a，，大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据在数轴上的位置，可得，所以，，然后根据有理数大小比较的方法，判断出a，，大小关系即可．
【详解】解：∵，∴，，∴．故选：B．
【点睛】（1）此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
（2）此题还考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
10．（2022·河南南阳·七年级期末）已知a、b所表示的数如图所示，下列结论正确的有（ ）个
①＞0；②＜；③＜；④；⑤＞
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据数轴和绝对值的定义以及有理数的大小比较的方法分别对每一项进行分析即可．
【详解】解：如图所示：b＜-2＜a＜-1＜0＜1，|b|＞|a|，
∴结论①错误；结论②正确；结论③错误；
∵a+1＜0∴|a+1|=-a-1，结论④正确；
|2+b|表示b与-2之间的距离，|-2-a|表示a与-2的距离，结合图意可得
∴|2+b|＞|-2-a|，故结论⑤正确．故选：C．
【点睛】此题考查有理数的比较大小，以及数轴和绝对值的性质，解题的关键是正确去掉绝对值．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 甘南县期中）在直线上向右为正方向，负数都在0的 边，也就是负数都比0 ，正数都比0 ．
【思路点拨】在数轴上，首先确定原点0的位置和单位长度，且从左到右的顺序就是数从小到大的顺序，所有的负数都在0的左边，越往左数越小，正数都在0的右边，越往右数越大．
【答案】解：在数轴上，所有的负数都在0的左边，也就是负数都比0小，正数都在0的右边，正数都比0大，负数都比正数小．故答案为：左；小；大．
【点睛】此题考查在数轴上表示正负数，所有的负数都在0的左边，正数都在0的右边．
12．（2022·浙江杭州·七年级期末）用“>”或“<”填空：（1）_____；（2）_____．
【答案】＞ ＞
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：=3.5，=3，∴＞，
∵36＜62，∴-36＞-62，故答案为：＞，＞．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
13．（2022·云南昭通市·七年级期末）四个数在数轴上的对应点分别为，，，，这四个数中最小的数的对应点是______．
【答案】A
【分析】根据数轴的定义即可得．
【详解】由数轴的定义得：数轴上的点表示的数，左边的总小于右边的，
则这四个数中最小的数的对应点是A，故答案为：A．
【点睛】本题考查了数轴，掌握理解数轴的定义是解题关键．
14．（2022·陕西西安市·九年级一模）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是___（任填一个即可）．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】根据a的范围确定出﹣a的范围，进而确定出b的范围，判断即可．
【详解】解：由数轴可知，1＜a＜2，﹣2＜﹣a＜﹣1，
∵﹣a＜b＜a，∴b可以在﹣1和1之间任意取值，如﹣1，0，1等，故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查数轴的性质，解题的关键是熟知有理数的大小关系．
15．（2022·浙江初一课时练习）问题：比较－与＋(－)的大小．
解：化简可得－＝－，＋(－)＝－①.因为＝，=②，
且＝>＝③，所以－＜－④，所以－＜＋(－)⑤.
本题从第________(填序号)步开始产生错误，请给出正确的解题过程．
【答案】③
【分析】根据比较两个负数大小的方法进行分析解答即可.
【解析】本题从第③步开始产生错误．正确的解题过程如下：
将原式化简可得：，，①；
∵，，②；且，③；
∴，④ ∴．⑤ 故答案为：③.
【点睛】熟知“两个负数，绝对值大的反而小”是解答本题的关键.
16．（2022 金牛区校级期中）写出符合下列条件的数：①绝对值最小的有理数为 ；②大于﹣3且小于2的整数有 ；③绝对值大于2且小于5的负整数有 ；④在数轴上，与表示﹣1的点的距离为2的数有 ．
【思路点拨】①绝对值最小的有理数：0；②找出大于﹣3且小于2的所有整数即可得出结论；③找出绝对值大于2且小于5的所有负整数即可得出结论；④设在数轴上，与表示﹣1的点的距离为2的数为x，根据两点间的距离可找出关于x的方程，解之即可得出结论．
【答案】解：①绝对值最小的有理数：0；
②大于﹣3且小于2的所有整数为：﹣2，﹣1，0，1．
③绝对值大于2且小于5的所有负整数为：﹣4，﹣3．
④设在数轴上，与表示﹣1的点的距离为2的数为x，
则有：|x﹣（﹣1）|＝2，解得：x1＝1，x2＝﹣3．
∴在数轴上，与表示﹣1的点的距离为2的所有数为1，﹣3．
故答案为：①0；②﹣2，﹣1，0，1；③﹣4，﹣3，④1，﹣3．
【点睛】本题考查有理数的大小比较、数轴以及绝对值，熟练掌握有理数、整数及有理数的大小比较是解题的关键．
17．（2022 招远市期中）有理数m、n在数轴上所对应的店的位置如图所示，则m，n，﹣m，﹣n，1，﹣1的大小关系用“＞”表示为 ．
【思路点拨】先根据题意在数轴上表示出﹣n与﹣m，再从右到左用“＞”连接起来即可．
【答案】解：如图所示，
故m＞1＞﹣n＞n＞﹣1＞﹣m．
故答案为：m＞1＞﹣n＞n＞﹣1＞﹣m．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大的特点是解答此题关键．
18．（2023·广东·九年级专题练习）用符号表示两数中较小的一个数，用符号表示两数中较大的一个数，计算＝_______．
【答案】
【分析】先分别求出和的值，再计算有理数的减法即可得．
【详解】解：由题意得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较、有理数的减法，理解新定义的两个符号是解题关键．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 鼓楼区校级月考）比较下列各数的大小
（1）﹣|﹣（﹣3）|和﹣（﹣2）； （2）和．
【思路点拨】（1）先化简，再计算．
（2）根据负数大小比较方法可以比较．
【答案】解：（1）∵﹣|﹣（﹣3）|＝﹣3，﹣（﹣2）＝2．
∴﹣|﹣（﹣3）|＜﹣（﹣2）．
（2）|﹣|＝＝，|﹣|＝＝．
∵＞．∴﹣＜．
【点睛】本题考查实数大小的比较，化简各数是求解本题的关键．
20.（2022·沙坪坝区·七年级月考）将有理数﹣5，0.4，0，﹣2，﹣4表示在数轴上，并用“＜”连接各数．
【答案】见解析，
【分析】先把各数在数轴上表示出来，再从左到右用“＜”连接起来即可．
【详解】解：如图所示：
故．
【点睛】本题主要考查数轴及有理数的大小比较，熟练掌握数轴及有理数的大小比较是解题的关键．
21．（2022·湖南益阳·七年级期末）比较下列各数的大小，并用“＜”号连接起来：
，，3，，，0．
【答案】
【分析】先把每个数进行化简，再根据有理数的大小排列起来即可．
【详解】解：，，
∵ ，
∴．
【点睛】本题考查比较数的大小，准确的把每个数进行化简是解题的关键．
22．（2022·云南昆明·七年级期末）按要求解答
(1)把下列各数填在相应的括号内：，，，（每两个1之间逐次增加1个0），，，，，
正有理数集合：｛ …｝；
负数集合：｛ …｝；
整数集合：｛ …｝．
(2)画出数轴，并在数轴上表示下面5个原数，然后比较这5个原数的大小，用“<”号连接．
，，，，
【答案】(1)，，；，，，；，， …
(2)
【分析】（1）根据正有理数，负数，整数的定义即可判断；
（2）先准确画出数轴，然后在数轴上找到各数对应的点即可．
(1)正有理数集合：{，，}
负数集合：{，，，}整数集合：{，， … }
(2)在数轴上表示如图所示：
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，相反数，绝对值，数轴，准确地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．
23．（2020秋 赤壁市校级月考）设用符号＜a，b＞表示a，b两数中较小的数，用[a，b]表示a，b两数中较大的数．试求下列各式的值．
（1）＜﹣5，﹣0.5＞+[﹣4，2]；（2）＜1，3＞+[﹣5，＜﹣2，7＞]．
【思路点拨】（1）首先比较出﹣5与﹣0.5，以及﹣4与2的大小关系，求出＜﹣5，﹣0.5＞、[﹣4，2]的值各是多少；然后把它们相加即可．
（2）比较出1与3，以及﹣2与7的大小关系，求出＜1，3＞、＜﹣2，7＞的值各是多少，进而求出＜1，3＞+[﹣5，＜﹣2，7＞]的值是多少即可．
【答案】解：（1）＜﹣5，﹣0.5＞+[﹣4，2]＝﹣5+2＝﹣3．
（2）＜1，3＞+[﹣5，＜﹣2，7＞]＝1+[﹣5，﹣2]＝1+（﹣2）＝﹣1．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小
24．（2022 滦州市期中）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题：
（1）如图所示，A，B，C为数轴上三点，且当A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5．若以B为原点，则点A表示的数是 ，点C表示的数是 ；若A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是 ．
（2）数a和b在数轴上的位置如图所示，将a，b，﹣a，﹣b从小到大排列为 ．
（3）在所给数轴上表示下列各数：﹣4.5，，﹣2，1．
【思路点拨】（1）根据数轴的定义解答即可；
（2）根据数轴表示数的方法得到b＜0＜a，且|b|＞a，则﹣a＞b，﹣b＞a，然后把a，b，﹣a，﹣b从小到大排列；（3）根据数轴的定义解答即可．
【答案】解：（1）由题意可得，AB＝2，AC＝5，即BC＝3，
若以B为原点，则点A表示的数是：0﹣2＝﹣2；点C表示的数是：0+3＝3；
若A，C表示的两个数互为相反数，则点A表示，所以点B表示的数是：，
故答案为：﹣2；3；；
（2）由题意可得，b＜0＜a，且|b|＞a，
∴﹣a＞b，﹣b＞a，∴b＜﹣a＜a＜﹣b；故答案为：b＜﹣a＜a＜﹣b；
（3）如图所示：
【点睛】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．也考查了数轴．
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专题1.4 有理数的大小比较
模块1：学习目标
1. 能利用法则或数轴比较有理数（字母）的大小；
2. 能利用有理数的大小比较解决实际问题。
模块2：知识梳理
有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小．
如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号 同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
－数为0 正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：
（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a、b为任意数，
若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
模块3：核心考点与典例
考点1、利用法则比较有理数的大小
例1 ．（2022·广东汕头市·七年级期末）在，-3，0，5这四个数中，最小的数是（ ）
A． B．-3 C．0 D．5
变式1．（2022·临沂七年级月考）比较大小：+_________-； _________
考点2、利用数轴比较有理数的大小
例2．（2022·广西贺州市·七年级期末）将下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接起来．
2，－1.5，－2，3，0，4.5
变式2．（2022·四川石室初中七年级月考）把下列各数在数轴上表示出来，并用“”号把它们连接起来，，，，．
考点3、利用数轴比较有理数的大小（含字母）
例3．（2022·河北望都初一期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
变式3．（2022·江苏常州市·七年级月考）已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到大排列正确的一组是（ ）
A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a
考点4、利用特殊值比较有理数的大小
例4．（2022·河南新乡·七年级校考期中）若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023秋·广东云浮·七年级统考期末）有一负数a，它的值介于和0之间，写出数a的可能取值为__________（写出一个即可）；则a，，的大小关系为__________．（用“＜”连接）．
考点5、有理数大小比较中的新定义问题
例5．（2022·浙江杭州市·七年级期中）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2022秋·山东菏泽·七年级统考期中）用表示，两数中较大的一个数，用，表示，两数中较小的一个数，，的值为 _____．
考点6、生活中的有理数大小比较
例6．（2023·福建三明·校考一模）下表是我国几个城市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的城市是（ ）
城市 北京 武汉 泉州 哈尔滨
平均气温（单位：）
A．北京 B．武汉 C．泉州 D．哈尔滨
变式6．（2022秋·河南鹤壁·七年级校考期中）几种气体的固化温度（标准大气压）如下表：
气体 氧气 氮气 二氧化碳 氢气
固化温度/℃
其中固化温度最高的气体是（ ）．
A．氧气 B．氮气 C．二氧化碳 D．氢气
模块4：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）下列各数中最小的负整数是( )
A． B． C． D．
2．（2023·广东广州·统考一模）下列实数中，比小的数是（ ）．
A． B．4 C． D．1
3．（2023·山西晋城·统考一模）下列各数中，绝对值最小的数是( )
A． B．2 C．1 D．0
4．（2023·山西晋中·校考模拟预测）1月24日，北方13个省会城市气温创今冬以米新低．其中，长春，沈阳，呼和浩特，太原．四个城市中，气温最低的是（ ）
A．长春 B．沈阳 C．呼和浩特 D．太原
5．（2022秋·福建厦门·七年级校考期中）下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数），则最迟出现日出的城市为（ ）
城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥
时差/时
A．纽约 B．巴黎 C．东京 D．芝加哥
6．（2022秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）下列有理数的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·山西临汾·七年级校考期中）如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·天津河北初一期中）下列叙述中，不正确的是（ ）
A．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示
B．在数轴上，表示互为相反数的两个点与原点距离相等
C．在数轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越大
D．在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大
9.（2022春·内蒙古·七年级校考期中）已知a在数轴上的位置如图所示，则a，，大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·河南南阳·七年级期末）已知a、b所表示的数如图所示，下列结论正确的有（ ）个
①＞0；②＜；③＜；④；⑤＞
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 甘南县期中）在直线上向右为正方向，负数都在0的 边，也就是负数都比0 ，正数都比0 ．
12．（2022·浙江杭州·七年级期末）用“>”或“<”填空：（1）_____；（2）_____．
13．（2022·云南昭通市·七年级期末）四个数在数轴上的对应点分别为，，，，这四个数中最小的数的对应点是______．
14．（2022·陕西西安市·九年级一模）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是___（任填一个即可）．
15．（2022·浙江初一课时练习）问题：比较－与＋(－)的大小．
解：化简可得－＝－，＋(－)＝－①.因为＝，=②，
且＝>＝③，所以－＜－④，所以－＜＋(－)⑤.
本题从第________(填序号)步开始产生错误，请给出正确的解题过程．
16．（2022 金牛区校级期中）写出符合下列条件的数：①绝对值最小的有理数为 ；②大于﹣3且小于2的整数有 ；③绝对值大于2且小于5的负整数有 ；④在数轴上，与表示﹣1的点的距离为2的数有 ．
17．（2022 招远市期中）有理数m、n在数轴上所对应的店的位置如图所示，则m，n，﹣m，﹣n，1，﹣1的大小关系用“＞”表示为 ．
18．（2023·广东·九年级专题练习）用符号表示两数中较小的一个数，用符号表示两数中较大的一个数，计算＝_______．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 鼓楼区校级月考）比较下列各数的大小
（1）﹣|﹣（﹣3）|和﹣（﹣2）； （2）和．
20.（2022·沙坪坝区·七年级月考）将有理数﹣5，0.4，0，﹣2，﹣4表示在数轴上，并用“＜”连接各数．
21．（2022·湖南益阳·七年级期末）比较下列各数的大小，并用“＜”号连接起来：
，，3，，，0．
22．（2022·云南昆明·七年级期末）按要求解答
(1)把下列各数填在相应的括号内：，，，（每两个1之间逐次增加1个0），，，，，
正有理数集合：｛ …｝；
负数集合：｛ …｝；
整数集合：｛ …｝．
(2)画出数轴，并在数轴上表示下面5个原数，然后比较这5个原数的大小，用“<”号连接．
，，，，
23．（2020秋 赤壁市校级月考）设用符号＜a，b＞表示a，b两数中较小的数，用[a，b]表示a，b两数中较大的数．试求下列各式的值．
（1）＜﹣5，﹣0.5＞+[﹣4，2]；（2）＜1，3＞+[﹣5，＜﹣2，7＞]．
24．（2022 滦州市期中）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题：
（1）如图所示，A，B，C为数轴上三点，且当A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5．若以B为原点，则点A表示的数是 ，点C表示的数是 ；若A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是 ．
（2）数a和b在数轴上的位置如图所示，将a，b，﹣a，﹣b从小到大排列为 ．
（3）在所给数轴上表示下列各数：﹣4.5，，﹣2，1．
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